là - Tourbillon

1
Logique
Exercice 1 Soit P une proposition. Vérifier la validité des assertions suivantes.
— P ou Faux = P
— P et Vrai = P
— P ⇒ Faux = non P
Exercice 2 P et Q sont deux propriétés, l’assertion (P ∧ Q) ⇒ ((¬P) ∨ Q) est-elle vraie ?
Exercice 3 Extrait de l’épreuve spécifique (MP) des CCP.
Dans la mythologie grecque, l’accès aux enfers est gardé par le Cerbère, un terrible loup à
trois têtes. Celui-ci se trouve devant trois couloirs qui, soit permettent de rejoindre le monde des
vivants, soit conduisent directement aux enfers.
Lorsque Cerbère accueille un nouvel arrivant, il est contraint de lui dire la vérité. Par la suite,
il peut mentir ou dire la vérité à sa guise mais il respecte toujours les règles qu’il s’est fixées.
Après avoir bu la coupe de cigüe, Socrate se retrouve face à Cerbère. Celui-ci, honoré de
rencontrer le grand philosophe, veut lui offrir une chance d’éviter la damnation éternelle. Il lui
dit alors : «Je vais t’indiquer un des couloirs qui mènent au monde des vivants mais, pour mettre
à l’épreuve ta grande sagesse, j’énoncerai trois indications logiques qui seront, soit toutes vraies,
soient toutes fausses et tu en déduiras le couloirs que tu devras suivre».
Nous noterons I1 , I2 et I3 les propositions associées aux indications de la première, la deuxième
et la troisième tête du Cerbère.
Q 3.1 Représenter l’énoncé de Cerbère sous la forme d’une formule du calcul des propositions
dépendant de I1 , I2 et I3 .
La première tête dit ensuite : «Le premier couloirs ainsi que le troisième mènent au monde
des vivants».
La deuxième tête dit : «Si le deuxième couloir mène au monde des vivants, alors le troisième
n’y mène pas».
La troisième tête conclut par : «Le premier couloir mène au monde des vivants par contre le
deuxième n’y mène pas».
Nous noterons C1 , C2 , C3 les variables propositionnelles correspondant au fait qui le premier,
le deuxième, le troisième couloir mène au monde des vivants.
Q 3.2 Exprimer I1 , I2 et I3 sous la forme de formules du calcul des propositions dépendant de
C1 , C2 et C3 .
Q 3.3 En utilisant le calcul des propositions (résolution avec les tables de vérité), déterminer le
couloir que Socrate doit suivre pour rejoindre le monde des vivants.
Q 3.4 En admettant que Cerbère ait menti en donnant les trois indications, Socrate pouvait-il
suivre d’autres couloirs Si oui, le ou lesquels ?
Exercice 4 Démontrer (1 = 0) ⇒ (1 < 0).
Exercice 5 Nier et discuter la véracité des assertions suivantes.
1. ∃x ∈ R, ∀y ∈ R, x + y > 0 ;
2. ∀x ∈ R, ∃y ∈ R, x + y > 0 ;
3. ∀x ∈ R, ∀y ∈ R, x + y > 0 ;
1
4. ∃x ∈ R, ∀y ∈ R, y 2 > x .
Exercice 6 Écrire précisément, puis nier les assertions suivantes. f est une application définie
sur R et à valeurs réelles.
1. Pour tout x réel, f (x) est inférieur à 1.
2. Il existe x réel tel que f (x) ≤ 1.
3. L’application f est croissante.
4. La partie I de R est un intervalle.
5. f est paire.
6. f est périodique.
7. f est strictement croissante.
8. f est injective (respectivement surjective).
9. ∀x ∈ R, f (x) < x 2 .
Exercice 7 Les assertions suivantes sont-elles équivalentes ? Laquelle implique l’autre ?
1. x ∈ R : x 2 = 4 et x = 2.
2. z ∈ C : z = z̄ et z ∈ R.
3. x ∈ R : x = 1 et e2πx = 1.
Exercice 8 Comparer les assertions suivantes.
1. ∀x, ∃y, x ≤ y
2. ∀x, ∀y, x ≤ y
3. ∃x, ∃y, x ≤ y
4. ∃x, ∀y, x ≤ y
Exercice 9 Dans un village un barbier rase tous les habitants qui ne se rasent pas eux-même.
Le barbier se rase-t-il ?
Exercice 10 Que pensez-vous de ce raisonnement ?
1. Plus il y a d’emmenthal, plus il y a de trous.
2. Plus il y a de trous, moins il y a d’emmenthal.
3. Donc plus il y a d’emmenthal, moins il y a d’emmenthal.
Exercice 11 A, B et C sont des assertions. Les formules suivantes sont-elles des tautologies ?
1. (A ∧ (A ⇒ B)) ⇒ B
2. A ⇒ (B ⇒ A)
3. ((A ⇒ B) ∧ (A ⇒ C)) ⇒ ((A ⇒ B) ∧ C)
4. ((A ⇒ B) ∧ (A ⇒ C)) ⇒ ((B ∧ A) ⇒ C)
Exercice 12 Écrire les négations des prédicats (propositions) :
1. ∃x ∈ R, ∀y ∈ R, x ≥ y .
2. ∀x ∈ Q, x 2 6= 2.
2
3. ∃y ∈ R+ , ∀x ∈ R, y = x 2 .
4. ∀x ∈ R, ∃y ∈ R+ , y = x 2 .
Exercice 13 Soit f : R → R. Traduire symboliquement
— f est majorée.
— f est bornée.
— f est paire.
— f ne s’annule jamais.
— f s’annule.
— f n’est pas périodique.
— f n’a jamais la même valeur en deux points distincts.
— f prend toutes les valeurs entières.
Exercice 14 Soit f : R → R. Nier les propositions suivantes :
— Pour tout x réel f (x) ≤ 1.
— f est croissante.
— f est croissante et positive.
— il existe x réel positif tel que f (x) ≤ 0.
Exercice 15
1. Écrire la négation de (x y 6= 0) ⇔ (x 6= 0
et
y 6= 0).
2. Écrire la négation de l’assertion ∃x ∈ R, ∀y ∈ R, x + y > 0 ; laquelle est vraie ?
3. Écrire la négation de l’assertion ∃x ∈ R, ∀y ∈ R, y 2 > x ; laquelle est vraie ?
Exercice 16 Dans ce qui suit, n désigne un entier positif.
1. u 0 = 3 et u n+1 = u n2 , calculer u n en fonction de n .
2. Pour quelles valeurs de n a-t-on n ≤ 2n ?
3. 7n ≤ 2n pour n assez grand.
4. Soit la proposition Pn : 3 divise 4n − 1 et la proposition Qn : 3 divise 4n + 1. Prouver que,
pour tout n entier positif : Pn ⇒ Pn+1 et Qn ⇒ Qn+1 . Montrer que, pour tout n entier
positif Pn est vrai. Que dire de Qn ?
Exercice 17
1. Les affirmations suivantes sont-elles vraies ?
(∃y ∈ N)
(∀x ∈ N)
(∀x ∈ N)
(∃y ∈ N)
x≤y
x≤y
2. n 3 + 2n est divisible par 3.
3. 52n − 1 est divisible par 24.
4. 2n + 5 ≤ 2n pour n assez grand.
Exercice 18 E et F sont deux ensembles, comparer
1. P (E ∪ F) et P (E) ∪ P (F) ;
2. P (E ∩ F) et P (E) ∩ P (F) ;
3. P (E × F) et P (E) × P (F).
Exercice 19 Que peut-on dire d’ensembles A et B tels que A ∪ B = A ∩ B ?
3
Exercice 20 Soient trois ensembles A, B et C, démontrer :
A∪B = A∩C
½
A∪B
A∩B
⊂
⊂
A∪C
A∩C
(A ∪ B) ∩ (B ∪ C) ∩ (C ∪ A)
⇔
B⊂A⊂C
(1)
⇒
B⊂C
(2)
=
(A ∩ B) ∪ (B ∩ C) ∪ (C ∩ A)
(3)
Exercice 21 Soit f une application de P (E) dans R telle que : A∩B = ; ⇒ f (A∪B) = f (A)+ f (B).
Démontrer que f (;) = 0 et f (A ∪ B) = f (A) + f (B) − f (A ∩ B).
Exercice 22 Soit f une application de E dans F. Démontrer que pour toute partie A de E et
toute partie B de F : f ( f −1 (B) ∩ A) = B ∩ f (A).
Exercice 23 Soient X et Y deux parties d’un ensemble E. Simplifier
A = (X ∩ Y) ∪ (X ∩ E à Y)
B = (X ∪ Y) ∩ (X ∪ E à Y)
C = X ∪ (Y ∩ (E à Y))
(E × G) ∪ (F × G)
Exercice 24 Soient E, F, G, H quatre ensembles. Prouver que
(E × F) ∩ (G × H) = (E ∩ G) × (F ∩ H)
Exercice 25 A et B désignent des parties de l’ensemble E ou de l’ensemble F et f est une
application de E vers F. Démontrer :
— f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B)
— f −1 (A ∩ B) = f −1 (A) ∩ f −1 (B)
— f −1 (A ∪ B) = f −1 (A) ∪ f −1 (B)
— f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B)
— f (A) à f (B) ⊂ f (A à B)
— f −1 (A à B) = f −1 (A) à f −1 (B)
Exercice 26 Soit f une application de E dans F.
1. Démontrer que f est bijective si et seulement si pour toute partie A de E : f (E\A) = F\ f (A).
2. f est injective si et seulement si pour toutes parties A et B de E : f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B).
Exercice 27 (E, ≤1 ) et (F, ≤2 ) sont des ensembles ordonnés. Nous munissons E × F de la relation
¹ définie par
(x, y) ¹ (x 0 , y 0 ) ⇔ (x ≤1 x 0 ) ∨ ((x = x 0 ) ∧ (y ≤2 y 0 ))
Démontrer que (E × F, ¹) est un ensemble ordonné.
4
Exercice 28 Soient E et F deux ensembles et f une application de E dans F. Démontrer les
implications :
∀x ∈ E f −1 ({ f (x)}) = {x} ⇔
f est injective
∀y ∈ F f ( f −1 ({y})) = {y} ⇔
f est surjective
Exercice 29 Soient E, F et G trois ensembles, f une application de E dans F et g une application
de F dans G. Démontrer les implications :
g ◦ f est injective
g ◦ f est surjective
⇒
⇒
f est injective
g est surjective
Exercice 30 f une application définie sur un ensemble E à valeurs dans un ensemble F.
