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Étude des suites
Problèmes posés
Critère d’évaluation d’une
méthode
Vitesse de convergence
logarithmique
Résolution d’équations algébriques
Vitesse de convergence linéaire
Vitesse de convergence
exponentielle
Étude des suites
Suites récurrentes
Fonctions contractantes
V IET H UNG N GUYEN - FABIEN R ICO
Fonctions dérivables
Hung.Nguyen@lip6.fr
Résolution d’équation
Dichotomie
EPU Pierre et Marie Curie - Sicence de la Terre
Méthode de N EWTON
En dimension
- p. 1/40
Le calcul par une méthode itérative d’un résultat revient à étudier
une suite.
On distingue deux étapes dans l’étude des suites :
Étude de la nature de la suite
■ Recherche et calcul de sa limite éventuelle
Critère d’évaluation d’une méthode
Étude des suites
Problèmes posés
Critère d’évaluation d’une
méthode
Vitesse de convergence
logarithmique
Vitesse de convergence linéaire
Vitesse de convergence
exponentielle
■
L’efficacité d’une méthode dépendra de la vitesse de convergence
de la suite correspondante.
Si on considère un une suite convergeant vers une limite a.
Il est possible de définir la suite vn :
Suites récurrentes
vn
Fonctions contractantes
Fonctions dérivables
Prenons par exemple la suite
Résolution d’équation
Dichotomie
Sn
=
n
X
1
k
−log10 (|un − a|)
c.à.d.
|un − a| = 10−vn
Intuitivement vn représente le nombre de décimales communes
entre un et a.
∼
ln(n)
En dimension
n > 1
= 15.40368270874023437500
Étude des suites
Problèmes posés
Critère d’évaluation d’une
méthode
Vitesse de convergence
logarithmique
Vitesse de convergence linéaire
Vitesse de convergence
exponentielle
Suites récurrentes
Fonctions contractantes
Fonctions dérivables
Résolution d’équation
Dichotomie
Méthode de N EWTON
On distinguera trois types de vitesses de convergence :
■
logarithmique
■
linéaire
■
exponentielle
Mathématiquement, cette suite diverge mais en simple précision :
Sn
=
Méthode de N EWTON
k=1
∀n ≥ 2097152
- p. 2/40
Étude des suites
Problèmes posés
n > 1
En dimension
n > 1
⇒L’ordinateur ne permettra que de calculer « vite » les
termes d’une suite dont on connaît la nature
- p. 3/40
Étude des suites
- p. 4/40
Étude des suites
Vitesse de convergence logarithmique
Définition On dira que la vitesse de convergence de la suite un
vn
converge vers 0.
est logarithmique si la suite
n
Si un vérifie
K
|un − a| ∼ p avec
n
alors vn est équivalent à p log(n).
Vitesse de convergence linéaire
Étude des suites
Problèmes posés
Critère d’évaluation d’une
méthode
Vitesse de convergence
logarithmique
Vitesse de convergence linéaire
Vitesse de convergence
exponentielle
K>0
Fonctions dérivables
Par exemple :
Sn
=
Dichotomie
Méthode de N EWTON
En dimension
i=1
1
n2
En simple précision
∀n ≥ 4096
Sn
1
π
−O
6
n
=
(un − a) ∼
Fonctions contractantes
Calculer une décimale supplémentaire nécessite un nombre
d’itérations de plus en plus important.
2
Si un vérifie
Suites récurrentes
Résolution d’équation
n
X
Définition On dira que la vitesse de convergence de la suite un
vn
∈ [a, b] avec a, b ∈ R+∗ .
est linéaire si la suite
n
→
n > 1
1.644934067 . . .
- p. 5/40
Étude des suites
Définition On dira que la vitesse de convergence de la suite un
vn
diverge.
est exponentielle si la suite
n
Si un vérifie
avec
K>0
et
p>1
En double précision
∀n ≥ 7 S7
=
Étude des suites
p>1
Fonctions contractantes
Fonctions dérivables
=
ln(1, 25) + O(0.25n )
=
0.223143532872
→
Dichotomie
Méthode de N EWTON
En dimension
n > 1
.223143551314 . . .
