Exercices d`Analyse Fonctionnelle

Université Paul Verlaine - Metz
Master de mathématiques
M1-1 (Analyse fonctionnelle)
1er semestre 2007-2008
Exercices d’Analyse Fonctionnelle
1. Topologie générale
Exercice 1.1. Montrer que les égalités et inclusions suivantes sont vraies pour toutes
parties A et B de tout espace topologique. Dans le cas où une seule inclusion est donnée,
montrer qu’il n’y a pas égalité en général.
a) A ∩ B ⊂ A ∩ B
c) ∪n∈N An ⊂ ∪n∈N An
A ⊂ Ā
f) ˚
z }|
˚ {
d) ∩n∈N An ⊂ ∩n∈N Ån
z }|
˚ {
b) Å ∪ B̊ ⊂ A ∪ B
˚
e) Å ⊂ Å.
˚
g) Å = Å
Exercice 1.2. Soit E un espace topologique.
a) Pour toute partie A de E et tout ouvert V de E, montrer que A∩V = ∅ ⇐⇒ A∩V = ∅.
˚ ∩ V = ∅ puis que
b) Soient U et V deux ouverts tels que U ∩ V = ∅. Déduire du a) que U
˚∩V
˚ = ∅.
U
Exercice 1.3. Montrer que les inclusions suivantes sont vraies pour toute fonction continue f : E → F et toutes parties A ⊂ E et B ⊂ F , mais qu’il n’y a pas égalité en
général.
z }|
˚ {
a) f −1 (B̊) ⊂ f −1 (B)
b) f −1 (B) ⊂ f −1 (B̄)
c) f (Ā) ⊂ f (A)
Exercice 1.4. Soient E et F deux espaces topologiques, f : E → F et (Ui )i∈I un recouvrement de E par une famille (éventuellement infinie) d’ouverts. On suppose que la
restriction de f à Ui est continue pour tout i. Montrer que f est continue.
Exercice 1.5. Soient E et F deux espaces topologiques, f : E → F et (Fk )1≤k≤n un
recouvrement de E par une famille finie de fermés. On suppose que la restriction de f à
Fn est continue pour tout n. Montrer que f est continue. La conclusion reste-t-elle vraie
si la famille de fermés n’est pas nécessairement finie?
Exercice 1.6. Montrer que deux boules ouvertes quelconques de R2 sont homéomorphes.
Existe-t-il un espace métrique E et deux boules ouvertes de E qui ne sont pas homéomorphes?
Montrer que [0, 1] et {(x, y) ∈ [0, 1]2 ; y = x2 } sont homéomorphes.
Expliquer pourquoi une sphère de R3 privée d’un point est homéomorphe à R2 .
Exercice 1.7. Montrer qu’un espace topologique est séparé si et seulement si la diagonale
de E × E est fermée.
Exercice 1.8. Soit f : E → F une application, O une topologie sur E. Soit O0 l’ensemble
des parties U de F telles que f −1 (U ) ∈ O. Montrer que O0 est une topologie, et que
c’est la topologie la plus fine qui rende f continue. Montrer que si g : F → G est une
application de F dans un espace topologique G, alors g est continue si et seulement si g ◦ f
est continue. [On dit que O0 est la topologie finale associée à l’application f .]
1
2
Exercice 1.9. Soit E un espace séparé, A ⊂ E, B ⊂ E.
a) Montrer que si A est compact et B fermé alors A ∩ B est compact.
b) Montrer que si A et B sont compacts alors A ∩ B est compact.
Exercice 1.10. Montrer que si A ⊂ Rn et B ⊂ Rn sont compacts alors A+B = {x+y| x ∈
A, y ∈ B} est compact.
Exercice 1.11. a) Quels sont les espaces topologiques tels que de tout recouvrement (non
nécessairement ouvert) on peut extraire un sous-recouvrement fini?
b) Quels sont les espaces métriques tels qu’il existe un recouvrement ouvert fini?
Exercice 1.12. Soit E un espace topologique séparé, a ∈ E et K une partie compacte de
E ne contenant pas a. Montrer qu’il existe des ouverts disjoints U et V tel que a ∈ U et
K ⊂V.
En déduire que si A et B sont des parties compactes disjointes de E, alors il existe des
ouverts disjoints U et V tels que A ⊂ U et B ⊂ V .
