Exercice 1 : Comment choisir le nombre entier relatif n pour que n

Contrôle de maths
Mercredi 4 novembre
Durée : 1 heure
TS SPE
Calculatrice autorisée
Exercice 1 :
Comment choisir le nombre entier relatif n pour que n divise n + 15 ?
n divise n et n + 15, n divise donc toute combinaison linéaire de n et n + 15, en particulier, n divise n + 15 – n =
15. n est donc un diviseur de 15,
Réciproquement, si n est un diviseur de 15, comme n divise n, il divise toute combinaison linéaire de n et de 15,
en particulier n + 15.
Donc n divise n + 15 si et seulement si n est un diviseur de 15.
4 pts
Donc n ∈ {–1 ; –3 ; –5 ; –15 ; 1 ; 3 ; 5 ; 15}.
Exercice 2 :
On donne l'égalité suivante : 327 × 253 + 401 = 83132
2 pts
Effectuer, sans utiliser la calculatrice, la division euclidienne de
a) 83132 par 327. 83132 = 327 × 253 + 401 ⇔ 83132 = 327 × 254 + (401 – 327) = 327 × 254 + 74.
Pour cette division euclidienne, le quotient est donc 254 et le reste 74 (on a bien 0  74 < 327).
b) – 83132 par 253. 83132 = 327 × 253 + 401
⇔ –83132 = –327 × 253 – 401
⇔ –83132 = –329 × 253 – 401 + 2 × 253
⇔ –83132 = –329 × 253 + 105
2 pts
Pour cette division euclidienne, le quotient est donc –329 et le reste 105 (on a bien 0  105 < 253).
Exercice 3 :
Déterminer tous les entiers naturels qui, divisés par 5, donnent un quotient double du reste.
On a donc 2y × 5 + y = x avec 0  y < 5
x
5
donc 11 y = x avec 0  y < 5
y
2y
4 pts
Donc x ∈ {0 ; 11 ; 22 ; 33 ; 44}
Exercice 4 :
Déterminer les nombres entiers relatifs x et y tels que (x + 1)3 × y = 16.
Les diviseurs de 16 sont –16 ; –8 ; –4 ; –2 ; –1 ; 1 ; 2 ; 4 ; 8 et 16.
Les seuls qui sont des cubes sont –8 = (–2)3 ; –1 = (–1)3 ; 1 = 13 et 8 = 23 ;
On a donc
(x + 1)3 = –8 ⇔ x + 1 = –2 ⇔ x = –3 et donc y = –2
ou
(x + 1)3 = –1 ⇔ x + 1 = –1 ⇔ x = –2 et donc y = –16
ou
(x + 1)3 = 8 ⇔ x + 1 = 2 ⇔ x = 1 et donc y = 2
ou
(x + 1)3 = 1 ⇔ x + 1 = 1 ⇔ x = 0 et donc y = 16
On a donc S = {(–3 ; –2) ; (–2 ; –16) ; (1 ; 2) ; (0 ; 16)}
4 pts
Exercice 5 : (4 points)
n désigne un entier naturel. Démontrer que n(n + 1)(2n + 1) est divisible par 6.
Cas 1 : n ≡ 0 mod(6)
alors n(n + 1)(2n + 1) ≡ 0 mod(6)
Cas 2 : n ≡ 1 mod(6)
alors n + 1 ≡ 2 mod(6) et 2n + 1 ≡ 3 mod(6)
Donc (n + 1)(2n + 1) ≡ 6 ≡ 0 mod(6)
Donc n(n + 1)(2n + 1) ≡ 0 mod(6)
Cas 3 : n ≡ 2 mod(6)
alors n + 1 ≡ 3 mod(6)
Donc n(n + 1) ≡ 6 ≡ 0 mod(6)
Donc n(n + 1)(2n + 1) ≡ 0 mod(6)
Cas 4 : n ≡ 3 mod(6)
alors n + 1 ≡ 4 mod(6)
Donc n(n + 1) ≡ 12 ≡ 0 mod(6)
Donc n(n + 1)(2n + 1) ≡ 0 mod(6)
Cas 5 : n ≡ 4 mod(6)
alors 2n + 1 ≡ 9 mod(6)
Donc n(2n + 1) ≡ 36 ≡ 0 mod(6)
Donc n(n + 1)(2n + 1) ≡ 0 mod(6)
Cas 6 : n ≡ 5 mod(6)
alors n + 1 ≡ 6 ≡ 0 mod(6)
Donc n(n + 1)(2n + 1) ≡ 0 mod(6)