Corrigé DS - Institut de Mathématiques de Bordeaux

Université Bordeaux 1 Master CSI
Mathématiques M1MA7W01
Année 2011-2012 Arithmétique
Devoir Surveillé du 9 novembre 2011
Corrigé
Exercice 1 –On considère dans F5[X]le polynôme P(X) = X3−X+ 1 et on note A
l’anneau F5[X]/(P(X)).
1) Quelle est la caractéristique de A? Quel est son cardinal ? Montrer que An’est pas
un corps.
On a trivialement car(A)=5et card(A)=53= 125. Comme X3−X+ 1 =
(X+ 2)(X2+ 3X+ 3) dans F5[X],P(X)n’est pas irréductible et An’est pas un
corps.
2) Déterminer dans F5[X]les polynômes unitaires de degré 62non premiers avec
P(X).
On vérifie que X2+3X+3 n’a pas de racine dans F5, et est donc irréductible dans F5[X]
car de degré 2. Les polynômes recherchés sont les multiples unitaires de X+ 2 et X2+
3X+3 de degré 62. Ce sont X+2,X(X+2) = X2+2X,(X+1)(X+2) = X2+3X+2,
(X+2)(X+2) = X2+4X+4,(X+3)(X+2) = X2+1,(X+4)(X+2) = X2+X+3 (les
multiples de X+2) et X2+3X+3 (le seul multiple unitaire de degré 62de X2+3X+3).
3) En déduire le cardinal de A×.
Les éléments de A×correspondent aux polynômes de degré 62premiers avec P(X). Il
faut donc exclure les polynômes non premiers avec P(X). Il y a 0et les polynômes précé-
dents multipliés par une constante non nulle (4possibilités). On en a donc 1+4×7 = 29.
Par suite car(A×) = 125 −29 = 96.
4) Calculer X5,X10 et X25 modulo P(X)et montrer que pour tout ξ∈Aon a ξ25 =ξ.
Soit αla classe de Xdans A. On a α3=α−1d’où α4=α2−α. Le calcul donne
α5=α3−α2=−α2+α−1,
puis
α10 =α4+α2+ 1 −2α3+ 2α2−2α= 4α2−5α+ 3 = 4α2+ 3.
Enfin, α25 =−α10 +α5−1car Aest de caractéristique 5 et cela conduit à
α25 =−4α2−3−α2+α−1−1 = α.
Tout ξ∈As’écrit aα2+bα +coù (a, b, c)∈F3
5. Comme Aest de caractéristique 5, on
a
ξ25 =a25α50 +b25 α25 +c25,

ce qui donne par ce qui précède et par x5=xpour tout x∈F5,
ξ25 =aα2+bα +c=ξ.
5) Le groupe A×est-il cyclique ?
Non, sinon il contiendrait un élément d’ordre multiplicatif son cardinal i.e. 96. Or par
la question précédente, si ξ∈A×on a ξ24 = 1 et l’ordre de ξdivise 24.
6) Quels sont a priori les ordres possibles des éléments de A×? Montrer que la classe
de Xdans Aest un élément de A×d’ordre maximal, et que pour chaque ordre possible
dprécédemment recensé, il existe dans A×un élément d’ordre d.
On vient de voir que ce sont les diviseurs de 24, à savoir 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Pour
montrer que αest d’ordre maximal i.e. 24, il suffit de vérifier que α86= 1 et α12 6= 1. Or
le calcul donne par exemple
α8=α3α5= (α−1)(−α2+α−1) = −α3+ 2α2−2α+ 1 = 2α2−3α+ 2 6= 1,
et
α12 =α2α10 =α2(4α2+ 3) = 4α4+ 3α2= 4α2−4α+ 3α2= 2α2+α6= 1.
Soit dun des ordres possibles. Alors α24/d est d’ordre dcar αest d’ordre 24.
Exercice 2 –On considère dans F2[X]le polynôme P(X) = X6+X5+ 1 et on note
Al’anneau F2[X]/(P(X)).
1) Soit αla classe de Xdans A. Montrer que α∈A×et calculer l’ordre de αdans A×
(on pourra calculer successivement α7,α8,α9,α10,α11 ,α21 et α63).
Comme pgcd(X, X6+X5+ 1) = 1,α∈A×. On a α6=α5+ 1 donc
α7=α6+α=α5+α+ 1,
α8=α6+α2+α=α5+α2+α+ 1,
α9=α6+α3+α2+α=α5+α3+α2+α+ 1,
α10 =α6+α4+α3+α2+α=α5+α4+α3+α2+α+ 1,
α11 =α6+α5+α4+α3+α2+α=α4+α3+α2+α+ 1.
On en tire
α21 =α10α11 =α9+α8+α7+α6+α5+ (α4+α3+α2+α+ 1)2.
Comme on est en caractéristique 2, ce carré vaut α8+α6+α4+α2+ 1, et finalement
α21 =α9+α7+α5+α4+α2+ 1 = α5+α4+α3+ 1.
On en tire
α42 =α10 +α8+α6+ 1 = α5+α4+α3,
et
α63 = (α5+α4+α3)2+α5+α4+α3=α10 +α8+α6+α5+α4+α3= 1.
Lordre de αdivise 63 = 32·7. Comme α96= 1 et α76= 1, l’ordre de αvaut 63.

2) En déduire que Aest un corps. On identifiera AàF64.
Comme α∈A×et est d’ordre 63, le sous-groupe multiplicatif de A×qu’il engendre a
pour cardinal 63. Or le cardinal de A\{0}est 26−1 = 63. On a donc A×=A\{0}et
Aest un corps.
3) Montrer que P(X)est irréductible et primitif.
Comme A=F2[X]/(P(X)) est un corps P(X)est irréductible. En outre, on vient de
voir que la classe de Xest d’ordre 63, donc est un élément primitif de F64 . Ainsi P(X)
est irréductible et primitif.
4) Combien y a-t-il de polynômes irréductibles de degré 6 dans F2[X]?
On sait que X64 −Xest le produit des polynômes irréductibles (unitaires) de F2[X]de
degrés 1, 2, 3 et 6. Il y a 2 polynômes de degré 1 irréductibles à savoir Xet X+ 1. Il
y a un seul polynôme irréductible de degré 2 à savoir X2+X+ 1 et deux polynômes
irréductibles de degré 3, à savoir X3+X2+ 1 et X3+X+ 1. On en déduit qu’il y a
(64 −2×1−1×2−2×3)/6 = 9 polynômes irréductibles de degré 6 dans F2[X].
5) Combien y a-t-il de polynômes irréductibles primitifs de degré 6 dans F2[X]?
On sait qu’il y a ϕ(pn−1)/n polynômes unitaires irréductibles primitifs de degré ndans
Fp[X]. Ici avec p= 2 et n= 6, on a ϕ(63)/6 = ϕ(32·7)/6 = (2 ·3·6)/6=6polynômes
irréductibles primitifs (unitaires) de degré 6 dans F2[X].
6) Quels sont les sous-corps de A?
Les sous-corps de Fpnsont les Fpdoù ddivise n. Ici, avec p= 2 et n= 6, on obtient F2,
F4,F8et F64 lui-même.
7) On pose β=α5+α4+α3. Montrer que βappartient à un sous-corps strict de Aà
préciser.
Soit, on reconnaît α42 et alors on voit que β2=α84 =α21 puis que β4=α42 =β. Soit
on calcule β2puis β4à partir des relations obtenues en Question 1. Comme β4=β, on
aβ∈F4.
8) Quel est le polynôme minimal de βsur F2?
On a Pβ(X)=(X−β)(X−β2) = X2−(β+β2) + β3. Mais β4=βet β6= 0 implique
β3= 1. De plus β+β2=α42 +α21 =α5+α4+α3+α5+α4+α3+ 1 = 1. Finalement
Pβ(X) = X2+X+ 1.
9) On pose γ=α5+α2+ 1. Combien le corps F2(γ)compte-t-il d’éléments ?
Par un calcul faisant appel aux résultats de la Question 1, on obtient : γ2=α5+α3+
α2+αpuis γ4=α3+αet γ8=α5+α2+ 1 = γ. Ceci montre que γ∈F8et γ6∈ F4.
L’extension F2(γ)est un sous-corps de F64 qui est inclus dans F8mais pas dans F4. On
a donc F2(γ) = F8qui compte 8 éléments.

