Ê Ê. - Math@ES

Lycée JANSON DE SAILLY
15 septembre 2016 FONCTIONS 2nde 3
INOTION DE FONCTION
1FONCTION
Définir une fonction fsur un ensemble Dde nombres réels, c’est associer à chaque nombre x∈Dun
unique nombre réel noté f(x). On note :
f:D→
x7→ f(x)
—Dest l’ensemble de définition de la fonction f.xest la variable.
— Le nombre f(x)est l’image du réel xpar la fonction f.
— Quand on sait que f(x) = y, on dit que xest un antécédent de ypar la fonction f.
EXEMPLE
fest la fonction définie sur l’intervalle [0;+∞[par f(x) = √x.
— L’ensemble de définition de la fonction fest l’intervalle [0;+∞[.
— L’image de 9 par la fonction fest f(9) = √9=3.
— 9 est l’antécédent de 3 par la fonction f.
2COURBE REPRÉSENTATIVE
Soit fune fonction définie sur un ensemble Dde nombres réels.
La courbe représentative de la fonction fdans le plan muni d’un repère, est l’ensemble des points M(x;y)
du plan tels que (x∈D
y=f(x).
0I
J
x
y=f(x)
a
b
M(x;y)
Cf
Cfest la courbe représentative d’une fonction fdéfinie sur D=] −∞;a]∪[b;+∞[
RÉSOLUTION GRAPHIQUE D’ÉQUATION ET D’INÉQUATION
Soient Cfla courbe représentative d’une fonction fet kun réel.
— Les solutions de l’équation f(x) = ksont les abscisses des points de la courbe Cfd’ordonnée k.
— Les solutions de l’inéquation f(x)<k(respectivement f(x)>k) sont les abscisses des points de la
courbe Cfdont l’ordonnée est inférieure à k( respectivement supérieure à m)
EXEMPLE
Cfest la courbe représentative d’une fonction fdéfinie sur .
A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 1 sur 9

Lycée JANSON DE SAILLY
15 septembre 2016 FONCTIONS 2nde 3
0I
J
x
y
k
x1x2x3
Cf
— La courbe Cfcoupe la droite Dd’équation y=ken trois points d’abscisses respectives x1,x2et x3:
L’ensemble Sdes solutions de l’équation f(x) = kest S={x1;x2;x3}.
— Sur chacun des intervalles ]−∞;x1]ou [x2;x3], la courbe Cfest en dessous de la droite Dd’équation y=k:
L’ensemble des solutions de l’inéquation f(x)6kest S= ]−∞;x1]∪[x2;x3].
II VARIATIONS
1FONCTION CROISSANTE
0x
y
x1
x2
f(x1)
f(x2)
Cf
Dire que la fonction fest croissante sur un intervalle Isignifie que pour tous réels x1et x2de I.
Si x16x2alors f(x1)6f(x2)
On dit que la fonction fconserve l’ordre : les réels de l’intervalle Iet leurs images par fsont rangés dans le
même ordre.
2FONCTION DÉCROISSANTE
0x
y
x1
x2
f(x1)
f(x2)Cf
Dire que la fonction fest décroissante sur un intervalle Isignifie que pour tous réels x1et x2de I.
Si x16x2alors f(x1)>f(x2)
On dit que la fonction fchange l’ordre : les réels de l’intervalle Iet leurs images par fsont rangés dans un
ordre contraire.
A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 2 sur 9

Lycée JANSON DE SAILLY
15 septembre 2016 FONCTIONS 2nde 3
3FONCTION CONSTANTE
0x
y
x1x2
kCf
Dire que la fonction fest constante sur un intervalle Isignifie que pour tout réel xappartenant à I.
f(x) = koù kest un réel.
4TABLEAU DE VARIATION
Une fonction qui ne change pas de variation sur un intervalle est une fonction monotone sur cet intervalle.
Étudier les variations d’une fonction c’est chercher sur quel(s) intervalle(s) elle est monotone.
0I
J
x
y
m=f(b)
M=f(a)
a
b
Cf
On résume les variations de la fonction fà l’aide du tableau de variation suivant :
x−∞ab+∞
f(x)
M
m
EXTREMUM
— Dire que la fonction fadmet un maximum en asur un intervalle Isignifie que pour tout réel x
appartenant à I,f(x)6f(a).
— Dire que la fonction fadmet un minimum en asur un intervalle Isignifie que pour tout réel x
appartenant à I,f(x)>f(a).
Dans le tableau de variation précédent :
Le nombre Mest le maximum de la fonction fsur l’intervalle ]−∞;b]atteint pour x=a;
le nombre mest le minimum de la fonction fsur l’intervalle [a;+∞[atteint pour x=b.
A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 3 sur 9

Lycée JANSON DE SAILLY
15 septembre 2016 FONCTIONS 2nde 3
EXERCICE 1
« Avec une centaine de décès en moyenne par an, le monoxyde de carbone (CO) est la première cause de mortalité accidentelle par
intoxication en France. »
DOCUMENT 1
Symptômes et effets sur la santé du monoxyde de carbone
Niveaux croissants de CO
dans l’air ambiant (en ppm)
10
20
40
100
200
400
1000
2000
Pas de symptôme
Troubles du rythme cardiaque ressentis
chez les personnes les plus sensibles,
souffrant de coronaropathie
Céphalées et nausées chez les enfants
Céphalées occasionnelles,
souffle court lors d’un exercice
Céphalées, vertiges, baisse de l’acuité visuelle,
irritabilité chez l’adulte et syncope chez l’enfant
Céphalées, confusion, évanouissements
chez l’adulte
Coma, convulsions
Décès rapide
Source : Commission européenne 2014.
DOCUMENT 2
La société COalerte fabrique un modèle de détecteurs qui enregistre en temps réel la concentration de
monoxyde de carbone en parties par million (ppm). Un tel détecteur produit un signal d’alarme respectant
les modalités fixées par la norme européenne EN 50 291 ci-dessous.
Il déclenche un signal d’alarme :
— si la concentration est supérieure à 30 ppm pendant au moins 120 minutes;
— si la concentration est supérieure à 50 ppm pendant au moins 60 minutes;
— si la concentration est supérieure à 100 ppm pendant au moins 10 minutes;
— si la concentration est supérieure à 300 ppm pendant au moins 3 minutes.
Un laboratoire d’essais procède à des tests sur un détecteur produit par la société COalerte en simulant un
accident qui provoque une concentration anormale de monoxyde de carbone dans une pièce. Le laboratoire
relève la concentration de monoxyde de carbone en fonction du temps, exprimé en minutes.
Les enregistrements effectués sur une période de 8 heures se traduisent par la représentation graphique ci-
dessous.
10
20
30
40
50
60
70
80
30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 450
0
Temps en minutes
Concentration de monoxyde de carbone en ppm
A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 4 sur 9

Lycée JANSON DE SAILLY
15 septembre 2016 FONCTIONS 2nde 3
À partir du graphique et des documents précédents :
1. Estimer au bout de combien de temps devrait retentir un signal d’alarme.
2. Une personne présente dans la pièce depuis le début d’un tel accident risquerait-elle de présenter des
symptômes? Si oui, lesquels?
EXERCICE 2
fet gsont deux fonctions
1. Traduire chacune des phrases suivantes à l’aide d’égalités :
a) L’image de −1 par la fonction fest 3. b) L’antécédent de √2 par la fonction fest 3.
c) −3 a pour image 1 par la fonction g. d) 3 a pour antécédents −1 et 2 par la fonction g.
2. On sait que f(−2) = 1 et g(1) = −2
a) Traduire chacune des deux égalités par une phrase contenant le mot "image".
b) Traduire chacune des deux égalités par une phrase contenant le mot "antécédent".
EXERCICE 3
La courbe Cftracée ci-dessous, dans le plan muni d’un repère orthogonal, est la courbe représentative d’une
fonction fdéfinie sur .
2
4
6
8
10
-2
-4
1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6-7-8-9 0x
y
Cf
Par lecture graphique :
1. Quelle est l’image de 5 par la fonction f?
2. Quels sont les antécédents de −2?
3. Résoudre f(x) = 0.
4. Résoudre f(x)<−2.
EXERCICE 4
Soit fune fonction définie sur l’intervalle [−3;3]. On sait que :
— les images de −3; 0 et 3 par la fonction fsont respectivement 5; 0,5 et −4
— 0 a exactement deux antécédents −1 et 2.
1. Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse :
a) L’équation f(x) = 0 admet exactement deux solutions.
b) Le point M(−1;0)appartient à la courbe représentative de la fonction f.
A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 5 sur 9