Exercices d`Analyse Fonctionnelle

Universit´e Paul Verlaine - Metz M1-1 (Analyse fonctionnelle)
Master de math´ematiques 1er semestre 2007-2008
Exercices d’Analyse Fonctionnelle
1. Topologie g´ en´ erale
Exercice 1.1. Montrer que les ´egalit´es et inclusions suivantes sont vraies pour toutes
parties Aet Bde tout espace topologique. Dans le cas o`u une seule inclusion est donn´ee,
montrer qu’il n’y a pas ´egalit´e en g´en´eral.
a) A∩B⊂A∩Bb) ˚ A∪˚ B⊂˚
z }| {
A∪B
c) ∪n∈NAn⊂ ∪n∈NAnd) ˚
z }| {
∩n∈NAn⊂ ∩n∈N˚ Ane) ˚ A⊂˚
˚
A.
f) ˚ A⊂¯ Ag) ˚
˚
A=˚ A
Exercice 1.2. Soit Eun espace topologique.
a) Pour toute partie Ade Eet tout ouvert Vde E, montrer que A∩V=∅ ⇐⇒ A∩V=∅.
b) Soient Uet Vdeux ouverts tels que U∩V=∅. D´eduire du a) que ˚ U∩V=∅puis que
˚
U∩˚ V=∅.
Exercice 1.3. Montrer que les inclusions suivantes sont vraies pour toute fonction con-
tinue f:E→Fet toutes parties A⊂Eet B⊂F, mais qu’il n’y a pas ´egalit´e en
g´en´eral.
a) f−1(˚ B)⊂
˚
z }| {
f−1(B)b) f−1(B)⊂f−1(¯ B)c) f(¯ A)⊂f(A)
Exercice 1.4. Soient Eet Fdeux espaces topologiques, f:E→Fet (Ui)i∈Iun re-
couvrement de Epar une famille (´eventuellement infinie) d’ouverts. On suppose que la
restriction de f`a Uiest continue pour tout i. Montrer que fest continue.
Exercice 1.5. Soient Eet Fdeux espaces topologiques, f:E→Fet (Fk)1≤k≤nun
recouvrement de Epar une famille finie de ferm´es. On suppose que la restriction de f`a
Fnest continue pour tout n. Montrer que fest continue. La conclusion reste-t-elle vraie
si la famille de ferm´es n’est pas n´ecessairement finie?
Exercice 1.6. Montrer que deux boules ouvertes quelconques de R2sont hom´eomorphes.
Existe-t-il un espace m´etrique Eet deux boules ouvertes de Equi ne sont pas hom´eomorphes?
Montrer que [0,1] et {(x, y)∈[0,1]2;y=x2}sont hom´eomorphes.
Expliquer pourquoi une sph`ere de R3priv´ee d’un point est hom´eomorphe `a R2.
Exercice 1.7. Montrer qu’un espace topologique est s´epar´e si et seulement si la diagonale
de E×Eest ferm´ee.
Exercice 1.8. Soit f:E→Fune application, Oune topologie sur E. Soit O0l’ensemble
des parties Ude Ftelles que f−1(U)∈ O. Montrer que O0est une topologie, et que
c’est la topologie la plus fine qui rende fcontinue. Montrer que si g:F→Gest une
application de Fdans un espace topologique G, alors gest continue si et seulement si g◦f
est continue. [On dit que O0est la topologie finale associ´ee `a l’application f.]
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Exercice 1.9. Soit Eun espace s´epar´e, A⊂E,B⊂E.
a) Montrer que si Aest compact et Bferm´e alors A∩Best compact.
b) Montrer que si Aet Bsont compacts alors A∩Best compact.
Exercice 1.10. Montrer que si A⊂Rnet B⊂Rnsont compacts alors A+B={x+y|x∈
A, y ∈B}est compact.
Exercice 1.11. a) Quels sont les espaces topologiques tels que de tout recouvrement (non
n´ecessairement ouvert) on peut extraire un sous-recouvrement fini?
b) Quels sont les espaces m´etriques tels qu’il existe un recouvrement ouvert fini?
