Savoir faire 1 : FRACTIONS Savoir faire 2 : PRIORITES

Savoir faire 1 : FRACTIONS
Pour additionner deux fractions, il faut d’abord les mettre au même dénominateur :
Exemples :
Pour multiplier deux fractions, on multiplie les
numérateurs entre eux et les dénominateurs
entre eux:
Eemples :
1 5
A= ×
6 4
1× 5
=
6× 4
5
A=
24
−2
×5
3
−2 5
=
×
3 1
−2 × 5
=
3 ×1
−10
B=
3
B=
La barre de
fraction tient
lieu de
parenthèses.
Donc, ne pas
les oublier !
x + 2 x² − 3
+
C=
5
2
2 ( x + 2 ) 5 ( x ² − 3)
=
+
2×5
5× 2
2 x + 4 5 x ² − 15
=
+
10
10
5 x ² + 2 x − 11
C=
10
−2
+5
B=
3
−2 5
=
+
3 1
−2 15
=
+
3
3
13
B=
3
1 5
A= +
6 4
1× 2 5 × 3
=
+
6× 2 4×3
2 15
= +
12 12
17
A=
12
Pour diviser deux fractions, on multiplie par
l’inverse de la deuxième.
Exemples :
−2
÷5
3
−2 5
=
÷
3 1
−2 1
=
×
3 5
−2
B=
15
1 5
÷
6 4
1 4
= ×
6 5
2 ×2
=
2 × 3× 5
A=
A=
B=
2
15
Savoir faire 2 : PRIORITES OPERATOIRES
En l’absence de parenthèses, on effectue en priorité les puissances, puis les multiplications/divisions et
en dernier les additions/ soustractions.
Exemples
4 1 5 4 1× 5
− × = −
3 3 2 3 3× 2
4× 2 5
=
−
3× 2 6
8 5 3
= − = =
6 6 6
3 − 5 ( x − 2 ) = 3 − 5 × ( x ² − 4 x + 4 ) d'abord le carré,
2
D'abord la multiplication
puis la soustraction.
= 3 − 5 x ² + 20 x − 20
puis la multiplication.
= −5 x ² + 20 x − 17
En dernier, on réduit
et on ordonne.
1
Simplifiez la fraction !
2
Savoir faire 3 : RACINE CARREE D’UN NOMBRE POSITIF
Définition : La racine carrée, c’est la réciproque du carré, c’est-à-dire si a ≥ 0 ,
Exemples : A = 16 = 4² = 4
B = 4 x² =
(2x) ² = 2x
( 3x ) = ( 3 )
2
C=
a ² = a et
2
( a)
x ² = 3x²
2
=a .
Propriété : La racine carrée d’un produit est égal au produit des racines carrées, de même pour le
quotient, c’est-à-dire .Si a et b sont deux nombres positifs, b ≠ 0
D = 75
Exemples :
= 25 × 3
E=
6
2
=
6
2
= 25 × 3
= 5² × 3
a × b = a × b et
a
a
=
b
b
F = 180 + 3 80 − 2 125
= 3
= 36 × 5 + 3 16 × 5 − 2 25 × 5
= 6² × 5 + 3 4² × 5 − 2 5² × 5
= 6 5 + 3× 4 5 − 2 × 5 5
D=5 3
= 6 5 + 12 5 − 10 5
F =8 5
Mais ATTENTION la racine carrée d’une somme n’est pas égale à la somme des racines carrées :
Contre-exemple : 16 + 9 ≠ 16 + 9 car 16 + 9 = 4 + 3 = 7 et
16 + 9 = 25 = 5
Savoir faire 4 : IDENTITES REMARQUABLES
Ne pas oublier le double produit !
Carré d’une somme :
(a + b)
2
= a 2 + 2ab + b 2 : le carré d’une somme est égal à la somme des carrés plus le double produit.
Carré d’une différence :
(a − b)
2
= a 2 − 2ab + b 2 : le carré d’une différence est égal à la somme des carrés moins le double
produit
Produit de la somme par la différence de deux nombres :
( a + b )( a − b ) = a 2 − b 2 : le produit de la somme par la différence de deux nombres est égal à la
différence des carrés de ces deux nombres.
Exemples :
∴
( 2 x + 5)
= ( 2 x ) + 2 × 2 x × 5 + 52
2
2
= 4 x ² + 20 x + 25
∴
(5 −
3x
)
2
= 52 − 2 × 5 3 x +
(
3x
)
2
1 
1
2