- p. 6/40
Étude des suites
Problèmes posés
Critère d’évaluation d’une
méthode
Vitesse de convergence
logarithmique
Vitesse de convergence linéaire
Vitesse de convergence
exponentielle
Suites récurrentes
Fonctions contractantes
Définition On appellera suites récurrentes les suites définies par
un terme initial v0 et la relation :
vn+1 = f (vn )
où f est une fonction réelle continue.
Fonctions dérivables
alors vn ∼ log(A) × p .
Si p = 2 on parlera de convergence quadratique.
Calculer une décimale supplémentaire nécessite un nombre
d’itérations de moins en moins important.
(
S1 = 0.5
Par exemple :
Sn = Sn−1 + Sn−1 × (1 − 3Sn−1 )
→
et
Suites récurrentes
n
Sn
K>0
Étude des suites
Vitesse de convergence exponentielle
K
(un − a) ∼ pn
A
i
En simple précision
∀n ≥ 12
S12
1.644725
Suites récurrentes
avec
Résolution d’équation
n
X
0, 25i
i=1
=
K
pn
Calculer une décimale supplémentaire nécessite un nombre
d’itérations constant.
Par exemple :
=
Problèmes posés
Critère d’évaluation d’une
méthode
Vitesse de convergence
logarithmique
Vitesse de convergence linéaire
Vitesse de convergence
exponentielle
on a vn ∼ p × n.
Sn
Étude des suites
Résolution d’équation
Dichotomie
Problèmes posés
Critère d’évaluation d’une
méthode
Vitesse de convergence
logarithmique
Vitesse de convergence linéaire
Vitesse de convergence
exponentielle
Suites récurrentes
Fonctions contractantes
Fonctions dérivables
Si cette suite converge, elle converge vers un point fixe de f . C’est
à dire un point a tel que :
Méthode de N EWTON
En dimension
Étude des suites
f (a) = a
n > 1
Résolution d’équation
Dichotomie
Méthode de N EWTON
En dimension
n > 1
Définition (Limites possibles) Un point fixe a est dit limite
possible pour f si ∃V ∈ V(a) tel que ∀v0 ∈ V la suite vn induite
converge vers a.
1
3
0.33333333333333331483
- p. 7/40
Étude des suites
- p. 8/40
Fonctions contractantes
Fonctions dérivables
Définition (Fonction contractante) Soit I un intervalle et soit f
une application continue de I dans I, f est contractante si
∃k < 1tel que
Étude des suites
Problèmes posés
Critère d’évaluation d’une
méthode
Vitesse de convergence
logarithmique
Vitesse de convergence linéaire
Vitesse de convergence
exponentielle
∀x, y ∈ I 2 , |f (x) − f (y)| ≤ k · |x − y|
Suites récurrentes
Ces fonctions sont intéressantes dans le cas où elle définissent une
suite récurrente.
Fonctions contractantes
Pour prouver qu’une fonction est contractante, on peut utiliser sa
dérivée.
Théorème Soit f : I → I une fonction C 1 avec un point fixe a.
■ Si |f ′ (a)| < 1 alors ∃V un voisinage de a dans lequel f est
contractante et a est limite possible pour f .
Fonctions dérivables
■
Résolution d’équation
Théorème (du point fixe) Si f : I → I est contractante alors f
admet un unique point fixe a ∈ I et toute suite définie par :
(
v0 ∈ I
vn+1 = f (vn )
Si |f ′ (a)| > 1 alors f n’est contractante dans aucun voisinage de
a. Alors a n’est pas limite possible pour f (sauf cas particulier).
Dichotomie
Problèmes posés
Critère d’évaluation d’une
méthode
Vitesse de convergence
logarithmique
Vitesse de convergence linéaire
Vitesse de convergence
exponentielle
Suites récurrentes
Fonctions contractantes
Fonctions dérivables
Résolution d’équation
Dichotomie
Méthode de N EWTON
En dimension
Étude des suites
On peut même connaître la vitesse de convergence :
n > 1
■
si f ′ (a) 6= 0, la convergence est linéaire.
■
si f ′ (a) = 0, la convergence est au moins quadratique.
