énergie - Physique PCSI1 Lycée Michelet

PCSI1
Lycée Michelet
ÉNERGIE
1) Vérifier que l’angle α est suffisamment élevé pour que le glissement
puisse avoir lieu.
2) Calculer la variation de l’énergie mécanique due au frottement entre le
haut et le bas du toboggan.
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3) Déterminer la vitesse de la personne en bas du toboggan. La comparer
à celle qu’elle aurait s’il n’y avait pas de frottement.
On représente la trajectoire d’un objet jeté en l’air. On note v la norme
de son vecteur vitesse et on compare v aux points A, B et C (A et C
étant situés sur une même horizontale). Quelle est la bonne proposition ?
On justifiera soigneusement sa réponse.
Réponses : avec frottements v = 7, 7 m.s−1 ;
sans frottement v = 9, 9 m.s−1 .
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(a) vA > vB > vC
(c) vA = vC > vB
(b) vA > vC > vB
(d) vC > vA > vB
Une balle tombe d’une hauteur ho = 1 m sur un plancher sur lequel elle
rebondit. Elle repart vers le haut avec une vitesse v1 = evo , vo étant
la vitesse de la balle lorsqu’elle atteint le plancher. Le coefficient de
restitution e est égal à 0, 8. On négligera les frottements de l’air.
Quelles sont les hauteurs h1 , h2 .. et hn atteintes par la balle après le
premier rebond, le second.. le nieme ?
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Distance de freinage
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Calculer la distance D de freinage d’une voiture lancée à la vitesse v0 sur
une route horizontale (µ coefficient de frottement solide entre les roues et
la route). On néglige les frottements de l’air.
Application numérique : v0 = 40 m.s−1 , g = 10 m.s−2 , µ = 0, 6 (route
sèche), puis µ = 0, 2 (route mouillée).
Une particule fixe, de charge électrique q est placée à l’origine O d’un axe
Ox (problème à une dimension axiale). On néglige le poids des particules.
1) On lance à une distance a de O une seconde particule, de charge −q et
de masse m, dans une direction tendant à l’éloigner de O. Quelle vitesse
initiale v0 doit-on lui communiquer pour qu’elle échappe à l’attraction de
la particule fixe placée en O ? On pourra justifier sa réponse à l’aide d’un
graphique énergétique.
Réponses : D = 133 m ; D = 400 m.
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Limites de trajectoire et énergie
Toboggan
Un adulte (m = 70 kg) descend un toboggan d’une hauteur h = 5, 0 m
faisant un angle α = 45◦ avec le sol. En présence de frottements solide, la
−→
→
−
norme de la composante tangentielle RT de la réaction R est donnée par
−→
−→
−→
kRT k = f kRN k où f est le coefficient de frottement (f = 0, 4) et RN est
la composante normale de la réaction. On prendra g = 9, 8 m.s−2 .
2) La particule mobile a maintenant la charge + q et sa vitesse initiale est
dirigée vers O. Montrer que cette particule ne peut atteindre O ; calculer
la distance minimale d’approche b en fonction de v0 .
D’après vous, dans quel but cherche-t-on a rapprocher deux charges positives ?
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Mouvement d’une bille sur un support
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Une bille de masse m est déposée à une hauteur h sur un support, dont
la seconde partie est circulaire de rayon R = h/2. Aucun frottement n’est
envisagé.
Détermination de positions d’équilibre. Étude
de leur stabilité
On considère le système représenté sur la
figure ci-contre. La masse m glisse sans
frottement le long de l’axe Ox. Elle est
attachée à un ressort de longueur à vide
lo , de raideur k, fixé en A d’abscisse a.
1) Montrer que le mouvement est conservatif et exprimer Ep (x), l’énergie potentielle de la masse m à une constante additive près.
A
a
O
M
x
2) En déduire les positions d’équilibre possibles. On distinguera les trois
cas suivant :
– a < lo
– a = lo
– a > lo
a) Quelle sera la vitesse maximale atteinte par la bille ?
~ du support en foncb) Déterminer l’expression de la réaction normale N
tion de θ.
