contre-exemples

BP - ESPACES PREHILBERTIENS :
CONTRE-EXEMPLES
Soit Eun espace vectoriel sur K=Rou C, muni d’un produit scalaire ou hermitien noté < , >.
L’orthogonal d’un sous-espace Fde Esera noté F⊥. Donc
F⊥={y∈E|∀x∈F < y, x >= 0}.
En particulier
E⊥={0}et {0}⊥=E .
On étudie les propriétés valables dans un espace de dimension quelconque, et on donne des contre-
exemples pour celles qui ne sont vraies de manière générale qu’en dimension finie ou dans un espace
de Hilbert.
I Propriétés ensemblistes
Soit Fet Gdeux sous-espaces de E. On a les propriétés suivantes :
1F⊂Gimplique G⊥⊂F⊥
2(F+G)⊥=F⊥∩G⊥
3F⊂F⊥⊥
4F∩F⊥={0}
5F⊥=F⊥⊥⊥
6F⊥+G⊥⊂(F∩G)⊥
7(F∩G)⊥⊥ ⊂F⊥⊥ ∩G⊥⊥
8F⊥⊥ +G⊥⊥ ⊂(F+G)⊥⊥
9(F⊥∩G⊥)⊥⊥ =F⊥∩G⊥
10 (F⊥+F⊥⊥)⊥={0}
11 F=G⊥implique F=F⊥⊥
12 Si F+G=E, alors F⊥∩G⊥={0}
13 Soit Fet Gsupplémentaires et orthogonaux. Alors F=G⊥,G=F⊥,F⊥⊥ =Fet G⊥⊥ =G
14 Si F+F⊥=E, alors F=F⊥⊥
Par convention dans les démonstrations de ces propriétés, fdésignera un élément de F,f′un élément
de F⊥,f′′ un élément de F⊥⊥, etc. . .
1) Si Fest inclus dans G, et si g′est dans G⊥, alors < g′, g > est nul pour tout gde G, donc < g′, f >
sera nul pour tout fde F, et donc g′est dans F⊥d’où l’inclusion voulue.
2) Comme Fet Gsont inclus dans F+G, on a déjà, d’après 1)
(F+G)⊥⊂F⊥et (F+G)⊥⊂G⊥,

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d’où
(F+G)⊥⊂F⊥∩G⊥.
Réciproquement, soit x′dans F⊥∩G⊥, alors
< x′, f +g >=< x′, f > +< x′, g >
est nul quels que soient fdans Fet gdans G. Il en résulte que x′appartient à (F+G)⊥, ce qui donne
l’inclusion inverse.
3) Soit fdans F. Pour tout f′de F⊥on a donc
< f′, f >= 0 ,
ce qui signifie que fappartient à F⊥⊥.
4) Si fappartient à F∩F⊥, on a en particulier
< f, f >= 0
ce qui montre que fest nul.
5) D’après 3) et 1), puisque Fest inclus dans F⊥⊥, on en déduit que
F⊥⊥⊥ ⊂F⊥.
Si l’on applique 3) à F⊥, on a aussi
F⊥⊂F⊥⊥⊥ .
Finalement on a l’égalité.
6) Soit f′+g′dans F⊥+G⊥et xdans F∩G. On a
< f′+g′, x >=< f ′, x > +< g′, x >= 0 .
Donc f′+g′appartient à (F∩G)⊥, d’où l’inclusion voulue.
7) D’après 6) et 1)
(F∩G)⊥⊥ ⊂(F⊥+G⊥)⊥,
et d’après 2)
(F⊥+G⊥)⊥=F⊥⊥ ∩G⊥⊥ .
8) D’après 6)
F⊥⊥ +G⊥⊥ ⊂(F⊥∩G⊥)⊥,
et d’après 2)
(F⊥∩G⊥)⊥= (F+G)⊥⊥ .

