Exercices de Mathématiques 1 S

Exercices de
ère
Mathématiques 1 S
Pour préparer la rentrée en TS
Fonctions, équations et inéquations
Exercice 1
1. Pour quelle(s) valeur(s ) de m, l'équation x² - (m+1) x +4 = 0 a-t-elle une seule solution dans ℝ? Calculer
alors cette solution.
2. Pour quelles valeurs de m, l'équation x² - (m+1) x +4 = 0 n’admet-elle aucune solution dans ℝ?
Exercice 2
Une fonction f est représentée sur le graphique ci-dessous. En vous servant du quadrillage, compléter :
f( – 2 ) = …
f’(–2)=…
f( 0 ) = …
f’(0)=…
f( 1 ) = …
f’(1)=…
Exercice 3
On considère une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [ – 2 ; 7] dont la courbe représentative Cf
est donnée ci-dessous :
Les tangentes à la courbe Cf , aux points d’abscisses –1, 1, 2 et 5 ont été représentées sur la représentation
ci-dessus.
1. Déterminer le nombre dérivé de la fonction f en –1 et en 1.
2. Déterminer les équations des tangentes à la courbe Cf aux points d’abscisses 2 et 5.
Exercice 4
Soit la fonction f définie dans ℝ par f(x) = 2x²-4x – 4 et C sa courbe représentative dans un repère du plan.
1. Déterminer l’expression de la dérivée f ’
2. Déterminez l’équation de la tangente T à C au point d’abscisse 0.
3. Soit la droite D, d’équation y = – x – 2
Déterminer les points d’intersection de D et C
4. Etudier les positions relatives de ces deux courbes.
5. Dans un même repère du plan, tracer soigneusement C, D et T. (Prendre pour unité 1cm).
Expliquer comment on retrouve graphiquement les résultats de la question 3).
Exercice 5
Dans chaque cas, préciser l’ensemble de dérivabilité de la fonction f puis déterminer l’expression de la
dérivée f ’
a. f(x) = 3 x² + 5x
b. g(x) =
√
c. h(x) =
d. i(x) =
e. j(x) = (
f. k(x) = (
)(
)√
)
Exercice 6
On veut réaliser, dans le patron ci-dessous une boîte rectangulaire sans couvercle. Les longueurs sont
exprimées en cm.
1. a) Quelles valeurs peut prendre la variable x dans ce problème ?
b) Donner l’expression du volume V en fonction de la valeur de x.
2. a) Déterminer l’expression de la fonction V′ dérivée de la fonction f.
b) Dresser le tableau de variations de la fonction V.
c) Quel est le volume maximal qu’on obtenir avec ce type de boite ? Justifier.
Exercice 7
On considère la fonction f définie sur l’intervalle ] ; +∞ [ par la relation : f(x) =
La représentation Cf est donnée ci-dessous :
On considère un point M appartenant à la courbe Cf et le rectangle MNOP construit à partir du point O et M et
dont les côtés sont parallèles aux axes.
On note A(x) l’aire du rectangle MNOP où x est l’abscisse du point M.
Le but de l’exercice est de déterminer pour quelles valeurs de x, l’aire A(x) est minimale.
1. Donner l’expression de A(x) en fonction de x.
2. Déterminer l’expression de la fonction dérivée de A.
3. Etablir le sens de variation de la fonction A.
4. En déduire la position du point A afin que l’aire du rectangle MNOP soit minimale.
Exercice 8
On considère la fonction f définie et dérivable sur R qui admet dans le repère (O, I, J).
La courbe Cf pour représentation :
Parmi les quatre courbes
,
,
et
présentées ci-dessous, déterminer la courbe représentative de la
fonction f ′, dérivée de la fonction f. Justifier votre choix.
Suites numériques
Exercice 9
Voici des suites définies sur
a)
= n² – n, n
b)
c)
:
,n
=
,n
Pour chacune des suites,
1. Déterminer les trois premiers termes
2. Déterminer si les suites sont arithmétiques ou géométriques.
Si oui, préciser la raison et calculer la somme S =
3. Déterminer le sens de variation de ces suites
Exercice 10
Soit la suite (
1. Calculer
) définie par
et
. La suite (
et pour tout entier naturel n,
) est-elle arithmétique ? géométrique ?
2. a) Tracer dans un repère les droites (D) et (Δ) d’équations respectives y =
et y = x
b) Construire sur l’axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite ( ) en laissant apparents
les traits de construction
c) Quelles conjectures peut-on faire sur le sens de variation et la limite de la suite ( ) ?