Méthode de N EWTON
En dimension
n > 1
converge vers a avec une convergence au moins linéaire
Par récurrence, on montre facilement que
|a − vn | ≤
k n |a − v0 |
- p. 9/40
Étude des suites
- p. 10/40
Étude des suites
Étude des suites
u1
Résolution d’équation
bc
u2
bc
bc
u4
c
b
bc
u3
u3
u4
c
b
bb
c
c
c
b
u0
bc
(a)
Résolution d’équation
Résolution de f (x)
(suite)
= 0
= 0
= 0
Dichotomie
Méthode de N EWTON
En dimension
n > 1
c
b
u0
c
b
u5
Résolution de f (x)
Résolution de f (x)
u2
b
c
b
c
u1
c b
b
c
c
b
bc
Introduction
c
b
c
b
|f ′ (a)| < 1
(b)
|f ′ (a)| > 1
c
b
F IG . 1 –
- p. 11/40
Étude des suites
Résolution d’équation
Résolution de f (x) = 0
Introduction
on cherche a résoudre une équation de type
f (x) =
0
Étude des suites
■
Résolution d’équation
Introduction
Résolution de f (x)
= 0
= 0
Résolution de f (x) = 0
Résolution de f (x)
où f n’est pas forcément linéaire.
(suite)
Il n’y a pas forcément de solution analytique (ex : racines des
polynômes de degré > 5).
- p. 12/40
■
Dichotomie
Soit une fonction f : Rn → Rn
◆ continue sur . . .
◆ dérivable sur . . .
◆ C n sur . . .
Principe :
trouver une suite récurrente d’ordre 1 :
Méthode de N EWTON
En dimension
Résolution d’équation
Introduction
Résolution de f (x)
Résolution de f (x)
Résolution de f (x)
(suite)
= 0
= 0
= 0
Dichotomie
Méthode de N EWTON
uk+1
n > 1
=⇒Il faut une méthode itérative
Étude des suites
= g(uk )
En dimension
n > 1
qui converge vers la solution et telle que :
◆ g est contractante
◆ la solution est point fixe de g,
f (r) = 0 ⇔ g(r) = r
Résolution d’équation
- p. 13/40
Résolution d’équation
Résolution de f (x) = 0
Toute solution de l’équation f (x) = 0 sera point fixe de la fonction g
avec
g(x)
= f (x) + x
Si g est alors une fonction contractante sur un intervalle I, la suite
(
Résolution de f (x) = 0 (suite)
Étude des suites
Résolution d’équation
Introduction
Résolution de f (x)
= 0
Résolution de f (x) = 0
Résolution de f (x) = 0
(suite)
Dichotomie
Méthode de N EWTON
v0
vn+1
∈ I
= g(vn )
En dimension
n > 1
convergera vers une solution.
Mais la fonction g définie de cette façon n’est pas forcément
contractante.
Résolution d’équation
- p. 14/40
- p. 15/40
On peut trouver un grand nombre de fonctions permettant de
résoudre le problème.
Par exemple :
Résoudre x2 − x = 0, peut être résolu avec :
■ g(x) = x2 : vn tend vers 0 avec v0 = 0, 8 et diverge avec v0 = 1, 2
√
■ g(x) =
x : vn tend vers 1 avec v0 = 0, 5, de même avec v0 = 2
On choisie g et v0
■ Dans le but
◆ d’améliorer la convergence (linéaire ou quadratique)
◆ de converger vers une autre solution quand il y en a plusieurs
■ en fonction
◆ des propriétés de f (dévirabilité, monotonie)
◆ de la connaissance de f (peut-on calculer la dérivée ? Peut-on
isoler les solutions ?)
Résolution d’équation
Étude des suites
Résolution d’équation
Introduction
Résolution de f (x)
Résolution de f (x)
Résolution de f (x)
(suite)
= 0
= 0
= 0
Dichotomie
Méthode de N EWTON
En dimension
n > 1
- p. 16/40
Méthode de dichotomie
Étude des suites
Résolution d’équation
Dichotomie
Méthode de dichotomie
Algorithme
Dichotomie
Étude de la méthode
Méthode de N EWTON
En dimension
Dichotomie
n > 1
- p. 17/40
Conditions :
n = 1 (i.e. f : IR → IR)
■ f est continue
■ f change de signe sur sa racine :
Soient a, b ∈ IR t.q. ∃r ∈ [a, b]t.q.f (r) = 0 et
(
(
∀x ∈ [a, r[ f (x) > 0
∀x ∈ [a, r[ f (x)
ou
∀x ∈]r, b] f (x) < 0
∀x ∈]r, b[ f (x)
|f (c)| > ε
tant que
faire
Algorithme
En dimension
sinon
1
2
3
( bk −ak
, b ou
2 bk −akk = g(Ik ) =
ak , 2
n > 1
4
■
−2
Quelle est la fonction g ?