Exercice 1.13. Montrer que dans un espace compact E, tout point admet une base de
voisinages compacts. Pour cela, si x ∈ E et U est un voisinage ouvert de x, on appliquera
l’exercice précédent à x et U c .
Exercice 1.14. On dit qu’un espace topologique E est localement compact s’il est séparé
et si tout point admet un voisinage compact. D’après l’exercice précédent, cela équivaut
au fait que tout point admet une base de voisinages compacts.
On suppose que E est un espace localement compact non compact. On va construire
sur K = E ∪ {∞} une topologie telle que K soit compact (on appelle K le compactifié
d’Alexandrov): on dit qu’une partie U de K est ouverte si elle vérifie les deux conditions
suivantes:
• U ∩ E est un ouvert et
• dans le cas où ∞ ∈ U , U contient le complémentaire d’une partie compacte de E.
Montrer que O est bien une topologie, que K est compact, que la topologie induite sur E
est bien la topologie de E et que E est dense dans K.
Exercice 1.15. Soit E un espace localement compact. Montrer que tout fermé F de E
et tout ouvert U de E sont localement compacts. En déduire que U ∩ F est localement
compact. Montrer que {(x, y) ∈ R2 ; x2 + y ≥ 5 et x > 12} est localement compact.
Exercice 1.16. On veut montrer la réciproque de l’exercice précedent. Soit E un espace
localement compact et soit A une partie localement compacte. Soit F = A. Pour tout
x ∈ A, il existe par définition un voisinage compact Kx de x dans l’espace topologique A.
a) Montrer qu’il existe un voisinage Ux de x dans E tel que Ux ∩ A = Kx
b) Montrer que A ⊂ (Ůx )c ∪ Kx .
c) En déduire que Ůx ∩ A ⊂ Kx .
d) Soit U = ∪x∈X Ůx . Montrer que U ∩ F = A.
Exercice 1.17. Soit E un espace métrique compact et f : E → E une isométrie. Montrer
que f est bijective. Pour cela, on considère x ∈ E et ε > 0. Soit xn = f n (x). Montrer
qu’il existe m et n tels que m < n et d(xn , xm ) < ε. En déduire que d(x, xn−m ) < ε.
Conclure que f (E) est dense dans E, puis que f (E) = E.
Exercice 1.18. Parmi les parties A de R suivantes, déterminer celles qui sont connexes.
Pour celles qui ne le sont pas, trouver une décomposition A = B ∪ C avec B et C deux
ouverts fermés disjoints non vides.
a) A = R+
b) A = [0, 1[∪{2}
c) A = Q.
3
Exercice 1.19. L’intersection de deux parties connexes d’un espace topologique est-elle
connexe?
Exercice 1.20. Montrer que si A est une partie connexe de R2 , alors le projeté de A sur
l’axe des abscisses est un intervalle.
Exercice 1.21. Montrer que si F est un fermé d’un espace connexe, et si Fr(F ) est
connexe, alors F est connexe.
Exercice 1.22. Montrer que R2 privé d’un point est connexe, mais que R privé d’un
point n’est pas connexe. En déduire que R et R2 ne sont pas homéomorphes.
Exercice 1.23. Montrer que l’ensemble des suites bornées à valeurs réelles, muni de la
distance d(a, b) = supn |an − bn |, n’est pas séparable. On pourra utiliser l’ensemble A des
suites à valeurs dans {0, 1}. On rappelle que A n’est pas dénombrable.
2. Espaces vectoriels normés
Exercice 2.1. Montrer que l’espace E = C([0, 1], R) muni de
Z 1
kf k1 =
|f (x)| dx
0
est un espace vectoriel normé non complet. Trouver une série normalement convergente
non convergente à valeurs dans E. Montrer que la norme kf k1 n’est pas équivalente à la
norme kf k∞ = supx∈[0,1] |f (x)|.
Exercice 2.2. Montrer que les formules suivantes définissent bien des normes sur R2 , puis
dessiner la boule unité dans chacun des cas.
p
a) k(x, y)k∞ = max(|x|, |y|)
b) k(x, y)k1 = |x| + |y|
c) k(x, y)k2 = x2 + y 2 .
Exercice
2.3. Soit p ∈ [1, +∞[. On considère l’espace `p (N) des suites réelles vérifiant
P∞
p
n=0 |un | < ∞. On admet que
!1/p
∞
X
kukp =
|un |p
est une norme sur
`p (N).
Montrer que
n=1
p
` (N) est
complet.
