Tout ce que vous avez toujours voulu savoir sur les règles de calcul… Priorités opératoires : Règle : Dans un calcul comportant plusieurs opérations, je dois : 1. 2. 3. 4. m'occuper d'abord des parenthèses. puis des puissances puis effectuer les multiplications et les divisions. enfin je dois faire les additions et les soustractions. Lorsque aucune opération n'est prioritaire sur une autre (par exemple une addition suivi d'une soustraction), je dois alors effectuer le calcul en partant de la gauche comme si je le lisais. EXEMPLE : 2 + 3x7 = 2 + 21 = 23 3/2/5 – 6 = 1,5/5 – 6 = 0,3 – 6 = - 5,7 Pièges et parenthèses… La distributivité : a(b + c) = ab + ac La double distributivité : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd La « fausse » distributivité ou les parenthèses inutiles …. FAIRE : a + (b + c) = a + b + c FAIRE : a(bxc) = axbxc = abc NE PAS FAIRE : a + (b + c) = a + b + a + c NE PAS FAIRE : ax(bxc) = axbxaxc Parfois, pour imposer une étape de calcul comme prioritaire, on ajoute des parenthèses ; l’addition, comme la multiplication, sont des opérations associatives, c'est-à-dire : on peut regrouper les calculs dans l’ordre qui nous arrange (souvent dans un but de les simplifier). Ces deux opérations sont aussi commutatives, c'est-à-dire que le résultat ne change pas si on permute les différents facteurs : 2 + 5 = 5 + 2 et 2 x 3 = 3 x 2. EXEMPLE : 1 3 1 3 + 5+ = 5+ + = 5+ 2 = 7 2 2 2 2 Fractions Règle 1 : additionner (ou soustraire) deux fractions ayant le même dénominateur. Pour calculer la somme (ou la différence) de deux fractions il faut qu’elles aient le même dénominateur, puis : o o on additionne (ou on soustrait) les deux numérateurs. on conserve leur dénominateur commun. Autrement dit : a c ad cb ad cb b d bd db bd Règle 2 : Multiplier (ou diviser ) deux fractions. Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs et on multiplie les dénominateurs. Autrement dit : a c ac b d bd Cas particulier d’une fraction et d’un nombre : c a c a ac b 1 b b Diviser par un nombre c’est multiplier par son inverse : a b a d ad c b c bc d Règle 3 : simplifier des fractions. Attention à la position du « = » : a c ac a b b b c a b a1 a c b c bc Simplifier une fraction c’est utiliser les règles 2 et 3 « à l’envers ». o On ne peut simplifier une fraction que lorsqu’il y a des multiplications (quitte à faire une mise en facteur) FAIRE : o n 2 2 n² 5 5n NE PAS FAIRE : n 2 12 n² 5 n 5 On peut « casser » une fraction par le bas pas par le haut FAIRE : … n 3 n 3 3 1 n n n n NE PAS FAIRE : n n n n 3 n 3 Ma calculatrice connait les règles opératoires, sait faire des calculs avec les fractions (sous réserve que je lui pose la bonne question !!!) o Trouver une valeur approchée près de 5 1 2 FAIRE : : NE PAS FAIRE : Puissances Convention : Pour tout réel a non nul, on a : a0 = 1 « 00 » n’existe pas !!!! a et b sont des nombres réels, m et n sont des entiers relatifs (). Pour les règles qui suivent il faut parfois ajouter a ou b non nuls, ainsi que m ou n non nul, ou positif, pour ne pas effectuer un calcul illicite (division par 0 …) Définition : Définition d’une puissance : cas d’un exposant positif : an a a a a a...... a n facteurs a cas d’un exposant négatif : a n 1 a a a a a...... a n facteurs a Règle 1 : Produit et quotient de puissances d’un même nombre an x am = an + m : on ajoute les exposants an 1 an m mn : on soustrait les exposants m a a Règle 2 : Puissance de puissance a n m anm anm : on multiplie les exposants Règle 3 : La distributivité de l’exposant par rapport à la multiplication et à la division a b n an bn anbn n a an n b b o Petite astuce : on change le signe de la puissance chaque fois que l’on change « d’étage ». Un peu de gymnastique …. a5 1 b7 5 7 a b b7 a 5b7 a 5 Racines carrées Définition : Lorsque a est un nombre positif, a désigne le seul nombre positif dont le carré est égal à a. a et b sont deux nombres réels positifs (qui pourront être non nuls si besoin est), n est un entier relatif. Règle 1 : Racine carré et multiplication Si on n’a pas de renseignement sur a b a b an Résultat pratique : o a n en particulier : a²b a b ou encore : a² a 2 a6b3c7 le signe de a, la règle générale est : a a² a a b b² c c 3 2 3 2 a3bc3 bc …… Pour « sortir » de la racine carrée le nombre doit « perdre » son carré … Règle 2 : Racine carrée et quotient a a b b Règle 3 : Racine carrée et addition Il n’y a pas de règle de calcul, on ne peut rien faire (de manière générale). Donc éviter d’en inventer une… FAIRE : Rien NE PAS FAIRE : a² b² a b Règle 4 : La quantité conjuguée Pour présenter un résultat final sous forme d’une fraction, on s’arrange toujours pour que celle-ci soit irréductible, et ne présente pas de radicaux au dénominateur. o Racine « toute seule » : o Racine « accompagnée » : a b b b c a b a b b c a b a b a b ac c b a² b a b s’appelle la quantité conjuguée de a b Inéquations et opérations Règle 1 : Inégalité et addition ou sous traction On ne change pas le sens d’une inéquation si on ajoute ou soustrait aux deux membres de l’inéquation un même nombre. a<ba+c<b+c a<ba–c<b–c Règle 2 : Inégalité et multiplication ou division o On ne change pas le sens d’une inéquation en multipliant ou divisant ses deux membres par un même nombre strictement positif. a < b ac < bc a<b o a b c c où c > 0 et On change le sens d’une inéquation en multipliant ou divisant ses deux membres par un même nombre strictement négatif. a < b ac > bc a<b a b c c où c < 0 et Règle 3 : Et avec deux inégalités… o On peut ajouter membre à membre deux inégalités de même sens : a b a c b d c d FAIRE : o ab a d b c c d c d d c NE PAS FAIRE : a b a c b d c d On peut multiplier membre à membre deux inégalités de même sens sous réserve qu’elles aient tous leurs membres strictement positifs. 0 a b a c bd 0 c d