La racine est-elle point fixe ?
g est-elle contractante ?
Étude des suites
Dichotomie
Méthode de dichotomie
Algorithme
Étude de la méthode
Méthode de N EWTON
!
■
■
n > 1
Le singleton {r} est point fixe de la fonction
g est contractante (trouvez la distance)
La convergence est linéaire car
|bk − ak | =
fin
En dimension
Résolution d’équation
= [a, b]
−1
a←c
Résultat : c
Méthode de N EWTON
< 0
> 0
En dimension
■
−1
Étude de la méthode
n > 1
■
b←c
■
Ik+1
Étude de la méthode
alors
■
I0
Méthode de dichotomie
1
Algorithme
Il faut considérer la suite d’intervalles Ik = [ak , bk ],
Méthode de N EWTON
c ← a + b+a
2
si f (a)f (c) < 0
■
■
Résolution d’équation
2
Méthode de dichotomie
- p. 18/40
Dichotomie
c←b
Dichotomie
Étude de la méthode
Étude des suites
3
: f , a < b.
Résolution d’équation
Dichotomie
Algorithme
Données
début
Étude des suites
■
|b − a|
2k
Il faut bien choisir ε
la méthode ne fonctionne pas en dimension n > 1.
merci à M ANUEL L UQUE
Dichotomie
- p. 19/40
Dichotomie
- p. 20/40
Retour sur la méthode du point fixe
Étude des suites
Résolution d’équation
Principe :
Trouver la fonction g telle que :
Dichotomie
Méthode de N EWTON
Exemple inversion d’un nombre
Généralisation
Autre manière de voir
■
■
Algorithme
Conditions d’utilisation
Conditions d’utilisation (suite)
Si la dérivée s’annule
Si la dérivée s’annule
Si la dérivée s’annule
Propriété de l’algorithme
En dimension
Méthode de N EWTON
g doit avoir de bonnes propriétés de convergence
g doit « améliorer » une approximation de r
i.e. si xk est proche de r, alors xk+1 = g(xk ) doit être plus proche
de r.
ou encore g doit rajouter un terme correctif à xk pour le
rapprocher du résultat.
n > 1
- p. 21/40
■
■
Donc −ε =
cherche y1
1−yxk
y
mais il faut diviser par y alors que l’on
Méthode de N EWTON
Étude des suites
Résolution d’équation
Dichotomie
Méthode de N EWTON
Retour sur la méthode du point
fixe
Exemple inversion d’un nombre
Généralisation
Autre manière de voir
Algorithme
Conditions d’utilisation
Conditions d’utilisation (suite)
Si la dérivée s’annule
Si la dérivée s’annule
Si la dérivée s’annule
Propriété de l’algorithme
n > 1
- p. 22/40
On veut calculer r tel que f (r) = 0
on a déjà calculé xk = r + ε.
■ On se base sur le calcul de f (xk )
■ La formule de Taylor dit que :
Étude des suites
Résolution d’équation
Dichotomie
Méthode de N EWTON
Retour sur la méthode du point
fixe
fixe
′
f (r) = 0 ≃ f (xk ) − εf (xk )
Exemple inversion d’un nombre
Généralisation
Autre manière de voir
Algorithme
Conditions d’utilisation
Donc la fonction choisie est :
f (xk )
g(xk ) = xk − ′
f (xk )
Si la dérivée s’annule
Si la dérivée s’annule
Propriété de l’algorithme
En dimension
n > 1
C’est la méthode de N EWTON.
Avec ce choix de g, si xk = y1 + ε alors :
■
1
= yε2
y
la convergence est quadratique
xk+1 −
- p. 23/40
Exemple inversion d’un nombre
Généralisation
Autre manière de voir
■
Si la dérivée s’annule
g(xk ) = xk + xk (1 − yxk )
Méthode de N EWTON
Méthode de N EWTON
Retour sur la méthode du point
Généralisation
Conditions d’utilisation (suite)
Comme xk est proche de y1 , on peut multiplier par xk au lieu de
diviser par y :
Dichotomie
En dimension
Exemple inversion d’un nombre
Si on connaît y et on cherche à calculer y1 ,
on a déjà xk = y1 + ε.