Exercice 2.4. Quels sont les evn dont tous les fermés bornés sont compacts? Dont tous
les compacts sont fermés bornés? Dont toutes les boules fermées sont compactes? Dont
toutes les sphères sont compactes?
Exercice 2.5. On considère l’espace de Banach E = C([0, 1]) muni de la norme kf k∞ =
supx∈[0,1] |f (x)|. Soit T : E → E définie par (T f )(x) = ex f (x). Montrer que T est linéaire
continue, et calculer kT k.
Exercice 2.6. Soit aP
= (an )n∈N une suite bornée. Montrer que l’application Ta : `1 (N) →
R définie par Ta (b) = ∞
n=0 an bn est bien définie, linéaire et continue, et que kTa k = kak∞ .
Montrer que a 7→ Ta est un isomorphisme isométrique de `∞ (N) sur `1 (N)∗ .
Exercice 2.7. Soit c0 l’espace des suites réelles convergeant vers 0, muni de la norme k·k∞ .
Montrer que c0 est complet. Soit a = (an )n∈N une
appartenant à `1 (N). Montrer
Psuite
∞
que l’application Ta : c0 → R définie par Ta (b) = n=0 an bn est bien définie, linéaire et
continue, et que kTa k = kak1 . Montrer que a 7→ Ta est un isomorphisme isométrique de
`1 (N) dans (c0 )∗ .
Exercice 2.8. Soient p, q > 1 tels que 1/p + 1/q = 1. Soit (an )n∈N une
appartenant
Psuite
∞
p
q
à ` (N). Montrer que l’application T : ` (N) → R définie par T (b) = n=0 an bn est bien
définie, linéaire et continue, et montrer que kT k = kakp .
4
Exercice 2.9. Soient E l’espace des fonctions C 1 sur [0, 1], et F = C([0, 1]). On munit E
et F de la norme kf k∞ . Montrer que l’application f 7→ f 0 de E dans F n’est pas continue.
Exercice 2.10. Soit E un espace vectoriel normé, F un hyperplan. Montrer que les
assertions suivantes sont équivalentes:
(i) F est fermé;
(ii) il existe ϕ ∈ E 0 tel que F = Ker ϕ;
(iii) F 6= E;
(iv) pour tout a ∈
/ F , l’application (y, z) 7→ y+z de F ×Ra dans E est un isomorphisme
(non isométrique en général) d’espaces vectoriels normés.
Exercice 2.11. Soit E un espace vectoriel normé, F et G deux sous-espaces vectoriels
fermés tels que G soit de dimension finie et E = F ⊕ G. Pour tout z ∈ G, notons
kzk0 = inf y∈F ky + zk. Montrer que kzk0 est une norme sur G. En déduire que les
projections sur F et G sont continues, puis que l’application (y, z) 7→ y + z de F × G dans
E est un isomorphisme (non isométrique en général) d’espaces vectoriels normés.
Exercice 2.12. Soit E un C-espace de Banach et T ∈ L(E). On appelle spectre de T la
partie Sp(T ) = {λ ∈ C; T − λId n’est pas inversible}. Montrer que Sp(T ) est un compact
de C qui contient toutes les valeurs propres de T . (On verra à l’exercice 3.11 que le spectre
est toujours non vide.)
an
Soit E = `1 et, pour tout a = (an )n∈N , soit T a ∈ E défini par (T a)n = n+1
. Montrer
que T est linéaire, continue, que 0 appartient au spectre de T mais que 0 n’est pas une
1
valeur propre. Plus précisément, montrer que Sp(T ) = {0} ∪ { n+1
; n ∈ N}.
Exercice 2.13. Soit E = C([0, 1], R) muni de la norme kf k = supx∈[0,1] |f (x)| et F =
R1
C([0, 1], R) muni de la norme kgk = 0 |g(x)| dx. Montrer que ϕ : E × F → R définie par
R1
ϕ(f, g) = 0 f (x)g(x) dx est bilinéaire continue et déterminer kϕk.
Exercice 2.14. Soit (X, µ) un espace mesuré. Montrer que L∞ (X, µ) est complet. On
procèdera comme suit: soit (fn ) une suite de Cauchy, on veut prouver que (fn ) converge. Montrer que l’on peut supposer kfn − fn+1 k ≤ 2−n . Montrer qu’alors fn converge
simplement p.p. Notons f la limite, montrer que kfn − f k → 0.
