Cours et exercices (version 09/2014) - UTC

MT90/91-Fonctions d’une variable réelle
Chapitre 6 : Formules de Taylor et développements limités
Équipe de Mathématiques Appliquées
UTC
Septembre 2014
5

Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
Documents
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2
Chapitre 6
Formules de Taylor et développements limités
6.1 Les Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
6.2 Les développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6.3 Applications des développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

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3
6.1 Les Formules de Taylor
6.1.1 La formule de Taylor pour les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . 4
6.1.2 Le développement de Taylor avec reste de Lagrange . . . . . . . . 6
6.1.3 Les développements de Mac-Laurin de l’exponentielle et du loga-
rithme ...................................... 9
6.1.4 Les développements de Mac-Laurin des fonctions trigonométriques 11
6.1.5 Le développement de Mac-Laurin de la fonction puissance . . . . 13
6.1.6 Le développement de Taylor avec reste de Young . . . . . . . . . . 15
Dans le cas d’un polynôme de degré n, la connaissance de la valeur de Pet de ses dérivées
jusqu’à l’ordre nen un point a, permet de déterminer Pen tout point x(=a+h)∈R. Cette pro-
priété n’est plus vérifiée pour une fonction quelconque. La connaissance de la valeur de fet de
ses dérivées jusqu’à l’ordre nen un point apermet seulement de connaître une approximation de
la valeur de f (a+h), à l’ordre n en a (on verra une définition précise de cette expression plus loin),
en la confondant avec la valeur en hd’un polynôme Pn, appelé "partie régulière" de sa formule
de Taylor.

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4ÏÏ
6.1.1 La formule de Taylor pour les polynômes
Exercices :
Exercice A.1.1
Proposition 6.1.1. Soit P(x)une fonction polynôme de degré n, alors on a la formule
P(x)=P(0)+P0(0)
1! x+P00(0) 2! x2+P(3)(0) 3! x3+···+ P(n)(0) n!xn, (6.1.1)
où P0(.), P00(.),..., P(n)(.) dénotent les fonctions dérivées successives de la fonction polynôme P .
Démonstration - La relation (6.1.1) est vérifiée si degP=0 puisque, dans ce cas P(x)=a0=P(0).
Supposons la vérifiée pour degP≤n. Soit Pde degré n+1, on a
P(x)=an+1xn+1+Q(x)
où Q(x) est de degré au plus n. Nous avons alors la relation (voir exercice)
dk
dxkxn+1=(n+1)n(n−1)···(n+2−k)xn+1−k,k=1,2,...,n+1

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Exemples
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ÎÎ 5
La formule de
Taylor pour les
polynômes
ce qui implique
P(k)(0) =Q(k)(0), ∀k=0, 1,..., net P(n+1)(0) =an+1(n+1)!.
Alors, en utilisant aussi l’hypothèse de récurrence sur Q, nous arrivons à
P(x)=P(0)+P0(0)
1! x+P00(0) 2! x2+P(3)(0) 3! x3+···+ P(n)(0) n!xn+an+1xn+1.
soit
P(x)=P(0)+P0(0)
1! x+P00(0) 2! x2+P(3)(0) 3! x3+···+ P(n)(0) n!xn+P(n+1)(0) (n+1)! xn+1.