3. On considère la suite ( ) définie pour tout entier n par =
a) Démontrer que la suite ( ) est géométrique
b) Exprimer en fonction de n puis
en fonction de n
c) Démontrer la conjecture sur le sens de variation de la suite (
)
4. On souhaite déterminer la plus petite valeur de l’entier n pour laquelle |
Compléter l’algorithme ci-dessous, et programmer sur votre calculatrice
U prend la valeur 0 - 2
N prend la valeur 0
Tant que | U – 4 | > 0,01
N prend la valeur N + 1
U prend la valeur ….
Fin tant que
Afficher …
4 | < 0,01
Probabilités
Exercice 11
On joue à un jeu dont voici les règles. On mise m € pour avoir le droit de jouer une fois, m étant un nombre
décimal.
On lance un dé parfaitement équilibré à 12 faces numérotées de 1à 12
 Si on obtient une face paire, on gagne 2 €
 Si on obtient 7,9 ou 11, on gagne 8 €
 Si on obtient 1, 3 ou 5 on gagne 3 €
Soit Ω, l’univers et X la variable aléatoire représentant le gain algébrique, c’est-à-dire le gain moins la mise.
1.
2.
3.
4.
Quelles sont les différentes valeurs que peut prendre X, en fonction de m ?
Déterminer la loi de probabilité de X
Calculer l’espérance de X en fonction de m
Pour quelle valeur de m, le jeu est-il équitable ?
Exercice 12
Des effets secondaires peuvent apparaître suite à l’absorption du médicament Daubitol. Des tests ont montré
que la probabilité qu’un patient subisse des effets secondaires est p = 0,014. Soit X la variable aléatoire
correspondant au nombre de patients subissant des effets secondaires sur un échantillon de 1500 patients. On
considère qu’il n’y a aucun lien entre les patients.
1. Quelle loi suit X ?
2. On considère un échantillon de 1500 patients. Calculer le nombre moyen m de patients subissant des
effets secondaires sur cet échantillon.
3. Déterminer l’intervalle de fluctuation à 95 % d’une fréquence correspondant à la réalisation de X
4. Sur les 1500 patients, 32 ont subi des effets secondaires. Que peut-on en déduire ?
Exercice 13
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres N et P
1. On cherche à déterminer la plus grande valeur de l’entier K pour laquelle P(X> K) > 0,5
a) Recopier et compléter cet algorithme :
Variables : N, K,C, I quatre nombres entiers naturels
P, A deux nombres réels
Début
Saisir N
Saisir P
K prend la valeur N
A prend la valeur 0
I prend la valeur N
C prend la valeur 1
Tant que A ≤ 0,5
C prend la valeur « I parmi N »
A prend la valeur A +
(
I prend la valeur I – 1
Fin tant que
K prend la valeur …
Afficher …
Fin
)
b) Faire fonctionner cet algorithme lorsque N= 10 et P = 0,63
On présentera l’état successif de toutes les variables dans un tableau comme ci-dessous
(la variable A sera calculée à
près
Etape
1
2
3
…
N
P
K
A
I
C
2. A l’aide de l’algorithme précédent, écrire un algorithme qui donne la plus grande valeur de K
pour laquelle P(X < K) < 0,4
Vecteurs, parallélisme et alignement
Exercice 14
Exercice 15
Trigonométrie
Exercice 16
1. Tracer un cercle trigonométrique et placer les points suivants dont le repérage par leur mesure principale :
A( )
B(
)
C( )
D( )
E(
)
F( )
2. Préciser la valeur du cosinus, sinus et tangente associé à l’angle repérant chacun des points précédant en
s’appuyant sur les formules algébriques.
Exercice 17
1. Montrer que : cos ( ) + cos ( ) = 0
2. Simplifier au maximum le nombre suivant (on exprimera le résultat en fonction de cos ( )
2 cos ( ) + 3 cos (
Exercice 18
) – 2 sin (
) + sin (
)
( ))
Exercice 19
Exercice 20
Exercice 21
Produit scalaire
Exercice 22
ABC est un triangle équilatéral de côté 5 cm. I est le milieu de [BC]. Calculer les produits scalaires suivants :
Exercice 23
MNPQ est un carré avec MN 6. I est le centre du carré. Calculer les produits scalaires suivants :
Exercice 24
ABCD est un parallélogramme avec AB 4, AD 5 et AC 7.
Calculer ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ En déduire BD
Exercice 25
1. Démontrer que :
2.
Démontrer que :
3.
En déduire qu'un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires si et seulement si ses côtés sont égaux.