1. Si E 6= ;, f est injective, si et seulement s’il existe une application r de F dans E telle que :
r ◦ f = idE .
2. f est surjective si et seulement s’il existe une aplication s de F dans E telle que f ◦ s = idF .
Exercice 31 Les applications suivantes sont-elles injectives ? surjectives ?
1.
R2
(x, y)
→
7
→
R2
(x, 2x − 3y)
R2
(x, y)
→
7
→
R2
(x + y, x y)
2.
Exercice 32 E est l’ensemble {0, 1, 2}. Écrire tous les éléments de l’ensemble P (E).
Exercice 33 Montrer que l’ensemble D = {(x, y) ∈ R2 , x 2 + y 2 ≤ 1} ne peut pas s’écrire comme le
produit cartésien de deux parties de R.
Exercice 34 Soient trois applications :
f :E
→
F
g :F
→
G
h:G
→
E
Démontrer que si, parmi h ◦ g ◦ f , g ◦ f ◦ h , f ◦ h ◦ g il y a deux applications injectives, la troisième
étant surjective, alors f , g et h sont bijectives (respectivement surjectives et injective).
Exercice 35 On considère l’application
f :
R
x
−→
7−→
R
1 + x2
1. Déterminer les antécédents par l’application f des réels suivants : 1, 2, 3, 0, −1.
2. L’application f est-elle injective ? surjective ? bijective ?
5
3. Déterminer f ([0, 1]), f −1 ([3, 4[), f −1 (]5, +∞[) et f −1 ([−1, 1]).
Exercice 36 Déterminer si les fonctions suivantes sont injectives, surjectives, bijectives :
f :
R
θ
−→
7−→
R
cos θ
g:
R
θ
−→
7−→
[−1, 1]
cos θ
h:
[0, π]
θ
−→
7−→
R
cos θ
k:
[0, π]
θ
−→
7−→
[−1, 1]
cos θ
Calculer f (R), f ([0, 2π]), f ([0, π2 ]) et f −1 ([0, 1]).
Exercice 37 Considérons les application suivantes :
N
n
g:
et
h:
N
m
−→
7−→
−→
7−→
N
n +1
N
0
m −1
si m = 0
sinon
1. L’application g est-elle injective ? surjective ? bijective ? Mêmes questions pour h .
2. Calculer h ◦ g .
Exercice 38 Considérons
F:
R
t
R2
(cos t , sin t )
−→
7−→
Injectivité ? Surjectivité ? Calculer F([0, π4 ]), F−1 ({(0, 0)}), F−1 ({(0, 1)}), F−1 ({0} × R).
Exercice 39 Considérons
ϕ:
R2
(u, v)
−→
7−→
R2
(u + v, u − 2v)
Injectivité ? Surjectivité ? Calculer ϕ(∆), où ∆ ⊂ R2 est la droite d’équation v = 0.
Exercice 40 Soit f définie de N dans N par f (n) = n si n est pair et f (n) = n+1
2 si n est impair.
f est-elle injective ? surjective ?
6
Exercice 41 Soit n un entier naturel non nul.
1. Calculer
Sn =
on remarquera que
k=n
X
1
k(k
+ 1)
k=1
1
1
1
= −
k(k + 1) k k + 1
2. Calculer par une méthode analogue
Tn =
n
X
2k + 1
k(k
+
2)(k 2 − 1)
k=2
Exercice 42 On fixe n ∈ N∗ . Calculer
an =
puis
bn =
n
X
µ
¶
1
ln 1 +
k
k=1
n
X
µ
¶
2
ln 1 +
k
k=1
Exercice 43 Soit n ≥ 2. Simplifier les expressions :
n
Y
2k
2k
+2
k=1
n (2p + 1)(2p − 1)
Y
p=1 (2p + 3)(2p + 5)
Exercice 44 On fixe θ ∈ R.
1. Montrer 1 que pour tout n ∈ N,
µµ
2 sin
¶ ¶
µ ¶
1
θ
n + θ cos
= cos(nθ) − cos((n + 1)θ)
2
2
2. En déduire une formule plus simple pour
uN =
µ µµ
¶ ¶
µ ¶¶
1
θ
exp sin n + θ cos
2
2
n=1
N
Y
Exercice 45 Calculer la somme Dn (t ) = 1 + 2
Pn
k=1
cos(kt ) puis Fn (t ) =
1
n+1 (1 + D1 (t ) + · · · + Dn (t )).
Divers
Exercice 46 On pose S n = nk=1 k12 , In =
S n et Pn , et entre S 2n+1 , In et Pn .
P
1
k=0 (2k+1)2
Pn
et Pn =
1
k=1 (2k)2
Pn
Trouver une relation entre
Exercice 47 Si n est un entier non nul, on appelle an = nk=1 2k le produit des n premier entiers
Q
pairs non nuls, et bn = n−1
(2k + 1) le produit des n premier entiers impairs. Exprimer a n et b n
k=0
à l’aide de factorielles.
Q
1. cookille brisée
7
2
Complexes
Exercice 48 Q 48.1 a , b et c sont les nombres complexes :
p
3 + i,
p
1+i 3
1 + i,
Calculer leurs parties réelles et imaginaires, leurs arguments et modules.
Q 48.2 a et b sont deux réels, vérifier l’égalité :
eia + eib = 2ei
a+b
2
µ
cos
a −b
2
¶
En déduire les modules et arguments de eia + eib .
Trouver une formule semblable pour eia − eib .
Q 48.3 Mettre les nombres
p
p
3 − 1 + i(1 + 3),
p
p
1 + i 3 + i − 3,
p
1 + i(1 + 2)
sous forme exponentielle.
Exercice 49 Mettre les nombres suivants sous la forme a + ib où a et b sont réels.
3 + 6i
,
3 − 6i
µ
1+i
1−i
¶2
,
2 + 3i 2 − 3i
+
2−i
2+i
Exercice 50 Trouver les parties réelles et imaginaires, les normes et modules des nombres suivants :
µ
¶
³ ´
2 + i,
3 + 4i, exp i
2π
,
3
Exercice 51 Calculer le module et l’argument de
³
p
π
2 exp i
4
p ´10
1+i 3
1−i
et de
¡ 1+i ¢32
p
1−i
.
p
Exercice 52 Calculer le module et l’argument de (1 + i 3)n + (1 − i 3)n .
Exercice 53 Écrire des nombres complexes sous forme cartésienne lorsqu’on connait leurs modules (r ) et arguments (θ).
1. r = 2,
θ=
2. r = 5,
θ=
3. r = 2,
θ=
4. r = 3,
θ=
π
6 ;
π
4 ;
17π
6
7π
4 .
;
Exercice 54 Calculer le module et l’argument de
1 + cos θ + i sin θ
.
1 − cos θ − i sin θ
µ ¶2014
p
p
z1
Exercice 55 Soient z 1 = −1 + i 3 et z 2 = 3 + i. Calculer
.
z2
Exercice 56 Montrer que si z ∈ U à {1} alors i 1+z
1−z ∈ R. Réciproque ?
8
Exercice 57 Mettre sous forme trigonométrique 1+eiθ où θ ∈]−π, π[. Donner une interprétation
géométrique.
p
Exercice 58 Résoudre l’équation exp(z) = 3 + 3i.
Exercice 59 Montrer que ∀z ∈ C
lités.
|Re(z)| + |Im(z)|
≤ |z| ≤ |Re(z)| + |Im(z)|. Étudier les cas d’égap
2
Exercice 60 Résoudre l’équation z 2 = 2z .
Exercice 61 Résoudre les équations suivantes dans C :
1. z 2 = 3 + 4i.
p
2. z 4 = 2 + 2i 3.
3. z 4 = −119 + 120i.
4. z 2 − 2iz + 2 − 4i = 0.
5. z 2 + z + 2 = 0.
6. z 2 + (2 + i)z + 3 − 2i = 0.
7. z 4 + (−5 + 14i)z 2 + 2(−12 − 5i) = 0.
8. z 2 + 2z cos θ + 1 = 0.
9. z 2n + 2z n cos θ + 1 = 0 où n est un entier strictement positif.
10. z 4 = −i.
π
11. z 4 = 16ei 3 .
12. z 6 = 1.
13. 8(z + 1)6 − (z − 1)6 = 0.
14. z 5 + z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0.
Exercice 62 Résoudre les équations (n est un entier)
n
Y
(cos kθ + i sin kθ) = 1
k=1
(z 2 + 1)n + (z − 1)2n = 0
Exercice 63 Déterminer les complexes tels que |z −3+2i| = |z +1−i|. Interprétation géométrique ?
Exercice 64 Trouver les nombres complexes z tels que z ,
1
et 1 − z aient des modules égaux.
z
Exercice 65 Déterminer l’ensemble des points d’affixe z tels que :
z(z − 1) = z 2 (z − 1)
Exercice 66 x , y et z ont des modules égaux à 1. Comparer |x + y + z| et |x y + y z + zx|.
Exercice 67 L’entier n est strictement positif, soient a = ei n et z n =
|z n |2 .
n
Indication : |z n |2 = n si n est impair et |z n |2 = n(1 + (−1) 2 ), si n est pair.
2π
9
P
0≤k≤n−1 a
k2
. Calculer
3
Trigonométrie
Exercice 68 Résoudre les équations suivantes où x ∈ R :
1 + cos(2x) + cos(4x)
=0
(1)
cos(x) − cos(3x) + cos(5x)
=0
(2)
sin(x) + 2 sin(2x) + sin(3x)
³
π´
sin 2x +
+ sin(2x)
3
cos(2x) + cos(6x)
p
cos(x) + 3 sin(x)
p
3 sin(2x) + cos(2x)
=0
(3)
cos(x) − sin(x)
=
p
3
2
(4)
= sin(3x) − sin(5x)
p
= 3
(5)
=1
(7)
=1
(8)
(6)
Exercice 69 Simplifier :
sin(2x) + sin(4x) + sin(6x)
,
1 + cos(2x) + cos(4x)
sin3 (x) + sin(x) cos2 (x)
tan3 (x) + tan(x)
Exercice 70 Montrer que tout z dans U à {−1} peut s’écrire
1 + ia
où a ∈ R.
1 − ia
Exercice 71 Linéariser cos5 (θ).