Exercice 1.12. Soit Eun espace topologique s´epar´e, a∈Eet Kune partie compacte de
Ene contenant pas a. Montrer qu’il existe des ouverts disjoints Uet Vtel que a∈Uet
K⊂V.
En d´eduire que si Aet Bsont des parties compactes disjointes de E, alors il existe des
ouverts disjoints Uet Vtels que A⊂Uet B⊂V.
Exercice 1.13. Montrer que dans un espace compact E, tout point admet une base de
voisinages compacts. Pour cela, si x∈Eet Uest un voisinage ouvert de x, on appliquera
l’exercice pr´ec´edent `a xet Uc.
Exercice 1.14. On dit qu’un espace topologique Eest localement compact s’il est s´epar´e
et si tout point admet un voisinage compact. D’apr`es l’exercice pr´ec´edent, cela ´equivaut
au fait que tout point admet une base de voisinages compacts.
On suppose que Eest un espace localement compact non compact. On va construire
sur K=E∪ {∞} une topologie telle que Ksoit compact (on appelle Kle compactifi´e
d’Alexandrov): on dit qu’une partie Ude Kest ouverte si elle v´erifie les deux conditions
suivantes:
•U∩Eest un ouvert et
•dans le cas o`u ∞ ∈ U,Ucontient le compl´ementaire d’une partie compacte de E.
Montrer que Oest bien une topologie, que Kest compact, que la topologie induite sur E
est bien la topologie de Eet que Eest dense dans K.
Exercice 1.15. Soit Eun espace localement compact. Montrer que tout ferm´e Fde E
et tout ouvert Ude Esont localement compacts. En d´eduire que U∩Fest localement
compact. Montrer que {(x, y)∈R2;x2+y≥5etx > 12}est localement compact.
Exercice 1.16. On veut montrer la r´eciproque de l’exercice pr´ecedent. Soit Eun espace
localement compact et soit Aune partie localement compacte. Soit F=A. Pour tout
x∈A, il existe par d´efinition un voisinage compact Kxde xdans l’espace topologique A.
a) Montrer qu’il existe un voisinage Uxde xdans Etel que Ux∩A=Kx
b) Montrer que A⊂(˚ Ux)c∪Kx.
c) En d´eduire que ˚ Ux∩A⊂Kx.
d) Soit U=∪x∈X˚ Ux. Montrer que U∩F=A.
Exercice 1.17. Soit Eun espace m´etrique compact et f:E→Eune isom´etrie. Montrer
que fest bijective. Pour cela, on consid`ere x∈Eet ε > 0. Soit xn=fn(x). Montrer
qu’il existe met ntels que m<net d(xn, xm)< ε. En d´eduire que d(x, xn−m)< ε.
Conclure que f(E) est dense dans E, puis que f(E) = E.
Exercice 1.18. Parmi les parties Ade Rsuivantes, d´eterminer celles qui sont connexes.
Pour celles qui ne le sont pas, trouver une d´ecomposition A=B∪Cavec Bet Cdeux
ouverts ferm´es disjoints non vides.
a) A=R+b) A= [0,1[∪{2}c) A=Q.

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Exercice 1.19. L’intersection de deux parties connexes d’un espace topologique est-elle
connexe?
Exercice 1.20. Montrer que si Aest une partie connexe de R2, alors le projet´e de Asur
l’axe des abscisses est un intervalle.
Exercice 1.21. Montrer que si Fest un ferm´e d’un espace connexe, et si Fr(F) est
connexe, alors Fest connexe.
Exercice 1.22. Montrer que R2priv´e d’un point est connexe, mais que Rpriv´e d’un
point n’est pas connexe. En d´eduire que Ret R2ne sont pas hom´eomorphes.
Exercice 1.23. Montrer que l’ensemble des suites born´ees `a valeurs r´eelles, muni de la
distance d(a, b) = supn|an−bn|, n’est pas s´eparable. On pourra utiliser l’ensemble Ades
suites `a valeurs dans {0,1}. On rappelle que An’est pas d´enombrable.
