12. Matrices symétriques et matrices définies positives

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12. Matrices sym´etriques et matrices
d´efinies positives
Sections 6.4 et 6.5
MTH1007
J. Gu´erin, N. Lahrichi, S. Le Digabel
´
Ecole Polytechnique de Montr´eal
A2016
(v2)
MTH1007: alg`ebre lin´eaire 1/22

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Plan
1. Matrices sym´etriques
2. Matrices d´efinies positives
MTH1007: alg`ebre lin´eaire 2/22

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1. Matrices sym´etriques
2. Matrices d´efinies positives
MTH1007: alg`ebre lin´eaire 3/22

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Valeurs et vecteurs propres
IUne matrice est sym´etrique si A>=A.
ISi Aest une matrice sym´etrique alors ses valeurs propres sont
r´eelles.
ILes vecteurs propres d’une matrice sym´etrique qui
correspondent `a des valeurs propres distinctes sont
orthogonaux.
IOn peut donc choisir les vecteurs propres comme ´etant
orthonormaux.
MTH1007: alg`ebre lin´eaire 4/22

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Vecteurs propres d’une matrice sym´etrique 2x2
Avec A=a b
b c et ses deux valeurs propres λ1et λ2, on a les
deux vecteurs propres x1=b
λ1−aet x2=λ2−c b.
MTH1007: alg`ebre lin´eaire 5/22