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9) D’après 2) et 5)
(F⊥∩G⊥)⊥⊥ = (F+G)⊥⊥⊥ = (F+G)⊥=F⊥∩G⊥.
10) D’après 2) et 4)
(F⊥+F⊥⊥)⊥=F⊥⊥ ∩F⊥⊥⊥ =F⊥⊥ ∩(F⊥⊥)⊥={0}.
11) Si F=G⊥, alors
F⊥⊥ =G⊥⊥⊥ =G⊥=F .
12) Si F+G=E, alors, d’après 2)
{0}=E⊥= (F+G)⊥=F⊥∩G⊥.
13) Si Fet Gsont orthogonaux, on a donc Ginclus dans F⊥et Finclus dans G⊥. Soit f′dans F⊥.
Comme F+G=E, on a f′=f+g. Alors f′−gest dans F⊥, mais ce vecteur est égal à fqui est
dans F. Il appartient donc à F∩F⊥et il en résulte qu’il est nul. Donc
f′−g=f= 0 ,
ce qui montre que f′et gsont égaux, donc que F⊥est inclus dans G. On a bien égalité.
Par symétrie du problème, on a également
G⊥=F
et d’après 11)
F⊥⊥ =Fet G⊥⊥ =G .
14) C’est une conséquence évidente de 13) avec G=F⊥.
Cas de la dimension finie
En dimension finie, on a égalité dans 3, 6, 7, 8.
3) En utilisant une base orthonormée
dim F+ dim F⊥= dim E ,
et Fet F⊥sont supplémentaires. Alors
dim F⊥⊥ = dim E−dim F⊥= dim E−(dim E−dim F) = dim F ,
et, puisque Fest inclus dans F⊥⊥, ils sont égaux.
6) D’après 2)
(F+G)⊥⊥ = (F⊥∩G⊥)⊥,

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et, d’après l’égalité de 3)
(F+G)⊥⊥ =F+G .
Donc
F+G= (F⊥∩G⊥)⊥.
En remplaçant Fet Gpar leur orthogonal, on a alors
F⊥+G⊥= (F⊥⊥ ∩G⊥⊥)⊥= (F∩G)⊥.
Les égalités dans 7) et 8) sont alors évidentes.
En fait la propriété
F+F⊥=E
est vraie dès que Fest de dimension finie. Il suffit de prendre une base orthonormée (e1,...,ep)de F,
et de poser, si xest dans E,
y=< x, e1> e1+···+< x, ep> ep.
On obtient un élément de F, et x−yest orthogonal aux eidonc à F. On a alors
x=y+ (x−y),
ce qui montre que
F+F⊥=E .
Remarque : cette égalité est vraie de manière plus générale si Fest complet en prenant une base
hilbertienne.
Si Fest de codimension finie, il existe un supplémentaire de Fcontenant F⊥et il en résulte que F⊥
est de dimension finie et donc que F⊥et F⊥⊥ sont supplémentaires. Mais on peut avoir
dim F⊥<codim F .
II Propriétés topologiques
15 F⊥= (F)⊥
16 F⊥est fermé
17 F⊥+F⊥⊥ est fermé
15) Comme Fest inclus dans F, l’ensemble (F)⊥est inclus dans F⊥.
Inversement, si fest dans F, soit (fn)une suite d’éléments de Fqui converge vers f. Si f′appartient
àF⊥alors < f′, fn>est nul pour tout n, et donc sa limite, qui n’est autre que < f′, f >, également.
Donc f′appartient à (F)⊥, ce qui donne l’inclusion inverse. On a donc bien égalité.
16) Si (f′
n)est une suite d’éléments de F⊥qui converge vers f′, et si fest dans F, alors < f′
n, f > est
nul pour tout n, et donc sa limite, qui n’est autre que < f ′, f >, également. Donc f′est dans F⊥qui

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est bien fermé.
17) Les ensembles F⊥et F⊥⊥ sont fermés, donc leur somme également.
Cas de la dimension finie
En dimension finie, tout sous-espace est fermé. En particulier tout sous-espace fermé est l’orthogonal
d’un autre sous-espace qui est alors F⊥. D’autre part, si Fest fermé, et si F⊥est réduit à 0, alors
F=E.
III Quelques équivalences
Proposition Dans Eles propriétés suivantes sont équivalentes :
(1) pour tout sous-espace Fde E, on a
F⊥+F⊥⊥ =E;
(2) pour tout sous-espace Fde E, l’égalité F=F⊥⊥ implique
F⊥+F⊥⊥ =E .
(1) implique (2) de manière évidente. Inversement, si (2) est vraie, on l’applique à F⊥qui vérifie
F⊥=F⊥⊥⊥
et l’on a
F⊥⊥ +F⊥=F⊥⊥ +F⊥⊥⊥ =E .
Proposition Considérons les propriétés suivantes
(3) pour tout sous-espace fermé Fde E, l’égalité F⊥={0}implique que Fest égal à E;
(4) pour tout sous-espace fermé Fde E, il existe Gtel que Fet G⊥soient égaux.
Alors (3) implique (1) et (2). D’autre part (1) et (4) implique (3).
Si (3) a lieu, comme F⊥+F⊥⊥ est fermé et puisque l’on a
(F⊥+F⊥⊥)⊥={0},
on en déduit que
F⊥+F⊥⊥ =E ,
donc (1) et (2).