Rappels d`alg`ebre linéaire

Rappels d’algèbre linéaire
MP Lycée Clemenceau
Table des matières
I
Rappel d’algèbre linéaire
1) Notions générales . . . . . . . . . . . . .
a) Familles de vecteurs . . . . . . . .
b) Sommes de sous espaces vectoriels
2) Application linéaire . . . . . . . . . . . .
a) Rappels et généralisations . . . . .
b) Forme linéaire . . . . . . . . . . .
c) Dimension finie . . . . . . . . . . .
3) Trace d’un endomorphisme . . . . . . .
4) Calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . .
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2
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. 10
Rappel d’algèbre linéaire
I
2
Rappel d’algèbre linéaire
1)
a)
MP 2015-16
Notions générales
Familles de vecteurs
Définition I - 1 : Famille
Soit E un ensemble non vide, on considère I un ensemble (non vide ), qu’on appellera ensemble d’indices.
On appelle famille d’éléments de E indexée par I toute application de I dans E.
On note le plus souvent (xi )i∈I cette famille, avec pour tout i ∈ I xi ∈ E.
Définition I - 2 : Support d’une famille
On suppose que E est muni d’une structure admettant un élément nul (corps, espace vectoriel ...). On
considère alors une famille d’éléments de E indexée par I, (xi )i∈I . On appelle support de cette famille
l’ensemble {i ∈ I/xi 6= 0}.
Remarque :
Une famille dont le support est fini est dite presque nulle.
Notation :
On notera E I l’ensemble des familles d’éléments de E et E (I) l’ensemble des familles de support fini
d’éléments de E.
Pour la suite on considère E un K-espace vectoriel où K est un corps de caractéristique nulle.
Définition I - 3 :
Soit (xi )i∈I une famille de vecteurs de E. On appelle combinaison linéaire de cette famille tout vecteur
x tel que :
X
∃ (λi )i∈I ∈ E (I) / x =
λ i xi
i∈I
Remarque :
– Dans cette définition la somme n’est pas infini car le support est fini. On peut aussi écrire cette définition
sous la forme :
X
∃J ⊂ I fini tel que ∃ (λi )i∈J ∈ E J / x =
λi xi
i∈J
– Si A est une partie non vide de E, on dit que x ∈ E est une combinaison linéaire de A si c’est une
combinaison linéaire de la famille (x)x∈A des éléments de A.
Proposition I - 1 :
L’ensemble des combinaisons linéaires d’une partie non vide A de E est un sous espace vectoriel noté
Vect (A).
C’est le plus petit sous espace vectoriel contenant A.
On l’appelle sous espace vectoriel engendré par A.
1)
Notions générales
MP 2015-16
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Définition I - 4 : Famille libre
Soit (xi )i∈I une famille de vecteurs de E, on dit que (xi )i∈I est une famille libre si
∀ (λi )i∈I ∈ K(I) ,
X
