Chapitre 3 Théorie générale de l`intégration

Chapitre 3
Théorie générale de l’intégration
3.1
3.1.1
Fonctions mesurables
Définitions
Définition 3.1.1. Soient (X, A) et (Y, B) deux espaces mesurables. Une fonction f : X → Y est dite
mesurable si
∀B ∈ B, f −1 (B) ∈ A.
Remarque : une fonction constante est mesurable par rapport à n’importe quelle tribu.
Proposition 3.1.2. Soit (X, A) et (Y, B) deux espaces mesurables. Soit F une famille engendrant B. Alors
une fonction f : X → Y est mesurable ssi
∀B ∈ F, f −1 (B) ∈ A.
Démonstration. Soit
C = {B ⊂ Y ; f −1 (B) ∈ A}.
Exo: c’est une σ-algèbre. Elle contient F donc elle contient B. cqfd.
Remarque : si Y est topologique on prend par défaut comme tribu B = B(Y ). Dans ce cas il suffit donc
de vérifier que l’image réciproque d’un ouvert est mesurable. Y sera la plupart du temps l’un de ces espaces
topologiques :
Y = R, C, [0, +∞], [−∞, +∞]
De manière évidente, une fonction f : X → R ou [0, +∞] est mesurable ssi elle l’est en tant que fonction à
valeurs dans [−∞, +∞] (preuve: topologie induite).
Proposition 3.1.3. Les boréliens de [−∞, +∞] sont engendrés par les intervalles ]a, +∞], a ∈ R.
Démonstration. Comme pour le cas de R, les ouverts de [−∞, +∞] sont réunion disjointe dénombrable de
leurs composantes connexes, qui sont des intervalles ouverts de [−∞, +∞], c-à-d du type
[−∞, b[, ]a, b[, ]a, +∞], a, b ∈ R.
Pour tout a, b ∈ R on a [−∞, b[= ∪n ]b − 1/n, +∞]c , ]a, b[=]a, +∞] ∩ [−∞, b[, cqfd.
Corollaire 3.1.4. Soit (X, A) un espace mesurable. Une fonction f : X → [−∞, +∞] est mesurable si et
seulement si
∀a ∈ R, {f > a} := {x ∈ X; f (x) > a} ∈ A.
15
16
CHAPITRE 3. THÉORIE GÉNÉRALE DE L’INTÉGRATION
Définition 3.1.5. Soient X et Y deux espaces topologiques. Une fonction f : X → Y est dite borélienne si
et seulement si
∀B ∈ B(Y ), f −1 (B) ∈ B(X).
Proposition 3.1.6. Une fonction continue entre deux espaces topologiques est borélienne.
3.1.2
Composition de fonctions mesurables
Proposition 3.1.7. Soient (X, A), (Y, B) et (Z, C) trois espaces mesurables, f : X → Y et g : Y → Z
mesurables. Alors g ◦ f : X → Z est mesurable.
Démonstration. Évident.
Définition 3.1.8. Si f : X → R on définit f+ = max(f, 0) et f− = max(−f, 0). On a |f | = f+ + f− et f =
f+ − f−
Corollaire 3.1.9. Soit (X, A) un espace mesurable.
(1) La somme, le produit, de fonctions mesurables, à valeurs dans R, C ou [0, +∞], est mesurable.
(2) Si fn : X → [−∞, +∞] sont mesurables, alors sup(fn ) et inf(fn ) sont mesurables.
(3) Si f : X → R est mesurable, alors f+ et f− sont mesurables.
(4) f : X → C est mesurable si et seulement si Re(f ) et Im(f ) sont mesurables.
(5) Si f : X → C est mesurable, alors |f | est mesurable.
Démonstration. (1) : l’addition est continue sur R, C et [0, +∞]. La multiplication est continue sur R et C.
Elle ne l’est pas sur [0, +∞], cependant elle l’est sur ]0, +∞], donc pour tout a ∈ [0, +∞[,
{(x, y) ∈ [0, +∞]2 ; x × y > a} = {(x, y) ∈]0, +∞]2 ; x × y > a}
est ouvert.
(2) : si a ∈ R,
{sup(fn ) > a} = ∪n {x ∈ X; fn (x) > a}
{inf(fn ) > a} = ∪k ∩n {x ∈ X; fn (x) > a + 1/k}
(3) et (5) : découle de (1) et (2).
(4) : si f : X → C est mesurable, ses parties réelles et imaginaires le sont car z → Re(z) et z → Im(z) ont
continues. Réciproque : utiliser (1).
(5) : le module complexe est une fonction continue.
Corollaire 3.1.10. Soit X un espace topologique, muni de sa tribu borélienne. La borne inférieure et la
borne supérieure d’une famille (même non dénombrable) de fonctions continues de X → R ou [−∞, +∞] est
borélienne.
Démonstration. Soit (fi )i∈I une famille de fonctions continues sur X. Soit F leur borne sup et f leur borne
inf. Pour tout a ∈ R, on a
F −1 (]a, +∞]) = {x ∈ X; ∃i ∈ I, fi (x) > a} = ∪i∈I fi−1 (]a, +∞) = réunion d’ouverts = ouvert ∈ B(X),
f −1 ([−∞, a]) = {x ∈ X; ∀i ∈ I, fi (x) ≤ a} = ∩i∈I fi−1 ([−∞, a]) = intersection de fermés = fermé ∈ B(X).
