Étude des suites Problèmes posés Critère d’évaluation d’une méthode Vitesse de convergence logarithmique Résolution d’équations algébriques Vitesse de convergence linéaire Vitesse de convergence exponentielle Étude des suites Suites récurrentes Fonctions contractantes V IET H UNG N GUYEN - FABIEN R ICO Fonctions dérivables [email protected] Résolution d’équation Dichotomie EPU Pierre et Marie Curie - Sicence de la Terre Méthode de N EWTON En dimension - p. 1/40 Le calcul par une méthode itérative d’un résultat revient à étudier une suite. On distingue deux étapes dans l’étude des suites : Étude de la nature de la suite ■ Recherche et calcul de sa limite éventuelle Critère d’évaluation d’une méthode Étude des suites Problèmes posés Critère d’évaluation d’une méthode Vitesse de convergence logarithmique Vitesse de convergence linéaire Vitesse de convergence exponentielle ■ L’efficacité d’une méthode dépendra de la vitesse de convergence de la suite correspondante. Si on considère un une suite convergeant vers une limite a. Il est possible de définir la suite vn : Suites récurrentes vn Fonctions contractantes Fonctions dérivables Prenons par exemple la suite Résolution d’équation Dichotomie Sn = n X 1 k −log10 (|un − a|) c.à.d. |un − a| = 10−vn Intuitivement vn représente le nombre de décimales communes entre un et a. ∼ ln(n) En dimension n > 1 = 15.40368270874023437500 Étude des suites Problèmes posés Critère d’évaluation d’une méthode Vitesse de convergence logarithmique Vitesse de convergence linéaire Vitesse de convergence exponentielle Suites récurrentes Fonctions contractantes Fonctions dérivables Résolution d’équation Dichotomie Méthode de N EWTON On distinguera trois types de vitesses de convergence : ■ logarithmique ■ linéaire ■ exponentielle Mathématiquement, cette suite diverge mais en simple précision : Sn = Méthode de N EWTON k=1 ∀n ≥ 2097152 - p. 2/40 Étude des suites Problèmes posés n > 1 En dimension n > 1 ⇒L’ordinateur ne permettra que de calculer « vite » les termes d’une suite dont on connaît la nature - p. 3/40 Étude des suites - p. 4/40 Étude des suites Vitesse de convergence logarithmique Définition On dira que la vitesse de convergence de la suite un vn converge vers 0. est logarithmique si la suite n Si un vérifie K |un − a| ∼ p avec n alors vn est équivalent à p log(n). Vitesse de convergence linéaire Étude des suites Problèmes posés Critère d’évaluation d’une méthode Vitesse de convergence logarithmique Vitesse de convergence linéaire Vitesse de convergence exponentielle K>0 Fonctions dérivables Par exemple : Sn = Dichotomie Méthode de N EWTON En dimension i=1 1 n2 En simple précision ∀n ≥ 4096 Sn 1 π −O 6 n = (un − a) ∼ Fonctions contractantes Calculer une décimale supplémentaire nécessite un nombre d’itérations de plus en plus important. 2 Si un vérifie Suites récurrentes Résolution d’équation n X Définition On dira que la vitesse de convergence de la suite un vn ∈ [a, b] avec a, b ∈ R+∗ . est linéaire si la suite n → n > 1 1.644934067 . . . - p. 5/40 Étude des suites Définition On dira que la vitesse de convergence de la suite un vn diverge. est exponentielle si la suite n Si un vérifie avec K>0 et p>1 En double précision ∀n ≥ 7 S7 = Étude des suites p>1 Fonctions contractantes Fonctions dérivables = ln(1, 25) + O(0.25n ) = 