Étude arithmétique et algorithmique de courbes de petit genre

THÈSE DE DOCTORAT D’AIX MARSEILLE
UNIVERSITÉ
UFR Sciences
Spécialité
Mathématiques
École doctorale Mathématiques et Informatique d’Aix-Marseille (ED184).
Présentée et soutenue publiquement par
Florent ULPAT ROVETTA
le Vendredi 4 Décembre 2015
Sujet :
Étude arithmétique et algorithmique de
courbes de petit genre
Directeur de thèse : Christophe Ritzenthaler
Rapporteurs :
M.René Schoof Professeur à l’Université de Rome II “Tor Vergata”
M.Jordi Guàrdia i Rúbies Professeur à l’Université Polytechnique de Catalogne
Composition du jury :
M. Christophe RITZENTHALER Prof Université Rennes 1 Directeur de thèse
M. David KOHEL Prof Univ AMU Co-directeur
M. René Schoof Prof Univ de Rome II “Tor Vergata” Rapporteur
M. Jordi Guàrdia i Rúbies Prof Univ Polytechnique de Catalogne Rapporteur
M. Renald Lercier Chercheur HDR, DGA Rennes 1 Examinateur
M. Pierrick Gaudry Prof Univ de Loraine Examinateur

Remerciements

iv REMERCIEMENTS

Table des matières
Remerciements iii
Introduction 1
I Tordues 5
1 Tordues des Variétés quasi-projectives 7
1.1 Le cas général ...................................... 7
1.1.1 Définition des objets .............................. 7
1.1.2 Lien entre classes de cohomologie et tordues ................. 9
1.2 Sur les corps finis .................................... 9
1.2.1 Réduction de H1(Galk/k,Aut(V)) lorsque kest fini ............. 9
1.2.2 Quelques résultats sur le nombre de tordues ................. 11
1.2.2.1 Un borne supérieure sur le nombre de tordues ........... 11
1.2.2.2 Conditions pour qu’il n’y ait pas de tordue ............ 11
1.3 Méthode de calcul des tordues quand Aut(V)est linéaire .............. 12
1.3.1 Calcul des tordues de V............................ 12
1.3.2 L’algorithme .................................. 14
1.3.3 Estimations de complexité de l’algorithme lorsque Aut(V)est fini . . . . . 15
1.3.3.1 Complexité du calcul des classes de cohomologie ......... 16
1.3.3.2 Complexité de l’implémentation de Hilbert 90 ........... 16
1.3.3.3 Complexité de l’algorithme dans le cas général .......... 16
1.3.3.4 Complexité de l’algorithme dans certains cas extrêmes ...... 16
2 Exemples sur les courbes 19
2.1 Le cas des courbes hyperelliptiques .......................... 19
2.1.1 Définitions ................................... 19
2.1.2 Dévissage des classes de cohomologie ..................... 20
2.1.3 Autodualité ................................... 21
2.1.3.1 Définition et critères d’auto-dualité ................. 22
2.1.3.2 Calcul de Aut0
Fq(Cα)et AutFq(Cα)................. 23
2.1.4 Test pour l’auto-dualité ............................ 24
2.1.5 Calcul du groupe des automorphismes réduits ................ 24
2.1.6 Tests de l’algorithme .............................. 26
2.2 Le cas des quartiques planes lisses .......................... 28
2.2.1 Représentation affine des automorphismes .................. 29
2.2.2 Un exemple de calcul de tordue “à la main” ................. 30
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