■ La bonne valeur pour g est g(xk ) = xk − ε mais comment
connaître la valeur −ε ?
■ On sait que xk × y = 1 + yε,
Résolution d’équation
f (r) = 0 ⇔ g(r) = r
Méthode de N EWTON
Retour sur la méthode du point
fixe
Étude des suites
■
Conditions :
Pour assurer la convergence,
■ f doit être C 2 (dérivable 2 fois et de dérivées continues).
■ f ′ (xk ) doit être 6= 0 pour tous k.
■ La suite doit démarrer « au voisinage de r ».
Méthode de N EWTON
Algorithme
Conditions d’utilisation
Conditions d’utilisation (suite)
Si la dérivée s’annule
Si la dérivée s’annule
Si la dérivée s’annule
Propriété de l’algorithme
En dimension
n > 1
- p. 24/40
Algorithme
Autre manière de voir
la méthode des tangentes :
■ Si la fonction f est C 2 , et f ′ (r) 6= 0 au voisinage de r elle se
comporte comme une droite qui coupe l’axe des x.
■
Étude des suites
Étude des suites
Données
début
Résolution d’équation
Dichotomie
n)
la formule xn+1 = xn − ff′(x
(xn ) tente de résoudre l’équation
comme si f était une droite :
xn+1 est le point d’intersection entre la tangente à f en xn et
l’axe des x.
fixe
Généralisation
Autre manière de voir
Algorithme
Conditions d’utilisation
Conditions d’utilisation (suite)
n > 1
Étude des suites
Résolution d’équation
f (r + h)
f ′ (r + h)
fixe
Autre manière de voir
Algorithme
Conditions d’utilisation
Si la dérivée s’annule
Propriété de l’algorithme
n > 1
Méthode de N EWTON
Retour sur la méthode du point
on montre par récurrence
Généralisation
Autre manière de voir
Algorithme
Conditions d’utilisation
1
Si la dérivée s’annule
2n
Si la dérivée s’annule
Si la dérivée s’annule
2 K
Propriété de l’algorithme
Le point de départ doit être proche du résultat !
En dimension
n > 1
h2 f ′′ (r + th)
2 f ′ (r + h)
- p. 27/40
Méthode de N EWTON
- p. 28/40
Si la dérivée s’annule
Si ∃x ∈ IR t.q. f ′ (x) = 0
■
xx14x710xx25x811xx036 x9
cb
b
cb
cb
c b
cb
cb
cb
c b
cb
c
c
b
■
x15 x13 x12
cb
b
c b
c
x14
Méthode de N EWTON
c
b
- p. 29/40
La convergence peut
être ralentie.
La tangente peut être
parallèle à l’axe des x
(division par 0).
x0
c
b
x1
c
b
Méthode de N EWTON
Si la dérivée s’annule
- p. 30/40
Propriété de l’algorithme
Si ∃x ∈ IR t.q. f ′ (x) = 0
Méthode de N EWTON
Résolution d’équation
Conditions d’utilisation (suite)
|xn − r| <
Si la dérivée s’annule
En dimension
Étude des suites
fixe
1
2K
Si la dérivée s’annule
Si ∃x ∈ IR t.q. f ′ (x) = 0
■
n > 1
Exemple inversion d’un nombre
en choisissant x0 ∈ V et |x0 − r| <
que :
Si la dérivée s’annule
■
< K
Conditions d’utilisation (suite)
h2 f ′′ (r + th)
= r+
2 f ′ (r + h)
La convergence peut
être ralentie.
La tangente peut être
parallèle à l’axe des x
(division par 0).
Il peut y avoir un
dépassement de
capacité.
En dimension
Exemple inversion d’un nombre
Méthode de N EWTON
■
Propriété de l’algorithme
Dichotomie
f (r + th)
f ′ (r + h)
Méthode de N EWTON
Retour sur la méthode du point
h2
= f (r) = f (r + h) − hf ′ (r + h) + f ′′ (r + th)
2
f (r + h)
h2 f ′′ (r + th)
=
h
−
f ′ (r + h)
2 f ′ (r + h)
La convergence peut
être ralentie.