3.2. INTÉGRALE DES FONCTIONS ÉTAGÉES
3.1.3
17
Limites de fonctions mesurables
Théorème 3.1.11. Soit (X, A) un espace mesurable, Y un espace métrique. Soit fn : X → Y une suite de
fonctions mesurables, convergent simplement vers une limite f : X → Y . Alors f est mesurable.
Démonstration. Soit U un ouvert de Y . Soit d(·, U c ) la fonction distance à U c , définie pour y ∈ Y par
d(y, U c ) = inf{d(x, y); x ∈ U c }.
On rappelle que c’est une fonction continue, donc chaque d(fn , U c ) : X → R+ est mesurable. Comme U est
ouvert, f (x) ∈ U ssi d(f (x), U c ) > 0. Cela équivaut à ce que d(fn (x), U c ) soit plus grande qu’une certaine
constante > 0 à partir d’un rang. Donc
f −1 (U ) = ∪k∈N∗ ∪l∈N ∩n≥l {d(fn , F ) ≥ 1/k} ∈ A.
Définition 3.1.12. Si un est une suite d’élements de [−∞, +∞], on définit
lim sup un := lim sup uk et lim inf un := lim inf uk .
n→+∞
n→+∞ k≥n
n→+∞
n→+∞ k≥n
Démonstration de l’existence des limites. La suite vn := supk≥n uk est décroissante, donc est convergente dans
[−∞, +∞]. La suite wn := inf k≥n uk est croissante, donc converge dans [−∞, +∞].
Proposition 3.1.13. Soit un une suite de [−∞, +∞].
(1) lim sup un est la plus grande valeur d’adhérence de un , lim inf un la plus petite.
(2) lim inf un ≤ lim sup un , avec égalité ssi la suite converge dans [−∞, +∞].
Démonstration. (1) : soit l ∈ [−∞, +∞] et ϕ strictement croissante telle que uϕ(n) → l. Comme ϕ(n) ≥ n,
wn ≤ uϕ(n) ≤ vn . Passage à la limite : lim inf un ≤ l ≤ lim sup un . Il reste à montrer que lim sup un et lim inf un
sont effectivement des v.a.
Soit L = lim sup un . Si L = −∞ alors un = −∞ ∀n, rien à démontrer. Si L = +∞, on choisit kn ≥ n t.q
ukn ≥ vn − 1, cqfd. Sinon, l ∈ R, et on choisit kn ≥ n tel que vn − 1/n ≤ ukn ≤ vn . Idem pour la lim inf. cqfd.
(2) : si égalité, un a une seule v.a. Comme [−∞, +∞] est compact, cqfd.
Corollaire 3.1.14. Soit (X, A) un espace mesurable, et fn : X → [−∞, +∞] une suite de fonctions mesurables. Alors lim sup fn et lim inf fn sont mesurables.
Corollaire 3.1.15. Soit (X, A) un �
espace mesurable, et fn : X → R, C ou [0, +∞] une suite de fonctions
mesurables. Si la série de fonctions
fn converge simplement, sa somme est mesurable.
3.2
Intégrale des fonctions étagées
On fixe un espace mesuré (X, A, µ).
Définition 3.2.1. Soit E ⊂ X. La fonction indicatrice de E est définie par
�
1 si x ∈ E,
1E (x) =
0 si x ∈
/ E.
Si E est mesurable, 1E est mesurable, et réciproquement.
18
CHAPITRE 3. THÉORIE GÉNÉRALE DE L’INTÉGRATION
Proposition 3.2.2. On a
(1) 1∅ = 0, 1X = 1.
(2) Pour tout E, F ⊂ X disjoints, 1E∪F = 1E + 1F .
(3) Pour tout E, F ⊂ X, 1E∩F = 1E 1F .
Définition 3.2.3. Une fonction étagée est une fonction f : X → [0, +∞], mesurable, prenant un nombre fini
de valeurs. On note E(X) l’ensemble des fonctions étagées sur X.
remarque : Toute fonction indicatrice d’ensemble mesurable est étagée. L’espace E(X) est clairement stable
par addition et multiplication par des constantes positives.
Définition 3.2.4. Soit f une fonction étagée sur X. Soit I l’ensemble (fini) des valeurs de f . Pour α ∈ I
soit Eα = f −1 ({α}). On définit l’intégrale de f par rapport à l’espace mesuré (X, A, µ) par
�
�
f dµ :=
αµ(Eα ) ∈ [0, +∞].
α∈I
+
Lemme
3.2.5.
�
�n Soient E1 , . . . , En ∈ A disjoints, de réunion X, α1 , . . . , αn ∈ R . Soit f =
a f dµ = k=1 αk µ(Ek )
�n
k=1
αk 1Ek . On
Démonstration. On peut supposer que chaque αk est > 0, et que chaque Ek est non vide (sinon ils contribuent
pour 0).
Cas n = 1 : évident.
Cas n ≥ 2 : il n’y a rien à démontrer si les αk sont distincts (c’est la définition). Sinon on est ramené au cas
n − 1 en regrouppant les termes égaux.
Lemme 3.2.6. Soit f ∈ E(X), β ∈ R+ et E ∈ A. On a
�
�
(f + β1E )dµ = f dµ + βµ(E).