λi xi = 0 ⇒ ∀i ∈ I, λi = 0
i∈I
Une famille non libre est dite liée.
Une famille est donc libre si toute sous famille finie de cette famille est libre.
X
On peut voir aussi qu’une famille est liée si il existe une combinaison linéaire
λi xi = 0 telle que (λi )i∈I ∈ K(I)
i∈I
n’est pas la famille nulle.
On peut aussi dire qu’il existe un vecteur non nul de la famille qui est combinaison linéaire des autres.
Définition I - 5 : Famille génératrice
On dit que (xi )i∈I est une famille génératrice de E si
∀x ∈ E, ∃ (λi )i∈I ∈ K(I)
/
x=
X
λi xi
i∈I
C’est à dire que la famille est génératrice si et seulement si tout vecteur de E est combinaison linéaire
de la famille ou encore si et seulement si Vect (xi )i∈I = E
Propriété I - 1 : des sur et sous familles
Toute sur famille d’une famille génératrice est génératrice.
Toute sous famille d’une famille libre est une famille libre.
Définition I - 6 : Base
– Soit B une famille non vide de vecteurs de E. On dit que cette famille est une base de E si elle est libre
et génératrice de E.
Une famille (ei )i∈I est donc une base si et seulement si tout vecteur de E s’écrit de façon unique
comme combinaison linéaire de vecteurs de la famille B.
– Soit B = (ei )i∈I une base de E. Par définition, pour tout vecteur x ∈ E il existe une unique famille
X
(λi )i∈I ∈ K(I) telle que x =
λi ei . On appelle coordonnées de x dans la base B la famille (λi )i∈I .
i∈I
Exemple : La famille (X n )n∈IN est une famille libre et génératrice de IR [X], c’est donc une base de cet espace.
Exemple : La famille (x → eax ) a ∈ IR
b)
Sommes de sous espaces vectoriels
Définition I - 7 :
Soit E un K−espace vectoriel. On considère (Ei )i∈I une famille finie de sous espaces vectoriels de E.
On appelle somme de ces sous espaces vectoriels l’ensemble
(
)
X
X
Ei = x ∈ E / ∃ (xi )i∈I ∈ (Ei )i∈I tel que x =
xi
i∈I
i∈I
!
C’est aussi le plus petit sous espace vectoriel contenant tous les Ei , c’est donc Vect
[
i∈I
Ei .
1)
Notions générales
MP 2015-16
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Définition I - 8 : Somme directe
Soit E un K−espace
vectoriel. On considère (EP
i )i∈I une famille finie de sous espaces vectoriels
P
P de E.
La somme
Ei est directe si pour tout x ∈
Ei , il existe (xi )i∈I ∈ (Ei )i∈I tel que x =
xi et tel
i∈I
i∈I
i∈I
que cette écriture soit unique.
On note alors la somme
M
Ei
i∈I
Cela revient à dire que l’application définie sur
Y
Ei à valeurs dans E définie par (xi )i∈I 7→
i∈I
X
xi est
i∈I
injective.
Proposition I - 2 : Caractérisation
X
La somme
Ei est directe si et seulement si
i∈I
X
(xi )i∈I ∈ (Ei )i∈I
xi = 0 ⇒ ∀i ∈ I xi = 0
i∈I
ou encore si et seulement si

