Savoir faire 1 : FRACTIONS Savoir faire 2 : PRIORITES

Savoir faire 1 : FRACTIONS
Exemples :
1 5
6 4
1 2 5 3
6 2 4 3
2 15
12 12
17
12
A
A
= +
× ×
= +
× ×
= +
=
2
5
3
2 5
3 1
2 15
3 3
13
3
B
B
−
= +
−
= +
−
= +
=
( ) ( )
2 ² 3
5 2
2 2 5 ² 3
2 5 5 2
2 4 5 ² 15
10 10
5 ² 2 11
10
x x
C
x x
x x
x x
C
+ −
= +
+ −
= +
× ×
+ −
= +
+ −
=
Eemples :
1 5
6 4
1 5
6 4
5
24
A
A
= ×
×
=
×
=
2
5
3
2 5
3 1
2 5
3 1
10
3
B
B
−
= ×
−
= ×
− ×
=
×
−
=
Exemples : 1 5
6 4
1 4
6 5
2
A= ÷
= ×
=
2
2
×
3 5
2
15
A
× ×
=
2
5
3
2 5
3 1
2 1
3 5
2
15
B
B
−
= ÷
−
= ÷
−
= ×
−
=
Savoir faire 2 : PRIORITES OPERATOIRES
Exemples
4 1 5 4 1 5
D'abord la multiplication
3 3 2 3 3 2
4 2 5
puis la soustraction.
3 2 6
8 5 3 1
Simplifiez la fraction
!
6 6 6 2
×
− × = − ×
×
= −
×
= − = =
(
)
(
)
2
3 5 2 3 5 ² 4 4 d'abord le carré,
= 3 5 ² 20 20 puis l
a multiplication.
5 ² 20 17 En derni
er, on réduit
x x x
x x
x x
− − = − × − +
− + −
= − + −
et on ordonne.
Savoir faire 3 : RACINE CARREE D’UN NOMBRE POSITIF
Exemples :
( )
(
)
(
)
2 2
16 4² 4 4 ² 2 ² 2 C= 3 3 ² 3 ²
A B x x x x x x
= = = = = = = =
La barre de
fraction tient
lieu de
parenthèses.
Donc, ne pas
les oublier !
Pour
additionner
deux fractions, il faut d’abord les mettre au même dénominateur :
En l’absence de parenthèses, on effectue en priorité les puissances, puis les multiplications/divisions et
en dernier
les additio
n
s/ soustractions.
Pour
m
ultiplier
deux fractions, on multiplie les
numérateurs entre eux et les dénominateurs
entre eux:
Pour diviser deux fractions, on multiplie par
l’inverse de la deuxième.
Définition : La racine carrée, c’est la réciproque du carré, c’est-à-dire si
0
a
≥
,
(
)
2
² et
a a a a
= =
.

Exemples :
75
25 3
25 3
5² 3
5 3
D
D
=
= ×
= ×
= ×
=
6
2
6
2
3
E=
=
=
180 3 80 2 125
36 5 3 16 5 2 25 5
6² 5 3 4² 5 2 5² 5
6 5 3 4 5 2 5 5
6 5 12 5 10 5 8 5
F
F
= + −
= × + × − ×
= × + × − ×
= + × − ×
= + − =
Mais ATTENTION la racine carrée d’une somme n’est pas égale à la somme des racines carrées :
Contre-exemple :
16 9 16 9 car 16 9 4 3 7 et 16 9 25 5
+ ≠ + + = + = + = =
Savoir faire 4 : IDENTITES REMARQUABLES
Exemples :
(
)
(
)
( ) ( )
2 2 2
2 2
2
2
2 5 2 2 2 5 5
4 ² 20 25
5 3 5 2 5 3 3
25 10 3 3
x x x
x x
x x x
x x
∴ + = + × × +
= + +
∴ − = − × +
= − +
( )
2
2
1 1 1
2 2 2
3 3 3
1
4 ² 9
x x x
x
∴ − + = −
= −
Savoir faire 5 : DEVELOPPEMENT ou DISTRIBUTIVITE DE LA
MULTIPLICATION SUR L’ADDITION
Exemples :
(
)
(
)
2 ² 3 2 ² 3
2 ² 2 3
2 ² 6
x x
x
x
∴ − + = − × +
= − × − ×
= − − Ici, on distribue la multiplication sur l’addition.
(
)
(
)
3 5 1 3 1 3 5 1 5
3 3 ² 5 5
3 ² 8 5
x x x x x x
x x x
x x
∴ − − = × − × − × + ×
= − − +
= − + − Double distributivité.
Ne pas oublier le double produit !
Etape de rédaction non obligatoire en 2de
Carré d’une somme :
( )
2
2 2
2
a b a ab b
+ = + +
: le carré d’une somme est égal à la somme des carrés plus le double produit.
Carré d’une différence :
( )
2
2 2
2
a b a ab b
− = − +
: le carré d’une différence est égal à la somme des carrés moins le double
produit
Produit de la somme par la différence de deux nombres :
(
)
(
)
2 2
a b a b a b
+ − = −
: le produit de la somme par la différence de deux nombres est égal à la
différence des carrés de ces deux nombres.
Propriété : La racine carrée d’un produit est égal au produit des racines carrées, de même pour le
quotient, c’est-à-dire .Si
et
a b
sont deux nombres positifs,
0
b
≠
et
a a
a b a b b
b
× = × =