0.223143532872 → Dichotomie Méthode de N EWTON En dimension n > 1 .223143551314 . . . - p. 6/40 Étude des suites Problèmes posés Critère d’évaluation d’une méthode Vitesse de convergence logarithmique Vitesse de convergence linéaire Vitesse de convergence exponentielle Suites récurrentes Fonctions contractantes Définition On appellera suites récurrentes les suites définies par un terme initial v0 et la relation : vn+1 = f (vn ) où f est une fonction réelle continue. Fonctions dérivables alors vn ∼ log(A) × p . Si p = 2 on parlera de convergence quadratique. Calculer une décimale supplémentaire nécessite un nombre d’itérations de moins en moins important. ( S1 = 0.5 Par exemple : Sn = Sn−1 + Sn−1 × (1 − 3Sn−1 ) → et Suites récurrentes n Sn K>0 Étude des suites Vitesse de convergence exponentielle K (un − a) ∼ pn A i En simple précision ∀n ≥ 12 S12 1.644725 Suites récurrentes avec Résolution d’équation n X 0, 25i i=1 = K pn Calculer une décimale supplémentaire nécessite un nombre d’itérations constant. Par exemple : = Problèmes posés Critère d’évaluation d’une méthode Vitesse de convergence logarithmique Vitesse de convergence linéaire Vitesse de convergence exponentielle on a vn ∼ p × n. Sn Étude des suites Résolution d’équation Dichotomie Problèmes posés Critère d’évaluation d’une méthode Vitesse de convergence logarithmique Vitesse de convergence linéaire Vitesse de convergence exponentielle Suites récurrentes Fonctions contractantes Fonctions dérivables Si cette suite converge, elle converge vers un point fixe de f . C’est à dire un point a tel que : Méthode de N EWTON En dimension Étude des suites f (a) = a n > 1 Résolution d’équation Dichotomie Méthode de N EWTON En dimension n > 1 Définition (Limites possibles) Un point fixe a est dit limite possible pour f si ∃V ∈ V(a) tel que ∀v0 ∈ V la suite vn induite converge vers a. 1 3 0.33333333333333331483 - p. 7/40 Étude des suites - p. 8/40 Fonctions contractantes Fonctions dérivables Définition (Fonction contractante) Soit I un intervalle et soit f une application continue de I dans I, f est contractante si ∃k < 1tel que Étude des suites Problèmes posés Critère d’évaluation d’une méthode Vitesse de convergence logarithmique Vitesse de convergence linéaire Vitesse de convergence exponentielle ∀x, y ∈ I 2 , |f (x) − f (y)| ≤ k · |x − y| Suites récurrentes Ces fonctions sont intéressantes dans le cas où elle définissent une suite récurrente. Fonctions contractantes Pour prouver qu’une fonction est contractante, on peut utiliser sa dérivée. Théorème Soit f : I → I une fonction C 1 avec un point fixe a. ■ Si |f ′ (a)| < 1 alors ∃V un voisinage de a dans lequel f est contractante et a est limite possible pour f . Fonctions dérivables ■ Résolution d’équation Théorème (du point fixe) Si f : I → I est contractante alors f admet un unique point fixe a ∈ I et toute suite définie par : ( v0 ∈ I vn+1 = f (vn ) Si |f ′ (a)| > 1 alors f n’est contractante dans aucun voisinage de a. Alors a n’est pas limite possible pour f (sauf cas particulier). Dichotomie Problèmes posés Critère d’évaluation d’une méthode Vitesse de convergence logarithmique Vitesse de convergence linéaire Vitesse de convergence exponentielle Suites récurrentes Fonctions contractantes Fonctions dérivables Résolution d’équation Dichotomie Méthode de N EWTON En