Démonstration. Soit g = f + β1E , et I et Eα comme dans la définition. Donc
�
�
�
f=
α1Eα , et
f dµ =
αµ(Eα ).
α∈I
(3.1)
α∈I
�
Pour tout α ∈ I, α1Eα = α1Eα ∩E c + α1Eα ∩E , et puisque les Ek partitionnent X, α1E = nk=1 α1E∩Ek . Ainsi,
�
�
�
α1Eα + β1Eα ∩E =
α1Eα ∩E c +
(β + α)1Eα ∩E .
g = f + β1E =
α∈I
α∈I
α∈I
Par le lemme,
�
gdµ =
�
α∈I
=
�
α∈I
=
�
α∈I
cqfd.
αµ(Eα ∩ E c ) +
�
α∈I
(β + α)µ(Eα ∩ E)
α [µ(Eα ∩ E c ) + µ(Eα ∩ E)] + β
αµ(Eα ) + βµ(E) =
�
�
α∈I
µ(Eα ∩ E)
f dµ + βµ(E).
3.3. INTÉGRALE DES FONCTIONS MESURABLES POSITIVES
19
Théorème 3.2.7 (Linéarité de l’intégrale sur E(X)). Pour tout f, g ∈ E(X), α, β ∈ R+ , on a
�
�
�
(αf + βg)dµ = α
f dµ + β
gdµ.
X
X
X
Démonstration. Récurrence immédiate à partir du lemme 3.2.6.
Théorème 3.2.8 (Croissance de l’intégrale sur E(X)). Soit f, g ∈ E(X) telles que f ≤ g. On a
�
�
f dµ ≤
gdµ.
X
X
Démonstration. Soit h(x) = g(x) − f (x) si f (x) < +∞ et h(x) = 0 si f (x) = +∞. Alors on a g = f + h, h
est étagée, donc
�
�
�
�
gdµ = hdµ + f dµ ≥ f dµ.
3.3
Intégrale des fonctions mesurables positives
On fixe un espace mesuré (X, A, µ).
3.3.1
Lemme d’approximation
Lemme 3.3.1. Pour toute fonction mesurable f : X → [0, +∞]. Il existe une suite croissante de fonctions
étagées (c-à-d fn ≤ fn+1 ), convergent simplement vers f .
Démonstration. La suite
fn (x) :=
�
2−n [2n f (x)] si 0 ≤ f (x) < n,
n si f (x) ≥ n.
convient. En effet, il est clair de par la formule que fn (x) → f (x) ∀x et que fn est étagée (construite à partir
de fonctions continues par morceaux). Pour la croissance, fait un dessin dans le cas f (x) = x. cqfd.
3.3.2
Définition de l’intégrale
Définition 3.3.2 (Intégrale d’une fonction mesurable positive). Soit f : X → [0, +∞] une fonction mesurable.
On appelle intégrale de f par rapport à (X, A, µ) la quantité
��
�
�
f dµ := sup
hdµ; h ∈ E(X) telle que h ≤ f ∈ [0, +∞].
Théorème 3.3.3 (Croissance de l’intégrale). Si f, g : X → [0, +∞] sont mesurables et vérifient f ≤ g alors
�
�
f dµ ≤ gdµ.
Démonstration. Soit h ∈ E(X) telle que h ≤ f . On a h ≤ g, donc par définition de
�
�
hdµ ≤ gdµ.
Ceci est vrai pour toute h étagée telle que h ≤ f . cqfd.
�
X
gdµ,
20
CHAPITRE 3. THÉORIE GÉNÉRALE DE L’INTÉGRATION
Proposition 3.3.4 (Inégalité de Tchebitchev). Soit f : X → [0, +∞] et α ∈ [0, +∞]. On a
�
1
f dµ.
µ({f ≥ α}) ≤
α X
�
Démonstration. Soit E = {f ≥ α}. On a f ≥ f 1E ≥ α1E par définition de E. Donc f dµ ≥ αµ(E), cqfd.
Définition 3.3.5. Une propriété (P (x)) est dite vraie presque partout s’il existe N ∈ A de mesure nulle t.q
(P (x)) soit vraie ∀x ∈
/ N.
Proposition 3.3.6. Soit f : X → [0, +∞] mesurable.
�
(1)
f dµ = 0 ssi f (x) = 0 p.p.
(2) Si
�
f dµ < ∞ alors f (x) < ∞ p.p.
�
Démonstration.
(1) : supposons que f dµ = 0. Pour n ∈ N∗ , soit En �
= {x ∈ X; f (x) ≥ 1/n}. On a
�
µ(En ) ≤ n f dµ = 0, donc µ(En ) = 0. Ainsi, µ({f > 0}) = µ(∪n En ) ≤ n µ(En ) = 0, cqfd. Réciproque
évidente : si f (x) = 0� p.p, alors toute h ≤ f étagée est nulle p.p, donc d’intégrale nulle.
�
(2) : supposons que f dµ < ∞. Soit Fn = {x ∈ X; f (x) ≥ n}. On a Fn+1 ⊂ Fn , et µ(Fn ) ≤ n1 X f dµ → 0,
donc
µ({x ∈ X; f (x) = +∞}) = µ(∩n Fn ) = 0 cqfd.
