Chapitre 3 Théorie générale de l`intégration

Chapitre 3
Th´eorie g´en´erale de l’int´egration
3.1 Fonctions mesurables
3.1.1 D´efinitions
D´efinition 3.1.1. Soient (X, A)et (Y, B)deux espaces mesurables. Une fonction f:X→Yest dite
mesurable si
∀B∈ B, f−1(B)∈ A.
Remarque : une fonction constante est mesurable par rapport `a n’importe quelle tribu.
Proposition 3.1.2. Soit (X, A)et (Y, B)deux espaces mesurables. Soit Fune famille engendrant B. Alors
une fonction f:X→Yest mesurable ssi
∀B∈ F, f−1(B)∈ A.
D´emonstration. Soit
C={B⊂Y;f−1(B)∈ A}.
Exo: c’est une σ-alg`ebre. Elle contient Fdonc elle contient B. cqfd.
Remarque : si Yest topologique on prend par d´efaut comme tribu B=B(Y). Dans ce cas il suffit donc
de v´erifier que l’image r´eciproque d’un ouvert est mesurable. Ysera la plupart du temps l’un de ces espaces
topologiques :
Y=R,C,[0,+∞],[−∞,+∞]
De mani`ere ´evidente, une fonction f:X→Rou [0,+∞] est mesurable ssi elle l’est en tant que fonction `a
valeurs dans [−∞,+∞] (preuve: topologie induite).
Proposition 3.1.3. Les bor´eliens de [−∞,+∞]sont engendr´es par les intervalles ]a, +∞],a∈R.
D´emonstration. Comme pour le cas de R, les ouverts de [−∞,+∞] sont r´eunion disjointe d´enombrable de
leurs composantes connexes, qui sont des intervalles ouverts de [−∞,+∞], c-`a-d du type
[−∞, b[,]a, b[,]a, +∞], a, b ∈R.
Pour tout a, b ∈Ron a [−∞, b[= ∪n]b−1/n, +∞]c,]a, b[=]a, +∞]∩[−∞, b[,cqfd.
Corollaire 3.1.4. Soit (X, A)un espace mesurable. Une fonction f:X→[−∞,+∞]est mesurable si et
seulement si
∀a∈R,{f > a}:= {x∈X;f(x)> a}∈A.
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16 CHAPITRE 3. TH ´ EORIE G ´ EN ´ ERALE DE L’INT ´ EGRATION
D´efinition 3.1.5. Soient Xet Ydeux espaces topologiques. Une fonction f:X→Yest dite bor´elienne si
et seulement si
∀B∈ B(Y), f−1(B)∈ B(X).
Proposition 3.1.6. Une fonction continue entre deux espaces topologiques est bor´elienne.
3.1.2 Composition de fonctions mesurables
Proposition 3.1.7. Soient (X, A),(Y, B)et (Z, C)trois espaces mesurables, f:X→Yet g:Y→Z
mesurables. Alors g◦f:X→Zest mesurable.
D´emonstration. ´ Evident.
D´efinition 3.1.8. Si f:X→Ron d´efinit f+= max(f, 0) et f−= max(−f, 0). On a |f|=f++f−et f=
f+−f−
Corollaire 3.1.9. Soit (X, A)un espace mesurable.
(1) La somme, le produit, de fonctions mesurables, `a valeurs dans R,Cou [0,+∞], est mesurable.
(2) Si fn:X→[−∞,+∞]sont mesurables, alors sup(fn)et inf(fn)sont mesurables.
(3) Si f:X→Rest mesurable, alors f+et f−sont mesurables.
(4) f:X→Cest mesurable si et seulement si Re(f)et Im(f)sont mesurables.
(5) Si f:X→Cest mesurable, alors |f|est mesurable.
D´emonstration. (1) : l’addition est continue sur R,Cet [0,+∞]. La multiplication est continue sur Ret C.
Elle ne l’est pas sur [0,+∞], cependant elle l’est sur ]0,+∞], donc pour tout a∈[0,+∞[,
{(x, y)∈[0,+∞]2;x×y > a}={(x, y)∈]0,+∞]2;x×y > a}
est ouvert.
(2) : si a∈R,
{sup(fn)> a}=∪n{x∈X;fn(x)> a}
{inf(fn)> a}=∪k∩n{x∈X;fn(x)> a + 1/k}
(3) et (5) : d´ecoule de (1) et (2).
(4) : si f:X→Cest mesurable, ses parties r´eelles et imaginaires le sont car z→Re(z) et z→Im(z) ont
continues. R´eciproque : utiliser (1).
(5) : le module complexe est une fonction continue.