∀i ∈ I,

X
Ei ∩ 
Ej  = {0}
j∈I\{i}
Démonstration :
P
– On suppose que la somme est directe, soit x ∈
Ei , on suppose qu’il existe (xi )i∈I ∈ (Ei )i∈I et (x0i )i∈I ∈
i∈I
(Ei )i∈I telles que
x=
X
xi =
i∈I
X
x0i
i∈I
On a alors , pour io ∈ I,
xio − x0io =
X
(x0i − xi )
i∈I\{io }
P
le terme de gauche est un élément de Eio et celui de droite est un élément de
Ei , or leur intersection
i∈I\{io }
xi = x0i .
est réduite à O, donc c’est élément est nul. C’est à dir que pour tout i ∈ I
L’écriture est donc bien unique.
P
– Réciproque : on suppose que l’écriture d’un élément de
Ei est unique. Soit i0 ∈ I et x ∈ Eio ∩
i∈I


X

Ej  . On a alors
j∈I\{io }
∃ (xj )j∈I\{io } ∈ (Ej )j∈I\{io } tel que x =
X
xj
j∈I\{io }
On peut alors écrire
x+
X
j∈I\{io }
0=0+
X
xj
j∈I\{io }
on peut alors, par hypothèse
identifier, et on obtient que x = 0.
!
P
D’où Eio ∩
Ej = {0}
j∈I\{io }
– La seconde propritété est de façon immédiate équivalente à première en faisant une simple différence de
deux écritures de 0
Exemple : Deux sous espaces supplémentaires dans le cas des polynomes
Dans l’espace vectoriel K[X], le sous-espace vectoriel K[X]P constitué des multiples d’un polynome P de degré
n + 1 admet pour sous espace supplémentaire le sous-espace vectoriel Kn [X] constitué des polynomes de degré
inférieur ou égal à n.
2)
Application linéaire
MP 2015-16
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Proposition I - 3 : En dimension finie
Si E est un espace de dimension finie alors la somme est directe si et seulement si
!
X
X
dim
Ei =
dim (Ei )
i∈I
i∈I
Démonstration
: Pour plus de simplicité on suppose que I = [1, n] . On considère l’application de E1 × .. × En
L
dans
Ei .
i∈I
C’est une application bijective si et seulement si la somme est directe (en regardant le noyau) d’où le résultat.
Corollaire I - 1 :
L
Si E est de dimension finie et que la somme est directe alors on a E =
Ei si et seulement si
i∈I
dim (E) =
X
dim (Ei )
i∈I
Définition I - 9 : Base adaptée à une somme directe
Soit E un espace vectoriel de dimension finie, on considère un sous espace vectoriel F de E. Si (ei ) est
une base de F, alors toute base de E telle
Lque les premiers vecteurs soient les (ei ) est dite adaptée à F.
On généralise cette notion avec : si E =
Ei et on considère une base pour chacun des sous espaces, on
i∈I
obtient ainsi une base de E adaptée à la famille des sous espaces.
Remarque :
L
Si (ei )i∈I est une base de E, on a E =
K.ei .
i∈I
Proposition I - 4 : Projecteurs associés
L
Soit (Ei ) une famille de sousP
espaces vectoriels telle que E = i∈I Ei . On considère alors les projecteurs
pi d’image Ei et de noyau
Ej . Cette famille de projecteurs est dite associée à la somme directe et
j6=i
vérifie
X
pi = IdE
et
pi ◦ pj = 0
i
2)
a)
Application linéaire
Rappels et généralisations
Théorème I - 1 :
Soit F un K espace vectoriel.
L
Soit E un K espace vectoriel et une famille (Ei )i∈I finie de sous espaces vectoriels, telle que E =
Ei .
i∈I
Pour tout i ∈ I, on considère ui une applications linéaires de Ei dans F .
Il existe alors une application linéaire u de E dans F et une seule telle que, pour tout i ∈ I, ui soit la
restriction de u à Ei .
Démonstration : Soit E =
L
Ei . Soit i un ensemble d’indice fini, on considère ui une aplication linéaire de
i∈I
Ei dans F.
X
X
Soit x ∈ E, tel que x =
xi , on pose u (x) =
ui (xi ) . Par l’unicété de l’écriture de x, on montre que cette