3.3.3
Théorème de convergence monotone et lemme de Fatou
On a comme corollaire immédiat un résultat extrèmement puissant :
Théorème 3.3.7 (Théorème de convergence monotone, dit de Beppo-Levi). Soit f n : X → [0, +∞] une suite
de fonctions mesurables, convergent simplement vers une fonction mesurable f : X → [0, +∞]. Si
(1) la suite est croissante
(2) ou si la suite est décroissante, et
�
f1 dµ < +∞, alors
lim
n→+∞
�
fn dµ =
�
Démonstration. (1) : comme la suite fn est croissante, la suite
Puisque fn ≤ f , on a
�
�≤
f dµ.
f dµ.
�
fn dµ est croissante. Soit � ∈ [0, +∞] a limite.
Pour obtenir l’égalité nous allons voir que pour toute fonction étagée h ≤ f et tout ε ∈]0, 1[,
�
� ≥ (1 − ε) hdµ. (∗)
Cela suffit car si on fait tendre ε vers 0 et si on prend ensuite la borne sup. en h, on a bien l ≥
�
f dµ.
3.3. INTÉGRALE DES FONCTIONS MESURABLES POSITIVES
21
Démontrons (∗) d’abord dans le cas où h(x) < +∞ pour tout x. Soit
Xn = {x ∈ X; fn (x) ≥ (1 − ε)h(x)}.
C’est une suite croissante d’ensembles mesurables. On affirme que la réunion des Xn est X. En effet, si
h(x) = 0, x est dans tous les Xn . Sinon, 0 < h(x) ≤ f (x) < +∞, donc fn (x)/h(x) → f (x)/h(x) ≥ 1, et il
existe n tel que fn (x)/h(x) ≥ (1 − ε) cqfd.
Pour tout n, fn ≥ fn 1Xn ≥ (1 − ε)h1Xn , donc
�
�
fn dµ ≥ (1 − ε)
hdµ.
Xn
de réunion X, pour tout E
Le membre de gauche tend vers l si n → +∞. Comme la suite Xn est croissante
�
mesurable, µ(E ∩ Xn ) → µ(E). Le membre de droite tend donc vers (1 − ε) hdµ, et (∗) est démontrée.
Si h peut prendre la valeur infinie on procède comme suit : pour k ∈ N∗ , x ∈ X, on pose hk (x) =
min(h(x), k). Soit
E∞ = {x ∈ X; h(x) = +∞}.
Alors par définition de hk , si k est assez grand (vu que h prend un nombre fini de valeurs), on a hk (x) = h(x)
pour x ∈
/ E et hk (x) = k pour x ∈ E. Donc
�
�
�
�
�
hk dµ = (h1E c + k1E )dµ = h1E c dµ + kµ(E) → h1E c dµ + ∞ · µ(E) = hdµ.
Comme hk est étagée, ≤ f , et finie, on a bien (∗) pour hk :
�
l ≥ (1 − ε) hk dµ, ∀k ∈ N∗ ,
et en passant à la limite on obtient (∗).
(2) : applique (1) à f1 − fn .
Premier corollaire :
Théorème 3.3.8 (Linéarité de l’intégrale). Si f, g : X → [0, +∞] sont mesurables et α, β ∈ R+ , alors
�
�
�
(αf + βg)dµ = α
f dµ + β
gdµ.
X
X
X
Démonstration. Soit fn et gn deux suites croissants de fonctions étagées convergent simplement vers f et g.
On sait déjà que l’intégrale est linéaire pour les fonctions étagées donc
�
�
�
(αfn + βgn )dµ = α fn dµ + β gn dµ ∀n.
On applique ensuite le théorème de convergenve monotone. cqfd.
Second corollaire :
Théorème 3.3.9 (de convergence monotone pour les séries). Soit fn : X → [0, +∞] une suite de fonctions
mesurables. On a
�
� ��
+∞
+∞ �
�
fn dµ.
fn dµ =
n=1
n=1
Démonstration. Appliquer le théorème de convergence monotone aux sommes partielles. cqfd.
22
CHAPITRE 3. THÉORIE GÉNÉRALE DE L’INTÉGRATION
Troisième corollaire.
Lemme 3.3.10 (Lemme de Fatou). Soit fn : X → [0, +∞] une suite de fonctions mesurables. On a
�
��
�
� �
fn dµ .
lim inf fn dµ ≤ lim inf
n→+∞
n→+∞
Démonstration. Soit gn = inf k≥n fk et In = inf k≥n
�
gn dµ ≤
�
�
fk dµ. Pour tout k ≥ n on a gn ≤ fk donc
�
fk dµ ∀k ≥ n =>
gn dµ ≤ In .
Ensuite on passe à la limite en utilisant le théorème de convergence monotone.
3.3.4
Relation de Chasle
Définition 3.3.11. Soit E ∈ A et f : X → [0, +∞] une fonction mesurable. On définit l’intégrale de f sur
E par rapport à (X, A, µ) par
�
�
f dµ := (f 1E )dµ.
E
Théorème 3.3.12. Soit f : X → [0, +∞] mesurable. L’application
�
f dµ
E→
E
est une mesure sur A. On l’appelle la mesure de densité f par rapport à µ.
Démonstration. Pour tout E ∈ A, soit
ν(E) :=
�
f dµ.