( )
1 1 1 1
6 ² 2 9 6 ² 2 9
3 3 3 3
6 2 9
²
3 3 3
2
2 ² 3
3
x x x x
x x
x x
∴ − + = × − × + ×
= − +
= − +
Simple distributivité avec des fractions, même méthode.
Remarquer que distribuer la multiplication revient à transformer un produit en somme, on dit qu’on a
développé l’expression.
Ne pas oublier les règles de suppression de parenthèses !
Exemples
(
)
2 ² 3 2 ² 3
² 1
x x
x
− + + = − + +
= +
(
)
3 2 3 2
1
x x
x
− − − − = − + +
= − +
(
)
(
)
5 2 5 2
5 2
6 2
x x x x
x x
x
− − = − + −
= − +
= −
Attention encore ! Respecter les priorités opératoires !
(
)
(
)
(
)
(
)
2
1 3 1 ² 6 9 d'abord le carré, puis ...
1 ² 6 9 ...on supprime les parenthèses en suivan
t les règles
² 5 8
x x x x x
x x x
x x
∴ + − + = + − + +
= + − − −
= − − − et enfin, on réduit et on ordonne l'
expression.
( )( ) ( ) ( )( ) ( )
2
2 1 5 2 3 2 1 5 2 ² 6 9 d'abord le carré
2 ² 10 5 2 ² 12 18 puis on développe
0 ² 21 2
x x x x x x x
x x x x x
x x
∴ + − − + = + − − + +
= − + − − − −
= − − 3 et en tout dernier, on
réduit et on ordonne l'expression.
21 23 x= − −
Savoir faire 6 : EQUATION DU PREMIER DEGRE
Ce sont les équations vues en 4
e
Exemple :
(
)
(
)
3 3 5 1 2 2
3 9 5 5 2 2 On développe pour ne plus avoir de parenthèses
3 5 2 9 5 2 On transpose, les termes en à gauche et les termes constants
à droite
4 12
x x x
x x x
x x x x
x
∴ + − − = +
+ − + = +
− − = − − +
− = − On réduit
12 3 On trouve en divisant ici par 4
4
x x
−
= = −
−
Méthode :
1) Si l’expression comporte des parenthèses, on les traite. ON NE PEUT PAS RESOUDRE une
équation avec des parenthèses.
2) On transpose pour que les termes en x se retrouvent d’un côté du signe égal et les termes
constants se retrouvent de l’autre côté du signe égal.
3) On réduit
4)
On trouve
x
.
Si une paire de parenthèses est précédée du signe +, on peut supprimer ces parenthèses tout simplement.
Si une paire de parenthèses est précédée du signe -, on peut supprimer ces parenthèses et le signe – en
changeant tous les signes à l’intérieur, même celui qui n’est pas écrit.
Signe + non écrit mais sous entendu,
on le change aussi.

Avec des fractions : deux possibilités !!!
1
ere
: On garde les fractions 2
ème
: on met tout au même dénominateur pour ensuite se
débarrasser des fractions.
2 1
5
3 2
2 1 10
3 2 2
2 9
3 2
x
x
x
= −
= −
−
=
. . .
9
2
2
3
9 3 27
2 2 4
x
x x
−
=
− −
= × =
2 1 5 On met tout au même dénominateur
, c'est 6.
3 2
4 3 30 On multiplie tout par 6,
6 6 6
4 3 30 il n'y a plus de fractions
27
4 27
4
x
x
x
x x
= −
= −
= − −
= − =
Savoir faire 7 : EQUATION PRODUIT EGAL A 0
Exemples
( )
1
2 3 5 0
2
1
soit 2 3 0 ou 5 0
2
1
2 3 ou 5
2
3 1 10
ou
2 2 2
10
x x
x x
x x
x x
x
∴ + − =
+ = − =
= − =
−
= =
=
L’équation a deux solutions
3
et 10
2
−
( )
1
4 2 3 0
3
1
soit 4 0 ou 0 ou
2 3 0
3
1 3
ou ou
3 2
x x
x x
impossible x x
∴ − − + =
− = − = + =
−
= =
L’équation a deux solutions
3 1
et
2 3
−
Savoir faire 8 : INEQUATION DU PREMIER DEGRE
Une inéquation a en général, une infinité de solutions.
Exemples :
2 3
3 On divise par 2, 2 étant positif, on garde le sens de l'inégalité.
2
3 1
1 On divise par 3, 3 étant négatif, on renverse le sens de l'inégalité, devie
nt .
3
x
x
x
x
∴ ≤ −
−
≤
∴ − ≥
≤ − − ≥ ≤
−
(
)
(
)
3 3 5 1 2 2
3 9 5 5 2 2 On développe pour ne plus avoir de parenthèses
3 5 2 9 5 2 On transpose, les termes en à gauche et les termes constants à droite
4 12
x x x
x x x
x x x x
x
∴ + − − > +
+ − + > +
− − > − − +
− > − On réduit
12 3 On divise par 4, 4 étant négatif on renverse le sens de l'inégalité, >
devient < .
4
x− < = − −
−
Même méthode de résolution que pour les équations SAUF pour la dernière étape, QUAND ON DIVISE
PAR UN NOMBRE NEGATIF, ON RENVERSE LE SENS DE L’INEGALITE.
On utilise la propriété bien connue :
«
UN PRODUIT EST NUL SI ET SEULEMENT SI AU
MOINS UN DES FACTEURS EST NUL
» .