1
∴  2 x −  2 x +  = ( 2 x ) −  
3 
3

 3
1
= 4x² −
9
2
= 25 − 10 3 x + 3 x 2
Savoir faire 5 : DEVELOPPEMENT ou DISTRIBUTIVITE DE LA
MULTIPLICATION SUR L’ADDITION
Exemples :
∴ − 2 ( x ² + 3) = −2 × ( x ² + 3)
= −2 × x ² − 2 × 3
Etape de rédaction non obligatoire en 2de
Ici, on distribue la multiplication sur l’addition.
= −2 x ² − 6
∴
( 3x − 5)(1 − x ) = 3x ×1 − 3x × x − 5 ×1 + 5 × x
= 3x − 3x² − 5 + 5 x
= −3 x ² + 8 x − 5
Double distributivité.
1
1
1
1
( 6x² − 2x + 9) = × 6x² − × 2x + × 9
3
3
3
3
6
2
9
Simple distributivité avec des fractions, même méthode.
= x² − x +
3
3
3
2
= 2 x² − x + 3
3
Remarquer que distribuer la multiplication revient à transformer un produit en somme, on dit qu’on a
développé l’expression.
Ne pas oublier les règles de suppression de parenthèses !
∴
Si une paire de parenthèses est précédée du signe +, on peut supprimer ces parenthèses tout simplement.
Si une paire de parenthèses est précédée du signe -, on peut supprimer ces parenthèses et le signe – en
changeant tous les signes à l’intérieur, même celui qui n’est pas écrit.
Exemples
−2 + ( x ² + 3) = −2 + x ² + 3
−3 − ( −2 − x ) = −3 + 2 + x
= x² + 1
5 x − ( 2 − x ) = 5 x − ( +2 − x )
= 5x − 2 + x
= −1 + x
= 6x − 2
Signe + non écrit mais sous entendu,
on le change aussi.
Attention encore ! Respecter les priorités opératoires !
∴
∴
( x + 1) − ( x + 3)
2
= ( x + 1) − ( x ² + 6 x + 9 ) d'abord le carré, puis ...
= x + 1 − x² − 6 x − 9
...on supprime les parenthèses en suivant les règles
= − x² − 5x − 8
et enfin, on réduit et on ordonne l'expression.
( 2 x + 1)( x − 5) − 2 ( x + 3)
2
= ( 2 x + 1)( x − 5 ) − 2 ( x ² + 6 x + 9 )
d'abord le carré
= 2 x ² − 10 x + x − 5 − 2 x ² − 12 x − 18
puis on développe
= 0 x ² − 21x − 23
et en tout dernier, on réduit et on ordonne l'expression.
= −21x − 23
Savoir faire 6 : EQUATION DU PREMIER DEGRE
Ce sont les équations vues en 4e
Méthode :
1) Si l’expression comporte des parenthèses, on les traite. ON NE PEUT PAS RESOUDRE une
équation avec des parenthèses.
2) On transpose pour que les termes en x se retrouvent d’un côté du signe égal et les termes
Exempleconstants
:
se retrouvent de l’autre côté du signe égal.
3) On réduit
4) On trouve x.
∴ 3 ( x + 3) − 5 ( x − 1) = 2 x + 2
3x + 9 − 5 x + 5 = 2 x + 2
3 x − 5 x − 2 x = −9 − 5 + 2
− 4 x = −12
x=
−12
=3
−4
On développe pour ne plus avoir de parenthèses
On transpose, les termes en x à gauche et les termes constants à droite
On réduit
On trouve x en divisant ici par − 4
Avec des fractions : deux possibilités !!!
1ere : On garde les fractions
2
x=
3
2
x=
3
2
x=
3
...
1
−5
2
1 10
−
2 2
−9
2
−9
x= 2
2
3
−9 3
x=
×
2 2
x=
−27
4
2ème : on met tout au même dénominateur pour ensuite se
débarrasser des fractions.
2
1
x = −5
On met tout au même dénominateur, c'est 6.
3
2
4
3 30
x= −
On multiplie tout par 6,
6
6 6
4 x = 3 − 30
il n'y a plus de fractions
4 x = −27
x=
−27
4
Savoir faire 7 : EQUATION PRODUIT EGAL A 0
On utilise la propriété bien connue : « UN PRODUIT EST NUL SI ET SEULEMENT SI AU
MOINS UN DES FACTEURS EST NUL » .
Exemples
1

x − 5 = 0
2

1
soit 2 x + 3 = 0
ou x − 5 = 0
2
1
2 x = −3 ou
x=5
2
−3
1
10
x=
x=
ou
2
2
2
x = 10
3
L’équation a deux solutions − et 10
2
∴
( 2 x + 3) 
1

− 4  x −  ( 2 x + 3) = 0
3

1
soit − 4 = 0
ou x − = 0
3
1
ou
impossible
x=
3
∴
L’équation a deux solutions −
ou
2x + 3 = 0
ou
x=
−3
2
3
1
et
2
3
Savoir faire 8 : INEQUATION DU PREMIER DEGRE
Même méthode de résolution que pour les équations SAUF pour la dernière étape, QUAND ON DIVISE
PAR UN NOMBRE NEGATIF, ON RENVERSE LE SENS DE L’INEGALITE.
Une inéquation a en général, une infinité de solutions.
Exemples :
∴ 2 x ≤ −3
−3
On divise par 2, 2 étant positif, on garde le sens de l'inégalité.
x≤
2
∴ − 3x ≥ 1
1
x≤
On divise par − 3, − 3 étant négatif, on renverse le sens de l'inégalité, ≥ devient ≤ .
−3
∴ 3 ( x + 3) − 5 ( x − 1) > 2 x + 2
3x + 9 − 5 x + 5 > 2 x + 2
3 x − 5 x − 2 x > −9 − 5 + 2
− 4 x > −12
x<
−12
=3
−4
On développe pour ne plus avoir de parenthèses
On transpose, les termes en x à gauche et les termes constants à droite
On réduit
On divise par − 4, −4 étant négatif on renverse le sens de l'inégalité, > devient < .