Exercice 72 Exprimer (sin 3x) en fonction de sin x et cos x , puis seulement en fonction de sin x .
Exercice 73 Calculer 5k=0 2k . Si a est un complexe, donner une formule simple dépendant de
P
P
l’entier n qui permette de calculer nk=0 a k . Calculer nk=0 (−1)k suivant les valeurs de n .
P
Exercice 74 Soient des réels a , b et θ. Simplifier
1.
Pn
cos(a + kb).
2.
Pn
cos2 (kθ).
3.
Pn
cosk (θ) cos(kθ).
k=0
k=0
k=0
Exercice 75 Calculer cos(5θ) en fonction de cos(θ) et en déduire cos
¡π¢
10
Exercice 76 Écrire les expressions suivantes sous forme de produits :
1. cos x + 2 cos(2x) + cos(3x).
2. sin x + sin(2x) + sin(7x) + sin(8x)
Exercice 77 Simplifier
cos(6x) + 6 cos(4x) + 15 cos(2x) + 10
.
cos(5x) + 5 cos(3x) + 10 cos x
Exercice 78 Soient a, b et c trois réels tels que a + b + c = π. Montrer que
4 sin
a
b
c
cos cos = 1 − cos a + cos b + cos c
2
2
2
10
Exercice 79 Linéariser
4 sin θ sin
³π
´
³π
´
− θ sin
+θ
3
3
Exercice 80 Soit a un réel positif inférieur à 1. Comparer a et a 2 puis résoudre l’équation :
p
p
sin x + cos x = 1
x ∈ R,
Exercice 81 Simplifier, pour θ réel et p entier positif, l’expression
µ
¶
kπ
cos θ +
2p
0≤k≤2p−1
X
4
Géométrie plane complexe
Exercice 82 Montrer que si |z| ≤ k < 1 alors 1−k ≤ |1+z| ≤ 1+k . Faire un dessin et montrer qu’il
peut y avoir égalité.
Exercice 83 Dessiner la partie du plan définie par |z − 1| ≥ 4 et |z − 3 − 4i| ≤ 25.
Exercice 84 Montrer algébriquement et géométriquement que si |z| = 1 alors |1 + z| ≥ 1 ou |1 +
z 2 | ≥ 1.
Exercice 85 a, b et c sont trois nombres complexes, j = ei 3 .
2π
1. Factoriser a 3 + b 3 + c 3 − 3abc (indication : a + b + c est un facteur).
2. Soient trois points A(a), B(b) et C(c) tels que : a + j b + j 2 c = 0. Démontrer que le triangle
ABC est équilatéral.
3. Si le triangle a une orientation opposée : a + j c + j 2 b = 0.
4. En déduire que ABC est équilatéral si et seulement si : a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ca = 0.
Exercice 86pSoient trois applications complexes :
— h(z) = 2z ;
— t (z) = z + 3 ;
π
— r (z) = ei 4 z .
Q 86.1 On pose f (z) = (t ◦ r ◦ h)(z). On dit que ω est un point fixe de f si f (ω) = ω. Résoudre
l’équation f (z) = z (z ∈ C). Calculer les module et argument de f (z) − ω en fonction de ceux de
z − ω.
Q 86.2 Même question avec g = r ◦ t ◦ h .
Exercice 87 Identifier les transformations du plan définies par :
1. f 1 : z 7→ z + 1 + 2i ;
2. f 2 : z 7→ 3z + 3 + 2i ;
p z +3−i ;
3. f 3 : z 7→ 1+i
2
4. f 4 : z 7→ z + i
5. f 5 : z 7→ z + 1 + i (glisse).
11
Exercice 88 Dans le plan orienté, soit ABC un triangle équilatéral direct et r 1 , r 2 , r 3 les rotations
d’angle π3 de centres respectifs A, B, C. Déterminer r 3 ◦ r 2 ◦ r 1 .
Exercice 89 Dans le plan orienté, on considère un triangle ABC et A0 , B0 , C0 les mileux de [B, C],
[C, A], [A, B]. Soient r 1 , r 2 , r 3 les rotations d’angle − π2 et de centres A0 , B0 , C0 . On pose :
r 1 (B) = P,
r 2 (C) = Q,
r 3 (A) = R
−→ −→
Démontrer que (AP, QR), sont des vecteurs orthogonaux de même longueur.
Exercice 90 Sur les cotés d’un triangle direct ABC du plan P , on construit extérieurement au
triangle des triangles équilatéraux BCA0 , CAB0 et ABC0 .
Montrer que AA0 = BB0 = CC0 .
Démontrer que les droites (AA0 ), (BB0 ), (CC0 ) sont concourantes.
Indication : M(m) appartient aux trois droites, si et seulement si, le système :

m




 (λ, µ, ν)
m


 m


m
∈
∈
=
=
=
P
R3
a + λu
b + µu
c + νu
(où u = a + j c + j 2 b 6= 0) a une solution.
Exercice 91 Déterminer l’image du triangle de sommets d’affixes 0, 1, 1+i par la transformation
définie par z 7→ z 2 .
12
5
Fonctions usuelles
Exercice 92 Identifier le nombre et l’ordre des dérivées (éventuellement les signes des dérivées d’ordre pair) dans la phrase d’un ministre (2009) : «nous constatons un ralentissement de
l’accélération de la montée du chômage.»
Exercice 93 Représenter la fonction f 0 : x 7→ x 2 et en déduire les représentations graphiques des
fonctions suivantes :
1. f 1 : x 7→ x 2 + x
2. f 2 : x 7→ 4x 2 + 2x ;
3. f 3 : x 7→ x 2 + x − 3 ;
4. f 4 : x 7→ (x − 1)2 + x − 1.
Exercice 94 Soit la fonction réelle f 0 définie sur R par : f 0 (x) = x 2 . Représenter les graphes des
fonctions suivantes en utilisant le graphe de f 0 et en précisant la transformation géométrique
utilisée :
1. f 1 (x) = f (x − 1) ;
4. f 4 (x) = f (2 − x) ;
7. f 7 (x) = f (x) + 2 ;
2. f 2 (x) = f (x + 1) ;
5. f 5 (x) = 2 f (x) ;
8. f 8 (x) = 3 − f (x) ;
3. f 3 (x) = f (−x) ;
6. f 6 (x) = f (2x) ;
9. f 9 (x) = f −1 (x).
Exercice 95 Étudier la fonction f définie sur R par
f (x) = x(1 − e x )
Exercice 96 Étudier la fonction f définie sur R∗+ par
f (x) = x 2 ln x
Exercice 97 Q 97.1 On note E l’ensembles des réels x pour lesquels l’expression x
définie. Écrire E comme réunion d’intervalles.
Q 97.2 Étudier et représenter la fonction f définie sur E par
r
f (x) = x
x −1
3x + 1
Exercice 98 Dériver x x et x x pour x > 0.
1
Exercice 99 Résoudre
Exercice 100 Résoudre
½
x+y
ln(x) + ln(y)
=
=
55
ln(700)
½
x+y
ln(x) + ln(y)
=
=
−1
ln(e−6 )
13
r
x −1
est
3x + 1
Exercice 101 Résoudre
Exercice 102 Résoudre
½
logx e + log y e
ln(x y)
7
3
7
2
=
=
¶
x +3
1
ln
= (ln(x) + ln(3))
2
2
µ
Exercice 103 Déterminer l’ensemble E sur lequel la fonction x 7→ arcsin(sin(x)) est dérivable,
puis calculer sa dérivée sur E.
De même, étudier les fonctions suivantes sur leurs ensembles de définition :
1. arcsin(cos x)
2. arctan(tan x)
On pourra dériver ces fonctions ou utiliser directement les définitions des fonctions circulaires
réciproques.
Exercice 104 Dériver les fonctions définies par les expressions suivantes :
arctan p x 2
q 1−x
x
ln 1+th
1−th
p x
arcsin(2x 1 − x 2 )
arcsin
2x
1+x 2
arcsin (2x − 1) + 2 arctan
q
1−x
x
Arcos(cos x) − arcsin(sin x)
Exercice 105 Déterminer arctan(x) + arctan
µ ¶
1
pour x ∈ R∗ .
x
Exercice 106 Calculer sin(arctan x) et cos(arctan x) pour x ∈ R.
Exercice 107 Montrer que ∀x > 0
x
π
x
≤ arctan x ≤ −
.
2
1+x
2 1 + x2
Exercice 108 Q 108.1 Vérifier que 2 arctan 12 = arctan 43
Q 108.2 Calculer la valeur exacte de sin
¡1
2
arcsin 13
¢
µ ¶
µ
¶
π
1
1
Q 108.3 Démontrer la formule de Machin :
= 4 arctan
− arctan
. On montrera que
4
5
239
µ ¶
µ
¶
1
π
1
π
0 ≤ arctan
< et 0 ≤ arctan
< .
5
8
239
2
Exercice 109 Soit un entier n supérieur ou égal à 1. Simplifier
u n −u n+1
1
chercher une suite u telle que 1+u
= 2n1 2 (u n = 2n−1
).
n u n+1
Exercice 110 Soit x un nombre réel, simplifier arctan
³
x 2 −2x−1
x 2 +2x−1
1
1≤k≤n arctan 2k 2 .
P
Indication :
.
´
Exercice 111 Déterminer lim+∞ (x − ln(chx)).
Exercice 112 Montrer que ∀x ∈ R ch(2x) = 1 + 2sh2 x . En déduire un équivalent de chx − 1 en 0.
14
Exercice 113 Vérifier
ch 2 (x)ch 2 (y) − sh 2 (x)sh 2 (y) = ch (x + y)ch (x − y)
Exercice 114 Exprimer ch3 x en fonction des ch(kx) pour k ≤ 3.
Exercice 115 Q 115.1 Vérifier que
th x =
2
1
−
th 2x th x
Q 115.2 En déduire une simplification de
2k th (2k x)
X
0≤k≤2005
Exercice 116 Résoudre l’équation x y = y x où x et y sont des entiers positifs non nuls.
Exercice 117 Résoudre l’équation tan(3 arcsin x) = 1. On exprimera les trois solutions au moyen
de radicaux.
Exercice 118 Considérons les fonctions
— f , définie sur ]-1,1[ par f (x) = xparcsin2x ;
p
1−x
— F, définie sur [−1, 1] par x − 1 − x 2 arcsin x .