E
Soit En ∈ A, deux-à-deux disjoints, et E leur réunion. On a
1E =
+∞
�
n=1
1En => f 1E =
+∞
�
f 1 En .
n=1
Le théorème de convergence monotone pour les séries donne le résultat.
Théorème 3.3.13. Soit f : X → [0, +∞] une fonction mesurable, et ν la mesure de densité f par rapport à
µ. Pour toute fonction g : X → [0, +∞] mesurable, on a
�
�
gdν = gf dµ,
(3.2)
ce qui justifie la notation dν = f dµ.
Démonstration. Par définition de ν, la relation (3.2) est vérifiée pour les indicatrices d’ensembles. Par linéarité
de l’intégrale, elle est vraie pour toute fonction étagée.
Soit g : X → [0, +∞] mesurable, et gn une suite croissante de fonctions étagées sur X, convergent simplement vers g. Pour tout n,
�
�
gn dν = gn f dµ.
On passe à la limite, cqfd.
3.4. INTÉGRALE DE FONCTIONS À VALEURS RÉELLES OU COMPLEXES.
3.4
23
Intégrale de fonctions à valeurs réelles ou complexes.
On fixe un espace mesuré (X, A, µ). On rappelle que pour toute fonction
f :X→C
mesurable, la fonction |f | : X → [0, +∞[ est mesurable, donc son intégrale existe.
3.4.1
Définition
Définition 3.4.1 (Fonction sommable, ou intégrable). Une fonction mesurable f : X → C est dite sommable,
ou intégrable, sur l’espace mesuré (X, A, µ) si
�
|f |dµ < +∞.
C’est clairement un espace vectoriel. On note L(µ) c’est ensemble.
3.4.2
Intégrale d’une fonction sommable
Proposition 3.4.2. Soit f ∈ L(µ). Alors les quatre fonctions
[Re(f )]+ , [Re(f )]− , [Im(f )]+ , [Im(f )]−
sont mesurables, à valeur positive, et ont une intégrale finie.
Démonstration. Elle sont toutes plus petites que |f |. cqfd.
Définition 3.4.3 (Définition de l’intégrale des fonctions sommables). Si f ∈ L(µ) on pose
�
�
�
�
�
f dµ := Re(f )+ dµ − Re(f )− dµ + i Im(f )+ dµ − i Im(f )− dµ.
Définition 3.4.4. Soit f : X → C et E ∈ A mesurables. On dit que f est sommable sur E si f 1E est
sommable. Si c’est le cas on pose
�
�
f dµ =
f 1E dµ.
E
3.4.3
X
Premières propriétés
Proposition 3.4.5. On a les propriétés suivantes :
(1) Si f, g : X → C sont sommables, et α ∈ C, alors
�
�
�
�
�
(f + g)dµ = f dµ + gdµ, et
αf dµ = α f dµ
(2) Si f, g : X → R sont sommables, et si f ≤ g, on a
�
�
f dµ ≤ gdµ.
(3) Si f : X → C est nulle p.p, alors
�
f dµ = 0.
24
CHAPITRE 3. THÉORIE GÉNÉRALE DE L’INTÉGRATION
(4) Si f : X → C est sommable,
��
� �
�
�
� f dµ� ≤ |f |dµ.
�
�
(5) On a égalité dans (4) ssi il existe α ∈ C, g : X → [0, +∞[ sommable, et h : X → C mesurable, nulle
p.p, telles que
f = αg + h.
Démonstration. (1) : ceci est long à démontrer, mais facile, c’est quasiment par définition, mais il y a
énormément de cas.
→ cas où f, g sont réelles. On écrit
f + g = (f+ − f− ) + (g+ − g− ) = (f + g)+ − (f + g)− donc
f+ + g+ + (g + g)− = f− + g− + (g + g)+
L’intégrale étant linéaire pour les fonctions positive, on obtient
�
�
�
�
�
�
f+ dµ + g+ dµ + (g + g)− dµ = f− dµ + g− dµ + (g + g)+ dµ,
et donc
�
�
�
�
�
�
�
�
�
f dµ + gdµ = f+ dµ − f− dµ + g+ dµ − g− dµ = (f + g)+ dµ − (f + g)− dµ = (f + g)dµ,
cqfd.
→ Cas des fonctions à valeurs complexes. On a Re(f + g) = Re(f ) + Re(g) et Im(f + g) = Im(f ) + Im(g)
donc
�
�
�
�
�
(f + g)dµ := Re(f + g)dµ + i Im(f + g)dµ = [Re(f ) + Re(g)]dµ + i [Im(f ) + Im(g)]dµ
�
�
�
�
= Re(f )dµ + Re(g)dµ + i Im(f )dµ + i Im(g)dµ par le cas précédent
��
� ��
�
�
�
�
�
=
Re(f )dµ + i Im(f )dµ +
Re(g)dµ + i Im(g)dµ =: f dµ + gdµ.
→ Cas α ∈ R+ et f réelle.
�
�
�
�
�
αf dµ := (αf )+ dµ − (αf )− dµ = αf+ dµ − αf− dµ
�
��
�
=α
f+ dµ − f− dµ en utilisant la linéarité pour les fonctions et les constantes positives.
�
= α f dµ.
(3.3)
→ Cas α ∈ R− et f réelle.