2. Espaces vectoriels norm´ es
Exercice 2.1. Montrer que l’espace E=C([0,1],R) muni de
kfk1=Z1
0
|f(x)|dx
est un espace vectoriel norm´e non complet. Trouver une s´erie normalement convergente
non convergente `a valeurs dans E. Montrer que la norme kfk1n’est pas ´equivalente `a la
norme kfk∞= supx∈[0,1] |f(x)|.
Exercice 2.2. Montrer que les formules suivantes d´efinissent bien des normes sur R2, puis
dessiner la boule unit´e dans chacun des cas.
a) k(x, y)k∞= max(|x|,|y|)b) k(x, y)k1=|x|+|y|c) k(x, y)k2=px2+y2.
Exercice 2.3. Soit p∈[1,+∞[. On consid`ere l’espace `p(N) des suites r´eelles v´erifiant
P∞
n=0 |un|p<∞. On admet que
kukp= ∞
X
n=1
|un|p!1/p
est une norme sur `p(N). Montrer que `p(N) est complet.
Exercice 2.4. Quels sont les evn dont tous les ferm´es born´es sont compacts? Dont tous
les compacts sont ferm´es born´es? Dont toutes les boules ferm´ees sont compactes? Dont
toutes les sph`eres sont compactes?
Exercice 2.5. On consid`ere l’espace de Banach E=C([0,1]) muni de la norme kfk∞=
supx∈[0,1] |f(x)|. Soit T:E→Ed´efinie par (T f )(x) = exf(x). Montrer que Test lin´eaire
continue, et calculer kTk.
Exercice 2.6. Soit a= (an)n∈Nune suite born´ee. Montrer que l’application Ta:`1(N)→
Rd´efinie par Ta(b) = P∞
n=0 anbnest bien d´efinie, lin´eaire et continue, et que kTak=kak∞.
Montrer que a7→ Taest un isomorphisme isom´etrique de `∞(N) sur `1(N)∗.
Exercice 2.7. Soit c0l’espace des suites r´eelles convergeant vers 0, muni de la norme k·k∞.
Montrer que c0est complet. Soit a= (an)n∈Nune suite appartenant `a `1(N). Montrer
que l’application Ta:c0→Rd´efinie par Ta(b) = P∞
n=0 anbnest bien d´efinie, lin´eaire et
continue, et que kTak=kak1. Montrer que a7→ Taest un isomorphisme isom´etrique de
`1(N) dans (c0)∗.
Exercice 2.8. Soient p,q > 1 tels que 1/p + 1/q = 1. Soit (an)n∈Nune suite appartenant
`a `p(N). Montrer que l’application T:`q(N)→Rd´efinie par T(b) = P∞
n=0 anbnest bien
d´efinie, lin´eaire et continue, et montrer que kTk=kakp.

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Exercice 2.9. Soient El’espace des fonctions C1sur [0,1], et F=C([0,1]). On munit E
et Fde la norme kfk∞. Montrer que l’application f7→ f0de Edans Fn’est pas continue.
Exercice 2.10. Soit Eun espace vectoriel norm´e, Fun hyperplan. Montrer que les
assertions suivantes sont ´equivalentes:
(i) Fest ferm´e;
(ii) il existe ϕ∈E0tel que F=Ker ϕ;
(iii) F6=E;
(iv) pour tout a /∈F, l’application (y, z)7→ y+zde F×Radans Eest un isomorphisme
(non isom´etrique en g´en´eral) d’espaces vectoriels norm´es.
Exercice 2.11. Soit Eun espace vectoriel norm´e, Fet Gdeux sous-espaces vectoriels
ferm´es tels que Gsoit de dimension finie et E=F⊕G. Pour tout z∈G, notons
kzk0= infy∈Fky+zk. Montrer que kzk0est une norme sur G. En d´eduire que les
projections sur Fet Gsont continues, puis que l’application (y, z)7→ y+zde F×Gdans
Eest un isomorphisme (non isom´etrique en g´en´eral) d’espaces vectoriels norm´es.