dimension Étude des suites On peut même connaître la vitesse de convergence : n > 1 ■ si f ′ (a) 6= 0, la convergence est linéaire. ■ si f ′ (a) = 0, la convergence est au moins quadratique. Méthode de N EWTON En dimension n > 1 converge vers a avec une convergence au moins linéaire Par récurrence, on montre facilement que |a − vn | ≤ k n |a − v0 | - p. 9/40 Étude des suites - p. 10/40 Étude des suites Étude des suites u1 Résolution d’équation bc u2 bc bc u4 c b bc u3 u3 u4 c b bb c c c b u0 bc (a) Résolution d’équation Résolution de f (x) (suite) = 0 = 0 = 0 Dichotomie Méthode de N EWTON En dimension n > 1 c b u0 c b u5 Résolution de f (x) Résolution de f (x) u2 b c b c u1 c b b c c b bc Introduction c b c b |f ′ (a)| < 1 (b) |f ′ (a)| > 1 c b F IG . 1 – - p. 11/40 Étude des suites Résolution d’équation Résolution de f (x) = 0 Introduction on cherche a résoudre une équation de type f (x) = 0 Étude des suites ■ Résolution d’équation Introduction Résolution de f (x) = 0 = 0 Résolution de f (x) = 0 Résolution de f (x) où f n’est pas forcément linéaire. (suite) Il n’y a pas forcément de solution analytique (ex : racines des polynômes de degré > 5). - p. 12/40 ■ Dichotomie Soit une fonction f : Rn → Rn ◆ continue sur . . . ◆ dérivable sur . . . ◆ C n sur . . . Principe : trouver une suite récurrente d’ordre 1 : Méthode de N EWTON En dimension Résolution d’équation Introduction Résolution de f (x) Résolution de f (x) Résolution de f (x) (suite) = 0 = 0 = 0 Dichotomie Méthode de N EWTON uk+1 n > 1 =⇒Il faut une méthode itérative Étude des suites = g(uk ) En dimension n > 1 qui converge vers la solution et telle que : ◆ g est contractante ◆ la solution est point fixe de g, f (r) = 0 ⇔ g(r) = r Résolution d’équation - p. 13/40 Résolution d’équation Résolution de f (x) = 0 Toute solution de l’équation f (x) = 0 sera point fixe de la fonction g avec g(x) = f (x) + x Si g est alors une fonction contractante sur un intervalle I, la suite ( Résolution de f (x) = 0 (suite) Étude des suites Résolution d’équation Introduction Résolution de f (x) = 0 Résolution de f (x) = 0 Résolution de f (x) = 0 (suite) Dichotomie Méthode de N EWTON v0 vn+1 ∈ I = g(vn ) En dimension n > 1 convergera vers une solution. Mais la fonction g définie de cette façon n’est pas forcément contractante. Résolution d’équation - p. 14/40 - p. 15/40 On peut trouver un grand nombre de fonctions permettant de résoudre le problème. Par exemple : Résoudre x2 − x = 0, peut être résolu avec : ■ g(x) = x2 : vn tend vers 0 avec v0 = 0, 8 et diverge avec v0 = 1, 2 √ ■ g(x) = x : vn tend vers 1 avec v0 = 0, 5, de même avec v0 = 2 On choisie g et v0 ■ Dans le but ◆ d’améliorer la convergence (linéaire ou quadratique) ◆ de converger vers une autre solution quand il y en a plusieurs ■ en fonction ◆ des propriétés de f (dévirabilité, monotonie) ◆ de la connaissance de f (peut-on calculer la dérivée ? Peut-on isoler les solutions ?) Résolution d’équation Étude des suites Résolution d’équation Introduction Résolution de f (x) Résolution de f (x) Résolution de f (x) (suite) = 0 = 0 = 0 Dichotomie Méthode de N EWTON En dimension n > 1 - p. 16/40 Méthode de dichotomie Étude des suites Résolution d’équation Dichotomie Méthode de dichotomie Algorithme Dichotomie Étude de la méthode Méthode de N EWTON En dimension Dichotomie