Correction du Devoir en temps libre : no V

—- 23 Mars 2016
Correction du Devoir en temps libre : noV
Les nombres de la forme 2n−1 où nest un entier naturel non nul sont appelés nombres de Mersenne.
1On désigne par a,b et ctrois entiers naturels non nuls tels que pgcd(b;c) = 1. Prouver, à l’aide du
théorème de Gauss, que : « si bdivise aet cdivise aalors le produit bc divise a. »
Par hypothèse bdivise aet cdivise a, il existe donc deux entiers ket ltels que :
a=kb et a=lc.
On a donc kb =lc, ce qui donne que bdivise lc.
Or pgcd(b;c) = 1, donc les nombres bet csont premiers entre eux.
Le théorème de Gauss permet d’affirmer bdivise l, il existe donc un entier k0tel que : l=k0b.
Ainsi a=lc =k0bc =k0×bc.
Ayant a=k0×bc, avec k0entier, on a prouvé que le produit bc divise a. Donc « si bdivise aet cdivise a
alors le produit bc divise a. »
2On considère le nombre de Mersenne 233 −1. Un élève utilise sa calculatrice et obtient les résultats
ci-dessous.
(233 −1) ÷3 2863311530
(233 −1) ÷4 4 2147483648
(233 −1) ÷12 12 715827882,6
Il affirme que 3 divise (233 −1) et 4 divise (233 −1) et 12 ne divise pas (233 −1).
a. En quoi cette affirmation contredit-elle le résultat démontré à la question 1) ?
Si 3 divise (233 −1) et 4 divise (233 −1) ,comme 3 et 4 sont premiers entre eux, avec le 1) on déduit
que 3 ×4 = 12 divise (233 −1). D’où la contradiction.
b. Justifier que, en réalité, 4 ne divise pas (233 −1).
On a par exemple 233 = 22×231 = 4 ×231 ;
Donc 233 est un multiple de 4, soit 233 ≡0mod(4),puis en ajoutant -1 :
233 −1≡ −1mod(4), soit 233 −1≡3mod(4).
Le reste de la division euclidienne de 233 −1 par 4 est 3. Donc 4 ne divise pas (233 −1).
c. En remarquant que 2 ≡ −1[3], montrer que, en réalité, 3 ne divise pas233 −1.
2≡ −1[3],
comme les congruences sont compatibles avec les puissances :233 ≡(−1)33[3],
soit 233 ≡ −1[3]
puis 233 −1≡ −2[3]
233 −1≡1[3]
Le reste de la division euclidienne de 233 −1 par 3 est 1. Donc 3 ne divise pas (233 −1).
d. Calculer la somme S= 1 + 23+232+233+···+2310
1

On reconnaît ici la somme de 11 termes de la suite géométrique de premier terme 1 de raison 23
S= 1 + 23+232+233+···+2310 =1−RaisonNombre de termes
1−Raison ×Premier terme
=1−2311
1−23×1
=1−233
1−8
=233 −1
7
On a donc S= 1 + 23+232+233+···+2310 =233 −1
7
e. E n déduire que 7 divise 233 −1.
En multipliant par 7 ; on obtient :
233 −1=71 + 23+232+233+···+2310
Ce qui prouve que 7 divise 233 −1.
3On considère le nombre de Mersenne 27−1. Est-il premier ? Justifier.
27−1 = 128 −1 = 127.
Si 127 n’est pas premier il admet un diviseur premier inférieur ou égal à √127 ≈11.3
On teste donc les diviseurs premiers inférieurs ou égaux à 11 : soit 2 ;3 ;5 ;7 et 11.
• D’après les critères de divisibilité, 127 n’est pas divisible par 2, 3, 5 ou 11.
• et 127 = 7 ×18 + 1, donc 127 n’est pas divisible par 7.
2, 3, 5, 7 et 11 ne divisent pas 127 donc 127 est un nombre premier.
4On donne l’algorithme, ci-dessous, où MOD(N , k) représente le reste de la division euclidienne de N
par k.
Variables n entier naturel supérieur ou égal à3
k entier naturel supérieur ou égal à 2
Entrées et Initialisation : Affecter à kla valeur 2
Demander à l’utilisateur la valeur de n
Affecter à kla valeur 2
Traitement et sorties : Tant que MOD(2n−1,k),0 et k≤√2n−1
Affecter à kla valeur k+ 1
Fin Tant que
Afficher k
Si k > √2n−1 alors
Afficher « Cas 1 »
Sinon
Afficher « Cas 2 »
Fin Si
a. Qu’affiche cet algorithme si on saisit n= 33 ? Et si on saisit n= 7 ?
Pour n= 33, on teste les diviseurs successifs : 2 ;3 ;4 ; 5 ;6 ;7.
L’algorithme affiche 7 et "CAS 2" .
En effet 7 est un diviseur de 233 −1, donc la boucle tant que s’arrête à k= 7.
Comme 7 ≤√233 −1 , l’algorithme affiche "CAS 2" .
si on saisit n= 7 on teste les diviseurs successifs : 2 ;3 ;4 ; 5 ;6 ;7···, jusqu’à 11 , puisqu’on
s’arrête à √27−1≈11;3 127 est un nombre premier.
L’algorithme affiche 12 et "CAS 1" .
2

b. Que représente le CAS 2 pour le nombre de Mersenne étudié ?
Que représente alors le nombre kaffiché pour le nombre de Mersenne étudié ?
Le CAS 2 correspond à un nombre de Mersenne non premier, car il existe un kqui divise 2n−1
inférieur à √2n−1. k= 7 pour 233 −1.
c. Que représente le CAS 1 pour le nombre de Mersenne étudié ?
Le CAS 1 correspond à un nombre de Mersenne premier comme 27−1.
3