Exercice 2.12. Soit Eun C-espace de Banach et T∈ L(E). On appelle spectre de Tla
partie Sp(T) = {λ∈C;T−λId n’est pas inversible}. Montrer que Sp(T) est un compact
de Cqui contient toutes les valeurs propres de T. (On verra `a l’exercice 3.11 que le spectre
est toujours non vide.)
Soit E=`1et, pour tout a= (an)n∈N, soit T a ∈Ed´efini par (T a)n=an
n+1 . Montrer
que Test lin´eaire, continue, que 0 appartient au spectre de Tmais que 0 n’est pas une
valeur propre. Plus pr´ecis´ement, montrer que Sp(T) = {0}∪{ 1
n+1 ;n∈N}.
Exercice 2.13. Soit E=C([0,1],R) muni de la norme kfk= supx∈[0,1] |f(x)|et F=
C([0,1],R) muni de la norme kgk=R1
0|g(x)|dx. Montrer que ϕ:E×F→Rd´efinie par
ϕ(f, g) = R1
0f(x)g(x) dxest bilin´eaire continue et d´eterminer kϕk.
Exercice 2.14. Soit (X, µ) un espace mesur´e. Montrer que L∞(X, µ) est complet. On
proc`edera comme suit: soit (fn) une suite de Cauchy, on veut prouver que (fn) con-
verge. Montrer que l’on peut supposer kfn−fn+1k ≤ 2−n. Montrer qu’alors fnconverge
simplement p.p. Notons fla limite, montrer que kfn−fk → 0.
Exercice 2.15. Soit T:E→Fune application lin´eaire continue entre deux espaces de
Banach. On suppose qu’il existe α > 0 tel que kT(x)k ≥ αkxkpour tout x. Montrer que
Im Test ferm´e, et que Tinduit un isomorphisme d’espaces de Banach de Esur Im T.
Exercice 2.16. Soit Eun espace de Banach. Soit Gl’ensemble des ´el´ements inversibles
de L(E). Montrer que pour tous S,T∈ G, on a kS−1−T−1k ≤ kT−1k2kS−Tk
1−kT−1k kS−Tket en
d´eduire que T7→ T−1est un hom´eomorphisme de Gdans lui-mˆeme.
Exercice 2.17. Pour tout a∈R, soit τa:Lp(R)→Lp(R) l’application (τa(f))(x) =
f(x−a). Montrer que pour tout p∈[1,+∞[ et tout f∈Lp(R), l’application a7→ τa(f)
est continue (on utilisera le fait que Cc(R) est dense dans Lp(R)).
Qu’en est-il pour p=∞?
Exercice 2.18. Soit e1(x) une fonction de classe C∞`a support compact sur Rtelle que
e1≥0, et RRe1= 1 (il en existe).
Soit en(x) = ne1(nx). Montrer que pour tout p∈[1,+∞[ et tout f∈Lp(R), en∗fest
de classe C∞, et en∗f→fdans Lp(R).
En d´eduire que C∞
c(R) est dense dans Lp(R).
Exercice 2.19. Soit T:`2→`2l’application (T a)n=an
n+1 . Montrer que Test lin´eaire
continue de norme 1. Montrer que Test limite d’op´erateurs de rang fini.

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Exercice 2.20. Soient Hun espace de Hilbert et F,Gdeux sous-espaces vectoriels.
Montrer que F⊥∩G⊥= (F+G)⊥et que (F∩G)⊥=F⊥+G⊥.
Exercice 2.21. Soit Hun espace de Hilbert et T∈ L(H). Montrer que (Im T)⊥= ker T∗
et (Im T∗)⊥= ker T.
Exercice 2.22. Soit Hun espace de Hilbert, et a, b ∈ L(H). Montrer que ka(x)k ≤ kb(x)k
pour tout xsi et seulement s’il existe c∈ L(H) tel que kck ≤ 1 et a=c◦b.