La fonction arcsin est la détermination
£
¤ principale, i.e. la fonction réciproque de la restriction de
la fonction sinus à l’intervalle − π2 , π2 .
Q 118.1 Montrer que F est dérivable sur ]-1,1[ et que pour tout x dans ]-1,1[ F0 (x) = f (x).
Étudier la dérivabilité à gauche de F en 1 ; c.à.d. prouver ou infirmer l’existence de la limite du
F(x) − F(1)
quotient
lorsque x tend vers 1 par valeurs strictement inférieures à 1 et, le cas échéant,
x −1
calculer cette limite.
Q 118.2 Montrer que F : [−1, 1] 7→ [−1, 1] admet une fonction réciproque F−1 . Représenter F et
F−1 .
Exercice 119 Pour x dans [-1,1]
Q 119.1 Calculer arccos(−x) + arccos x et arccos x + arcsin x
p
Q 119.2 Montrer que sin(arccos x) = 1 − x 2 et si x 6= 0 tan(arccos x) =
Q 119.3 Simplifier
1. arccos(1 − 2x 2 ) ;
r
1 + sin x
;
2
1 − x2
3. arccos
;
1 + x2
2x
4. arcsin
.
1 + x2
2. arcsin
15
p
1 − x2
x
Exercice 120 Soient a et b , deux réels de [-1,1]
Q 120.1 Montrer que si ab ≤ 0 alors
arcsin a + arcsin b = arcsin(a
p
p
1 − b2 + b 1 − a2)
Q 120.2 Si ab ≥ 0, déterminer le signe de cos(arcsin a + arcsin b) en fonction de a 2 + b 2 .
p
p
Q 120.3 En déduire arcsin a + arcsin b en fonction de arcsin(a 1 − b 2 + b 1 − a 2 ).
6
Primitives et intégrales
6.1
calculs de primitives
Exercice 121 Calculer des primitives des fonctions définies par les expressions suivantes sur un
intervalle à préciser.
Q 121.1 Changements de variables :
1. 2(2x 2 + x − 1)(4x + 1)
2. 3(sin(x) + x)2 (cos(x) + 1)
3. 4(cos(x)2 +2 sin(x))3 (2 cos(x)−2 cos(x) sin(x))
tan(x)2
4.
2
3(tan(x)−x) 3
2
5. (9x − 10x)e
6. 2(4x8x+2
2 +2x+1)
7.
8.
3x 3 −5x 2
9.
+5)
10. − (x2(4x
4 +5x−3)3
3
11.
12.
1
6
3
2
5
2
6 (8x + 2x − 7) (48x + 6x )
1
3
3
2
3 (cos(x) − sin(x) )(−3 cos(x) sin(x)
2
−
3 sin(x) cos(x))
cos(x)esin(x) +2x
esin(x) +x 2
2x+1
3
2(x 2 +x+1) 2
cos(x)
sin(x)
13.
x2
1+x 2
14.
x
(1 + x 2 )n
(n est entier)
Q 121.2 Intégration par parties :
1. sin(x)ex
4.
2. x ln(x)
5. xe
8.
3. x sin(x)2
6. x 2 ex
9.
2
7. Arccos(x)
x ln(x)
2
2x
Exercice 122 Calculer les intégrales suivantes
1.
R1
2.
R1
3.
1
2
x+2
0 (1+x)3
x3
−1 (x 2 +1)4
R
0
p 1
1−x 2
7.
dx
8.
dx
9.
dx
10.
R 12 p
1 − x 2 dx
0
R1p
5. 0 4 − x 2 dx
R p
6. 01 −x 2 − 3x + 4 dx
4.
11.
12.
16
R
1
2
p 1
1+x 2
dx
R1p
1 + x 2 dx
0
R2 1
p
0 4+x 2 dx
R1 1
0 1+x+x 2 dx
R1
1
0 x 2 +3x+2 dx
R1
p 1
dx
0
2
0
x +3x+4
ln(x)
x2
1
(1+x 2 )n
(n est entier)
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
R1
2x−3
0 3x 2 +x+3 dx
R3
1p
p
2 x−1+ x−2 dx
R1 1
p
0 1+ex dx
R 1 3x 5 −2x 3 +1
dx
0
(x+1)4
R2
2
1 (ln x) dx
R1 2
2
0 x (ln x) dx
R 1/2 ¯ x−1 ¯
¯
¯
0 ln x+1 dx
π
2
20.
R
21.
R
22.
R
23.
R1
24.
1
0 1+sin x
dx
π
2
1
0 1+sin2 x
π
4
0
dx
tan5 x dx
ex sin(2πx) dx
0
R1
p1
0 1+ 1+x 2
dx
26.
R1
27.
R
28.
R1
eArcsin x dx
29.
R1
e−x n dx, (n > 0)
30.
R
π
2
0
sinm x cosn x dx
1
2
0
0
0
dx
(x 2 − 1)Arcsin(2x)dx
1
1
2
p x
1−x 4
0
π
2
31.
R
32.
R
33.
R1
34.
R e3
dx
x sin2 x dx
0
π
4 sin x
0 cos2 x
0
dx
ln(x 2 − 5x + 6) dx
1
e2 x ln x
dx
π
2
35.
R
36.
R1
25. Ici m et n sont des entiers positifs :
R
1
0 1+ch x
1
0 1+a cos x
leurs de a)
0
dx (discuter suivant les va-
ln(1 + x 2 )
Exercice 123 Chercher les primitives des fonctions définies par les expressions suivantes, sur
des intervalles que l’on précisera :
1.
2.
3.
4.
5.
p1
x+ x−1
p x
9+4x 4
p 1
x x 2 +x+1
1
(x+2)(x 2 +2x+5)
2x
(1−x+x 2 )2
6.
x2
(x−1)2 (x 2 +4)
7.
cos3 x
sin x
11. x cos2 x
12.
10.
14.
1
1+tan x
1
th2 x
Exercice 124 Soient 0 < a ≤ b . Montrer que
R1
0
p 1
2+tan2 x
15. (x 2 + 2x + 2) cos(2x)
Rb
dx
a x
≤
b−a
p
.
ab
Exercice 125 Soit f une fonction continue de période T, montrer que :
Exercice 126 Soit In =
x2 − 1
13. ch x sin(2x)
8. cos(2x) cos2 x
9.
p
R 2π+T
T
f (t )dt =
(1 − t 2 )n dt .
1. Établir une relation de récurrence entre In et In+1 .
2. Calculer In .
3. En déduire
(−1)k k
C .
k=0 2k+1 n
Pn
Exercice 127 Soit In =
xn
0 1+x dx .
R1
1. En majorant la fonction intégrée, montrer que (In )n∈N converge vers 0.
2. Calculer In + In+1 .
3. Déterminer limn→+∞
Exercice 128 Soient I =
³P
n
Rπ
0
k=1
(−1)k+1
k
.
´
x cos2 xdx et J =
Rπ
0
x sin2 x dx .
17
R 2π
0
f (t ) dt .
1. Calculer I et I + J.
2. En déduire J.
Exercice 129 Soit f ∈ C0 (R). On définit g sur R∗ × R par
x 7→
1
x
x
Z
f (t )dt
0
1. Montrer que g se prolonge par continuité en 0.
2. Montrer que si f est périodique, g admet une limite en +∞.
Exercice 130 Soit an =
R1
0
1. Calculer a0 , . . . , a4 .
t n et dt .
2. Étudier la suite (an )n∈N .
Exercice 131 Soit f la fonction définie par :
x2
Z
f (x) =
x
1
dt
ln(t )
1. Étude globale
(a) Sur quel ensemble peut-on définir f ?
(b) Montrer que f est dérivable et calculer f 0 .
2. Étude locale en 1.
(a) Calculer
x2
Z
x
1
dt .
t ln(t )
(b) En déduire qu’en posant f (1) = ln 2 on prolonge f par continuité au point 1.
(c) Montrer que ce prolongement est dérivable en 1 et préciser f 0 (1).
3. Étude locale aux bornes
(a) Montrer que lim f (x) = +∞.
x→+∞
(b) Étudier limx→∞
f (x)
x .
Que peut-on en conclure ?
(c) Étudier limx→0+ f (x).
4. Donner l’allure du graphe de f .
7
Équations différentielles
Exercice 132 Équation différentielles linéaires d’ordre 1 à coefficients constants.
y 0 = 2y + 6,
y 0 = 2y + sin t ,
y 0 = 2y + t e3t ,
y 0 = 2iy + e−2it ,
,
18
y 0 = 2y + t e2t
y 0 = 2iy + e2it ,
y 0 = 2iy + sin(2t )
Exercice 133 Résoudre les équations suivantes sur des intervalles à préciser.
x y 0 − y = x 2 cos x,
x y 0 + y = cos x,
1
,
1−x
1
y0 + y =
,
1 + ex
2x y 0 + y =
x 2 y 0 + 2x y =
1
1+x
|x|y 0 + y = x 2
x y 0 − y = ln|1 + x|,
y 0 cos(x) + y sin(x) = cos(x) + x sin(x)
On pourra utiliser les formules (uv)0 = u 0 v + uv 0 , uv = u v−uv
et remarquer pour l’une des
v2
1
1
1
−1
p
équations que : p1x 1−x
est égal à 2 2p1 x p
si
x
>
0
et
2
p 2 si x < 0.
2
2 −x
0
¡ ¢0
1− x
0
1+ −x
Exercice 134 Équation différentielles linéaires d’ordre 2 à coefficients constants.
1. y 00 − 5y 0 + 6y = e4x
9. y 00 + y = (cos t )2
2. y 00 − y 0 + 6y = e2x
10. y 00 − 2y 0 + y = ch(t )
3. y − 4y + 4y = e
11. y 00 − 3y 0 + 2y = t sh(t )
00
0
2x
4. y 00 − 4y 0 + 4y = 3(x − 2)ex
12. y 00 − 6y 0 + 9y = sin(3t )
5. y 00 − 4y 0 + 4y = 3(x − 2)e2x
13. y 00 + 4y = t (sin t )2
6. y 00 − y 0 − 2y = 4 sin(x) − 2 cos(x)
14. y 00 − y = t
7. y 00 − 4y 0 + 5y = 4e2x sin(x)
15. y (3) − y 0 = 2t 2
8. y 00 + y 0 + y = cos(mx) (m ∈ R)
16. y (4) + 4y 00 = t (sin t )2
Exercice 135 Résoudre les équations suivantes sur un intervalle approprié en se ramenant à
des équations linéaires ; on cherche des solutions de classe C 1 :
y 0 − 4y = (3t + 2)e4t + t − 1,
y0 =
9
y,
t
y0 =
9
y,
t2
(y 0 )2 =
(y 0 )2 = 4t 2 y 2
9 2
y ,
t2
(y 0 )2 =
9
y
t2
Certaines des équations précédentes ne sont pas linéaires mais à variables séparables et se résolvent en utilisant une méthode propre à ces équations. On peut aussi faire un changement de
variables : y = z 2 , pour la dernière.
Exercice 136 Intégrer les équations
y 0 + e y−x = 0
y0 − y = t y2
1
y
(Poser z = )
y 0 + y = y 2 (cos t − sin t )
(comme ci-dessus)
q
p
y y 0 1 + x2 = x 1 + y 2
19
8
Suites
8.1
Suites récurrentes linéaires ou homographiques
Exercice 137 Étudier les suites récurrentes linéaires :
1. u 0
—
—
—
et est réel et pour tout n ≥ 0 :
u n+1 = u n + 3
u n+1 = −4u n
u n+1 = 25 u n + 3
2. u 0 , u 1 et u 2 sont réels et pour tout n ≥ 0 :
—
—
—
—
—
—
—
—
—
2u
u n+2 = u n+1 + 3n
u n+2 = 5u n+1 + 6u n
u n+2 = 4u n+1 + 4u n
u n+2 = 4u n+1 − 4u n
u n+2 = u n+1 + u n
u n+2 = u n+1 − u n
u n+2 = u n+1 + 2u n + 4
u n+2 = 2u n+1 − u n + 1
u n+3 = 6u n+2 − 11u n+1 + 6u n
3. u 0 et v 0 sont réels et pour tout n ≥ 0 :



u

 n+1
=
2u n + v n
3



 v n+1
=
u n + 2v n
3
Exercice 138 Suites récurrentes linéaires :
—
—
—
—
—
—
—
—
2u n+2 − 3u n+1 − 2u n = 0
6u n+2 + u n+1 − 2u n = 0
2u n+2 − 7u n+1 + 5u n = 0
3u n+2 + u n+1 − 2u n = 0
4u n+2 + u n = 0
4u n+2 − 4u n+1 + 2u n = 0
9u n+2 + 32 u n+1 + u n = 0
4u n+2 + u n+1 + u n = 0
Exercice 139 Suites récurrentes homographiques :
−4
un + 4
un − 2
u n+1 =
un + 4
3 un + 1
u n+1 = 2
2 un + 3
2 un + 1
u n+1 =
3 2 un + 1
2 un − 1
u n+1 = 5
2 un + 3
3 un − 1
4 un + 3
7 un − 2
u n+1 =
4 un + 3
1 3 un − 2
u n+1 =
6 3 un + 1
2 un − 1
u n+1 =
4 un + 3
1
u n+1 = −
un + 2
— u n+1 =
— u n+1 =
—
—
—
—
—
8.2
—
—
—
8 un − 9
un + 2
1 4 un + 9
— u n+1 = −
4 un + 2
2 3 un − 2
— u n+1 =
9 un + 2
— u n+1 =
Généralités, suites diverses
Exercice 140 Étudier la convergence des suites (3 réponses : converge, diverge avec ou sans
limite) :
— n ≥ 0 et u n =
n 2 − 40
2n 2 + 2
20
— n ≥ 0 et u n = cos n . On pourra poser ` = limn→+∞ cos n et remarquer que, par exemple,
limn→+∞ cos(n + 1) = ` et limn→+∞ cos(2n) = `.
1
cos n
n n
(−1)
— n ≥ 0 et u n = 2
n +1
π
— n ≥ 0 et u n = cos n
6
— n ≥ 1 et u n =
Exercice 141
— Est-il vrai qu’une suite positive non majorée tend vers +∞ ?
— Est-il vrai qu’une suite positive qui tend vers 0 est décroissante à partir d’un certain rang ?
— Est-il vrai qu’une suite (réelle) qui a une limite strictement positive a tous ses termes
strictement positifs à partir d’un certain rang ?
Exercice 142 Calculer les limites des suites de termes généraux :
1
n
sin 2πn
3
1
n
n ln
p
e n
1−cos
ln(n + 1) − ln n
tan
ln(n) sin p1n
³
´1
(ln n) n
p
n3 − n3 − 1
1
n
1
n
1
3n sin n1
¡
¢
n 2 1 − cos n1
³
´n
1 + p1n
n
n
n 2 +1
¡
¢n 2
1 + n1
Exercice 143 Calculer limn→+∞ tann
1
nn
µ
n ln n
³
´n
1 + n12
¡
¢2014
n 1 + n1
−n
¶
π 2
+
.
4 n
Exercice 144 Soient a et b dans R+ , étudier la suite (u n )n≥1 définie pour tout n dans N? par :
1
u n = (a n + b n ) n
Exercice 145 Soit une suite (u n )n≥0 telle que (u 2n )n≥0 et (u 2n+1 )n≥0 ont même limite ` ∈ R.
Montrer que (u n )n≥0 tend vers `.
Exercice 146 Si la suite (u n )n≥0 a une limite a , que peut-on dire des suites (u n+k )n≥0 et (u kn )n≥0
où k est dans N∗ ?
Exercice 147 (Cesaro) La suite (u n )n≥0 a une limite a (finie ou infinie), montrer que la suite
(v n )n≥0 définie par
vn =
converge vers a .
m=n
X
um
n
m=0 + 1
Exercice 148 Trouver une suite (u n )n≥0 divergente telle que :
lim u n+1 − u n = 0
n→+∞
Exercice 149 Trouver deux suites (u n )n≥0 et (v n )n≥0 dont l’une au moins diverge, telles que
(u n v n )n≥0 et (u n + v n )n≥0 convergent.
21
Exercice 150 Étudier la convergence de la suite définie par
v
s
u
r
u
q
t
p
un = c0 + c1 + c2 + c3 + . . .
telle qu’il existe a > 0 vérifiant 0 ≤ c n ≤ a 2
n+1
.
Exercice 151 Soit (u n ) une suite positive. Étudier la convergence de (infp≥n u p )n .
Exercice 152 Calculer la limite de
p
π
(n − 1)π
nsin . . . sin
n
n
8.3
Suites adjacentes
Exercice 153 Suites adjacentes :
— Montrer que les suites (n ≥ 1)
X 1
X 1
p
p
u n = −2 n + 1 +
p et v n = −2 n +
p
1≤k≤n k
1≤k≤n k
sont adjacentes.
— Étant donnés deux réels positifs, a et b , déterminer u 0 et v 0 pour que les suites
u n+1 =
p
a + bu n et v n+1 =
p
a + bv n
soient adjacentes.
Exercice 154 Les suites u et v sont définies par leurs premiers termes, u 0 , v 0 positifs et par la
relation de récurrence
½
u n +v n
u n+1
v n+1
=
=
p2
un v n
1. Montrer que pour tout n ≥ 0 : u n ≥ v n .
2. Montrer que u est décroissante et v croissante.
3. En déduire que ces suites sont adjacentes.
8.4
Suites récurrentes u n+1 = f (u n )
Exercice 155 Soit a un réel strictement positif. Pour tout n dans N, on pose u 0 = a et :
1
a
u n+1 = (u n +
)
2
un
Calculer la limite de cette suite et donner des exemples.
Exercice 156p Suites récurrentes de la forme u n+1 = f (u n )
— u n+1 = 3u n − 2 avec u 0 ≥ 1 (suite non définie sinon).
1
2
p
— u n+1 = u n + 6 avec u 0 ≥ 0.
— u n+1 = (1 + u n2 ) avec u 0 ≥ 0.
22
Exercice 157 Étudier les suites récurrentes :
— u 0 est réel et pour tout n ≥ 0 :
u n+1 = u n2 +
— u 0 est réel et pour tout n ≥ 0 :
3
16
u n+1 = u n2 + u n + 2
— u 0 ≤ 2 et pour tout n ≥ 0 :
u n+1 =
— u 0 est réel et pour tout n ≥ 0 :
p
2 − un
1
u n+1 = (4 − u n2 )
3
— u 0 est dans ]0,2[ et pour tout n ≥ 0 :
u n+1 =
p
u n + (−1)n
— u 0 est réel et pour tout n ≥ 0 :
u n+1 = cos u n
— u 0 , u 1 sont réels et pour tout n ≥ 0 :
5
1
6
u n+2 = u n+1
u n6
Exercice 158 Étudier les suites récurrentes définies par une relation de la forme u n+1 = f (u n )
dans les cas suivants :
1. u 0 est dans [0, 2] et f (x) = 1 − cos
¡π ¢
2x .
2. u 0 est réel et f (x) =
8.5
1
.
x 2 +1
Sommes
Exercice 159 Calculer les limites des suites :
2
2
(on pourra écrire
sous la forme ak+1 − ak après avoir fac4k 2 + 8k + 3
4k 2 + 8k + 3
2
torisé 4k + 8k + 3).
1
P
2. 1≤k≤n
.
(2k − 1)(2k + 1)
1
1
k
P
3. Calculer 2
−
et en déduire 1≤k≤n 4
.
k − k + 1 k2 + k + 1
k + k2 + 1
1.
P
0≤k≤n
Exercice 160 Démontrer que pour tout entier n :
P
0≤k≤n
p
p
1
n + 1 − n < p . En déduire la limite de
2 n
1
p .
n
Exercice 161 Montrer que
1
n2
P
1≤k≤n bkxc
converge et donner sa limite.
Exercice 162 Soit u la suite de terme général
façons de démontrer que lim+∞ u = +∞.
1
1≤k≤n+1 k .
P
1. Démontrer que pour tout entier naturel n :
23
La liste ci-dessous donne différentes
1
n+2≤k≤2n+2 k
P
≥ 12 . Vérifier que u 2n − u n ≥ 12 .
2. (Oresme XIVe) Soit v la suite de terme général 2n +1≤k≤2n+1 k1 , montrer que v n ≥ 12 et en
déduire que u n’est pas bornée.
3. (Mengoli XVIIe, Dunham XXe) La moyenne harmonique est plus petite que la moyenne
arithmétique. Démontrer que pour toute suite (x k )1≤k≤n de réels strictement positifs :
P
Ã
1 X 1
n 1≤k≤n x k
!−1
P
≤
1≤k≤n x k
n
En déduire que pour tout entier m positif
X
m≤k≤m+q
1 2(q + 1)
≥
k
2m + q
En groupant les termes par trois à compter du second, montrer que
u 3n+1 ≥ 1 + u n
Conclure.
En groupant les termes de la somme de façon adéquate, démontrer que
u pn ≥ n
2
(la suite p vérifie p 0 = 1 et u p n+1 − u p n ≥ 1)
4. Pour quelles valeurs du réel a , avons nous 1 + x ≤ a x pour tout x > 0 ?
Démontrer que eun ≥ n + 1.
1
1
1
5. Remarquer, pour tout entier n naturel : 2n+1
+ 2n+2
> n+1
et en déduire lim+∞ u > lim+∞ u .
6. (Cusumano 1998) Démontrer que, pour tout entier naturel n :
1
1
1
1
+
=
+
2n + 1 2n + 2 n + 1 (2n + 1)(2n + 2)
Puis
En déduire que limn→+∞
7. Montrer que
1
1
1
=
−
(2n + 1)(2n + 2) 2n + 1 2n + 2
1
0≤k≤n (2k+1)(2k+2)
P
u 2n+2 =
= 1 puis que lim+∞ u = lim+∞ u + 1.
X
u n+1
1
+
2
0≤k≤n 2k + 1
En déduire lim+∞ u = +∞.
8. (Après le cours d’intégration) Soient les fonctions f et g définies par
∀n ∈ N
∀x ∈ [n + 1, n + 2[ : f (x) =
Démontrer que, pour tout n entier positif
1
,
n +1
ln(n + 1) ≤ u n
9. Justifier la fausse «démonstration» suivante
XZ 1 k
1
=
x dx
n≥0 n + 1
n≥0 0
Z 1
1
=
dx
0 1−x
= +∞
X
24
g (x) =
1
x
8.6
Suites définies implicitement
Exercice 163 Suites définies implicitement :
— Pour tout n dans N, montrer que le polynôme x n+1 − 2x + 1 a une racine positive x n
différente de 1. Étudier cette suite (x n )n≥0
— Pour tout n dans N, montrer que le polynôme x n − nx + 1 a une unique racine x n dans
]0,1[, puis que la suite (x n )n≥0 converge vers 0. Calculer un équivalent de x n .
Exercice 164 Soit u la suite définie pour n ≥ 0 par : u n ∈ nπ − π2 , nπ + π2 et tan u n =
u . Montrer
³ ´n
¤
£
1
que u n est équivalent à nπ lorsque n tend vers +∞, puis que : u n = nπ + π2 − nπ
+o
1
n
.
Exercice 165 Soit (u n ) une suite réelle bornée telle que limn→+∞ u n3 +2u n −u n+1 = 0. Démontrer
que (u n ) converge et déterminer sa limite.
Exercice 166 Soit u la suite définie par u 0 , . . . , u k et la relation :
u n+k = a k−1 u n+k−1 + · · · + a 0 u n
où les coefficients a j sont réels.
On appelle P le polynôme x k −ak−1 x k−1 −· · ·−a0 . On suppose que P n’a qu’une racine ξ, de module
maximal.
1. Cette racine est réelle. Calculer limn→∞ uun+1
.
n
2. ξ est complexe. Soient v et w les suites définies pour tout n ≥ 2 par
vn
wn
=
=
u n2 − u n+1 u n−1
u n u n−1 − u n+1 u n−2
Calculer limn→∞ vvn+1
et limn→∞ wwn+1
.
n
n
8.7
Équivalents, développements asymtotiques
Exercice 167 Soit la suite u définie par u 0 = 0 et pour n ≥ 1, u n =
premiers termes du développement asymptotique de u n .
8.8
2
1+u n−1
.
2
Calculer les trois
Points adhérents, densité
Exercice 168 Déterminer l’adhérence de :
[0, 1[∪]1, 2[∪{3}
Exercice 169 R2 est muni de la norme euclidienne. A et B sont définis par
A = {(x, y) ∈ R2 /x 2 + y 2 ≤ 4},
B = {(x, y) ∈ R2 /(x − 1)2 + y 2 < 4}
Déterminer l’adhérence et l’intérieur de A ∩ B.
Exercice 170 Déterminer les bornes supérieures et inférieures, les limites supérieures et inférieures des ensembles ci-dessous en précisant si ces éléments appartiennent ou non à l’ensemble.
1. L’ensemble des rationnels
p
q
où p et q sont premiers entre eux, q est pair et
25
p2
q2
≤ 10.
2. L’ensemble des nombres de la forme (n et m étant des entiers non nuls)
(a) 1 ± n1
¡
¢n
(b) 1 ± n12
¡
¢n
(c) n ± n1
(d) n ± 13
(e)
1
m
(f)
¡1
(g)
(h)
+ n1
¢
1 m+n
m +n
1
±m
± n1
n
1 + (−1)n + (−1)
n
3. L’ensemble des nombres dont le développement décimal peut se mettre sous la forme
0, a 1 a 2 . . . où les a j sont impairs.
D’après le Problem book de Konrad Knopp.
Exercice 171 L’ensemble des nombres dont le développement décimal peut se mettre sous la
forme 0, a1 a2 . . . où les a j sont impairs est il dense dans [0, 1] ? (Borne supérieure, borne inférieure ?).
Exercice 172 Démontrer que { 2nm /n ∈ Z, m ∈ N} est dense dans R.
Exercice 173 Soient G, un sous-groupe du groupe additif R et α = inf G ∩ R∗+ . Nous noterons a Z
l’ensemble {x ∈ R/∃k ∈ Z, x = ak}.
1. Supposons α > 0, montrer que si g est un élément de G, alors : g = [ α ]α.
g
2. Supposons α = 0.
(a) Montrer que pour tout ² > 0, il existe g dans G tel que 0 < g < ².
(b) Soit un réel x , montrer que [ gx ]g approche x à ² près.
(c) En déduire que G est dense dans R.
3. Soit G = {2πk + n/k ∈ Z, n ∈ Z}
(a) Montrer que G est un sous-groupe du groupe additif R.
(b) Supposons qu’il existe un réel α tel que G = αZ. Montrer que cela implique que π est
rationnel.
(c) Soit un réel t dans [−1, 1] et un réel x tel que cos x = t . Montrer que pour tout ² réel
strictement positif, il existe 2πk + n dans G tel que |x − (2πk + n)| < ².
(d) Montrer que | cos x − cos n| < ².
(e) En déduire que l’adhérence de la suite (cos n)n≥0 est [−1, 1] puis l’ensemble des valeurs
d’adhérence de (cos n)n≥0 .
8.9
Autres suites
p
Exercice 174 Soit (u n ) définie par récurrence par u 0 > 0 et pour n ≥ 1 par : u n = n + u n−1 .
26
Exercice 175 Étudier les suites (u n )n≥0 définies par les expressions ci-dessous : si possible on
donnera la limite, les variations sinon.
v
s
u
r
u
q
t
p
1+ 1+ 1+ ... 1
n racines
v
s
u
r
u
q p
t
2
n
2
2
1 + 2 + 2 + . . . 22
v
s
u
r
u
q
t
p
1+ 2+ 3+ ... n
(http://www.research.att.com/~njas/sequences/A072449)
v
s
u
r
u
q
t
p
n + n −1+ n −2+ ... 1
Exercice 176 Soient a et b des reéls strictement positifs, la suite u de terme général u n =
P
1
0≤k≤n−1 an+b converge-t-elle ?
Exercice 177 Étudier la suite x définie par x 0 > 0 et
x n+1 x n = n + 1
e
Exercice 178 Étudier la suite définie par u 1 = 1 et u n+1 = n+1
.
un
Exercice 179 ((utilisation de séries)) Étudier la suite u définie pour n ≥ 0 par
u n+1 =
1
1
u n + n+1
Exercice 180 Étudier la suite u définie pour n ≥ 0 par
r
u n+1 =
8.10
un +
1
n +1
Compléments

Exercice 181 (Lemme de Cantor)
Soit (v n ) une suite telle que pour tout x réel : limn→+∞ v n sin(nx) =
0. Montrer que : limn→+∞ v n = 0 (lemme de Cantor).
On procède par contraposition : supposons que (v n ) ne tende pas vers 0. Il existe un réel ε > 0
tel que l’ensemble E = {n ∈ N/|v n | ≥ ε} soit infini, donc pour tout n dans E il existe m dans E tel
que :£m ≥ 3n . Ceci¤ permet d’extraire une suite (v nk )k telle que pour tout k : |v nk | ≥ ε. Posons
Ip k = pπ + π6 , pπ 5π
6 . Soient m et n dans E tels que : m ≥ 3n . Montrer qu’il existe un entier q tel
1
1
que : m Iq ⊂ n Ip .
On définit une suite (p k )k par récurrence en posant : n = n k , n k+1 = m , p 1 = 0, p k = p et p k+1 = q .
On a donc :
I0k+1 =
1
n k+1
Ip k+1 ⊂
27
1
Ip = I0k
nk k
p π+ π
Montrer que la suite de terme général nk k+1 6 converge vers un réel x .
Vérifier que pour tout k on a : n k x ∈ Ip k . En déduire que :
| sin(n k x)| ≥
1
2
et
|v nk sin(n k x)| ≥
Conclure.
ε
2
Exercice 182 Démontrer qu’une fonction croissante f de [0, 1] dans lui-même admet un point
fixe. Indication : considérer α = sup{x ∈ [0, 1]/ f (x) > x}.
Exercice 183 Soit x un réel strictement positif. Étudier la suite de terme général u n = x n n!n −n
en fonction de x (elle diverge pour x = e ).
Exercice 184 Soit x un réel strictement positif, démontrer que
2−n
−k
(1 + x 2 ) −−−−−→
Y
n→+∞
1≤k≤n
x −1
ln x
Exercice 185 Soient n entier positif et x un réel différent de −1.
1. Démontrer que
1
1+x
2. Démontrer que 0 ≤
3. En déduire
=
R1
P
0≤k≤n (−1)
t n+1
0 1+t
dt ≤
x + (−x)
1+x .
n+1
k k
1
n+2 .
¯Z
¯
¯ 1 t n+1
X (−1)k ¯¯
1
¯
dt −
¯
¯≤
¯ 0 1+t
¯
n +2
0≤k≤n k + 1
4. Finalement, démontrer que la suite u de terme général
un =
X (−1)k
0≤k≤n k + 1
converge et donner sa limite.
Exercice 186
1. Soit u la suite définie par son terme général u n = 0≤k≤n 21k . Calculer lim u .
2. Injection de P (N) dans [0, 1]. Soit ϕ l’application qui, à une partie A = {n 1 , . . .} de N, associe
le réel a défini par son développement décimal (infini) a0 , a1 . . . ak . . . défini par : ak = 1 si
k ∈ A et a k = 0 sinon (k 7→ a k est la fonction indicatrice de A). Ainsi
P
a = lim
n→+∞
X ak
0≤k≤n
2k
Démontrer que ϕ est une injection de P (N) dans [0, 1].
3. En déduire qu’il n’existe aucune bijection de N sur R.
9
Limites de fonctions
Exercice 187 Calculer les limites suivantes :
28
— lim π2
— lim π2
—
— lim+∞
—
—
—
1
(x 2 +x−1) 2
(1−sin π x2 )
p
p
( 1+x 2 − 2)¡
¢
1
1
lim+∞ sin x ln x+1
lim( 1 )+ (2x 2 − 3x
2
1
(x 3 −2x 2 +4) 3
x
lim0 esin−1
x
3
p
— lim0+ (cos x) x
— ((a, x) ∈ R2 ) limn→+∞ (cos na +
+
−e
— lim0 etan x−sin
x
sin x
Exercice 188 Calculer un équivalent en +∞ de
p
2
1+x
¡ ¢
sin x1
ln
¡
x
x+1
¢
1
x sin na )n
— lim π2 (tan x)cos x
p
2
— lim
p +∞ x + x + 1
2
4x − 1 − 3x
1) tan πx p
cos 2x
— lim0 cos x−
sin2 x
tan x
1
x
— limα x−1
2 x(x−1) où α est 1+ , 1− , 0+ ou 0− )
— lim1
cos 3x
cos x
1−sin x+cos x
sin x−1+cos x
10 −1024
lim2 x x−2
+
.
Exercice 189 Calculer les limites suivantes :
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
p
1+x −1
limx→0 p
3
1+x −1
p
x −8
limx→64 p
3
x −4
p
p
3
x2 − 2 3 x + 1
limx→1
(x − 1)2
p
3− 5+x
limx→4
p
1− 5−x
p
limx→+∞ x 2 − 5x + 6−x
p
3
limx→+∞ x + 1 − x 3
sin 5x
limx→0
sin 3x
tan πx
limx→−2
x +2
sin πx
limx→1
sin 3πx
1 − 2 cos x
limx→ π
3
π − 3x
cos 7x − cos 4x
limx→0
x2
tan x − sin x
limx→0
x3
x − sin 2x
limx→0
x + sin 3x p
p
1 + sin x − 1 − sin x
limx→0
x
µ
¶1
sin 2x x
limx→0
x
µ
¶ 2
x +1 x
limx→+∞
2x + 1
µ
¶
x −1 x
limx→+∞
x +1
ln cos x
limx→0
x2
1 − e−x
limx→0
sin x
42. limx→+∞ (thx)ln x
20. limx→0 (cos x) x
1
1
x2
¶
ln(x + 1) x ln x
ln x
µ
¶
3x tan 3x
limx→ π tan
6
2
µ ¶ ³
1
x ´
limx→+∞ sin
ln
x
x +1
x ln x
limx→1 2
x −1
2
ex +x − esin x
limx→0
1 − cos x
p
3
1 + x2 − 1
limx→0
x2
ln(2x + 1) − ln(3x 2 )
limx→1
cos πx
2
21. limx→0 (cos x)
22. limx→+∞ ln(2x + 1) −
43. limx→+∞
ln(x + 2)
r
1
1+x
23. limx→0 ln
x
1−x
24. limx→0+ x x
44.
25. limx→+∞ x x
26. limx→0+ (ln(x + 1))x
46.
45.
1
µ
1
27. limx→0 tan x exp
1 − cos x
sin2 x − 34
28. limx→ π3
2
x 2 − π32
1
29. limx→0 (cos x) sin2 x
30. limx→0
31. limx→0
sin x ln(1 + x 2 )
x tan x
ln cos π3 x
ln cos π2 x
x→(sin x) x− 2
¶
2x + 1 x
2x − 1
39. limx→ π4 (tan x)tan 2x
³ x ´ sin x
x−sin x
40. limx→0
sin x
1
41. limx→0 (1 + 2 tan2 x) x sin x
38. limx→+∞
µ
29
48.
49.
ln(1 + x + x 2 )
x + 3x 2
sin(π ln(x + 1))
limx→0
x
p e −1
2
lim
−
p x→+∞ x + 3x
x2 + 1 − 1
p
x + 1 − x2 + 2
limx→+∞
xp− 3
cos x − cos(2x)
limx→0
2
p xp
lim
x + x2 + 1 −
p x→+∞
p
2
x + x −1 p
1 − cos x cos(2x)
limx→0
x2
x
limx→+∞ p
−
x +1
x
p
x +2
³ 1
´
1
limx→+∞ x 2 e x − e x+1
50. limx→0
51.
1
πx ´ x
33. limx→+∞ tan
2x + 1
4x − 3x
34. limx→0
x
35. lim
1
π
36. limx→0+ (sin x)tan x
37. limx→0 (cos x)ln|x|
47.
52.
32. limx→0 (cos x)cot 2x
³
¶
53.
54.
55.
56.
57.
58.
µ
Exercice 190 Calculer les limites suivantes :
p
p
x + x − x en +∞ ;
1.
q
2.
tan(x+ π4 )−1
p
3−2 cos(x+ π6 )
3.
x 3 −3x 2 +5x−3
4x 4 +x 2 +x−6
x+
p
en 0 ;
en 1.
Exercice 191 Démontrer qu’une fonction croissante de [0, 1] sur lui-même admet (au moins) un
point fixe. Autrement dit, il existe α dans [0, 1] tel que f (α) = α.
Indication : Considérer sup{x ∈ [0, 1]/x ≤ f (x)}.
Remarquons que si f est décroissante il y a au plus un point fixe.
30
10
Fonctions continues
Exercice 192 x 7→ sin x1 définie sur R? est-elle prolongeable par continuité en 0 ? Même question
2
pour x 7→ x sin x1 en x = 0 et x 7→ x −5x−14
en x = −2.
x+2
Exercice 193 Pour quels réels a , la fonction f a définie par f a (0) = 0 et pour x 6= 0 par :
f a (x) = |x|a sin x sin
1
x
est-elle continue en 0 ?
Exercice 194 Soit n un entier supérieur ou égal à 2. Trouver toutes les fonctions réelles continues définies sur R telles que pour tout x réel : f (x n ) = f (x).
Exercice 195 Étudier la continuité de
p
1. f (x) = x + x − bxc.
p
2. g (x) = bxc + x − bxc.
3. h(x) = xbxc en 0.
Exercice 196 Démontrer que x 7→ |x| est continue.
x+y+|x−y|
Démontrer que max(x, y) =
. En déduire que max( f , g ) est continue lorsque f et g sont
2
continues.
Exercice 197 Soit f : R → R continue en 0 telle que ∀x ∈ R f (x) = f (2x). Montrer que f est
constante.
Exercice 198 La fonction x 7→
1
est-elle lipschitzienne sur ]0, +∞[ ? sur [1, +∞[ ?
x
Exercice 199 Soit f : R → R continue telle que lim−∞ f = −∞ et lim+∞ f = +∞. Montrer que f
s’annule. Appliquer ceci aux polynômes de degré impair.
Exercice 200 Soit f : R → R+ continue telle que f (0) = 1, lim f = 0 et lim f = 0.
−∞
+∞
1. Montrer qu’il existe a > 0 tel que si |x| > a alors f (x) ≤ 12 .
2. Montrer que f est bornée et possède un maximum.
Exercice 201 Soient I un segment de R et f : I → R continue telle que f (I) ⊂ I. Montrer qu’il
existe a ∈ I tel que f (a) = a . Est-ce encore vrai si f n’est pas continue ou si I n’est pas un
segment ?
Exercice 202 Soient I un intervalle de R et f : I → R continue telle que ∀x ∈ I, f (x)2 = 1. Montrer
que f = 1 ou f = −1.
Exercice 203 Soit f : R+ → R continue admettant une limite finie en +∞. Montrer que f est
bornée. Atteint-elle ses bornes ?
Exercice 204 Soient f et g continues sur [0, 1] telles que ∀x ∈ [0, 1] f (x) < g (x). Montrer qu’il
existe m > 0 tel que ∀x ∈ [0, 1] f (x) + m < g (x).
31
Exercice 205 Soit k un nombre réel. Démontrer que l’équation ln x +x = k a une solution unique
dans R.
Exercice 206 Soit f croissante sur [a, b] et prenant toute valeur entre f (a) et f (b). Montrer
que f est continue.
Exercice 207 En étudiant la suite u 0 ∈ R et u n+1 = cos(u n ), déterminer une valeur approchée à
10−5 près de l’unique réel solution de cos(x) = x .
Exercice 208 Déterminer toutes les fonctions réelles continues définies sur R telles que pour
tout x réel : f (2x + 1) = f (x).
Exercice 209 Soit f une application de R dans R telle que pour tous x et y
f (x + y) = f (x) + f (y)
On pose f (1) = a . Démontrer que f (x) = xa pour
1. x ∈ N ;
2. x ∈ Z ;
3. x ∈ Q ;
4. et x ∈ R, si f est continue..
Exercice 210 Soit f dans C ([0, 1], R) telle que f (0) = 0 et f (1) = 0. Soit c dans l’image de f ,
distinct des valeurs maximale et minimale de f . Montrer qu’il existe a et b distincts dans [0,1]
tels que
f (a) = c, et f (b) = c
Exercice 211 Soit f dans C ([0, 1], [0, 1]).
1. Montrer que f a un point fixe.
2. Soient (x k )1≤k≤n (n ∈ N) points dans [0,1]. Montrer qu’il existe c dans [0,1] tel que
P
f (c) =
1≤k≤n
f (x k )
n
Exercice 212 Soit f continue sur un intervalle I et soit a ∈ I. Démontrer que F : x 7→ maxt ∈[a,x] f (t )
est continue. Réprésenter F lorsque f (x) = x 2 pour x dans [−1, 2].