�
�
�
αf dµ = (−α) · (−f )dµ = −α (−f )dµ car − α ≥ 0
�
��
�
��
�
�
�
�
f− dµ − f+ dµ = (−α) · (− f dµ) = α f dµ
= −α
(−f )+ dµ − (−f )− dµ = −α
3.4. INTÉGRALE DE FONCTIONS À VALEURS RÉELLES OU COMPLEXES.
→ Cas α ∈ R et f complexe :
�
�
�
�
�
αf dµ := Re(αf )dµ + i Im(αf )dµ = αRe(f )dµ + i αIm(f )dµ
�
�
= α Re(f )dµ + iα Im(f )dµ par le cas précédent
�
��
�
�
Re(f )dµ + i Im(f )dµ =: α f dµ
=α
25
(3.4)
→ Cas α ∈ C et f complexe. Posons α = a + ib, a, b ∈ R.
�
�
�
�
αf dµ = (af + ibf )dµ = a f dµ + b if dµ par le cas précédent
�
�
��
��
�
�
�
�
[−Im(f )]dµ + i Re(f )dµ
Re(if )dµ + i Im(if )dµ = a f dµ + b
:= a f dµ + b
� �
�
�
�
�
�
�
= a f dµ − b Im(f )dµ + ib Re(f )dµ = a f dµ + ib i Im(f )dµ + Re(f )dµ
�
�
�
=: a f dµ + ib f dµ = α f dµ
(2) : la fonction g − f est mesurable, à valeurs positives, donc son intégrale est positive. On conclut par
linéarité.
(3) : Re(f )+ , . . . , etc sont nulles p.p, cqfd.
(4) : soit θ ∈ R tel que
��
�
�
�
�
f dµ = �� f dµ��eiθ .
On a
�
��
�
�
��
�
�
�
�
�
�
−iθ
−iθ
� f dµ� = Re e−iθ f dµ = Re
e f dµ =def
Re(e f )dµ ≤ |f |dµ, cqfd.
�
�
(5) : on doit avoir
� �
|f | − Re(e
−iθ
�
f ) dµ = 0.
Donc |f (x)| = Re(e−iθ f (x)) p.p, donc f (x) = eiθ |f (x)| p.p. En posant h = f − eiθ |f |, α = eiθ et g = |f |, on a
le résultat. Réciproque triviale.
3.4.4
Théorème de convergence dominée de Lebesgue
Théorème 3.4.6 (de convergence dominée de Lebesgue). Soient fn : X → C une suite de fonctions
sommables, convergent simplement vers une fonction f : X → C. On suppose qu’il existe une fonction
ϕ : X → [0, +∞] d’intégrale finie, telle que
|fn (x)| ≤ ϕ(x) ∀x ∈ X ∀n ∈ N∗ .
�
∗
Alors les fonctions f , fn sont sommables, pour tout n ∈ N . La suite
fn dµ est convergente dans C, et
X
lim
n→+∞
�
fn dµ =
X
�
f dµ.
X
26
CHAPITRE 3. THÉORIE GÉNÉRALE DE L’INTÉGRATION
Démonstration. Par passage à la limite, on voit que |f | ≤ ϕ. Donc
�
�
�
�
∗
|fn |dµ ≤
ϕdµ < ∞, ∀n ∈ N , et
|f |dµ ≤
ϕdµ < ∞,
X
X
X
X
et les fonctions f, fn sont toutes sommables.
Soit gn = 2ϕ − |f − fn |. C’est une fonction mesurable. De plus
|f − fn | ≤ 2ϕ,
donc gn ≥ 0. Par hypothèse, gn converge simplement vers 2ϕ. Le lemme de Fatou donne
�
�
2ϕdµ ≤ lim inf gn dµ.
n→+∞
Or gn ≤ 2ϕ ∀n donc
�
�
gn dµ ≤ 2ϕdµ.
�
�
�
On conclut que gn dµ converge vers 2ϕdµ, c’est-à dire |f − fn |dµ tend vers 0. Or
� �
��
�
�
�
� f dµ − fn dµ� ≤ |f − fn |dµ,
�
�
lim sup
n→+∞
cqfd.
En corollaire on a une version améliorée :
Théorème 3.4.7 (de convergence dominée p.p). Soit fn : X → C une suite de fonctions mesurables, convergent p.p. vers f : X → C. On suppose qu’il existe ϕ : X → [0, +∞] mesurable, d’intégrale finie, telle que pour
tout n,
|fn (x)| ≤ ϕ(x) p.p.
�
Alors fn et f sont sommables, la suite
fn dµ converge dans C, et
lim
n→+∞
�
fn dµ =
Démonstration. Soit N0 ∈ A de mesure nulle, tel que
�
f dµ.
∀x ∈
/ N0 , fn (x) converge.
Pour tout n ∈ N∗ , soit Nn ∈ A de mesure nulle, tel que
/ Nn .
|fn (x)| ≤ ϕ(x) ∀x ∈
Soit N la réunion des Nn , n ∈ N. On a N ∈ A et µ(N ) = 0.
On pose
�
lim fn (x) si x ∈
/N
n→+∞
f (x) =
0 si x ∈ N.
Pour tout n ∈ N∗ soit
Par construction on a
gn =
�
fn (x) si x ∈ N c ,
0 si x ∈ N,
gn = fn 1N c , ψ = ϕ1N c ,
donc gn et ψ sont mesurables. Par construction, gn converge simplement vers f . La thórème de convergence
dominée donne le résultat.