Exercice 2.15. Soit T : E → F une application linéaire continue entre deux espaces de
Banach. On suppose qu’il existe α > 0 tel que kT (x)k ≥ αkxk pour tout x. Montrer que
Im T est fermé, et que T induit un isomorphisme d’espaces de Banach de E sur Im T .
Exercice 2.16. Soit E un espace de Banach. Soit G l’ensemble des éléments inversibles
kT −1 k2 kS−T k
de L(E). Montrer que pour tous S, T ∈ G, on a kS −1 − T −1 k ≤ 1−kT
−1 k kS−T k et en
−1
déduire que T 7→ T
est un homéomorphisme de G dans lui-même.
Exercice 2.17. Pour tout a ∈ R, soit τa : Lp (R) → Lp (R) l’application (τa (f ))(x) =
f (x − a). Montrer que pour tout p ∈ [1, +∞[ et tout f ∈ Lp (R), l’application a 7→ τa (f )
est continue (on utilisera le fait que Cc (R) est dense dans Lp (R)).
Qu’en est-il pour p = ∞?
Exercice R2.18. Soit e1 (x) une fonction de classe C ∞ à support compact sur R telle que
e1 ≥ 0, et R e1 = 1 (il en existe).
Soit en (x) = ne1 (nx). Montrer que pour tout p ∈ [1, +∞[ et tout f ∈ Lp (R), en ∗ f est
de classe C ∞ , et en ∗ f → f dans Lp (R).
En déduire que Cc∞ (R) est dense dans Lp (R).
an
Exercice 2.19. Soit T : `2 → `2 l’application (T a)n = n+1
. Montrer que T est linéaire
continue de norme 1. Montrer que T est limite d’opérateurs de rang fini.
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Exercice 2.20. Soient H un espace de Hilbert et F , G deux sous-espaces vectoriels.
Montrer que F ⊥ ∩ G⊥ = (F + G)⊥ et que (F ∩ G)⊥ = F ⊥ + G⊥ .
Exercice 2.21. Soit H un espace de Hilbert et T ∈ L(H). Montrer que (Im T )⊥ = ker T ∗
et (Im T ∗ )⊥ = ker T .
Exercice 2.22. Soit H un espace de Hilbert, et a, b ∈ L(H). Montrer que ka(x)k ≤ kb(x)k
pour tout x si et seulement s’il existe c ∈ L(H) tel que kck ≤ 1 et a = c ◦ b.
Exercice 2.23. Soit H un espace de Hilbert séparable. On considère deux bases
P Hilbertiennes (ei ) et (fj ). On dit qu’un opérateur T ∈ L(H) est de Hilbert-Schmidt si i,j |ha(ei ), fj i|2
converge. On note provisoirement kak2e,f cette somme.
Montrer que kake,f ne dépend pas de la base Hilbertienne f , et que kake,f = ka∗ kf,e .
En déduire que kake,f ne dépend pas de e. On note kakHS = kake,f .
Montrer que l’ensemble des opérateurs de Hilbert-Schmidt, noté HS, est un espace
vectoriel pour lequel kakHS est une norme. Montrer que HS est un espace de Hilbert.
Montrer que kabkHS ≤ kak kbkHS pour tout a ∈ L(H) et b ∈ HS.
Exercice 2.24. (espaces de Sobolev) Soit H m (R) l’ensemble des f ∈ L2 (R) tels que
ξ 7→ |ξ|m fˆ(ξ) appartienne à L2 (R). Montrer que H m (R), muni de la norme kf kH m =
kξ 7→ (1 + |ξ|m ) fˆ(ξ)kL2 , est un espace de Hilbert.
Montrer que si f est m fois dérivable, alors f ∈ H m (R) si et seulement si f , f 0 , . . . , f (m)
appartiennent à L2 (R).
Montrer qu’il existe une et une seule application continue Dm de H s+m (R) dans H s (R)
telle que pour toute fonction f de classe C m à support compact on ait Dm (f ) = f (m) .
Montrer que 1 − D2 est un isomorphisme de H s+2 sur H s
Exercice 2.25. (Espaces de Sobolev II) Soit I =]0, 1[. On note H 1R(I) l’espace des foncx
tions f de [0, 1] dans R telles qu’il existe f 0 ∈ L2 (I) vérifiant f (x) = 0 f 0 (t) dt + constante
(on peut démontrer que f 0 est uniquement déterminée). Montrer que f est nécessairement
continue. On note alors H01 (I) l’espace des f ∈ H 1 (I) vérifiant f (0) = f (1) = 0 et on le
munit de la norme kf k2H 1 = kf k22 + kf 0 k22 . Montrer que H01 (I) est un espace de Hilbert.