i∈I
application est linéaire.
i∈I
2)
Application linéaire
MP 2015-16
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Réciproquement si on considère une application linéaire u et si on note ui la restriction se u à Ei alors on a la
même écriture.
Remarque :
X
Si on note (pi )i∈I les projecteurs associés à la somme directe, on a, pour tout x ∈ E, u(x) =
ui (pi (x)).
i∈I
Cependant on ne devrait pas écrire u =
X
ui ◦ pi car l’espace d’arrivé de pi est E et non Ei , mais comme
i∈I
Im(pi ) = Ei on se l’autorise parfois.
Proposition I - 5 :
Caractérisation des propriétés des applications linéaires à l’aide de l’image d’une base.
Soient E et F deux K espaces vectoriels.
Soit (ei )i∈I une base de E et (fi )i∈I une famille de F .
Il existe une et une seule application linéaire de E dans F telle que ∀i ∈ I f (ei ) = fi .
On a de plus les propriétés suivantes :
a) f surjective si et seulement si (yi )i∈I génératrice de F
b) f injective si et seulement si (yi )i∈I libre
c) f bijective si et seulement si (yi )i∈I base.
Théorème I - 2 :
On considère E et F deux K espaces vecoriels.
Soit u une application linaire de E dans F , alors u définit un isomorphisme de tout supplémentaire de
ker (u) dans Im (u).
Démonstration : Soit u une application linéaire de E vers F, on suppose que ker (u) admet un supplémentaire
qu’on note G.
On considère alors l’application linéaire suivante
g:
G → Im (u)
x → u (x)
Montrons que cette application est une bijection.
Soit x ∈ ker (g) , on a alors x ∈ G et g (x) = 0. C’est à dire x ∈ G et u (x) = 0. Ce qui s’écrit encore x ∈ G et
x ∈ ker (u) .
Or, par hypothèse et définition des supplémentaires, on a G ∩ ker (u) = {0} . On en déduit que x = 0 et donc
ker (g) = {0} .
g est donc injective.
Soit y ∈ Im (u)
Corollaire I - 2 : Théorème du rang
Si E est de dimension finie alors Im(u) est de dimension finie. On dit alors que u est de rang fini et on
pose rg(u) = dim(Im(u)) et on a :
dim (E) = dim (ker (u)) + rg (u)
On retrouve alors les propriétés en dimension finie :
– si dim(E) = dim(F ) alors f est un isomorphisme si et seulement si rg(f ) = dim(E).
– le rang est invariant par isomorphisme.
Proposition I - 6 : Application : interpolation de Lagrange
2
Soit (xi )i∈[[0,n]] ∈ Kn+1 telle que pour tout couple (i, j) ∈ [[0, n]] , avec i 6= j on a xi 6= xj .
Alors pour toute famille (yi )i∈[[0,n]] ∈ Kn+1 il existe un unique polynôme P ∈ Kn [X] tel que pour tout
i ∈ [[0, n]] P (xi ) = yi
2)
Application linéaire
MP 2015-16
7
Démonstration : On considère l’application ϕ de K [X] dans Kn+1 définie par
ϕ (P ) = (P (xi ))i∈[0,n]
Cette application est linéaire et a pour noyau l’ensemble des polynômes multiples de
n
Q
(X − xj ) .
j=0
D’après l’exemple b) un supplémentaire du noyau est Kn [X] .
On en déduit d’après la proposition précédente que ϕ définie un isomorphisme de Kn [X] dans Kn+1 , d’où le
résultat.
Remarque : Polynômes de Lagrange
n
Q
X − xj
On pose pour i ∈ [0, n], Li =
. Ces polynômes vérifient Li (xi ) = 1 et Li (xj ) = 0 pour j 6= i.
j=0 xi − xj
j6=i
Ces polynômes sont appelés polynômes de Lagrange. Ils forment une base de Kn [X]. On peut alors écrire tout
polynôme sous la forme
n
X
P =
P (xi ) .Li
i=0
b)
Forme linéaire
Proposition I - 7 :
H est un hyperplan (noyau d’une forme linéaire non nulle) si et seulement si il existe une droite vectorielle
qui lui soit supplémentaire.
