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chap.1
3ème- Nombres entiers et rationnels-PGCD
I)
Nature des nombres
Diapo nature des nombres
On peut l’écrire sous la
forme d’un quotient de 2
entiers relatifs
II)
On peut l’écrire sous la
forme d’un quotient d’un
entier relatif par une
puissance de 10
Multiples - diviseurs.
http://www.ac-reims.fr/datice/math/exob2i/exo5/pgcd.htm
reims.fr/datice/math/exob2i/exo5/pgcd.htm
Définition : La division euclidienne
euclidien de l’entier a par l’entier b (b ≠ 0) est l’opération qui
permet de calculer le quotient entier q et le reste r tels que a = bq + r avec 0 ≤ r p b
L'écriture "posée" de la division:
division
Ex :
465
33
48
9
écriture en ligne :
Cas particulier : lorsque le reste est nul ( c’est-à-dire a=bq) on dit que b est un diviseur de a ou que a
est un multiple de b
Exemples :
• diviseurs de 8 :
• diviseur de 12 :
• diviseurs de 34 :
Critères de divisibilités : un
n nombre entier est divisible :
- par 2, si son chiffre des unités est pair,
- par 5, si son chiffre des unités est 0 ou 5,
- par 10, si son chiffre des unités est 0,
- par 3, si la somme de ses chiffres est divisible par 3,
- par 9, si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
III)
Diviseurs communs
Définition :
Un diviseur commun à a et à b est un nombre entier qui divise à la fois a et b.
Exemples :
•
•
1, 2 et 4 sont des diviseurs communs à 8 et 12.
Listes des diviseurs communs de 84 et 56 : 2, 4, 14, et 28.
Remarque : 1 est toujours un diviseur commun à a et b.
Définition :
Parmi les diviseurs communs à a et b, l’un d’eux est plus grand que les autres.
On l’appelle le Plus Grand Commun Diviseur : PGCD.
On le note : PGCD(a;b)
Exemples :
•
•
IV)
Le plus grand diviseur commun à 8 et 12 est 4.
PGCD(84 ;56)=28.
Recherche du PGCD
1)
Propriété
Si d est un diviseur commun à deux entiers naturels
diviseur de a  b et de a b.
a et b avec a  b alors d est également un
Démo : d divise a donc il existe un nombre entier a' tel que a = a' × d.
d divise b donc il existe un nombre entier b' tel que b = b' × d.
On en déduit que a + b = a' × d + b' × d = (a' + b') × d donc d divise bien a + b.
De la même manière on a :
a – b = a' × d – b' × d = (a' – b') × d donc d divise bien a – b.
Ex : 8 est un diviseur commun à 16 et 40. 8 est aussi un diviseur de 56 et 24
2) Algorithmes
Le mot « algorithme » vient d’une déformation du nom du mathématicien perse al Khwarizmi
(IXème siècle).
Un algorithme est une succession de manipulations sur les nombres qui s’exécutent toujours de
la même façon.
Propriété : PGCD (a ;b) = PGCD (a-b)
Démo : Le PGCD d de a et de b, divise a – b. Donc d est un diviseur de d' .
Parmi les diviseurs de a et de a – b , d' est le plus grand, donc d ' ≥ d .
d ' étant le PGCD de b et a – b divise aussi leur somme b + a – b = a.
Parmi les diviseurs de a et b, d est le plus grand donc d' ≤ d .
d ≤ d' et d ' ≤ d donc d = d ' . Si a > b, PGCD(a ; b) = PGCD (b ; a – b).
Méthode 1: L’algorithme des différences
Déterminons PGCD(252,360) :
- on soustraie le plus grand par le plus petit :
360 – 252 = 108
- on soustraie les plus petits entre eux :
252 – 108 = 144
- on soustraie les plus petits entre eux :
144 – 108 = 36
- on soustraie les plus petits entre eux :
108 – 36 = 72
- on soustraie les plus petits entre eux :
72 – 36 = 36
- on soustraie les plus petits entre eux :
36 – 36 = 0
- la différence est nulle, on arrête.
PGCD(252,360) = 36 (dernière différence non nulle)
Propriété : PGCD (a ;b) = PGCD (b ;r)
Méthode 1: L’algorithme d’Euclide
Déterminons PGCD(252,360)
360 = 252×1 + 108
252 = 108×2 + 36
108 = 36×3 + 0
le reste est nul, on arrête.
PGCD(252 , 360) = 36 (dernier reste non nul)
V)
Nombres premiers entre eux.
Définition :
Deux nombres sont dits premiers entre eux si leur PGCD vaut 1.
Exemples :
• 24 et 35 sont premiers eux : 35=241+11 ; 24=112+2 ; 11=25+1 ; 2=12+0,
donc PGCD(24 ;35)=1.
• 24 et 36 ne sont pas premiers entre eux : ils sont tous les deux divisibles par 3.
VI)
Fractions irréductibles.
Définition :
Une fraction dont le numérateur et le dénominateur
sont premiers entre eux est appelée fraction
irréductible
Exemples :
7
48
est une fraction irréductible,
n’est pas une fraction irréductible (car
18
34
PGCD(48 ;34)≠1).
Propriété pour rendre une fraction irréductible :
a÷ d
Si PGCD(a;b)=d, alors b ÷ d est irréductible
Démo : d étant le plus grand diviseur commun à a et b, on en déduit que les nombres et
n'ont pas de diviseurs communs. Ils sont donc premiers entre eux.
௔
௕
et sont premiers entre eux. Leur PGCD vaut donc 1, on ne peut donc plus simplifier la
ௗ
ௗ
fraction qui est donc irréductible.
Exemple :
Pour rendre une fraction irréductible, on peut appliquer l’algorithme d’Euclide :
646 17 × 38 38
=
=
697 17 × 41 41