Suite du cours du 11/10 qui devait être faite le 18/10. A RECOPIER

Suite du cours du 11/10 qui devait être faite le 18/10. A RECOPIER POUR LUNDI 8/11
6)Propriété fondamentale du pgcd :
Pour tout a, b et k dans ZZ
pgcd(a ; b) = pgcd(a – kb ; b)
Démo (faite en exercice et à refaire dans le DM3)
7)Algorithme d’Euclide :
Soient a et b dans IN*
a = bq1 + r1 avec 0  r1  b
si r1 = 0 alors b / a
donc pgcd(a ; b) = b.(c’est fini)
si r1  0 alors d’après le lemme d’Euclide et sa démonstration :
pgcd(a ;b) = pgcd(b ; r1) et D(a ; b) = D(b ; r1)
or b = r1q2 + r2 avec 0  r2  r1
si r2 = 0 alors r1/ b et pgcd(a ; b) = pgcd((b ; r1) = r1 .(c’est fini)
si r2  0 alors pgcd(a ; b) = pgcd(b ; r1) = pgcd(r1 ; r2)
et
D(a ; b) = D(r1 ; r2)
or r1 = q3r2 + r3 avec 0  r3  r2 …
On construit ainsi une suite d’entiers naturels ( r k ) telle que b > r1 > r2 > …rn  0
La suite (rk) est décroissante et son nombre de termes non nuls est fini.(ce sont des entiers de plus en
plus petits entre 0 et b)
pgcd(a ; b) =pgcd(rn – 1 ; rn) = pgcd(rn ; 0) = rn (dernier reste non nul) et D(a ; b) = D(rn ; 0) = D(rn)
On retiendra que pgcd(a ; b) est le dernier reste non nul dans l’algorithme d’Euclide et que
l’ensemble des diviseurs communs à a et b est l’ensemble des diviseurs du pgcd(a ; b )
Exemple : a= 1636 b =1128
a = 1636
b = 1128
r1 = 508
r1 = 508
r2 = 112
r2 = 112
r3 = 60
r3 = 60
r4 = 52
r4 = 52
r5 = 8
r5 = 8
r6 = 4
r6 = 4
r7 = 0
On en déduit que : pgcd(1636 ; 1128) = 4
8)Nombres premiers entre eux :
Déf : Soient a  ZZ* et b  ZZ* .
a et b sont premiers entre eux
(leur seul diviseur naturel commun est 1)
signifie que pgcd(a ; b) = 1
Remarque : ne pas confondre « premiers » et « premiers entre eux »
22 et 15 sont « premiers entre eux » car pgcd (22 ; 15) = 1
mais 22 n’est pas « premier » et 15 n’ est pas « premier ».
9)Propriété multiplicative du pgcd :
Pour tout a  IN* , b  IN* et k  IN*
pgcd(ka ; kb ) = k pgcd(a ; b)
Démo : En modifiant chaque étape de l’algorithme d’Euclide,
Si a = bq + r avec 0  r  b alors ka = kbq + kr avec 0  kr  kb
Donc pgcd(ka ; kb) = pgcd( kb ; kr)…
Donc pgcd(ka ; kb) = pgcd( krn ; 0) = krn = k pgcd(a ; b)