Démonstration : Soit ϕ une forme linéaire non nulle. Comme elle est non nulle, il existe un vecteur non nul
e tel que ϕ (e) 6= 0.Montrons que ker (ϕ) ⊕ Ke = E.
Soit x ∈ Ke ∩ ker (ϕ) , on a par définition ϕ (x) = 0 et ∃λ ∈ K tel que x = λ.e.
On a alors 0 = ϕ (λ.e) = λ.ϕ (e) et donc, comme par hypothèse ϕ (e) 6= 0, λ = 0 et par suite x = 0.
Conclusion : Ke ∩ ker (ϕ) = {0}.
Soit x ∈ E
analyse : on suppose qu’il existe x1 ∈ ker (ϕ) et λ ∈ K tel que x = x1 + λ.e.
1
On a alors ϕ (x) = λϕ (e) , et donc λ =
ϕ (x) .
ϕ (e)
ϕ(x)
ϕ(x)
ϕ(x)
On a x = x − ϕ(x)
ϕ(e) e + ϕ(e) e or x − ϕ(e) e ∈ ker (ϕ) et ϕ(e) e ∈ Ke.
Conclusion : E = ker (ϕ) + Ke.
Réciproque : soit H tel qu’il existe e ∈ E tel que H ⊕ Ke = E.
On considère alors l’application ϕ de E dans K définie par :
pour x ∈ E, ∃ (x1 , λ) ∈ H × K tel que x = x1 + λ.e, on pose alors ϕ (x) = λ.
Par unicité de l’écriture, ϕ est correctement définie et de plus elle est linéaire.
On a aussi ker (ϕ) = H
Proposition I - 8 :
Soient ϕ et ψ deux formes linéaires non nulles sur un K espace vectoriel E. On a
ker (ϕ) = ker (ψ) si et seulement si ∃k ∈ K tel que ϕ = k.ψ
Démonstration : Si ∃k ∈ K tel que ϕ = k.ψ, alors on a de façon immédiate ker (ϕ) = ker (ψ) .
Réciproquement : on considère deux forment linéaires telles que ker (ϕ) = ker (ψ).
On considère alors e ∈ E tel que ϕ (e) 6= 0. On a alors ψ (e) 6= 0 car sinon e ∈ ker (ψ) = ker (ϕ) ce qui est
absurde.
On utilise alors la décomposition précédente d’un vecteur x :
x=x−
On a ψ x −
ϕ(x)
ϕ(e) e
= 0 car on a vu que x −
ϕ(x)
ϕ(e) e
ϕ (x)
ϕ (x)
e+
e
ϕ (e)
ϕ (e)
∈ ker (ϕ) et on a ker (ϕ) = ker (ψ) par hypothèse.
2)
Application linéaire
On en déduit que ψ (x) =
MP 2015-16
8
ϕ (x)
ψ(e)
ψ (e) et donc, en posant k =
, on obtient ψ = kϕ avec k 6= 0.
ϕ (e)
ϕ(e)
Définition I - 10 : Dual
(la notion est hors programme, c’est juste pour information) Soit E un K espace vectoriel. On appelle
espace dual de E l’espace des formes linéaires définies sur E. On le note E ∗
Remarque :
Attention à ne pas confondre avec l’ensemble privé de 0.
c)
Dimension finie
Proposition I - 9 : Forme non nulle
– Pour tout vecteur non nul e ∈ E il existe une forme linéaire ϕ telle que ϕ(e) = 1.
– Seul le vecteur nul est le vecteur en le quel toutes les formes linéaires s’annulent.
Proposition I - 10 : Equation d’un hyperplan
On considère E un K -espace vectoriel de dimension finie égale à n.
Soit F une sous espace vectoriel de E.
F est un hyperplan de E si et seulement si dim (F ) = n − 1.
Si (ei )i∈[1,n] est une base de E, alors pour tout hyparplan H il existe une famille (ai )i∈[1,n] ∈ Kn telle
que
n
n
X
X
x=
xi .ei ∈ H ⇔
ai .xi = 0
i=1
i=1
et tout ensemble vérifiant une telle équation est un hyperplan.
Démonstration : On a vu que F est un hyperplan si et seulement si c’est le supplémentaire d’une droite, donc
par propriété sur les dimensions, F est un hyperplan si et seulement si il est de dimension n − 1.
Soit F un hyperplan, on considère alors ϕ une forme linéaire dont F est le noyau. D’après l’écriture dans une
base d’une application linéaire (une application linéaire est caractérisée par l’image des vecteurs d’une base de
E ) , on a l’existence de (ai )i∈[1,n] ∈ Kn tel que
ϕ (x) =
n
X
ai .xi
avec ∀i ∈ [1, n] ,
ϕ (ei ) = ai
i=1
On en déduit l’équation de l’hyperplan.
Remarque : 1. Méthode pratique : recherche d’une base d’hyperplan à partir de son équation.
On suppose par exemple que a1 6= 0, alors