0
Exercice 2.26. (Lax-Milgram) Soit H un espace de Hilbert réel. Soit ϕ : H × H → R
une application bilinéaire continue. Montrer qu’il existe T ∈ L(H) vérifiant ϕ(x, y) =
hx, T (y)i.
On suppose de plus que ϕ(x, x) ≥ αkxk2 pour tout x ∈ H, où α est une constante
> 0 (on dit que ϕ est coercive). En utilisant l’exercice 2.15, montrer que l’image de T est
fermée. Montrer ensuite que l’image de T est dense.
Montrer alors le théorème de Lax-Milgram: soit ϕ : H × H → R une application
bilinéaire continue et coercive. Soit g ∈ L(H, R). Alors il existe a ∈ H unique tel que
g(x) = ϕ(x, a) pour tout x ∈ H.
Exercice 2.27. Soit H un espace de Hilbert et a ∈ L(H). Supposons a = a∗ . On dit
que a ≥ 0 si ha(x), xi ≥ 0 pour tout x. Pour tous a, b autoadjoints, on dit que a ≤ b
si b − a ≥ 0. Montrer que ≤ est une relation d’ordre (non totale) sur l’ensemble des
opérateurs autoadjoints.
Exercice 2.28. Montrer que tout opérateur T ∈ L(H) sur un espace de Hilbert est
∗
combinaison linéaire de 4 opérateurs positifs. On remarquera d’abord que T = T +T
+
2
T −T ∗
i 2i est combinaison linéaire de 2 opérateurs autoadjoints.
Exercice 2.29. Soit H un espace de Hilbert. On dit que u est une isométrie partielle de
H s’il existe un sous-espace V tel que u = w ◦ pV , où pV est la projection orthogonale sur
V et w : V → H est une isométrie.
Montrer l’équivalence entre:
6
(i) u est une isométrie partielle;
(ii) u∗ u est un projecteur;
(iii) uu∗ est un projecteur.
De plus, si u est une isométrie partielle, alors u∗ u a pour image (ker u)⊥ et uu∗ a pour
image Im u.
(Pour montrer (ii) =⇒ (iii), on posera p = uu∗ et on établira d’abord (p − p2 )2 = 0.)
Exercice 2.30. (opérateurs compacts) Soit H un espace de Hilbert. On note B la boule
unité fermée de H. On dit que T ∈ L(H) est compact si T (B) est relativement compact (c’est-à-dire que son adhérence est compacte). On note K l’ensemble des opérateurs
compacts.
a) Montrer que tout opérateur de rang fini est compact.
b) On veut montrer que K est fermée. Supposons que Tn ∈ K converge vers T . Soit
xn ∈ B. On veut montrer que la suite (T (xn )) possède une sous-suite convergente. Pour
cela, posons x0,n = xn . Montrer que pour tout k il existe une suite (xk,n )n∈N telle que
(Tk (xk,n ))n∈N converge, et que (xk,n )n∈N soit une suite extraite de (xk−1,n )n∈N . Soit yn =
xn,n , alors en utilisant
T (yn ) − T (yp ) = (T − Tk )(yn ) − (T − Tk )(yp ) + (Tk (yn ) − Tk (yp )),
montrer que (T (yn ))n∈N est une suite de Cauchy. Conclure.
c) En déduire que tout opérateur qui est limite d’opérateurs de rang fini est nécessairement
compact.
d) Réciproquement, supposons que T ∈ K. Pour tout n > 0, montrer qu’il existe un
nombre fini de points y1 , . . . , yk tels que les boules B(yi , 1/n) recouvrent T (B). Soit Pn la
projection orthogonale sur l’espace engendré par y1 , . . . , yk . Montrer que kT − Pn T k ≤ n1 .
Conclure que tout opérateur compact est limite d’une suite d’opérateurs de rang fini.
e) En déduire que K est un idéal bilatère de L(H).
f) Dans quel cas K est-il égal à L(H)?