n > 1 - p. 17/40 Conditions : n = 1 (i.e. f : IR → IR) ■ f est continue ■ f change de signe sur sa racine : Soient a, b ∈ IR t.q. ∃r ∈ [a, b]t.q.f (r) = 0 et ( ( ∀x ∈ [a, r[ f (x) > 0 ∀x ∈ [a, r[ f (x) ou ∀x ∈]r, b] f (x) < 0 ∀x ∈]r, b[ f (x) |f (c)| > ε tant que faire Algorithme En dimension sinon 1 2 3 ( bk −ak , b ou 2 bk −akk = g(Ik ) = ak , 2 n > 1 4 ■ −2 Quelle est la fonction g ? La racine est-elle point fixe ? g est-elle contractante ? Étude des suites Dichotomie Méthode de dichotomie Algorithme Étude de la méthode Méthode de N EWTON ! ■ ■ n > 1 Le singleton {r} est point fixe de la fonction g est contractante (trouvez la distance) La convergence est linéaire car |bk − ak | = fin En dimension Résolution d’équation = [a, b] −1 a←c Résultat : c Méthode de N EWTON < 0 > 0 En dimension ■ −1 Étude de la méthode n > 1 ■ b←c ■ Ik+1 Étude de la méthode alors ■ I0 Méthode de dichotomie 1 Algorithme Il faut considérer la suite d’intervalles Ik = [ak , bk ], Méthode de N EWTON c ← a + b+a 2 si f (a)f (c) < 0 ■ ■ Résolution d’équation 2 Méthode de dichotomie - p. 18/40 Dichotomie c←b Dichotomie Étude de la méthode Étude des suites 3 : f , a < b. Résolution d’équation Dichotomie Algorithme Données début Étude des suites ■ |b − a| 2k Il faut bien choisir ε la méthode ne fonctionne pas en dimension n > 1. merci à M ANUEL L UQUE Dichotomie - p. 19/40 Dichotomie - p. 20/40 Retour sur la méthode du point fixe Étude des suites Résolution d’équation Principe : Trouver la fonction g telle que : Dichotomie Méthode de N EWTON Exemple inversion d’un nombre Généralisation Autre manière de voir ■ ■ Algorithme Conditions d’utilisation Conditions d’utilisation (suite) Si la dérivée s’annule Si la dérivée s’annule Si la dérivée s’annule Propriété de l’algorithme En dimension Méthode de N EWTON g doit avoir de bonnes propriétés de convergence g doit « améliorer » une approximation de r i.e. si xk est proche de r, alors xk+1 = g(xk ) doit être plus proche de r. ou encore g doit rajouter un terme correctif à xk pour le rapprocher du résultat. n > 1 - p. 21/40 ■ ■ Donc −ε = cherche y1 1−yxk y mais il faut diviser par y alors que l’on Méthode de N EWTON Étude des suites Résolution d’équation Dichotomie Méthode de N EWTON Retour sur la méthode du point fixe Exemple inversion d’un nombre Généralisation Autre manière de voir Algorithme Conditions d’utilisation Conditions d’utilisation (suite) Si la dérivée s’annule Si la dérivée s’annule Si la dérivée s’annule Propriété de l’algorithme n > 1 - p. 22/40 On veut calculer r tel que f (r) = 0 on a déjà calculé xk = r + ε. ■ On se base sur le calcul de f (xk ) ■ La formule de Taylor dit que : Étude des suites Résolution d’équation Dichotomie Méthode de N EWTON Retour sur la méthode du point fixe fixe ′ f (r) = 0 ≃ f (xk ) − εf (xk ) Exemple inversion d’un nombre Généralisation Autre manière de voir Algorithme Conditions d’utilisation Donc la fonction choisie est : f (xk ) g(xk ) = xk − ′ f (xk ) Si la dérivée s’annule Si la dérivée s’annule Propriété de l’algorithme En dimension n > 1 C’est la méthode de N EWTON. Avec ce choix de g, si xk = y1 + ε alors : ■ 1 = yε2 y la convergence est quadratique xk+1 − - p. 23/40 Exemple inversion d’un nombre Généralisation Autre manière de voir ■ Si la dérivée s’annule g(xk ) = xk + xk (1 − yxk ) Méthode de N EWTON Méthode de N EWTON Retour sur la méthode du point Généralisation Conditions d’utilisation (suite) Comme xk est proche de y1 , on peut multiplier par xk au lieu de diviser par y : Dichotomie En dimension Exemple inversion d’un nombre Si on connaît y et on cherche à calculer y1 , on a déjà xk = y1 + ε. ■ La bonne valeur pour g est g(xk ) = xk − ε mais comment connaître la valeur −ε ? ■ On sait que xk × y = 1 + yε, Résolution d’équation f (r) = 0 ⇔ g(r) = r Méthode de N EWTON Retour sur la méthode du point fixe Étude des suites ■ Conditions : Pour assurer la convergence, ■ f doit être C 2 (dérivable 2 fois et de dérivées continues). ■ f ′ (xk ) doit être 6= 0 pour tous k. ■ La suite doit démarrer « au voisinage de r ». Méthode de N EWTON Algorithme Conditions d’utilisation Conditions d’utilisation (suite) Si la dérivée s’annule Si la dérivée s’annule Si la dérivée s’annule Propriété de l’algorithme En dimension n > 1 - p. 24/40 Algorithme Autre manière de voir la méthode des tangentes : ■ Si la fonction f est C 2 , et f ′ (r) 6= 0 au voisinage de r elle se comporte comme une droite qui coupe l’axe des x. ■ Étude des suites Étude des suites Données début Résolution d’équation Dichotomie n) la formule xn+1 = xn − ff′(x (xn ) tente de résoudre l’équation comme si f était une droite : xn+1 est le point d’intersection entre la tangente à f en xn et l’axe des x. fixe Généralisation Autre manière de voir Algorithme Conditions d’utilisation Conditions d’utilisation (suite) n > 1 Étude des suites Résolution d’équation f (r + h) f ′ (r + h) fixe Autre manière de voir Algorithme Conditions d’utilisation Si la dérivée s’annule Propriété de l’algorithme n > 1 Méthode de N EWTON Retour sur la méthode du point on montre par récurrence Généralisation Autre manière de voir Algorithme Conditions d’utilisation 1 Si la dérivée s’annule 2n Si la dérivée s’annule Si la dérivée s’annule 2 K Propriété de l’algorithme Le point de départ doit être proche du résultat ! En dimension n > 1 h2 f ′′ (r + th) 2 f ′ (r + h) - p. 27/40 Méthode de N EWTON - p. 28/40 Si la dérivée s’annule Si ∃x ∈ IR t.q. f ′ (x) = 0 ■ xx14x710xx25x811xx036 x9 cb b cb cb c b cb cb cb c b cb c c b ■ x15 x13 x12 cb b c b c x14 Méthode de N EWTON c b - p. 29/40 La convergence peut être ralentie. La tangente peut être parallèle à l’axe des x (division par 0). x0 c b x1 c b Méthode de N EWTON Si la dérivée s’annule - p. 30/40 Propriété de l’algorithme Si ∃x ∈ IR t.q. f ′ (x) = 0 Méthode de N EWTON Résolution d’équation Conditions d’utilisation (suite) |xn − r| < Si la dérivée s’annule En dimension Étude des suites fixe 1 2K Si la dérivée s’annule Si ∃x ∈ IR t.q. f ′ (x) = 0 ■ n > 1 Exemple inversion d’un nombre en choisissant x0 ∈ V et |x0 − r| < que : Si la dérivée s’annule ■ < K Conditions d’utilisation (suite) h2 f ′′ (r + th) = r+ 2 f ′ (r + h) La convergence peut être ralentie. La tangente peut être parallèle à l’axe des x (division par 0). Il peut y avoir un dépassement de capacité. En dimension Exemple inversion d’un nombre Méthode de N EWTON ■ Propriété de l’algorithme Dichotomie f (r + th) f ′ (r + h) Méthode de N EWTON Retour sur la méthode du point h2 = f (r) = f (r + h) − hf ′ (r + h) + f ′′ (r + th) 2 f (r + h) h2 f ′′ (r + th) = h − f ′ (r + h) 2 f ′ (r + h) La convergence peut être