10) Déterminer F2(β)∩F2(γ).
Comme F2(β) = F4l’intersection cherchée est un sous-corps de F64 inclus à la fois dans
F8et dans F4. Comme sous-corps de F8et de F4, il est de la forme F2doù ddivise 3 et
2. Seule posssibilité : d= 1. On a F2(β)∩F2(γ) = F2
Exercice 3 –
1) Montrer que dans F2[X]le polynôme X4+X3+X2+X+ 1 est irréductible.
Il suffit de vérifier qu’il n’est divisible par aucun polynôme irréductible de degré 62à
savoir X,X+ 1 et X2+X+ 1, ce qui se fait sans peine.
2) À l’aide des classes cyclotomiques binaires modulo 7 (respectivement modulo 11),
étudier la décomposition en produit d’irréductibles de X6+X5+· · · +X+ 1 (respec-
tivement X10 +X9+· · · +X+ 1) dans F2[X]. On ne demande pas ici d’expliciter la
décomposition mais juste de donner le nombre de facteurs irréductibles et leurs degrés.
Notons que si nest impair, les classes cyclotomiques binaires modulo ndonnent le
profil de la décomposition de Xn−1dans F2[X]car pgcd(n, 2) = 1. Ce sera le cas
dans toutes les questions qui suivent. Les classes cyclotomiques binaires modulo 7 sont
{0},{1,2,4},{3,6,5}. Pa suite, le polynôme X7−1se décompose en produit de 3
polynômes irréductibles (unitaires), l’un de degré 1 (nécessairement X+ 1 = X−1),
les deux autres de degré 3. Comme X6+X5+· · · +X+ 1 = (X7−1)/(X−1), le po-
lynôme X6+X5+· · ·+X+1 de décompose en produit de deux irréductibles de degré 3.
3) Montrer que si pest premier impair on a l’équivalence :
Xp−1+Xp−2+· · · +X+ 1 est irréductible dans F2[X]si et seulement si 2 est racine
primitive modulo p.
Supposons que 2 soit racine primitive modulo p. Alors 2 engendre F×
pet la classe binaire
cyclotomique modulo pde 1, i.e. {2imod p;i6= 0}est F×
pentier. Les classes binaires
cyclotomiques modulo psont {0}et F×
p. Par conséquent, Xp−1est produit d’un poly-
nôme irréductible (unitaire) de degré 1, nécessairement X+1 = X−1et d’un polynôme
irréductible (unitaire) de degré p−1qui vaut donc (Xp−1)/(X−1). Or ce dernier
quotient est Xp−1+Xp−2+· · · +X+ 1 qui est donc irréductible. Réciproquement si ce
polynôme noté P(X)est irréductible, Xp−1est produit de X−1qui est irréducible
(unitaire) et du polynôme irréductible (unitaire) P(X). Il y a donc deux classes binaires
cyclotomiques modulo p,{0}et nécessairement F×
p. Mais cette dernière classe, qui peut
être vue comme celle de 1 est formée des 2imod p(i>0). Ainsi tout élément de F×
p
est une puissance de 2 qui est donc une racine primitive modulo p.
4) Étudier les cas p= 13,17.
Modulo 13 les puissances de 2 sont 1, 2, 4, 8, 3, 6, 12, 11, 9, 5, 10, 7. Ainsi 2 engendre
F×
13 et 2 est racine primitive modulo 13. Par suite X12 +X11 +· · ·+X+1 est irréductible
dans F2[X].
Modulo 17 les puissances de 2 sont 1, 2, 4, 8, 16, 15, 13, 9 : le sous-groupe de F×
17
engendré par 2 n’est pas F×
17 entier. Ainsi 2 n’est pas racine primitive modulo 17 et

X16 +X15 +· · · +X+ 1 n’est pas irréductible dans F2[X]. On peut être plus pré-
cis. En s’inspirant de ce qui a été fait plus haut, les classes cyclotomiques binaires
modulo 17 sont {0},{1,2,4,8,16,15,13,9},{3,6,12,7,14,11,5,10}et en fait
X16 +X15 +· · · +X+ 1 est produit de deux irréductibles de degré 8.
5) Montrer que si nest un entier impair >3, on a plus généralement :
Xn−1+Xn−2+· · · +X+ 1 est irréductible dans F2[X]si et seulement si nest premier
et 2 est racine primitive modulo n.
L’implication ⇐a été établie dans la Question 3. Supposons maintenant que Xn−1+
Xn−2+· · · +X+ 1 soit irréductible dans F2[X]. La décomposition de Xn−1en
produit d’irréductibles est (X−1)(Xn−1+Xn−2+· · · +X+ 1). Il y a donc deux classes
cyclotomiques binaires modulo n, la classe triviale {0}et nécessairement Z/nZ\{0}. Et
cette dernière qui est la classe de 1 est constituée des puissances de 2 modulo n. Comme
2 est inversible modulo nimpair, toutes ses puissances le sont et tout élément non nul de
Z/nZest inversible. Par suite nest premier. Le fait que 2 soit racine primitive modulo
na été vu en Question 3.