M308 : Théorie des groupes

Université des Sciences et Technologies de Lille
U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées
M308 : Théorie des groupes
Clément BOULONNE
Avec la participation de Jean-Yves PALLARO,
d’après des notes de cours données par Chenxi GUO.
Cours dispensé par Pierre Debes
L3 Mathématiques 2008 - 2009

Table des matières
1 Structures de groupe 5
1.1 Généralités ...................................... 5
1.2 Structure induite ................................... 5
1.3 Morphisme de groupe ................................. 8
1.4 Structure produit direct ............................... 10
1.5 Structure quotient .................................. 10
1.6 Groupes monogènes .................................. 16
1.7 Automorphismes intérieurs, groupes simples .................... 18
2 Groupe opérant sur un ensemble 21
2.1 Groupe de permutations ............................... 21
2.2 Action d’un groupe .................................. 25
2.3 Produit semi-direct .................................. 36
3 Théorèmes de Sylow 43
3.1 p-groupes ....................................... 43
3.2 Théorèmes de Sylow ................................. 45
3.3 Applications ...................................... 45
4 Groupes abéliens, groupes nilpotents, résolubles 47
4.1 Groupes abéliens ................................... 47
4.2 Commutateurs et groupes dérivés .......................... 50
3

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Chapitre 1
Structures de groupe
1.1 Généralités
Définition 1.1. On appelle groupe la donnée (G, ◦)d’un ensemble Get d’une loi (ou opération)
de composition interne, c’est-à-dire une application
G×G7→ G
(g1, g2)→g1.g2.
vérifiant :
1. Associativité : x◦(y◦z) = (x◦y)◦z
2. Élément neutre : il existe e∈Gtel que e◦x=x◦e=x
3. Élément symétrique : ∀x∈G, il existe x0∈Gtel que x◦x0=x0◦x=e. On note x0=x−1.
Remarque 1.2. Si en plus, on a la commutativité : x◦y=y◦x, le groupe est commutatif ou
abélien. Dans ce cas, en général, la loi est notée +.
Exemples 1.3. 1. (Z/nZ,+),(Q∗,×),(Z,+) sont abéliens.
2. (GLm(C),×)et (Sn,◦)sont non abéliens.
Remarque 1.4. Si Gest un groupe, alors on a : ∀a, n, b ∈G
a.n =bks+3+3
n=a−1b
a−1.(a.n) = a−1.b
2:
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
et
a.n =a.y ⇔n=y,
n.a =y.a ⇔n=y.
Définition 1.5. On appelle ordre du groupe Gle cardinal du groupe G. On note |G|= card(G).
1.2 Structure induite
Définition 1.6. Étant donné un groupe (G, ◦), un sous-groupe de Gest la donnée d’un sous-
ensemble Hde Gtel que Hmuni de la loi induite (ou restriction) de GàHsoit un groupe,
c’est-à-dire :
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