3.5. CHANGEMENT D’ESPACE MESURÉ
27
Second corollaire, le théorème de convergence dominée pour les séries :
Théorème 3.4.8 (de convergence dominée pour les séries). Soit fn : X → C une suite de fonctions mesurables,
telles que
+∞ �
�
|fn |dµ < +∞.
n=1
�
Alors chaque fn est sommable,
la série de fonctions
fn (x) converge p.p vers une fonction S : X → C
�
�
sommable, la série
fn dµ est convergente dans C, et
+∞ �
�
fn dµ =
n=1
Démonstration. Soit
ϕ=
+∞
�
n=1
�
Sdµ.
|fn |.
C’est une fonction mesurable sur X à valeurs dans [0, +∞]. La théorème de convergence monotone pour les
séries donne
�
+∞ �
�
|fn |dµ < ∞.
ϕdµ =
n=1
Soit Sn = f1 + · · · + fn . Comme
+∞
�
n=1
|fn (x)| = ϕ(x) < ∞ p.p,
la suite de fonctions Sn , qui est mesurable de X → C, converge p.p. De plus
|Sn (x)| ≤
n
�
k=1
|fk (x)| ≤ ϕ(x) ∀x ∈ X.
Le théorème de convergence dominée p.p donne le résultat.
Corollaire 3.4.9 (Relation de �
Chasle).
Soit f : X → C sommable et En une suite d’ensembles mesurables
�
deux-à-deux disjoints. La série
f dµ est convergente, et
En
�
3.5
3.5.1
f dµ =
∪ n En
+∞ �
�
n=1
f dµ.
En
Changement d’espace mesuré
Changement de tribu
Lemme 3.5.1. Soit (X, A, µ) un espace mesuré et f : X → [0, +∞] mesurable. On munit [0, +∞[ de la
mesure de Lebesgue et de la tribu induite. Soit ϕ : [0, +∞[→ [0, +∞] définie par ϕ(t) = µ{f ≥ t}. C’est une
fonction borélienne, positive, et
�
�
ϕdm =
f dµ.
28
CHAPITRE 3. THÉORIE GÉNÉRALE DE L’INTÉGRATION
Démonstration. C’est clairement une fonction décroissante, donc elle est mesurable (l’image réciproque d’un intervalle en est un). La suite fn croissante convergent simplement vers f exhibée dans le lemme d’approximation
est
fn =
=
n −1
n2
�
k=0
n −1
n2
�
k2−n 1k2−n ≤f <(k+1)2−n + n1f ≥n
k2
−n
k=0
Donc
�
fn dµ =
n −1
n2
�
k=1
�
�
1f ≥k2−n − 1f ≥(k+1)2−n + n1f ≥n =
n −1
n2
�
k=1
2−n 1f ≥k2−n .
2−n ϕ(k2−n ). Comme ϕ est décroissante on a pour tout 1 ≤ k ≤ n2n − 1
�
[k2−n ,(k+1)2−n [
donc si on somme sur k on obtient
�
ϕdm ≤ 2
[2−n ,n[
ϕdm ≤
−n
�
ϕ(k2
−n
)≤
fn dµ ≤
�
�
ϕdm,
[(k−1)2−n ,k2−n [
ϕdm.
[0,n−2−n [
On conclut par le théorème de convergence monotone.
Corollaire :
Théorème 3.5.2. Soit (X, A, µ) un espace mesuré, f : X → [0, +∞] ou C mesurable par rapport à A.
Pour toute tribu A� ⊂ A rendant f mesurable, les intégrales de f par rapport à (X, A, µ) ou (X, A� , µ) sont
identiques.
Démonstration. L’intégrale ne dépend que de la mesure des ensembles
{f ≥ t}, t ∈ [0, +∞[,
qui sont tous dans A� puisque f est A� -mesurable.
Définition 3.5.3. Soit X un ensemble, f : X → [0, +∞] ou C une fonction. La tribu engendrée par f est
A(f ) := {f −1 (B); B ∈ B}.
C’est la plus petite tribu sur X rendant f mesurable.
3.5.2
Changement de mesure : cas des fonctions positives
Proposition 3.5.4. Soit (X, A) un espace mesuré, µ et ν deux mesures sur A, f : X → [0, +∞] mesurable,
et α, β ∈ [0, +∞[. Alors
�
�
�
(1)
f d(αµ + βν) = α f dµ + β f dν.
(2) si µ ≤ ν, alors
�
f dµ ≤
�
f dν.
3.5. CHANGEMENT D’ESPACE MESURÉ
29
Démonstration. C’est vrai pour les indicatrices d’ensembles mesurables par définition, donc par linéarité c’est
vrai pour les fonctions étagées. On conclut par cv monotone en appliquant ceci à la suite f n du lemme
d’approximation.
Théorème 3.5.5 (de convergence monotone pour les mesures). Soit (X, A) un espace mesurable, µn une suite
croissante de mesures sur A. Soit µ = limn µn leur limite (on sait que c’est une mesure). Pour toute fonction
f : X → [0, +∞] mesurable,
�
�
f dµn = f dµ.
lim
n→+∞
Démonstration. Le résultat est vrai �pour les indicatrices d’ensembles, et donc par linéarité, pour les fonctions
étagées. Par la proposition, la suite f dµn est croissante, donc convergente. Soit � ∈ [0, +∞] sa limite. Pour
�
�
�
tout n, f dµn ≤ f dµ, donc � ≤ f dµ.
