Rappels d`alg`ebre linéaire

Rappels d’alg`ebre lin´eaire
MP Lyc´ee Clemenceau
Table des mati`eres
I Rappel d’alg`ebre lin´eaire 2
1) Notions g´en´erales ............................................... 2
a) Familles de vecteurs .......................................... 2
b) Sommes de sous espaces vectoriels .................................. 3
2) Application lin´eaire .............................................. 5
a) Rappels et g´en´eralisations ....................................... 5
b) Forme lin´eaire ............................................. 7
c) Dimension finie ............................................. 8
3) Trace d’un endomorphisme ......................................... 9
4) Calcul matriciel ................................................ 10
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Rappel d’alg`ebre lin´eaire MP 2015-16 2
I Rappel d’alg`ebre lin´eaire
1) Notions g´en´erales
a) Familles de vecteurs
D´efinition I - 1 : Famille
Soit Eun ensemble non vide, on consid`ere Iun ensemble (non vide ), qu’on appellera ensemble d’indices.
On appelle famille d’´el´ements de Eindex´ee par Itoute application de Idans E.
On note le plus souvent (xi)i∈Icette famille, avec pour tout i∈I xi∈E.
D´efinition I - 2 : Support d’une famille
On suppose que Eest muni d’une structure admettant un ´el´ement nul (corps, espace vectoriel ...). On
consid`ere alors une famille d’´el´ements de Eindex´ee par I, (xi)i∈I. On appelle support de cette famille
l’ensemble {i∈I/xi6= 0}.
Remarque :
Une famille dont le support est fini est dite presque nulle.
Notation :
On notera EIl’ensemble des familles d’´el´ements de Eet E(I)l’ensemble des familles de support fini
d’´el´ements de E.
Pour la suite on consid`ere Eun K-espace vectoriel o`u Kest un corps de caract´eristique nulle.
D´efinition I - 3 :
Soit (xi)i∈Iune famille de vecteurs de E. On appelle combinaison lin´eaire de cette famille tout vecteur
xtel que :
∃(λi)i∈I∈E(I)/ x =X
i∈I
λixi
Remarque :
– Dans cette d´efinition la somme n’est pas infini car le support est fini. On peut aussi ´ecrire cette d´efinition
sous la forme :
∃J⊂Ifini tel que ∃(λi)i∈J∈EJ/ x =X
i∈J
λixi
– Si Aest une partie non vide de E, on dit que x∈Eest une combinaison lin´eaire de Asi c’est une
combinaison lin´eaire de la famille (x)x∈Ades ´el´ements de A.
Proposition I - 1 :
L’ensemble des combinaisons lin´eaires d’une partie non vide Ade Eest un sous espace vectoriel not´e
Vect (A).
C’est le plus petit sous espace vectoriel contenant A.
On l’appelle sous espace vectoriel engendr´e par A.

1) Notions g´en´erales MP 2015-16 3
D´efinition I - 4 : Famille libre
Soit (xi)i∈Iune famille de vecteurs de E, on dit que (xi)i∈Iest une famille libre si
∀(λi)i∈I∈K(I),X
i∈I
λixi= 0 ⇒ ∀i∈I, λi= 0
Une famille non libre est dite li´ee.
Une famille est donc libre si toute sous famille finie de cette famille est libre.
On peut voir aussi qu’une famille est li´ee si il existe une combinaison lin´eaire X
i∈I
λixi= 0 telle que (λi)i∈I∈K(I)
n’est pas la famille nulle.
On peut aussi dire qu’il existe un vecteur non nul de la famille qui est combinaison lin´eaire des autres.
D´efinition I - 5 : Famille g´en´eratrice
On dit que (xi)i∈Iest une famille g´en´eratrice de E si
∀x∈E, ∃(λi)i∈I∈K(I)/ x =X
i∈I
λixi
C’est `a dire que la famille est g´en´eratrice si et seulement si tout vecteur de Eest combinaison lin´eaire
de la famille ou encore si et seulement si Vect (xi)i∈I=E
Propri´et´e I - 1 : des sur et sous familles
Toute sur famille d’une famille g´en´eratrice est g´en´eratrice.
Toute sous famille d’une famille libre est une famille libre.
D´efinition I - 6 : Base
– Soit Bune famille non vide de vecteurs de E. On dit que cette famille est une base de Esi elle est libre
et g´en´eratrice de E.
Une famille (ei)i∈Iest donc une base si et seulement si tout vecteur de Es’´ecrit de fa¸con unique
comme combinaison lin´eaire de vecteurs de la famille B.
– Soit B= (ei)i∈Iune base de E. Par d´efinition, pour tout vecteur x∈Eil existe une unique famille
(λi)i∈I∈K(I)telle que x=X
i∈I
λiei. On appelle coordonn´ees de xdans la base Bla famille (λi)i∈I.
Exemple : La famille (Xn)n∈IN est une famille libre et g´en´eratrice de IR [X], c’est donc une base de cet espace.
Exemple : La famille (x→eax)a∈IR
b) Sommes de sous espaces vectoriels
D´efinition I - 7 :
Soit Eun K−espace vectoriel. On consid`ere (Ei)i∈Iune famille finie de sous espaces vectoriels de E.
On appelle somme de ces sous espaces vectoriels l’ensemble
X
i∈I
Ei=(x∈E / ∃(xi)i∈I∈(Ei)i∈Itel que x=X
i∈I
xi)
C’est aussi le plus petit sous espace vectoriel contenant tous les Ei, c’est donc Vect [
i∈I
Ei!.