ralentie. Si la dérivée s’annule Pour conclure, il suffit de voir que si f est C 2 et f ′ (r) 6= 0 ∃V voisinage de r et K ∈ IR tel que ′′ Généralisation ■ Si la dérivée s’annule - p. 26/40 Dichotomie Par la formule de Taylor ∃t ∈ [0, 1] : |xn+1 − r| = Si la dérivée s’annule Conditions d’utilisation (suite) Si xn = r + h Alors xn+1 Conditions d’utilisation (suite) Méthode de N EWTON Conditions d’utilisation 0 Conditions d’utilisation x2 - p. 25/40 = r+h− Algorithme rendre x0 Méthode de N EWTON xn+1 Autre manière de voir fin c b x3 Généralisation sinon c b bc Exemple inversion d’un nombre ≤ ε) ou (n =NMAX) Résultat : si (n =NMAX) alors écrire “Trop d’itérations” rendre NaN Propriété de l’algorithme c b cb c b fixe jusqu’à (|x − x0 | Si la dérivée s’annule bc Méthode de N EWTON Retour sur la méthode du point n←n+1 x ← x0 x0 ← x − ff′(x) (x) Exemple inversion d’un nombre Si la dérivée s’annule x4 Dichotomie répéter Si la dérivée s’annule x1 Résolution d’équation n←0 Méthode de N EWTON Retour sur la méthode du point En dimension : x0 , NMAX et ε La convergence est très rapide : Si xn est une approximation de r avec p chiffres significatifs i.e. kxn − rk ≤ 2−p Alors xn+1 est une approximation de r avec environ 2p chiffres significatifs x0 c b Résolution d’équation Dichotomie Méthode de N EWTON Retour sur la méthode du point fixe Exemple inversion d’un nombre Généralisation Autre manière de voir Algorithme x1 −2p kxn+1 − rk ≤ 2 c b Conditions d’utilisation Conditions d’utilisation (suite) Si la dérivée s’annule Cela reste vrai même s’il y a des erreurs d’arrondi dans le calcul de xn . ■ On peut dire que ces méthodes corrigent leurs propres erreurs d’arrondi. ■ Dans le calcul de la suite (xi ), seul la dernière itération doit être faite avec toute la précision, les autres peuvent être faites avec moins de précision. ⇒plus rapidement ■ La division a la même complexité théorique que la multiplication - p. 31/40 Étude des suites Méthode de N EWTON Si la dérivée s’annule Si la dérivée s’annule Propriété de l’algorithme En dimension n > 1 - p. 32/40 En dimension n > 1 Résolution d’équation Dichotomie Méthode de N EWTON En dimension n > 1 En dimension En dimension n > 1 n > 1 Méthode Algorithme en dimension n Condition de convergence Avantages et inconvénients Variantes de la méthode de N EWTON Conclusion En dimension n > 1 : IRn −→ IRn − → → → x 7−→ (f1 (− x ), . . . , fn (− x )) on utilise la matrice Jacobienne de f : ∂f1 ∂f1 ∂x1 (x) · · · ∂xi (x) . .. .. . ∂fi ∂fi ▽f (x). = ∂x1 (x) · · · ∂xi (x) .. .. . . ∂fn ∂fn ∂x1 (x) · · · ∂xi (x) Si f Étude des suites ··· ∂f1 ∂xn (x) ∂fi (x) ∂xn .. . ∂fn ∂xn (x) .. . ··· ··· Étude des suites On choisit x0 suffisamment proche de r. Dichotomie En dimension En dimension On construit la matrice Jacobienne A = ▽f (x) ■ On résout le système Ay = b ■ On pose xk+1 = xk − y En dimension n > 1 n > 1 Méthode Algorithme en dimension n Condition de convergence Avantages et inconvénients Variantes de la méthode de N EWTON Conclusion Résolution d’équation Dichotomie Méthode de N EWTON répéter n > 1 n > 1 Algorithme en dimension : x0 , NMAX et ε n←0 n←n+1 x ← x0 b ← f (x) A ← ▽f (x) résoudre Ay = b x0 ← x − y jusqu’à (kx − x0 k ≤ ε) ou (n =NMAX) Résultat : si (n =NMAX) alors échouer Méthode ■ En dimension Étude des suites Données début Méthode de