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chap.1 3

ème

-

I) Nature des nombres

Diapo nature des nombres

II) Multiples - diviseurs.

http://www.ac-

reims.fr/datice/math/exob2i/exo5/pgcd.htm

Définition : La

division euclidien

permet de calculer le quotient entier q et le reste r tels que

L'écriture "posée" de la division

Ex : 465 48

33 9

écriture en ligne

Cas particulier : lorsque le

reste est nul

est un multiple de b

Exemples :

•

diviseurs de 8

•

diviseur de 12

•

diviseurs de 34

Critères de divisibilités : u

n nombre entier est divisible

-

par 2, si son chiffre des unités est pair,

-

par 5, si son chiffre des unités est 0 ou 5,

-

par 10, si son chiffre des unités

-

par 3, si la somme de ses chiffres est divisible par 3,

-

par 9, si la somme de ses chiffres est divisible par 9.

III) Diviseurs communs

On peut l’écrire

sous la

forme d’un quotient

de 2

entiers relatifs

Nombres entiers et rationnels-PGCD

Diapo nature des nombres

reims.fr/datice/math/exob2i/exo5/pgcd.htm

division euclidien

ne de l’entier a par l’entier b (b

≠

0) est l’opération qui

permet de calculer le quotient entier q et le reste r tels que

a = bq + r avec

L'écriture "posée" de la division

:

écriture en ligne

:

reste est nul

( c’est-à-dire a=bq) on dit que b est un

diviseur

diviseurs de 8

:

diviseur de 12

:

diviseurs de 34

:

n nombre entier est divisible

:

par 2, si son chiffre des unités est pair,

par 5, si son chiffre des unités est 0 ou 5,

par 10, si son chiffre des unités

est 0,

par 3, si la somme de ses chiffres est divisible par 3,

par 9, si la somme de ses chiffres est divisible par 9.

On peut l’écrire

sous la

forme d’un quotient d’un

entier relatif par une

puissance de 10

de 2

0) est l’opération qui

a = bq + r avec

0r b≤p

diviseur

de a ou que a

sous la

forme d’un quotient d’un

Définition :

Exemples :

• 1, 2 et 4 sont des diviseurs communs à 8 et 12.

• Listes des diviseurs communs de 84 et 56 : 2, 4, 14, et 28.

Remarque : 1 est toujours un diviseur commun à a et b.

Définition :

Exemples :

• Le plus grand diviseur commun à 8 et 12 est 4.

• PGCD(84 ;56)=28.

IV) Recherche du PGCD

1) Propriété

Si

d

est un diviseur commun à deux entiers naturels

a

et

b

avec

a



b

alors

d

est également un

diviseur de

a



b

et de

a



b

.

Démo : d divise a donc il existe un nombre entier a' tel que a = a' × d.

d divise b donc il existe un nombre entier b' tel que b = b' × d.

On en déduit que a + b = a' × d + b' × d = (a' + b') × d donc d divise bien a + b.

De la même manière on a :

a – b = a' × d – b' × d = (a' – b') × d donc d divise bien a – b.

Ex : 8 est un diviseur commun à 16 et 40. 8 est aussi un diviseur de 56 et 24

2) Algorithmes

Le mot « algorithme » vient d’une déformation du nom du mathématicien perse al Khwarizmi

(IXème siècle).

Un algorithme est une succession de manipulations sur les nombres qui s’exécutent toujours de

la même façon.

Propriété : PGCD (a ;b) = PGCD (a-b)

Démo : Le PGCD d de a et de b, divise a – b. Donc d est un diviseur de d' .

Parmi les diviseurs de a et de a – b , d' est le plus grand, donc d ' ≥ d .

d ' étant le PGCD de b et a – b divise aussi leur somme b + a – b = a.

Parmi les diviseurs de a et b, d est le plus grand donc d' ≤ d .

d ≤ d' et d ' ≤ d donc d = d ' . Si a > b, PGCD(a ; b) = PGCD (b ; a – b).

Méthode 1: L’algorithme des différences

Déterminons PGCD(252,360) :

- on soustraie le plus grand par le plus petit :

360 – 252 = 108

Un diviseur commun à

a

et à

b

est un nombre entier qui divise à la fois

a

et

b

.

Parmi les diviseurs communs à

a

et

b

, l’un d’eux est plus grand que les autres.

On l’appelle le Plus Grand Commun Diviseur : PGCD.

On le note

: PGCD(

a

;

b

)