1) Notions g´en´erales MP 2015-16 4
D´efinition I - 8 : Somme directe
Soit Eun K−espace vectoriel. On consid`ere (Ei)i∈Iune famille finie de sous espaces vectoriels de E.
La somme P
i∈I
Eiest directe si pour tout x∈P
i∈I
Ei, il existe (xi)i∈I∈(Ei)i∈Itel que x=P
i∈I
xiet tel
que cette ´ecriture soit unique.
On note alors la somme M
i∈I
Ei
Cela revient `a dire que l’application d´efinie sur Y
i∈I
Ei`a valeurs dans Ed´efinie par (xi)i∈I7→ X
i∈I
xiest
injective.
Proposition I - 2 : Caract´erisation
La somme X
i∈I
Eiest directe si et seulement si
(xi)i∈I∈(Ei)i∈IX
i∈I
xi= 0 ⇒ ∀i∈I xi= 0
ou encore si et seulement si
∀i∈I, Ei∩
X
j∈I\{i}
Ej
={0}
D´emonstration :
– On suppose que la somme est directe, soit x∈P
i∈I
Ei,on suppose qu’il existe (xi)i∈I∈(Ei)i∈Iet (x0
i)i∈I∈
(Ei)i∈Itelles que
x=X
i∈I
xi=X
i∈I
x0
i
On a alors , pour io∈I,
xio−x0
io=X
i∈I\{io}
(x0
i−xi)
le terme de gauche est un ´el´ement de Eioet celui de droite est un ´el´ement de P
i∈I\{io}
Ei,or leur intersection
est r´eduite `a O, donc c’est ´el´ement est nul. C’est `a dir que pour tout i∈I xi=x0
i.
L’´ecriture est donc bien unique.
–R´eciproque : on suppose que l’´ecriture d’un ´el´ement de P
i∈I
Eiest unique. Soit i0∈Iet x∈Eio∩
X
j∈I\{io}
Ej
.On a alors
∃(xj)j∈I\{io}∈(Ej)j∈I\{io}tel que x=X
j∈I\{io}
xj
On peut alors ´ecrire
x+X
j∈I\{io}
0 = 0 + X
j∈I\{io}
xj
on peut alors, par hypoth`ese identifier, et on obtient que x= 0.
D’o`u Eio∩ P
j∈I\{io}
Ej!={0}
– La seconde proprit´et´e est de fa¸con imm´ediate ´equivalente `a premi`ere en faisant une simple diff´erence de
deux ´ecritures de 0
Exemple : Deux sous espaces suppl´ementaires dans le cas des polynomes
Dans l’espace vectoriel K[X], le sous-espace vectoriel K[X]Pconstitu´e des multiples d’un polynome Pde degr´e
n+ 1 admet pour sous espace suppl´ementaire le sous-espace vectoriel Kn[X] constitu´e des polynomes de degr´e
inf´erieur ou ´egal `a n.

2) Application lin´eaire MP 2015-16 5
Proposition I - 3 : En dimension finie
Si Eest un espace de dimension finie alors la somme est directe si et seulement si
dim X
i∈I
Ei!=X
i∈I
dim (Ei)
D´emonstration : Pour plus de simplicit´e on suppose que I= [1, n].On consid`ere l’application de E1×.. ×En
dans L
i∈I
Ei.
C’est une application bijective si et seulement si la somme est directe (en regardant le noyau) d’o`u le r´esultat.
Corollaire I - 1 :
Si E est de dimension finie et que la somme est directe alors on a E=L
i∈I
Eisi et seulement si
dim (E) = X
i∈I
dim (Ei)
D´efinition I - 9 : Base adapt´ee `a une somme directe
Soit E un espace vectoriel de dimension finie, on consid`ere un sous espace vectoriel Fde E. Si (ei) est
une base de F, alors toute base de Etelle que les premiers vecteurs soient les (ei) est dite adapt´ee `a F.
On g´en´eralise cette notion avec : si E=L
i∈I
Eiet on consid`ere une base pour chacun des sous espaces, on
obtient ainsi une base de Eadapt´ee `a la famille des sous espaces.
Remarque :
Si (ei)i∈Iest une base de E, on a E=L
i∈I
K.ei.
Proposition I - 4 : Projecteurs associ´es
Soit (Ei) une famille de sous espaces vectoriels telle que E=Li∈IEi.On consid`ere alors les projecteurs
pid’image Eiet de noyau P
j6=i
Ej.Cette famille de projecteurs est dite associ´ee `a la somme directe et
v´erifie X
i
pi=IdEet pi◦pj= 0
2) Application lin´eaire
a) Rappels et g´en´eralisations
Th´eor`eme I - 1 :
Soit Fun Kespace vectoriel.
Soit Eun Kespace vectoriel et une famille (Ei)i∈Ifinie de sous espaces vectoriels, telle que E=L
i∈I
Ei.
Pour tout i∈I, on consid`ere uiune applications lin´eaires de Eidans F.
Il existe alors une application lin´eaire ude Edans Fet une seule telle que, pour tout i∈I,uisoit la
restriction de u`a Ei.
D´emonstration : Soit E=L
i∈I
Ei.Soit iun ensemble d’indice fini, on consid`ere uiune aplication lin´eaire de
Eidans F.
Soit x∈E, tel que x=X
i∈I
xi,on pose u(x) = X
i∈I
ui(xi).Par l’unic´et´e de l’´ecriture de x, on montre que cette
application est lin´eaire.