Exercice 2.31. (Opérateurs compacts autoadjoints)
Dans tout ce qui suit, on fixe un espace de Hilbert séparable H et un opérateur compact
T ∈ L(H) tel que T = T ∗ . (On rappelle que T compact signifie que l’image par T de
la boule unité est relativement compacte). Le but est de montrer qu’il existe une base
Hilbertienne (en )n∈N et une suite λn ∈ R tendant vers 0 telle que T (en ) = λn en pour tout
n. En d’autres termes, T est diagonalisable avec des valeurs propres réelles.
I. On veut d’abord montrer que T est diagonalisable.
(1) Soit Eλ = ker(T − λId). Soit F = ⊕λ Eλ . Montrer que T|F est diagonalisable.
(2) Montrer que F est stable par T , et en déduire que F ⊥ est stable par T .
Par conséquent, en remplaçant H par F ⊥ et T par T|F ⊥ , on peut supposer que T n’a
pas de valeur propre.
(3) Soit M = supkxk=1 hT (x), xi. Montrer que M < ∞.
(4) Soit xn une suite de H telle que kxn k = 1 et hT (xn ), xn i tend vers M . Montrer
qu’il existe une sous-suite (yn ) telle que T (yn ) converge normiquement et yn converge
faiblement.
(5) Notons y la limite faible de (yn ) et z la limite de T (yn ). En utilisant hT (yn ), xi =
hyn , T (x)i, montrer que z = T (y).
(6) Montrer que hT (yn ), yn i tend vers hT (y), yi.
(7) Montrer que kyk = 1 et que hT (y), yi = M .
7
(8) Pour tout x ∈ y ⊥ et tout t ∈ R, montrer que hT (y + tx), y + txi ≤ hT (y), yiky + txk2 .
En déduire que Re hx, T (y)i = 0 pour tout x ∈ y ⊥ .
(9) En déduire que hx, T (y)i = 0 pour tout x ∈ y ⊥ , puis que T (y) et y sont proportionnels. Obtenir une contradiction.
II. On a donc montré que T est diagonalisable, c’est-à-dire qu’il existe une base Hilbertienne (en ) et une suite λn telle que T (en ) = λn en pour tout n.
(1) En utilisant T = T ∗ , montrer que λn ∈ R pour tout n.
(2) Soit ε > 0. Soit I = {n ∈ N| |λn | ≥ ε}. Soit F l’espace vectoriel fermé engendré par
ei (i ∈ I). Soit Br la boule fermée de F de rayon r. Montrer que T (B1 ) contient Bε . En
déduire que Bε est compact, puis que I est fini. Conclure.
III. Réciproquement, montrer que s’il existe une base Hilbertienne (en ) et une suite de
réels λn tendant vers 0 telle que T (en ) = λn en , montrer que T = T ∗ et que T est un
opérateur compact (on pourra montrer que T est limite d’opérateurs de rang fini).
3. Fonctionnelles linéaires
Exercice 3.1. Montrer que si E est un espace réflexif, alors la boule unité de E est
compacte pour la topologie faible.
Exercice 3.2. Montrer que si 1 < p ≤ ∞, p1 + 1q = 1 et fn ∈ Lp (R, µ) une suite bornée
(µ désigne la mesure
R de Lebesgue). Montrer qu’il existe une sous-suite fni telle que pour
tout g ∈ Lq (R, µ), R fni g dµ converge.
Exercice 3.3. Montrer que si E est un e.v.n. et si xn → x faiblement, alors lim inf kxn k ≥
kxk. Réciproquement, montrer que si E est uniformément convexe, alors xn → x normiquement si et seulement si xn → x faiblement et kxn k → kxk. On pourra d’abord montrer
que k xn2+x k → kxk.
Exercice 3.4. Montrer que si λn → +∞ alors fn (x) = eiλn x tend vers 0 faiblement dans
L2 ([0, 2π]), mais ne converge pas normiquement.
Exercice 3.5. Montrer que pour tout espace topologique X et tout e.v.n. E, une application f : X → E est continue pour E muni de la topologie faible si et seulement si pour
tout ϕ ∈ E ∗ , ϕ ◦ f est continue.
Exercice 3.6. Montrer que si E et F sont deux e.v.n. et T : E → F est linéaire continue
(pour E et F munis de la topologie normique), alors T est continue pour E et F munis
de la topologie faible.
Exercice 3.7. Montrer que si E et F sont deux e.v.n. et T ∈ L(E, F ), alors la transposée
tT : F ∗ → E ∗ définie par ϕ 7→ ϕ ◦ T est linéaire continue et de même norme que T .
