Exercices de Mathématiques 1 S

Exercices de
Mathématiques 1ère S
Pour préparer la rentrée en TS

Fonctions, équations et inéquations
Exercice 1
1. Pour quelle(s) valeur(s ) de m, l'équation x² - (m+1) x +4 = 0 a-t-elle une seule solution dans ? Calculer
alors cette solution.
2. Pour quelles valeurs de m, l'équation x² - (m+1) x +4 = 0 n’admet-elle aucune solution dans ?
Exercice 2
Une fonction f est représentée sur le graphique ci-dessous. En vous servant du quadrillage, compléter :
f( – 2 ) = … f ’ ( – 2 ) = … f( 0 ) = … f ’ ( 0 ) = … f( 1 ) = … f ’ ( 1 ) = …
Exercice 3
On considère une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [ – 2 ; 7] dont la courbe représentative Cf
est donnée ci-dessous :
Les tangentes à la courbe Cf , aux points d’abscisses –1, 1, 2 et 5 ont été représentées sur la représentation
ci-dessus.
1. Déterminer le nombre dérivé de la fonction f en –1 et en 1.
2. Déterminer les équations des tangentes à la courbe Cf aux points d’abscisses 2 et 5.

Exercice 4
Soit la fonction f définie dans  par f(x) = 2x²-4x – 4 et C sa courbe représentative dans un repère du plan.
1. Déterminer l’expression de la dérivée f ’
2. Déterminez l’équation de la tangente T à C au point d’abscisse 0.
3. Soit la droite D, d’équation y = – x – 2
Déterminer les points d’intersection de D et C
4. Etudier les positions relatives de ces deux courbes.
5. Dans un même repère du plan, tracer soigneusement C, D et T. (Prendre pour unité 1cm).
Expliquer comment on retrouve graphiquement les résultats de la question 3).
Exercice 5
Dans chaque cas, préciser l’ensemble de dérivabilité de la fonction f puis déterminer l’expression de la
dérivée f ’
a. f(x) = 3 x² + 5x
b. g(x) = 
c. h(x) = 
d. i(x) = 
e. j(x) =     
f. k(x) =   
Exercice 6
On veut réaliser, dans le patron ci-dessous une boîte rectangulaire sans couvercle. Les longueurs sont
exprimées en cm.
1. a) Quelles valeurs peut prendre la variable x dans ce problème ?
b) Donner l’expression du volume V en fonction de la valeur de x.
2. a) Déterminer l’expression de la fonction V′ dérivée de la fonction f.
b) Dresser le tableau de variations de la fonction V.
c) Quel est le volume maximal qu’on obtenir avec ce type de boite ? Justifier.

Exercice 7
On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]
 ; +∞ [ par la relation : f(x) = 
La représentation Cf est donnée ci-dessous :
On considère un point M appartenant à la courbe Cf et le rectangle MNOP construit à partir du point O et M et
dont les côtés sont parallèles aux axes.
On note A(x) l’aire du rectangle MNOP où x est l’abscisse du point M.
Le but de l’exercice est de déterminer pour quelles valeurs de x, l’aire A(x) est minimale.
1. Donner l’expression de A(x) en fonction de x.
2. Déterminer l’expression de la fonction dérivée de A.
3. Etablir le sens de variation de la fonction A.
4. En déduire la position du point A afin que l’aire du rectangle MNOP soit minimale.
Exercice 8
On considère la fonction f définie et dérivable sur R qui admet dans le repère (O, I, J).
La courbe Cf pour représentation :
Parmi les quatre courbes  , ,  et présentées ci-dessous, déterminer la courbe représentative de la
fonction f ′, dérivée de la fonction f. Justifier votre choix.

Suites numériques
Exercice 9
Voici des suites définies sur  :
a)  = n² – n, n 
b)  
  , n 
c) =
, n 
Pour chacune des suites,
1. Déterminer les trois premiers termes
2. Déterminer si les suites sont arithmétiques ou géométriques.
Si oui, préciser la raison et calculer la somme S =    
3. Déterminer le sens de variation de ces suites
Exercice 10
Soit la suite ( définie par   et pour tout entier naturel n,  
1. Calculer  et . La suite ( est-elle arithmétique ? géométrique ?
2. a) Tracer dans un repère les droites (D) et (Δ) d’équations respectives y = 
   et y = x
b) Construire sur l’axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite ( en laissant apparents
les traits de construction
c) Quelles conjectures peut-on faire sur le sens de variation et la limite de la suite ( ?
3. On considère la suite ( définie pour tout entier n par  =  
a) Démontrer que la suite ( est géométrique
b) Exprimer  en fonction de n puis  en fonction de n
c) Démontrer la conjecture sur le sens de variation de la suite (
4. On souhaite déterminer la plus petite valeur de l’entier n pour laquelle |  4 | < 0,01
Compléter l’algorithme ci-dessous, et programmer sur votre calculatrice
U prend la valeur 0 - 2
N prend la valeur 0
Tant que | U – 4 | > 0,01
N prend la valeur N + 1
U prend la valeur ….
Fin tant que
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