Corollaire 3.1.10. Soit Xun espace topologique, muni de sa tribu bor´elienne. La borne inf´erieure et la
borne sup´erieure d’une famille (mˆeme non d´enombrable) de fonctions continues de X→Rou [−∞,+∞]est
bor´elienne.
D´emonstration. Soit (fi)i∈Iune famille de fonctions continues sur X. Soit Fleur borne sup et fleur borne
inf. Pour tout a∈R, on a
F−1(]a, +∞]) = {x∈X;∃i∈I, fi(x)> a}=∪i∈If−1
i(]a, +∞) = r´eunion d’ouverts = ouvert ∈ B(X),
f−1([−∞, a]) = {x∈X;∀i∈I, fi(x)≤a}=∩i∈If−1
i([−∞, a]) = intersection de ferm´es = ferm´e ∈ B(X).

3.2. INT ´ EGRALE DES FONCTIONS ´ ETAG ´ EES 17
3.1.3 Limites de fonctions mesurables
Th´eor`eme 3.1.11. Soit (X, A)un espace mesurable, Yun espace m´etrique. Soit fn:X→Yune suite de
fonctions mesurables, convergent simplement vers une limite f:X→Y. Alors fest mesurable.
D´emonstration. Soit Uun ouvert de Y. Soit d(·, Uc) la fonction distance `a Uc, d´efinie pour y∈Ypar
d(y, Uc) = inf{d(x, y); x∈Uc}.
On rappelle que c’est une fonction continue, donc chaque d(fn, Uc):X→R+est mesurable. Comme Uest
ouvert, f(x)∈Ussi d(f(x), Uc)>0. Cela ´equivaut `a ce que d(fn(x), Uc) soit plus grande qu’une certaine
constante >0 `a partir d’un rang. Donc
f−1(U) = ∪k∈N∗∪l∈N∩n≥l{d(fn, F )≥1/k} ∈ A.
D´efinition 3.1.12. Si unest une suite d’´elements de [−∞,+∞], on d´efinit
lim sup
n→+∞
un:= lim
n→+∞sup
k≥n
uket lim inf
n→+∞un:= lim n→+∞inf
k≥nuk.
D´emonstration de l’existence des limites. La suite vn:= supk≥nukest d´ecroissante, donc est convergente dans
[−∞,+∞]. La suite wn:= infk≥nukest croissante, donc converge dans [−∞,+∞].
Proposition 3.1.13. Soit unune suite de [−∞,+∞].
(1) lim sup unest la plus grande valeur d’adh´erence de un,lim inf unla plus petite.
(2) lim inf un≤lim sup un, avec ´egalit´e ssi la suite converge dans [−∞,+∞].
D´emonstration. (1) : soit l∈[−∞,+∞] et ϕstrictement croissante telle que uϕ(n)→l. Comme ϕ(n)≥n,
wn≤uϕ(n)≤vn. Passage `a la limite : lim inf un≤l≤lim sup un. Il reste `a montrer que lim sup unet lim inf un
sont effectivement des v.a.
Soit L= lim sup un. Si L=−∞ alors un=−∞ ∀n, rien `a d´emontrer. Si L= +∞, on choisit kn≥nt.q
ukn≥vn−1, cqfd. Sinon, l∈R, et on choisit kn≥ntel que vn−1/n ≤ukn≤vn. Idem pour la lim inf. cqfd.
(2) : si ´egalit´e, una une seule v.a. Comme [−∞,+∞] est compact, cqfd.
Corollaire 3.1.14. Soit (X, A)un espace mesurable, et fn:X→[−∞,+∞]une suite de fonctions mesu-
rables. Alors lim sup fnet lim inf fnsont mesurables.
Corollaire 3.1.15. Soit (X, A)un espace mesurable, et fn:X→R,Cou [0,+∞]une suite de fonctions
mesurables. Si la s´erie de fonctions fnconverge simplement, sa somme est mesurable.
3.2 Int´egrale des fonctions ´etag´ees
On fixe un espace mesur´e (X, A, µ).
D´efinition 3.2.1. Soit E⊂X. La fonction indicatrice de Eest d´efinie par
1E(x) = 1si x∈E,
0si x /∈E.
Si Eest mesurable, 1Eest mesurable, et r´eciproquement.

18 CHAPITRE 3. TH ´ EORIE G ´ EN ´ ERALE DE L’INT ´ EGRATION
Proposition 3.2.2. On a
(1) 1∅= 0,1X= 1.
(2) Pour tout E, F ⊂Xdisjoints, 1E∪F=1E+1F.
(3) Pour tout E, F ⊂X,1E∩F=1E1F.