Si la dérivée s’annule
Pour conclure, il suffit de voir que si f est C 2 et f ′ (r) 6= 0
∃V voisinage de r et K ∈ IR tel que
′′
Généralisation
■
Si la dérivée s’annule
- p. 26/40
Dichotomie
Par la formule de Taylor ∃t ∈ [0, 1] :
|xn+1 − r| =
Si la dérivée s’annule
Conditions d’utilisation (suite)
Si xn = r + h Alors
xn+1
Conditions d’utilisation (suite)
Méthode de N EWTON
Conditions d’utilisation
0
Conditions d’utilisation
x2
- p. 25/40
= r+h−
Algorithme
rendre x0
Méthode de N EWTON
xn+1
Autre manière de voir
fin
c
b
x3
Généralisation
sinon
c
b
bc
Exemple inversion d’un nombre
≤ ε) ou (n =NMAX)
Résultat : si (n =NMAX) alors
écrire “Trop d’itérations”
rendre NaN
Propriété de l’algorithme
c
b
cb
c
b
fixe
jusqu’à (|x − x0 |
Si la dérivée s’annule
bc
Méthode de N EWTON
Retour sur la méthode du point
n←n+1
x ← x0
x0 ← x − ff′(x)
(x)
Exemple inversion d’un nombre
Si la dérivée s’annule
x4
Dichotomie
répéter
Si la dérivée s’annule
x1
Résolution d’équation
n←0
Méthode de N EWTON
Retour sur la méthode du point
En dimension
: x0 , NMAX et ε
La convergence est très rapide : Si xn est une approximation de r
avec p chiffres significatifs i.e.
kxn − rk ≤ 2−p
Alors xn+1 est une approximation de r avec environ 2p chiffres
significatifs
x0
c
b
Résolution d’équation
Dichotomie
Méthode de N EWTON
Retour sur la méthode du point
fixe
Exemple inversion d’un nombre
Généralisation
Autre manière de voir
Algorithme
x1
−2p
kxn+1 − rk ≤ 2
c
b
Conditions d’utilisation
Conditions d’utilisation (suite)
Si la dérivée s’annule
Cela reste vrai même s’il y a des erreurs d’arrondi dans le calcul de
xn .
■ On peut dire que ces méthodes corrigent leurs propres erreurs
d’arrondi.
■ Dans le calcul de la suite (xi ), seul la dernière itération doit être
faite avec toute la précision, les autres peuvent être faites avec
moins de précision. ⇒plus rapidement
■ La division a la même complexité théorique que la multiplication
- p. 31/40
Étude des suites
Méthode de N EWTON
Si la dérivée s’annule
Si la dérivée s’annule
Propriété de l’algorithme
En dimension
n > 1
- p. 32/40
En dimension n > 1
Résolution d’équation
Dichotomie
Méthode de N EWTON
En dimension n > 1
En dimension
En dimension
n > 1
n > 1
Méthode
Algorithme en dimension
n
Condition de convergence
Avantages et inconvénients
Variantes de la méthode de
N EWTON
Conclusion
En dimension n > 1
: IRn −→ IRn
−
→
→
→
x 7−→ (f1 (−
x ), . . . , fn (−
x ))
on utilise la matrice Jacobienne de f :
 ∂f1
∂f1
∂x1 (x) · · ·
∂xi (x)
 .
..
 ..
.

 ∂fi
∂fi
▽f (x). =  ∂x1 (x) · · · ∂xi (x)

..
 ..
 .
.
∂fn
∂fn
∂x1 (x) · · ·
∂xi (x)
Si f
Étude des suites
···

∂f1
∂xn (x)




∂fi
(x)

∂xn

.. 
. 
∂fn
∂xn (x)
..
.
···
···
Étude des suites
On choisit x0 suffisamment proche de r.
Dichotomie
En dimension
En dimension
On construit la matrice Jacobienne A = ▽f (x)
■
On résout le système Ay = b
■
On pose xk+1 = xk − y
En dimension
n > 1
n > 1
Méthode
Algorithme en dimension
n
Condition de convergence
Avantages et inconvénients
Variantes de la méthode de
N EWTON
Conclusion
Résolution d’équation
Dichotomie
Méthode de N EWTON
répéter
n > 1
n > 1
Algorithme en dimension
: x0 , NMAX et ε
n←0
n←n+1
x ← x0
b ← f (x)
A ← ▽f (x)
résoudre Ay = b
x0 ← x − y
jusqu’à (kx − x0 k ≤ ε) ou (n =NMAX)
Résultat : si (n =NMAX) alors
échouer
Méthode
■
En dimension
Étude des suites
Données
début
Méthode de N EWTON
On construit le vecteur f (x) = b.