3) Étudier la stabilité des positions d’équilibre déterminées précédemment.
4) Déterminer la période des petites oscillations au voisinage des positions
d’équilibre stables dans le cas où a < lo et a > lo .
c) En déduire pour quelle valeur de l’angle θ la bille décolle.
5) On se place dans le cas a = lo . Établir l’équation des oscillations au voisinage de la position d’équilibre stable. Montrer que l’on
n’obtient plus d’oscillations harmoniques. On note T , la période des oscillations et x0 leur amplitude. Établir une relation intégrale entre T et x0 .
Il pourra être utile pour faire cet exercice de consulter le site :
http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/
Meca/Oscillateurs/ressort_bifur.html
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R0 = 1, 82.103 km. Il pourra être assimilé à une masse ponctuelle M0 placée en son centre. On rappelle que champ de pesanteur ~g est lié à la force
gravitationnelle F~ s’exerçant sur une masse m par la relation F~ = m~g .
B.2.a. On note ~g0 = −g0 ~er le champ gravitationnel à la surface de Io.
Exprimer g0 en fonction de G constante gravitationnelle, M0 et R0 .
B.2.b. On note ~g = −g ~er le champ gravitationnel à l’altitude h. Exprimer
g en fonction de G , M0 , R0 et h, puis en fonction de g0 , R0 et h. Calculer
g
le rapport .
g0
B.2.c. Que pensez-vous de l’approximation faite au 1. ? A-t-elle conduit à
surestimer ou à sous-estimer la vitesse d’éjection des débris ? On fournira
une réponse argumentée, mais ne comportant pas de calcul.
Éruption volcanique sur Io.
A - Préambule
A.1. On considère la force de pesanteur m~g = −mg ~ez . Déterminer l’expression de l’énergie potentielle dont dérive cette force, à une constante
additive près. Déterminer cette constante dans le cas particulier où on
choisit Ep = 0 en z = 0.
A.2. On considère un point matériel M de masse m, placé dans le champ
gravitationnel d’un astre à symétrie sphérique de masse M0 et de centre O.
On admettra que cet astre est assimilable à un point confondu avec son
−−→
centre O et de masse M0 . On note OM = r ~er .
A.2.a. Donner l’expression de la force gravitationnelle F~ qui s’exerce sur
la masse m en coordonnées sphériques, en fonction de m, M0 , G constante
gravitationnelle, r et ~er vecteur unitaire des coordonnées sphériques.
−−→
A.2.b. Rappeler l’expression du déplacement élémentaire dOM en coordonnées sphériques. En déduire l’expression du travail élémentaire de la
force F~ .
A.2.c. Déterminer l’expression de l’énergie potentielle dont dérive F~ , à
une constante additive près. On choisit Ep nulle à l’infini. En déduire la
valeur de la constante.
B.3. On tient désormais compte de la variation de g avec l’altitude.
En utilisant une méthode énergétique, déterminer la vitesse v 0 d’éjection des débris à la surface de Io. On exprimera v 0 en fonction de G ,
M0 , R0 et h puis en fonction de g0 , R0 et h. Faire l’application numérique.
B - Étude du panache volcanique
À partir des données envoyées par l’engin spatial Voyager 1 en 1979, l’ingénieure
Linda Morabito a découvert sur Io, un des satellites de Jupiter, la première activité volcanique extra-terrestre. Le panache de l’éruption s’élevait à une altitude
h = 280 km environ (on considèrera que cette donnée comporte deux chiffres
significatifs). Io ne possède quasiment pas d’atmosphère, on négligera donc toute
force de frottement. On suppose le référentiel lié à Io (i.e dans lequel Io est fixe)
galiliéen.
B.1. Sachant que le champ de pesanteur à la surface de Io vaut g0 = 1, 8
m.s−2 et en supposant qu’il reste constant sur toute la hauteur du panache, déterminer la vitesse v à laquelle les débris étaient projetés de la
surface de Io. On exprimera tout d’abord v en fonction de g0 et h puis on
fera l’application numérique.
B.2. Io est un satellite de forme sphérique, de masse M0 , de rayon
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