Exercice 3.8. Avec les mêmes hypothèses, montrer que kT k = supϕ∈F ∗ ,ϕ6=0
kϕ◦T k
kϕk
Exercice 3.9. Soit E un e.v.n. de dimension finie, et A ⊂ E un convexe ouvert. On
suppose que 0 ∈
/ A. Montrer qu’il existe ϕ ∈ E ∗ telle que kϕk = 1 et ϕ(x) ≥ 0 pour tout
x ∈ A (on supposera d’abord que 0 ∈
/ Ā et on munira E d’un produit scalaire). Montrer
que nécessairement, ϕ(x) > 0 pour tout x ∈ A.
Exercice 3.10. Soit E un e.v.n. de dimension finie, A et B des convexes disjoints avec
B ouvert. Montrer que A − B est convexe. En déduire qu’il existe ϕ ∈ E ∗ et c ∈ R telle
que ϕ(a) ≤ c < ϕ(b) pour tous a ∈ A et b ∈ B.
8
Exercice 3.11. On reprend l’exercice 2.12. On suppose que le spectre de T ∈ L(E) est
vide. Pour tout x ∈ E et tout ϕ ∈ E ∗ , la fonction λ 7→ ϕ((T − λ Id)−1 (x)) est une fonction
entière bornée. En déduire que c’est la fonction nulle, puis obtenir une contradiction.
Conclure.
Exercice 3.12. Le théorème de Hahn-Banach (généralisé) dit que le résultat de l’exercice 3.10
est vrai même si E est de dimension infinie. Il suffit pour cela de démontrer le résultat de
l’exercice 3.9. Pour cela, soit a ∈ A et soit B = A − a. On pose p(x) = inf{λ > 0| λx ∈ B},
et on appelle p(x) la jauge de B. Ainsi, si B est la boule unité alors p(x) = kxk. En
reprenant la démonstration du théorème de Hahn-Banach, montrer qu’il existe ϕ ∈ E ∗
telle que ϕ(a) ≥ 1 et |ϕ(x)| < 1 pour tout x ∈ B. Conclure.
4. Théorème de Baire et applications
Exercice 4.1. Soit E un e.v.n. On suppose que k · k et k · k0 sont deux normes telles que
k · k ≤ k · k0 . Est-il possible que (E, k · k) soit complet et (E, k · k0 ) ne le soit pas? Est-il
possible que (E, k · k0 ) soit complet et que (E, k · k) ne le soit pas?
Exercice 4.2. Soient E et F des espaces de Banach. On suppose que T ∈ L(E, F ) est
injective et qu’il existe une suite xn ∈ E vérifiant kxn k = 1 et T (xn ) → 0. Montrer que
l’image de T n’est pas fermée.
Exercice 4.3. Soient E et F des espaces de Banach, et Tn ∈ L(E, F ) (n ∈ N). On suppose
qu’il existe T : E → F telle que limn→∞ Tn (x) = T (x). Montrer que T est continue.
Exercice 4.4. Soit E un espace de Banach, et xn ∈ E une suite. On suppose que xn
converge faiblement. Montrer que (xn ) est bornée. On rappelle que xn définit un élement
du bidual E ∗∗ .
Exercice 4.5. Soient E, F, G des espaces de Banach et ϕ : E × F → G une application
bilinéaire séparément continue. Montrer que ϕ est continue. Pour cela, on posera pour
tout y ∈ F , ψy = ϕ(·, y) ∈ L(E, G) et on appliquera le théorème de Banach-Steinhaus à
la famille d’applications (ψy ).
Exercice 4.6. Soit H un espace de Hilbert et T : H → H une application linéaire (a
priori non nécessairement continue). On suppose qu’il existe une application T ∗ : H → H
telle que pour tout x, y ∈ H on ait
hT (x), yi = hx, T ∗ (y)i.
Montrer que T est continue.
Exercice 4.7. Soit f : E → F une application linéaire entre deux espaces de Banach. On
suppose que pour tout ϕ ∈ F ∗ , ϕ ◦ f est continue. Montrer que f est continue. On pourra
poser, pour tout x ∈ E, Tx : F ∗ → R, ϕ 7→ ϕ(f (x)).
Exercice 4.8. Soient E et F des espaces de Banach. On suppose que f : E → F est une
application linéaire, continue pour E muni de la topologie normique vers F muni de la
topologie faible. Montrer que f est continue de E muni de la topologie normique vers F
muni de la topologie normique.