3ar01 – simplifier des fractions

Pierre-Yves Gouiffes – Collège Joseph-Anglade (Lézignan-Corbières)
3AR01 – SIMPLIFIER DES FRACTIONS
III
Nombres et calculs
Simplifier une fraction pour la rendre irréductible
On se propose de simplifier les fractions suivantes :
42 25 84 1 224 637
; ;
;
;
60 42 105 936 285
42
On simplifie à l’aide des critères de divisibilité.
60
42 est divisible par 6 car ………………………
60 est divisible par 6 car ………………………
42 6 × … …
=
=
60 6 × … …
25
On dresse la liste des diviseurs de 25 puis de 42.
42
Diviseurs de 25 : {… ; … ; …}.
Diviseurs de 42 : {.. ; .. ; … ; … ; … ; … ; … ; …}
Le seul diviseur commun de 25 et 42 est : …
On dit que 25 et 42 sont ………………………………
25
et que la fraction est ………………………………
42
84
On dresse la liste des diviseurs de 84 et de 105.
105
Diviseurs de 84 : {. ; . ; . ; .. ; .. ; .. ; .. ; .. ; .. ; .. ; .. ; }.
Diviseurs de 105 : {.. ; .. ; .. ; … ; … ; … ; … ; …}.
Diviseurs communs de 84 et 105 : {… ; … ; … ; …}.
Le plus grand de ces diviseurs communs est : …
On dit que … est le ……… de 84 et 105.
84 … × … …
=
=
105 … × … …
1224
L’algorithme1 des différences
936
Les nombres sont plus grands que les
précédents. Dresser la liste des diviseurs serait
fastidieux. On va donc utiliser une autre méthode.
Si a > b alors PGCD(a ; b) = PGCD(b ; a – b).
1 224 – 936 = …
…–…=…
…–…=…
…–…=…
…–…=…
…–…=…
Méthode de calcul dont le nom vient du mathématicien arabe
Mohamed Al Khwarizmi (788-850). Son premier ouvrage
Kitab al jabr est à l’origine du mot « algèbre ».
2
3
4
On applique le même algorithme.
…–…=…
…–…=…
…–…=…
…–…=…
…–…=…
…–…=…
…–…=…
…–…=…
…–…=…
…–…=…
…–…=…
…–…=…
…–…=…
…–…=…
…–…=…
donc PGCD(637 ; 285) = …
637 et 285 sont donc …………………
637
La fraction
est …………………
285
1224
L’algorithme d’Euclide2
936
On va tester une troisième méthode.
Si r est le reste de la division euclidienne de a par b et
si a > b alors PGCD(a ; b) = PGCD (b ; r).
1 224 = 1 × 936 + 288
936 = … × 288 + …
… = … × … + … donc PGCD(1 224 ; 936) = …
On voit que cet algorithme est beaucoup plus rapide.
637
285
On applique l’algorithme d’Euclide.
…=… ×…+…
…=… ×…+…
…=… ×…+…
donc PGCD(637 ; 285) = …
…=… ×…+…
…=… ×…+…
AFRIQUE DE L’OUEST, 2005
1.
2.
…–…=…
…–…=…
donc PGCD (1 224 ; 936) = …
1 224 … × … …
=
=
936 … × … …
1
637
285
1
3.
2
288 et 224 sont-ils premiers entre eux ?
…………………………………………………
Déterminer le PGCD de 288 et 224.
On applique l’algorithme d’Euclide.
… = … × … + … …. = … × … + …
…=… ×…+…
donc PGCD(… ; …) = …
224
Ecrire la fraction
sous forme irréductible.
288
224 … × … …
=
=
288 … × … …
Mathématicien grec (330-275 avant J.-C.) considéré comme le
« père de la géométrie ».