Pn
x1 = − a11 k=2 ak .xk



n

x2 = x2
1 X
x1 = −
ak .xk ⇔
..

a1

.
k=2


xn = xn
 a2 
 an 


− a1
− a1
x1
 1 
 0 
 x2 










 ..  = x2  0  + .. + xn  ... 

 . 

 . 
 .. 
 0 
xn
0
1
On obtient ainsi une famille génératrice de n − 1 vecteurs, qui est donc forcément libre. C’est une base de
l’hyperplan.
3)
Trace d’un endomorphisme
MP 2015-16
9
Remarque :
1. Ecriture matricielle : dans une base donnée de E (espace vectoriel de dimension finie n).
Soit (ϕ1 , .., ϕn ) une famille de forme linéaire et (e1 , .., en ) une famille de vecteurs de E. Si ∆ est la matrice
dont les lignes sont les matrices lignes des formes linéaires, et si P est la matrice des vecteurs ei , la matrice
(ϕi (ej )) est alors ∆P .
On a alors les résultats sur le fait que ce soient des bases et la relation de dualité avec l’égalité ∆P = In .
2. Systèmes linéaires (équations linéaires en dimension finie)
Théorème I - 3 :
Si F est un sous-espace vectoriel de E de dimension p, l’ensemble des formes linéaires s’annulant sur F
est un sous-espace vectoriel de E ∗ de dimension n − p.
Théorème I - 4 :
Si B ∗ = (ϕ1 , .., ϕq ) est une famille libre de formes linéaires sur un espace vectoriel E de dimension n,
l’intersection des noyaux respectifs Hi des formes linéaires ϕi est un sous-espace vectoriel F de E de
dimension n − q. Toute forme linéaire s’annulant sur F est combinaison linéaire de (ϕ1 , .., ϕq ).
3)
Trace d’un endomorphisme
Définition I - 11 :
Soit A une matrice, élément de Mn (K). On appelle trace de A le nombre noté Tr (A) ou tr (A) et défini
par
n
X
Tr (A) =
aii
i=1
Proposition I - 11 :
L’application de Mn (K) dans K qui à A associe Tr (A) est une application linéaire.
Proposition I - 12 :
Pour toutes matrices A et B de Mn (K), on a la relation
Tr (AB) = Tr (BA)
Démonstration : On considère A et B deux matrices carrées d’ordre n, on a
Tr (AB) =
n X
n
X
i=1 k=1
aik bki =
n X
n
X
bki aik = Tr (BA)
k=1 i=1
Corollaire I - 3 :
Soit A ∈ Mn (K) et B ∈ Gln (K), alors Tr (A) = Tr B −1 .A.B
C’est à dire que deux matrices semblables ont même trace.
On remarque donc que si A est la matrice d’un endomorphisme, la trace ne change pas par changement de
base. On peut donc donner la définition suivante.
4)
Calcul matriciel
MP 2015-16
10
Définition I - 12 : Trace d’un endomorphisme
Soit E un espace vectoriel de dimension n, on considère f ∈ L (E) , on appelle trace de f la trace des
matrices de f dans n’importe quelle base.
Exemple 1. Tr (IdE ) = dim (E)
On a un cas particulier où la trace nous donne une information précise :
Proposition I - 13 : Trace d’un projecteur
Soit p un projecteur de E, espace vectoriel. On a alors l’égalité suivante :
rg (p) = Tr (g)
Démonstration : Si r est le rang de p (c’est à dire la dimension du sous espace sur le quel on projette) , alors
il existe une base de E dans la quelle la matrice de p est
Ir 0
0 0
on a alors Tr (p) = r
4)
Calcul matriciel
Définition I - 13 : Matrices équivalentes
Soient A et B deux matrices de Mn,p (K). On dit que A et B sont équivalentes si et seulement si il existe
P ∈ Gln (K) et Q ∈ Glp (K) telles que B = P −1 AQ.
Cela revient à dire que A et B sont les matrices d’une même application linéaire de Kp dans Kn dans des
bases différentes.
Proposition I - 14 : Caractérisation
Toute matrice M ∈ Mn,p de rang r est équivalente à la matrice Jr =
Ir
0r,p−r
0n−r,r
0n−r,p−r
Corollaire I - 4 :
Deux matrices de Mn,p (K) sont équivalentes si et seulement si elles ont même rang.
Définition I - 14 : Matrices semblables
Soient A et B deux matrices de Mn (K). On dit que A et B sont semblables si et seulement si il existe
P ∈ Gln (K) telle que A = P −1 BP .
Remarque : Changement de bases
Cela veut dire qu’elles sont les matrices d’un même endomorphisme de Kn dans des bases différentes.
Quelques rappels importants :
Soit E un K espace vectoriel de dimension finie égale à n. Soit B = (ei )i∈[[1,n]] une base de E.
Soit u ∈ L (E), on appelle matrice de u dans la base B la matrice MB (u) dont les colonnes sont définies
par : la j ieme colonne est la colonne des coordonnées de u(ej ) dans la base B.
Si B 0 = (fi )i∈[[1,n]] est une autre base de E, on appelle matrice de passage de la base B à la base B 0 , la
0
B
matrice PB
dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs de B 0 dans la base B.
B0 −1
B0
Si B est la matrice de u dans la base B 0 alors on a B = PB
APB
.