Algèbre discrète (2° quadrimestre)

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Facult´ e des Sciences Appliqu´ ees
Alg` ebre
Deuxi` eme partie
Math´ ematiques discr` etes
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Eric J.M. DELHEZ
Juillet 2008

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Chapitre 6
Th´ eorie des ensembles.
6.1 Ensemble.
La th´eorie des ensembles, d’abord ´enonc´ee en 1895 par le math´ematicien allemand
Georg Cantor (1845-1918), constitue la fondation de la pens´ee math´ematique. En effet, le
langage de la th´eorie des ensembles est utilis´e dans tous les domaines des math´ematiques.
Un ensemble est une collection d’objets distincts, appel´es ´el´ements de l’ensemble.
Dans ces notes, nous indiquerons les ensembles par des lettres majuscules et les
´el´ements par des lettres minuscules. La relation d’appartenance d’un ´el´ement a`a un
ensemble Ss’´ecrit a∈S(6.1)
La n´egation de a∈Ss’´ecrit a6∈ S.
On d´ecrit tr`es souvent un ensemble en donnant la liste de tous ses ´el´ements entre
accolades. On dit alors que l’ensemble est d´efini en extension .
EXEMPLE 6.1 L’ensemble des voyelles est d´ecrit par
A={a,e,i,o,u,y}
⋄
EXEMPLE 6.2 La notation {2}d´esigne un ensemble dont le seul ´el´ement est 2. On ne doit
cependant pas confondre l’ensemble {2}avec l’´el´ement 2. ⋄
Le principe d’extension affirme qu’un ensemble est compl`etement d´efini par ses
´el´ements. Deux ensembles seront donc dits ´egaux si et seulement s’ils sont constitu´es
des mˆemes ´el´ements. Remarquons que l’ordre dans lequel les ´el´ements sont cit´es ainsi
que le fait qu’un mˆeme ´el´ement soit ´enum´er´e `a plusieurs reprises sont sans importance.
EXEMPLE 6.3 L’ensemble A={1,3,3,5,5,5}est ´egal `a l’ensemble B={5,1,3}, soit
A=B
⋄
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CHAPITRE 6. TH´ EORIE DES ENSEMBLES. 177
On peut ´egalement d´efinir un ensemble en compr´ehension , c’est-`a-dire en donnant
une propri´et´e P(x)qui caract´erise les ´el´ements xde cet ensemble.
EXEMPLE 6.4 La d´efinition en compr´ehension B={x|xest un naturel inf´erieur ou ´egal `a 10}est
´equivalente `a B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
⋄
Pour d´efinir un ensemble Aen compr´ehension, il est n´ecessaire de disposer d’un
ensemble de baseUparmi les ´el´ements duquel on recherche ceux qui v´erifient la propri´et´e
P. Cet ensemble Uest appel´ee un univers (ou ensemble universel )1.
En g´en´eral, on ´ecrira donc A={x∈U|P(x)}(6.2)
ou A={x|x∈Uet P(x)}(6.3)
Dans cette ´ecriture, la barre verticale |(parfois remplac´ee par “ :”) se lit “tel que”.
Les ensembles usuels
•N: l’ensemble des naturels ={0,1,2,···}
•Z: l’ensemble des entiers ={0,1,−1,+2,−2,···}
•Q: l’ensemble des nombres rationnels
•R: l’ensemble des nombres r´eels
•C: l’ensemble des nombres complexes
apparaissent comme tels ou comme univers en math´ematique.
Remarquons que l’´ecriture en extension d’un ensemble n’est possible que si
l’ensemble ne contient qu’un nombre limit´e d’´el´ements ou si les ´el´ements sont reli´es entre
eux par un lien logique ´evident `a la vue des quelques premiers ´el´ements de l’ensemble.
1PARADOXE DE RUSSEL. La d´efinition d’un univers permet d’´eviter le paradoxe suivant.
La plupart des ensembles ne sont pas des ´el´ements d’eux-mˆemes. Par exemple, l’ensemble des entiers
n’est pas un entier et l’ensemble des chevaux n’est pas non plus un cheval. Cependant, l’ensemble des id´ees
abstraites est une id´ee abstraite. Plus g´en´eralement, soit
A={X|Xest un ensemble et X6∈ X}
La question de savoir si A∈Aest alors sans r´eponse puisque les propositions A∈Aet A6∈ Asont toutes
deux fausses.
Si, par contre, on ne d´efinit les ensembles que comme sous-ensembles d’univers, alors le paradoxe
disparaˆıt puisque A={X∈U|X6∈ X}
implique alors A6∈ A. En effet, si A∈A, alors A6∈ Acomme ´el´ement de A. Par contre, A6∈ Ane conduit `a
aucune contradiction mais simplement au fait que A6∈U.
De fac¸on plus pr´ecise encore, on peut d´evelopper une th´eorie des ensembles bas´ee sur une hi´erarchie
de niveaux T0,T1,...,Tk,..., appel´es types . Le type le plus bas, i.e. T0, correspond aux ´el´ements. ` A tout
autre type Tkcorrespondent des ensembles constitu´es d’´el´ements appartenant au type Tk−1imm´ediatement
inf´erieur dans la hi´erarchie. Ainsi, dans cette approche, tout ensemble appartient `a un et un seul type Tk
(k>0)et, pour tout ensemble A, on a n´ecessairement A6∈ A.