Exercice 2.23. Soit Hun espace de Hilbert s´eparable. On consid`ere deux bases Hilberti-
ennes (ei) et (fj). On dit qu’un op´erateur T∈ L(H) est de Hilbert-Schmidt si Pi,j |ha(ei), fji|2
converge. On note provisoirement kak2
e,f cette somme.
Montrer que kake,f ne d´epend pas de la base Hilbertienne f, et que kake,f =ka∗kf,e.
En d´eduire que kake,f ne d´epend pas de e. On note kakHS =kake,f .
Montrer que l’ensemble des op´erateurs de Hilbert-Schmidt, not´e HS, est un espace
vectoriel pour lequel kakHS est une norme. Montrer que HS est un espace de Hilbert.
Montrer que kabkHS ≤ kak kbkHS pour tout a∈ L(H) et b∈HS.
Exercice 2.24. (espaces de Sobolev) Soit Hm(R) l’ensemble des f∈L2(R) tels que
ξ7→ |ξ|mˆ f(ξ) appartienne `a L2(R). Montrer que Hm(R), muni de la norme kfkHm=
kξ7→ (1 + |ξ|m)ˆ f(ξ)kL2, est un espace de Hilbert.
Montrer que si fest mfois d´erivable, alors f∈Hm(R) si et seulement si f,f0, . . . , f(m)
appartiennent `a L2(R).
Montrer qu’il existe une et une seule application continue Dmde Hs+m(R) dans Hs(R)
telle que pour toute fonction fde classe Cm`a support compact on ait Dm(f) = f(m).
Montrer que 1 −D2est un isomorphisme de Hs+2 sur Hs
Exercice 2.25. (Espaces de Sobolev II) Soit I=]0,1[. On note H1(I) l’espace des fonc-
tions fde [0,1] dans Rtelles qu’il existe f0∈L2(I) v´erifiant f(x) = Rx
0f0(t)dt+constante
(on peut d´emontrer que f0est uniquement d´etermin´ee). Montrer que fest n´ecessairement
continue. On note alors H1
0(I) l’espace des f∈H1(I) v´erifiant f(0) = f(1) = 0 et on le
munit de la norme kfk2
H1
0
=kfk2
2+kf0k2 2. Montrer que H1 0(I) est un espace de Hilbert.
Exercice 2.26. (Lax-Milgram) Soit Hun espace de Hilbert r´eel. Soit ϕ:H×H→R
une application bilin´eaire continue. Montrer qu’il existe T∈ L(H) v´erifiant ϕ(x, y) =
hx, T (y)i.
On suppose de plus que ϕ(x, x)≥αkxk2pour tout x∈H, o`u αest une constante
>0 (on dit que ϕest coercive). En utilisant l’exercice 2.15, montrer que l’image de Test
ferm´ee. Montrer ensuite que l’image de Test dense.
Montrer alors le th´eor`eme de Lax-Milgram: soit ϕ:H×H→Rune application
bilin´eaire continue et coercive. Soit g∈ L(H, R). Alors il existe a∈Hunique tel que
g(x) = ϕ(x, a) pour tout x∈H.
Exercice 2.27. Soit Hun espace de Hilbert et a∈ L(H). Supposons a=a∗. On dit
que a≥0 si ha(x), xi ≥ 0 pour tout x. Pour tous a, b autoadjoints, on dit que a≤b
si b−a≥0. Montrer que ≤est une relation d’ordre (non totale) sur l’ensemble des
op´erateurs autoadjoints.
Exercice 2.28. Montrer que tout op´erateur T∈ L(H) sur un espace de Hilbert est
combinaison lin´eaire de 4 op´erateurs positifs. On remarquera d’abord que T=T+T∗
2+
iT−T∗
2iest combinaison lin´eaire de 2 op´erateurs autoadjoints.
Exercice 2.29. Soit Hun espace de Hilbert. On dit que uest une isom´etrie partielle de
Hs’il existe un sous-espace Vtel que u=w◦pV, o`u pVest la projection orthogonale sur
Vet w:V→Hest une isom´etrie.
Montrer l’´equivalence entre: