M1CP3021 Maths algèbre II (MPC) Examen final 3 heures en

M1CP3021 Maths algèbre II (MPC)
Examen final
3heures en Janvier
sur 38 points +2points de présentation/rédaction.
Exercice 1[14 points (2+1+2+2+2+2+3)]
On considère une matrice Adans Md(C)et un réel tdans R∗
telle que la matrice (Id +tA)est inversible.
1. Montrer que les valeurs propres de la matrice (Id +tA)−1s’ex-
priment en fonction de celles de la matrice A. Un vecteur propre
associé à Aest-il aussi un vecteur propre associé à la matrice
(Id +tA)−1?
2. Soit Tune matrice triangulaires supérieure inversible. Que dire
de T−1? De ses éléments diagonaux ?
3. Montrer qu’il existe une matrice P∈GLd(C)tel que les ma-
trices P−1AP et P−1(Id +tA)−1Psont triangulaires supé-
rieures.
4. En déduire une expression des valeurs propres de la matrice
A(Id +tA)−1en fonction de celles de la matrice A.
5. En déduire la valeur de
tr (A(Id +tA)−1)
en fonction des valeurs propres de la matrice A.
6. Exprimer la fonction
QA(t) := det(Id +tA)

puis sa dérivée Q0
A(t)en fonction des valeurs propres de la ma-
trice A. On pourra appliquer la formule de Leibniz : pour n
fonctions dérivables f1, . . . , fn,
(Πn
i=1fi)0(t) =
n
X
i=1
(fi)0(t)Πj6=ifj(t).
7. En déduire que
tr (A(Id +tA)−1) = Q0
A(t)
QA(t).
8. Montrer que la fonction t7→ QA(t)est constante si et seulement
si la matrice Aest nilpotente.
Correction
1. Soit xun vecteur propre de Aassocié à la valeur propre λ. On a,
par définition Ax =λx. Par conséquent (Id +tA)x= (1 + tλ)x
et donc x= (1 + tλ)(Id +tA)−1x. Comme xest un vecteur
propre, il est par définition non nul et donc 1 + tλ est lui aussi
non nul. On obtient ainsi que (Id +tA)−1x= (1 + tλ)−1x, ce
qui signifie que xest aussi un vecteur propre de (Id +tA)−1
associé à la valeur propre (1 + tλ)−1.
Réciproquement si ˜ λest une valeur propre de (Id +tA)−1
avec xvecteur propre associé. On a donc (Id +tA)−1x=˜ λx
et donc x= (Id +tA)˜ λx. Comme xest par définition non
nul on obtient que ˜ λest lui aussi non nul et on en déduit donc
(Id+tA)x=˜ λ−1x, puis tAx = (˜ λ−1−1)x. Enfin comme t∈R∗,
on a Ax =λx avec λ=˜
λ−1−1
t.
2. L’inverse d’une matrice triangulaire supérieure est triangulaire
supérieure avec des coefficients diagonaux inverses.
3. Comme la matrice Aest trigonalisable sur C, il existe une ma-
trice Pdans GLd(C)et une matrice Ttriangulaire supérieure
tel que P−1AP =T. On en déduit que A=PTP−1puis que
(Id+tA) = P(Id+tT )P−1. Comme on suppose que (Id+tA)est
inversible, on en déduit aussitôt que (Id +tT )l’est aussi et que
(Id +tA)−1=P(Id +tT )−1P−1. Ainsi P−1(Id +tA)−1P=
(Id +tT )−1. Il suffit alors d’appliquer la question précédente
pour conclure.
2

4. Les éléments diagonaux de Tet de (Id +tT )−1sont respective-
ment les valeurs propres λi, pour i= 1, . . . , n, de A, éventuel-
lement répétées et les (1 + tλi)−1. Le produit matriciel donne
alors que A(Id+tA)−1=P T (Id+tT )−1P−1et que les éléments
diagonaux de T(Id+tT )−1sont λi(1+tλi)−1, pour i= 1, . . . , n.
5. Par définition,
tr (A(Id +tA)−1) = X
i=1,...,n
λi(1 + tλi)−1.
6. On a, en utilisant A=P−1T P , que
QA(t) = Πn
i=1(1 + tλi).
On applique la formule de Leibniz pour en déduire
Q0
A(t) =
n
X
i=1
λiΠj6=i(1 + tλj).
7. Ainsi
Q0
A(t)
QA(t)=
n
X
i=1
λi
Πj6=i(1 + tλj)
Πn
j=1(1 + tλi)(1)
=
n
X
i=1
λi
1 + tλi
(2)
=tr (A(Id +tA)−1).(3)
8. La fonction t7→ QA(t)est constante si et seulement si la fonc-
tion t7→ Q0
A(t)est nulle. Dans ce cas la fraction rationnelle
Pn
i=1
λi
1+tλiest nulle ce qui implique que tous les λisont nuls
par unicité de la décomposition en éléments simples des frac-
tions rationnelles. Réciproquement si tous λisont nuls, on a
QA(t) = 1 et par conséquent la fonction t7→ Q0
A(t)est nulle. Il
suffit alors de se rappeler que la matrice Aest nilpotente si et
seulement si toutes ses valeurs propres sont nulles.
Exercice 2[24 points (8* 2 points puis 4 points)]
Soit Eun espace euclidien de dimension 2n, dont on note k·kE
la norme.
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On note L(E)l’ensemble des endomorphismes de E. Pour v
dans L(E), on note
kvkL(E)= sup
x∈E\{0}
kv(x)kE
kxkE
.
On considère u∈ L(E)tel que
i) kukL(E)= 1,
ii) pour tout w∈ L(E)tel que kwkL(E)= 1,|det u|>|det w|.
1. Montrer que uest inversible. On pourra chercher à appliquer la
propriété ii) avec un wapproprié.
2. Montrer que pour tout v, ˜vdans L(E), pour tout ε∈R,
kv+ε˜vkL(E)6kvkL(E)+|ε|k˜vkL(E).
On pourra utiliser que la norme k·kEvérifie cette propriété.
3. Démontrer à l’aide de la définition du déterminant que pour
tout tout λ∈R, pour tout vdans L(E),
det(λv) = λ2ndet(v).
4. Montrer que pour tout ε∈R, pour tout vdans L(E),
|det(u+εv)|6|det u|(1 + |ε|kvkL(E))2n.
On pourra chercher à appliquer la propriété ii) avec un wap-
proprié et utiliser le résultat de la question précédente.
5. En utilisant une trigonalisation sur C, montrer que
det(Id +εu−1◦v) = 1 + εtr (u−1◦v) + O(ε2),
quand εconverge vers 0. On pourra utiliser que pour 2nréels
λi, avec i= 1,...,2n,
Π2n
i=1 (1 + ελi) = 1 + ε
2n
X
i=1
λi+O(ε2),
quand εconverge vers 0.
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6. En déduire que
|1 + εtr (u−1◦v) + O(ε2)|61+2n|ε|kvkL(E)+O(ε2).
On pourra utiliser que pour tout réel λ,
(1 + |ε|λ)2n= 1 + 2n|ε|λ+O(ε2)
quand εconverge vers 0.
7. En déduire que
|tr (u−1◦v)|62nkvkL(E).
8. On considère un projecteur orthogonal Psur Ede rang m.
Exprimer sa trace en fonction de m; et montrer que
m
2n6ku◦PkL(E).
On pourra chercher à appliquer le résultat de la question pré-
cédente à un vapproprié.
9. Montrer qu’il existe une famille orthonormale de nvecteurs
y1, . . . , ynde Etels que pour tout entier jentre 1et n,
ku(yj)kE>2n−j+ 1
2n.
On pourra admettre que pour tout wdans L(E), il existe un
vecteur xdans Etel que kxkE= 1 et kw(x)kE=kwkL(E), et
procéder par récurrence en utilisant la question précédente avec
des projecteurs orthogonaux bien choisis.
Correction
1. Il suffit d’appliquer la propriété ii) avec w=IdEqui vérifie
bien kwkL(E)= 1, et qui satisfait aussi det w= 1. On déduit
de la propriété ii) que |det u|>1et donc uest inversible.
2. On écrit que pour tout x∈E\ {0}, pour tout ε∈R,
k(v+ε˜v)(x)kE
kxkE
6kv(x)kE
kxkE
+|ε|k˜v(x)kE
kxkE
6sup
x∈E\{0}
kv(x)kE
kxkE
+|ε|sup
x∈E\{0}
k˜v(x)kE
kxkE
6kvkL(E)+|ε|k˜vkL(E).
Il suffit alors de prendre le sup sur tous les xdans E\ {0}pour
conclure.
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