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CHAPITRE 6. TH´ EORIE DES ENSEMBLES. 178
EXEMPLE 6.5 L’ensemble {1,3,5,7,9,11,···} d´esigne manifestement l’ensemble des naturels
impairs, soit de fac¸on ´equivalente
{n∈N|n=2k+1 pour k∈N}
⋄
L’ensemble qui ne contient aucun ´el´ement est l’ ensemble vide ou nul . On le repr´esente
par φ. Grˆace `a cette d´efinition, on peut ´enoncer le principe d’abstraction :
´
Etant donn´e un univers Uet une propri´et´e P, il existe toujours un ensemble A
dont les ´el´ements sont ceux de Uposs´edant la propri´et´e P.
6.2 Sous-ensemble.
Un ensemble Aest un sous-ensemble ou une partie d’un ensemble Bsi tous les
´el´ements de Asont ´egalement des ´el´ements de B. Ceci s’´ecrit A⊂Bou B⊃A. On dit
aussi que Aest inclus dans B.
Inversement, An’est pas un sous-ensemble de Bsi un ´el´ement de Aau moins
n’appartient pas `a B. Dans ce cas, on ´ecrit A6⊂ B.
Remarquons que l’on r´eserve parfois la notation A⊂Bau cas o`u Aest un sous-
ensemble propre
de B, c’est-`a-dire si Aest un sous-ensemble de Bet s’il existe au moins
un ´el´ement de Bn’appartenant pas `a A(soit A6=B). Dans ce cadre, on ´ecrit A⊆Bpour
signaler que Aest un sous-ensemble, propre ou non, de B. Nous n’utiliserons pas cette
notation dans ces notes.
EXEMPLE 6.6 Les ensembles N,Z,Qet Rd´efinis pr´ec´edemment v´erifient
N⊂Z⊂Q⊂R
⋄
D’apr`es la d´efinition d’un sous-ensemble, il est ´evident que l’on a toujours
φ⊂Aet A⊂A(6.4)
On peut ´egalement traduire la relation d’´egalit´e entre deux ensembles en termes de
sous-ensembles : A=B⇔A⊂Bet B⊂A(6.5)
Ainsi donc, pour d´emontrer que deux ensembles sont ´egaux, on prouvera souvent
qu’ils sont des sous-ensembles l’un de l’autre.
EXEMPLE 6.7 Pour d´eterminer si les ensembles Aet Bd´efinis par
A={n∈Z|n=2po`u p∈Z}
B={m∈Z|m=2q−2 o`u q∈Z}

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CHAPITRE 6. TH´ EORIE DES ENSEMBLES. 179
sont ´egaux, on examinera successivement les propositions A⊂Bet B⊂A.
D’une part, si n∈A, alors, il existe p∈Ztel que
n=2p=2(p+1)−2
=2q−2
o`u q=p+1∈Z. D`es lors, n∈Bet A⊂B.
D’autre part, pour tout m∈B, il existe q∈Ztel que
m=2q−2=2(q−1)
=2p
o`u p=q−1∈Zde sorte que m∈Aet B⊂A.
En conclusion, on trouve donc A=B.⋄
6.3 Diagramme de Venn.
Les relations entre des ensembles et les op´erations sur ceux-ci peuvent ˆetre
avantageusement interpr´et´ees sur un diagramme de Venn. Un tel diagramme est une
repr´esentation graphique des ´el´ements des ensembles par des points dans le plan.
L’univers Uest repr´esent´e (si n´ecessaire) par l’int´erieur d’un rectangle et les autres
ensembles par des zones du plan d´elimit´ees par des courbes ferm´ees.
La construction du diagramme de Venn est r´egie par les trois r`egles suivantes :
– Si Aet Bsont disjoints, c’est-`a-dire s’ils n’ont aucun ´el´ement en commun, les zones
repr´esentant Aet Bsont disjointes.
– Si A⊂B, la zone repr´esentant Aest enti`erement contenue dans la zone
repr´esentant B.
– Si Aet Bposs`edent des ´el´ements en commun (sans que A⊂Bni B⊂A), alors les
zones repr´esentant Aet Bse chevauchent.
EXEMPLE 6.8 La relation entre les ensembles Z,Qet Rpeut ˆetre repr´esent´ee par
R
QZ
U
FIG. 6.1
⋄