D´efinition 3.2.3. Une fonction ´etag´ee est une fonction f:X→[0,+∞], mesurable, prenant un nombre fini
de valeurs. On note E(X)l’ensemble des fonctions ´etag´ees sur X.
remarque : Toute fonction indicatrice d’ensemble mesurable est ´etag´ee. L’espace E(X) est clairement stable
par addition et multiplication par des constantes positives.
D´efinition 3.2.4. Soit fune fonction ´etag´ee sur X. Soit Il’ensemble (fini) des valeurs de f. Pour α∈I
soit Eα=f−1({α}). On d´efinit l’int´egrale de fpar rapport `a l’espace mesur´e (X, A, µ)par
fdµ := 
α∈I
αµ(Eα)∈[0,+∞].
Lemme 3.2.5. Soient E1, . . . , En∈ A disjoints, de r´eunion X,α1, . . . , αn∈R+. Soit f=n
k=1 αk1Ek.On
afdµ =n
k=1 αkµ(Ek)
D´emonstration. On peut supposer que chaque αkest >0, et que chaque Ekest non vide (sinon ils contribuent
pour 0).
Cas n= 1 : ´evident.
Cas n≥2 : il n’y a rien `a d´emontrer si les αksont distincts (c’est la d´efinition). Sinon on est ramen´e au cas
n−1 en regrouppant les termes ´egaux.
Lemme 3.2.6. Soit f∈ E(X),β∈R+et E∈ A. On a
(f+β1E)dµ =fdµ +βµ(E).
D´emonstration. Soit g=f+β1E, et Iet Eαcomme dans la d´efinition. Donc
f=
α∈I
α1Eα,et fdµ =
α∈I
αµ(Eα).(3.1)
Pour tout α∈I,α1Eα=α1Eα∩Ec+α1Eα∩E,et puisque les Ekpartitionnent X,α1E=n
k=1 α1E∩Ek.Ainsi,
g=f+β1E=
α∈I
α1Eα+β1Eα∩E=
α∈I
α1Eα∩Ec+
α∈I
(β+α)1Eα∩E.
Par le lemme,
gdµ =
α∈I
αµ(Eα∩Ec) + 
α∈I
(β+α)µ(Eα∩E)
=
α∈I
α[µ(Eα∩Ec)+µ(Eα∩E)]+β
α∈I
µ(Eα∩E)
=
α∈I
αµ(Eα)+βµ(E) = fdµ +βµ(E).
cqfd.

3.3. INT ´ EGRALE DES FONCTIONS MESURABLES POSITIVES 19
Th´eor`eme 3.2.7 (Lin´earit´e de l’int´egrale sur E(X)).Pour tout f, g ∈ E(X),α, β ∈R+, on a
X
(αf +βg)dµ =αX fdµ +βX gdµ.
D´emonstration. R´ecurrence imm´ediate `a partir du lemme 3.2.6.
Th´eor`eme 3.2.8 (Croissance de l’int´egrale sur E(X)).Soit f, g ∈ E(X)telles que f≤g. On a
X
fdµ ≤X gdµ.
D´emonstration. Soit h(x)=g(x)−f(x)sif(x)<+∞et h(x) = 0 si f(x) = +∞. Alors on a g=f+h,h
est ´etag´ee, donc gdµ =hdµ +fdµ ≥fdµ.
3.3 Int´egrale des fonctions mesurables positives
On fixe un espace mesur´e (X, A, µ).
3.3.1 Lemme d’approximation
Lemme 3.3.1. Pour toute fonction mesurable f:X→[0,+∞]. Il existe une suite croissante de fonctions
´etag´ees (c-`a-d fn≤fn+1), convergent simplement vers f.
D´emonstration. La suite
fn(x) := 2−n[2nf(x)] si 0 ≤f(x)< n,
nsi f(x)≥n.
convient. En effet, il est clair de par la formule que fn(x)→f(x)∀xet que fnest ´etag´ee (construite `a partir
de fonctions continues par morceaux). Pour la croissance, fait un dessin dans le cas f(x) = x. cqfd.
3.3.2 D´efinition de l’int´egrale
D´efinition 3.3.2 (Int´egrale d’une fonction mesurable positive).Soit f:X→[0,+∞]une fonction mesurable.
On appelle int´egrale de fpar rapport `a (X, A, µ)la quantit´e
fdµ := sup hdµ;h∈ E(X)telle que h≤f∈[0,+∞].
Th´eor`eme 3.3.3 (Croissance de l’int´egrale).Si f, g :X→[0,+∞]sont mesurables et v´erifient f≤galors
fdµ ≤gdµ.
D´emonstration. Soit h∈ E(X) telle que h≤f. On a h≤g, donc par d´efinition de Xgdµ,
hdµ ≤gdµ.
Ceci est vrai pour toute h´etag´ee telle que h≤f. cqfd.