Méthode de N EWTON
Algorithme en dimension n
Résolution d’équation
■
Dichotomie
- p. 34/40
Méthode
■
Résolution d’équation
En dimension n > 1
- p. 33/40
Pour calculer r
Étude des suites
n
Condition de convergence
Avantages et inconvénients
Variantes de la méthode de
N EWTON
Conclusion
En dimension
En dimension
n > 1
n > 1
Méthode
Algorithme en dimension
n
Condition de convergence
Avantages et inconvénients
Variantes de la méthode de
N EWTON
Conclusion
sinon
rendre x0
fin
En dimension n > 1
En dimension n > 1
- p. 35/40
Condition de convergence
Si
■
■
■
Avantages et inconvénients
Avantages :
Étude des suites
−
→
→
→
∃−
a ∈ IRn tel que f (−
a)= 0
Résolution d’équation
f est différentiable sur un voisinage V de a et ∀x ∈ V
k ▽ f (x) − ▽f (a)k ≤ αkx − ak
▽f (a) inversible
■
Convergence très rapide.
■
Très très rapide.
Dichotomie
Méthode de N EWTON
À chaque itération, il faut inverser la matrice ▽f (x)
Le point de départ doit toujours être au voisinage de la solution
En dimension n > 1
En dimension
n
Avantages et inconvénients
Variantes de la méthode de
■
f (xn ) − f (xn−1 )
xn − xn−1
◆
◆
= xn − f (xn )
Algorithme en dimension
La convergence n’est pas assurée.
■
Il faut choisir un point de départ « au voisinage de la solution ».
⇒Il faut connaître la fonction f
(bug du pentium)
Avantages et inconvénients
Variantes de la méthode de
■
Il faut calculer f ′ (x).
■
En dimension n, il faut inverser ▽f (xn )
En dimension n > 1
Conclusion
- p. 38/40
Conclusion
■
Étude des suites
Résolution d’équation
Dichotomie
Méthode de N EWTON
En dimension
En dimension
n > 1
n > 1
Méthode
Algorithme en dimension
n
Condition de convergence
Avantages et inconvénients
Variantes de la méthode de
N EWTON
Conclusion
xn − xn−1
f (xn ) − f (xn−1 )
Plusieurs méthodes existent
◆ Méthode de dichotomie,
+ convergence assurée
− convergence linéaire
◆ Méthode de N EWTON,
+ convergence quadratique,
− non assurée, calcul des dérivées
◆ Sécantes,
+ convergence exponentielle sans calcul des dérivées
− moins rapide que Newton
◆ Autres méthodes de point fixe,
− convergence linéaire
− choix de g
Étude des suites
Résolution d’équation
Dichotomie
Méthode de N EWTON
En dimension
En dimension
n > 1
n > 1
Méthode
Algorithme en dimension
- p. 39/40
En dimension n > 1
n
Condition de convergence
Avantages et inconvénients
Variantes de la méthode de
N EWTON
Conclusion
Pour une fonction f au moins C 3 telle que f ′ (r) 6= 0 la
convergence est exponentielle mais non quadratique.
⇒moins rapide que la méthode de
N EWTON
En dimension n > 1
n
Condition de convergence
■
N EWTON
C’est une méthode récurrente d’ordre 2 :
xn+1
n > 1
n > 1
Méthode
N EWTON
Conclusion
- p. 37/40
N’utiliser que la matrice ▽f (x0 ). On peut alors préparer la
matrice pour faciliter la résolution (décomposition PLU, voir cours
précédent).
◆ mêmes conditions d’utilisations
◆ convergence linéaire
Pour n = 1, méthode des sécantes :
on approche la dérivée de f par
Méthode de N EWTON
En dimension
Variantes de la méthode de N EWTON
■
Dichotomie
Inconvénients :
Condition de convergence
■
Résolution d’équation
n > 1
En dimension n > 1
Algorithme en dimension
■
Étude des suites
En dimension
Méthode
alors ∃η > 0 t.q. si kx0 − ak < η la méthode de N EWTON converge
vers a de façon quadratique.
- p. 36/40
- p. 40/40
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