N EWTON On construit le vecteur f (x) = b. Méthode de N EWTON Algorithme en dimension n Résolution d’équation ■ Dichotomie - p. 34/40 Méthode ■ Résolution d’équation En dimension n > 1 - p. 33/40 Pour calculer r Étude des suites n Condition de convergence Avantages et inconvénients Variantes de la méthode de N EWTON Conclusion En dimension En dimension n > 1 n > 1 Méthode Algorithme en dimension n Condition de convergence Avantages et inconvénients Variantes de la méthode de N EWTON Conclusion sinon rendre x0 fin En dimension n > 1 En dimension n > 1 - p. 35/40 Condition de convergence Si ■ ■ ■ Avantages et inconvénients Avantages : Étude des suites − → → → ∃− a ∈ IRn tel que f (− a)= 0 Résolution d’équation f est différentiable sur un voisinage V de a et ∀x ∈ V k ▽ f (x) − ▽f (a)k ≤ αkx − ak ▽f (a) inversible ■ Convergence très rapide. ■ Très très rapide. Dichotomie Méthode de N EWTON À chaque itération, il faut inverser la matrice ▽f (x) Le point de départ doit toujours être au voisinage de la solution En dimension n > 1 En dimension n Avantages et inconvénients Variantes de la méthode de ■ f (xn ) − f (xn−1 ) xn − xn−1 ◆ ◆ = xn − f (xn ) Algorithme en dimension La convergence n’est pas assurée. ■ Il faut choisir un point de départ « au voisinage de la solution ». ⇒Il faut connaître la fonction f (bug du pentium) Avantages et inconvénients Variantes de la méthode de ■ Il faut calculer f ′ (x). ■ En dimension n, il faut inverser ▽f (xn ) En dimension n > 1 Conclusion - p. 38/40 Conclusion ■ Étude des suites Résolution d’équation Dichotomie Méthode de N EWTON En dimension En dimension n > 1 n > 1 Méthode Algorithme en dimension n Condition de convergence Avantages et inconvénients Variantes de la méthode de N EWTON Conclusion xn − xn−1 f (xn ) − f (xn−1 ) Plusieurs méthodes existent ◆ Méthode de dichotomie, + convergence assurée − convergence linéaire ◆ Méthode de N EWTON, + convergence quadratique, − non assurée, calcul des dérivées ◆ Sécantes, + convergence exponentielle sans calcul des dérivées − moins rapide que Newton ◆ Autres méthodes de point fixe, − convergence linéaire − choix de g Étude des suites Résolution d’équation Dichotomie Méthode de N EWTON En dimension En dimension n > 1 n > 1 Méthode Algorithme en dimension - p. 39/40 En dimension n > 1 n Condition de convergence Avantages et inconvénients Variantes de la méthode de N EWTON Conclusion Pour une fonction f au moins C 3 telle que f ′ (r) 6= 0 la convergence est exponentielle mais non quadratique. ⇒moins rapide que la méthode de N EWTON En dimension n > 1 n Condition de convergence ■ N EWTON C’est une méthode récurrente d’ordre 2 : xn+1 n > 1 n > 1 Méthode N EWTON Conclusion - p. 37/40 N’utiliser que la matrice ▽f (x0 ). On peut alors préparer la matrice pour faciliter la résolution (décomposition PLU, voir cours précédent). ◆ mêmes conditions d’utilisations ◆ convergence linéaire Pour n = 1, méthode des sécantes : on approche la dérivée de f par Méthode de N EWTON En dimension Variantes de la méthode de N EWTON ■ Dichotomie Inconvénients : Condition de convergence ■ Résolution d’équation n > 1 En dimension n > 1 Algorithme en dimension ■ Étude des suites En dimension Méthode alors ∃η > 0 t.q. si kx0 − ak < η la méthode de N EWTON converge vers a de façon quadratique. - p. 36/40 - p. 40/40