Soit h étagée t.q. h ≤ f . Pour tout n,
donc par passage à la limite,
�
�
hdµn ≤
�
f dµn ,
hdµ ≤ �, pour toute h étagée ≤ f . cqfd.
Théorème 3.5.6 (de convergence pour les séries de mesure). Soit (X, A) un espace mesurable, µn une suite
+∞
�
µn . On a pour toute fonction mesurable f : X → [0, +∞],
de mesures sur A. Soit µ =
n=1
�
3.5.3
f dµ =
+∞ �
�
f dµn .
n=1
Changement de mesure : cas des fonctions sommables
Théorème 3.5.7. Soit (X, A) un espace mesurable, µn une suite de mesures sur A, et f : X → C mesurable.
+∞
�
µn . Alors f est sommable par rapport à µ ssi
Soit µ =
n=1
��
n
Si c’est le cas, la série
�
n
Démonstration. Immédiat.
�
|f |dµn < +∞.
f dµn converge, et
�
f dµ =
��
n
f dµn .
30
CHAPITRE 3. THÉORIE GÉNÉRALE DE L’INTÉGRATION
3.6
Integrales à paramètre
3.6.1
Continuité sous l’intégrale
Théorème 3.6.1. Soit (X, A, µ) un espace mesuré, (Y, d) un espace métrique. Soit f : X × Y → C une
fonction telle que
(1) pour tout y ∈ Y , f (·, y) est mesurable.
(2) pour tout x ∈ X, f (x, ·) est continue,
(3) il existe ϕ : X → [0, +∞] d’intégrale finie, telle que pour tout (x, y) ∈ X × Y , |f (x, y)| ≤ ϕ(x).
Alors pour tout y ∈ Y , x → f (x, y) est sommable, et
�
F (y) :=
f (x, y)dµ(x)
X
est une fonction continue sur Y .
Démonstration. Soit y ∈ Y . On a
�
X
|f (x, y)|dµ(x) ≤
�
ϕ(x)dµ(x) < +∞,
X
donc f (·, y) est sommable. F est donc bien définie. Montrons qu’elle est continue. Soit (yn )n≥1 une suite de
Y convergent vers y. Pour tout x, f (x, yn ) converge vers f (x, y). Par le théorème de convergence dominée,
�
�
lim
f (x, yn ) existe et vaut
f (x, y)dµ, cqfd.
n→+∞
X
X
remarque : Le théorème est vrai en remplaçant dans (2) et (3) ”pour tout” par ”pour presque tout” x.
Démonstration. Appliquer le théorème de cv dominée p.p.
3.6.2
Dérivation sous l’intégrale
Théorème 3.6.2. Soit (X, A, µ) un espace mesuré, I un intervalle ouvert de R, non vide. Soit f : X × I → C
une fonction telle que
(1) pour tout t ∈ I, f (·, t) est mesurable et sommable.
(2) pour tout x ∈ X, f (x, ·) est dérivable sur I.
(3) il existe ϕ : X → [0, +∞] d’intégrale finie, telle que pour tout (x, t) ∈ X × I, |∂t f (x, t)| ≤ ϕ(x).
�
Alors pour tout t ∈ I, ∂t f (·, t) est mesurable et sommable sur X. Soit, pour t ∈ I, F (t) :=
f (x, t)dµ(x). F
X
est dérivable sur I et pour tout t ∈ I,
�
F (t) =
�
∂t f (x, t)dµ(x).
X
3.6. INTEGRALES À PARAMÈTRE
31
Démonstration. Soit t ∈ I. Pour tout x ∈ X,
f (x, t + n−1 ) − f (x, t)
,
n→+∞
n−1
∂t f (x, t) = lim
donc ∂t f (·, t) est mesurable. De plus
�
�
|∂t f (x, t)|dµ(x) ≤
ϕ(x)dµ(x) < +∞,
X
X
donc ∂t f (·, t) est sommable. Soit tn ∈ I \ {t} une suite convergent vers t. Pour tout x ∈ X, (f (x, tn ) −
f (x, t))/(tn − t) converge vers ∂f (x, t). Par l’inégalité des accroissements finis,
|(f (x, tn ) − f (x, t))/(tn − t)| ≤ |tn − t|ϕ(x) ≤ sup |tn − t| × ϕ(x), ∀x ∈ X ∀n.
n
Le théorème de cv dominée donne
�
�
�
f (x, tn )dµ(x) − X f (x, t)dµ(x)
X
existe et vaut
lim
∂t f (x, t)dµ(x), cqfd.
n→+∞
tn − t
X
Remarque : on peut remplacer (1) par
(1) pour tout t ∈ I, f (·, t) est mesurable, et pour un t0 ∈ I, elle est sommable.
Alors necessairement les autres f (·, t) sont toutes sommables ∀t ∈ I (inégalité des accroissements finis). On
peut remplacer ”pour tout x ∈ X” par ”pour presque tout x ∈ X” dans (2) et (3).
3.6.3
Itérations
On a par itération des résultats du type ”classe C n sous l’intégrale”, et la variable t peut varier dans un ouvert
de Rd .