Un polycopié - Université Paul Sabatier

LICENCE DE MATH´ EMATIQUES
FONDAMENTALES
Calcul Diff´ erentiel et ´ Equations Diff´ erentielles
D. Az´ e
Universit´ e Paul Sabatier Toulouse
2008

Table des mati` eres
1 G´ en´ eralit´ es sur les espaces norm´ es 3
1.1 Espaces vectoriels norm´ es ............................. 3
1.2 EspacesdeBanach ................................. 5
1.3 Applications lin´ eairescontinues .......................... 7
1.4 Normes ´ equivalentes ................................ 13
1.5 Applications multilin´ eairescontinues........................ 15
1.6 EspacesdeHilbert ................................. 18
2 Applications diff´ erentiables dans les espaces norm´ es 29
2.1 D´ efinition d’une application diff´ erentiable..................... 29
2.2 Op´ erations sur les applications diff´ erentiables................... 35
2.3 Applications ` a valeurs dans un produit d’espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4 Applications d´ efinies sur un produit d’espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3 Th´ eor` eme des Accroissements Finis et Applications 47
3.1 Th´ eor` eme des Accroissements Finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2 Applications du Th´ eor` eme des Accroissements Finis . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3 Applications Strictement Diff´ erentiables...................... 55
3.4 Op´ erateursdeNemicki............................... 56
3.5 Primitives et Int´ egrales des Fonctions R´ egl´ ees................... 60
4 Diff´ erentielles d’Ordre Sup´ erieur 67
4.1 D´ efinition des Diff´ erentielles d’Ordre Sup´ erieur.................. 67
4.2 Propri´ et´ es de Sym´ etrie des Diff´ erentielles d’Ordre Sup´ erieur ........... 71
4.3 FormulesdeTaylor................................. 80
4.4 Conditions d’Optimalit´ e .............................. 85
5 Th´ eor` emes d’Inversion et Applications 90
5.1 Th´ eor` emesd’inversion............................... 90
5.2 Th´ eor` eme des Fonctions Implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.3 Application : Multiplicateurs de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.4 Introductions aux sous-vari´ et´ es........................... 98
5.4.1 Immersion et submersion locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.4.2 D´ efinitions ´ equivalentes des sous-vari´ et´ es................. 99
1

5.4.3 Sous-espace tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6´ Equations Diff´ erentielles : Existence et Unicit´ e des Solutions du Probl` eme de Cauchy 105
6.1 Rappels et Compl´ ementsd’Analyse ........................ 105
6.1.1 Applications Lipschitziennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.1.2 Th´ eor` eme des Applications Contractantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.2 Equations Diff´ erentielles : G´ en´ eralit´ es....................... 108
6.3 R´ esolution Locale du Probl` emedeCauchy..................... 111
6.4 Solution Globale du Probl` emedeCauchy ..................... 115
7 Flot d’une ´ Equation Diff´ erentielle 119
7.1 LemmedeGronwall ................................ 119
7.2 Tubedesolutions.................................. 120
7.3 Propri´ et´ es du flot d’une ´ equation diff´ erentielle................... 123
2

Chapitre 1
G´ en´ eralit´ es sur les espaces norm´ es
1.1 Espaces vectoriels norm´ es
D´ efinition 1.1.1 ´ Etant donn´ e un espace vectoriel r´ eel E, une norme est une fonction
k·k:E→R+,
v´ erifiant
i) kxk= 0 =⇒x= 0,
ii) kλxk=|λ|kxk,pour tout λ∈Ret x∈E,
iii) kx+yk ≤ kxk+kyk,pour tout x, y ∈E.
A toute norme est associ´ ee une distance d(x, y) = kx−yk. Un espace norm´ e est un espace
m´ etrique et donc un espace topologique. Une partie U⊂Eest ouverte si, pour tout a∈U, il
existe r > 0tel que ¯ B(a, r)⊂Uo` u¯ B(a, r) = {x∈E:kx−ak ≤ r}. Les boules ouvertes
B(a, r) = {x∈E:kx−ak< r}sont des ouverts et tout ouvert est r´ eunion d’une famille
de boules ouvertes. Une partie Fde Eest ferm´ ee si son compl´ ementaire est ouvert (les boules
ferm´ ees sont des ferm´ es). Une suite (xn)d’´ el´ ements de Eest dite converger vers x∈Esi la suite
r´ eelle (kxn−xk)converge vers 0. On ´ ecrit alors x= lim
n→∞xnou xn→x. La limite, quand elle
existe, est unique; elle est caract´ eris´ ee par la propri´ et´ e :
pour tout ε > 0,il existe n0∈Ntel que, pour tout n≥n0,kxn−xk ≤ ε.
Les ensembles ferm´ es Fsont alors caract´ eris´ es par le fait que tout x∈Etel que pour tout r > 0,
F∩B(x, r)6=∅appartient ` aF, ce qui ´ equivaut ` a dire qu’ils contiennent toute limite d’une suite
`
a valeurs dans F(le d´ emontrer en exercice).
Remarque 1.1.1
a) Pour tout x,y∈Xon d´ eduit des in´ egalit´ es
kxk ≤ kx−yk+kyk
3

et
kyk ≤ ky−xk+kxk
que l’on a
|kxk−kyk| ≤ kx−yk.
b) Les applications (λ, x)7−→ λx et (x, y)7−→ x+ysont continues respectivement de R×E
dans Eet de E×Edans E. En effet si les suites (xn),(yn)et (λn)convergent respectivement
vers x∈E, y ∈Eet λ∈R, on a
k(xn+yn)−(x+y)k≤kxn−xk+kyn−yk,
kλnxn−λxk=k(λn−λ)xn+λ(xn−x)k
≤ |λn−λ|kxnk+|λ|kxn−xk
≤ |λn−λ|M+|λ|kxn−xk
o` uM= sup
n∈Nkxnk<+∞car une suite convergente est born´
ee. Il en r´ esulte bien que x+y=
lim
n→∞(xn+yn)et que λx = lim n→∞λnxn.
c) Dans le cas o` uE=Rn, on identifiera u∈Rn` a une matrice n×1. Cela donne un sens
au produit matriciel AX ∈Rnd’une matrice A∈ M(m, n)par un vecteur X∈Rn. Avec ces
notations, le produit scalaire euclidien s’´ ecrit, pour X,Y∈Rn,
hX, Y i=YTX=
n
X
i=1
XiYi,
o` uYT∈ M(1, n)est la matrice uniligne transpos´ ee de Y∈ M(n, 1).
Etant donn´ ee une famille finie d’espaces norm´ es E1,···, Eddont les normes sont indiff´ erem-
ment d´ enot´ ees par k·k. Nous utiliserons sur le produit cart´ esien E=E1× ··· × Edles normes
suivantes (d´ emontrer en exercice que ce sont bien des normes).
D´ efinition 1.1.2 On pose
k(x1,···, xd)k1=
d
X
i=1 kxik,
k(x1,···, xd)k2=d
X
i=1 kxik21/2,
et plus g´ en´ eralement pour p≥1
k(x1,···, xd)kp=d
X
i=1 kxikp1
p,
on pose aussi
k(x1,···, xd)k∞= sup
1≤i≤dkxik.
C’est un exercice facile de montrer qu’une suite (xn)n∈Ndans E1× ··· × Edconverge pour ces
normes vers xsi et seulement si les dsuites (xni)n∈Nconvergent vers xipour tout i∈[1, d].
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