Exercice 213 a et b sont deux réels et f est une fonction continue et bijective de [a, b] dans R.
Démontrer que f est strictement monotone.
Exercice 214 Soit f une application de [a, b] dans lui-même, telle que pour tous x et y dans
[a, b] :
| f (x) − f (y)| ≥ |x − y|
Démontrer que
1. pour tous x et y dans [a, b]
| f (x) − f (y)| = |x − y|
2. pour tout x dans [a, b], f (x) = x ou pour tout x dans [a, b], f (x) = a + b − x .
32
Exercice 215 Soient f et g deux fonctions lipschitziennes bornées sur un intervalle I. Montrer
que f g est lipschitzienne sur I. Donner un contre-exemple si on ne suppose plus f et g bornées.
Exercice 216 Soient f et g deux fonctions continues définies sur l’intervalle réel [a, b] et à
valeurs réelles. La fonction h est définie sur R par
∀t ∈ R,
h(t ) = sup ( f (x) + t g (x))
x∈[a,b]
Démontrer que h est lipschitzienne sur R.
Exercice 217 Démontrer qu’une fonction continue périodique sur R est uniformément continue.
p
Exercice 218 x 7→ x est-elle lipschitzienne ? Est-elle uniformément continue ? Même question
pour Arctan
L’application réciproque d’une application lipschitzienne est-elle lipschitzienne (respectivement
uniformément continue) ?
Exercice 219 Soit f une fonction continue sur
£ [0, 1]¤ telle que f (0) = f (1). Démontrer que pour
tout entier n , supérieur à 1, il existe x n dans 0, 1 − n1 tel que
µ
1
f (x n ) = f x n +
n
¶
En déduire que si l’on parcourt 20 kilomètres en une heure, il existe un intervalle d’une demi-heure
durant lequel nous avons parcouru 10 kilomètres.
Exercice 220 Soit f une fonction continue définie sur le tore T = {z ∈ C/|z| = 1} et à valeurs
réelles. On définit une fonction sur R en posant : g (t ) = f (e2i πt ).
1. Montrer que g est périodique.
2. Soit h définie par h(t ) = g (t )−g t + 12 . Démontrer qu’il existe c dans 0, 12 tel que h(c) = 0.
³
´
i
h
3. Démontrer que sur le méridien de Valbonne il existe deux points diamétralement opposés
de même température.
Exercice 221 Soient n un entier supérieur ou égal à 1, σ une permutation de ‚1, nƒ, f une
fonction définie sur l’intervalle [0, 1] telle qu’à tout réel a de développement décimal 0, a0 , a1 . . .
elle associe le réel 0, aσ(0) , aσ(1) . . .. f est-elle continue ?
33
11
Fonctions dérivables
Exercice 222 Calculer la dérivée n e de chacune des fonctions suivantes :
1. x 7→ x m (m réel)
2. x 7→ e3x+2 .
3. x 7→ (1 + x 2 )m pour x = 0.
4. x 7→ x 4 ex .
1
1
et x 7→
.
1+x
1−x
1
6. x 7→
.
1 − x2
7. x 7→ (sin(x))4 .
5. x 7→
8. x 7→ cos3 x + sin3 x .
Exercice 223 Étudier la fonction f définie sur R∗+ par
f (x) = x 2 ln x
Est-elle prolongeable par continuité en 0 ? Dans l’affirmative, ce prolongement est-il dérivable en
0 ? De classe C1 en 0 ?
Exercice 224 Prolonger par continuité en 0 et étudier la dérivabilité de
p
1. f (x) = x ln x .
ex − 1
2. g (x) = p
x
.


R → R
Exercice 225 Soit f : x 7→ ex si x < 0


x 7→ ax 2 + bx + c sinon
Déterminer des réels a, b, c pour que f soit C2 (et C3 ?).
Exercice 226 Soit f (x) = exp − x12
³
´
si x 6= 0 et f (0) = 0. Montrer que f est C∞ et que ∀n ∈
N f (n) (0) = 0.
Exercice 227 Soient a et b deux réels et f (x) = (x − a)n (x − b)n . Calculer f (n) et en déduire
Pn
(Ck )2 (avec a = b ).
k=0 n
Exercice 228 Soit f ∈ C1 (R+ , R) telle que f (0) = 0 et lim+∞ f = 0. Démontrer qu’il existe c > 0 tel
que f 0 (c) = 0.
Exercice 229 Soit n un entier et f (x) = (x 2 − 1)n .
1. Montrer que si k < n alors f (k) (1) = f (k) (−1) = 0.
2. Montrer que le polynôme f (n) admet n racines distinctes dans ] − 1, 1[.
Exercice 230 Montrer que ∀x ∈ R |ex − 1 − x| ≤
x 2 |x|
2 e .
34
Exercice 231 Soit f α la fonction réelle définie par f α (x) = sin(x)− x +αx 3 . Démontrer que f α00 ≥ 0
pour x ≥ 0 si α ≥ 16 . En déduire que f 6 est positive sur R+ .
1
1
En déduire limx→0 (sin(x))
2 − x 2 existe et est réelle. Donner la valeur de cette limite.
Exercice 232 Soit f ∈ C2 (R) telle que ∀(x, y) ∈ R2 f (x + y) f (x − y) ≤ f (x)2 . Montrer que ∀x ∈
R f (x) f 00 (x) ≤ f 0 (x)2 .
Exercice 233 Soit f : R+ → R dérivable telle que lim+∞ f 0 = l . Montrer qu’alors lim+∞
f (x)
= l.
x
Exercice 234 Déterminer les extrema de f (x) = x 4 − x 3 + 1 sur R.
Exercice 235 Soit f , une fonction dérivable sur un intervalle ]a, b[ telle que lim f 0 (x) = +∞.
x→b
Est-ce que limx→b f (x) = +∞ ?
Exercice 236 Démonstrations d’une propriété des fonctions dérivables (Darboux). Soit f dérivable sur I = [a, b] (a 6= b ) et on suppose que f 0 (a) < f 0 (b). Soit ` un réel dans ] f 0 (a), f 0 (b)[.
1. On définit g sur I par : g (a) = f 0 (a) et si x 6= a : g (x) = x−a . On définit la fonction h
f (x)− f (b)
sur I par : h(b) = f 0 (b) et si x 6= b : h(x) = x−b . Démontrer qu’il existe d dans I tel
que : g (d ) = ` ou h(d ) = `. En déduire qu’il existe c dans I tel que : f 0 (c) = `.
f (x)− f (a)
2. On définit ϕ sur I en posant ϕ(a) = f 0 (a), ϕ(b) = f 0 (b) et pour x dans ]a, b[ :
ϕ(x) =
f (x) − f (a) f (x) − f (b) f (b) − f (a)
+
−
−`
x −a
x −b
b−a
Montrer que ϕ est continue sur I puis appliquer le théorème des valeurs intermédiaires à
ϕ.
Exercice 237 Démontrer que la dérivée d’une fonction paire est impaire (respectivement impaire et paire). Étudier la réciproque.
Exercice 238 Soit f une fonction à valeurs réelles deux fois dérivable sur l’intervalle [a, a +2b].
Démontrer qu’il existe c dans ]a, a + 2b[ tel que
f (a + 2b) − 2 f (a + b) + f (a) = b 2 f 00 (c)
Indication : poser g (t ) = f (a + b + t ) − f (a + t ) pour t dans [0, b].
Exercice 239 [ENS]Soit f de classe C∞ sur R à valeurs dans R+ ; montrer qu’il existe une suite
(x n ) telle que limn→+∞ f 0 (x n ) = 0.
35
12
Développements de Taylor
p
p
Exercice 240 Calculer des valeurs approchées de 432 et 1713481 en utilisant l’inégalité de
Taylor-Lagrange (sans machine) et en précisant l’erreur commise qui devra être inférieure à 10−2 .
Exercice 241 Calculer, avec un crayon et du papier, une valeur approchée à 10−3 près de cos 1.
Exercice 242 Calculer un développement asymptotique de la fonction f en a avec n termes :
1. f (x) =
2. f (x) =
3. f (x) =
1
x+1 , a = 2, n = 4 ;
1
3x−4 , a = 2, n = 4 ;
2x+3
5x−1 , a = 1, n = 3 ;
17. arcsin(x), a = 0, n = 4 ;
18. arccos(x), a = 0, n = 4 ;
p
19. ln(x + 1 + x 2 ), a = 0, n = 2 ;
p
20. ln(x + 1 + x 2 ), a = ∞, n = 3 ;
4. f (x) = exp(2 + 3x), a = −1, n = 3 ;
21. exp, en a = ∞, n = 1 ;
5. f (x) = cos x + π6 , a = 0, n = 4 ;
³
´
6. f (x) = sin(x), a = π3 , n = 4 ;
22. 3 + 4x − 6x 2 − x 3 + 2x 4 , a = 0, n = 4 ;
8. f (x) = ln(cos x), a = 0, n = 4 ;
24. −2 + 3(x − 2) − 2(x − 2)3 , a = 0, n = 4 ;
23. 3 + 4x − 6x 2 − x 3 + 2x 4 , a = −1, n = 5 ;
p
7. f (x) = cos( x), a = 0, n = 3 ;
25. f (x) = x sin
³ ´
sin(x)
9. f (x) = (cos
, a = 0, n = 3 ;
x)2
27. f (c) =
11. f (x) = cos(x)2 sin(x)2 , a = 0, n = 4 ;
16. Arctan
, a = ∞, n = 2, m et v sont
28. f (x) = sin ex , a = −∞, n = 3 ;
14. ex sin x , a = 0, n = 3 ;
15. Arctan
2
1− v 2
deux réels strictement positifs ;
a = +∞, n = 4 ;
1−x
1+x ,
1−x
1+x ,
2
rmc
c
1
12. f (x) = 1+x
ln(1 + x), a = 0, n = 4.
1
x+1 ,
, a = +∞, n = 4 ;
26. f (x) = sin x , a = +∞, n = 1 ;
10. f (x) = 8x 5 − x 4 + 5x 3 − 6x 2 + 7x − 2, a = 0,
n =3;
13. f (x) =
1
x
29.
(tan x)x − x tan x
, a = 0+ , n = 1 ;
(tanh x)x − x tanh x
µ
¶
ln x
30. exp x
a = 0+ , n = 1.
x −1
a = 0, n = 2 ;
a = ∞, n = 2 ;
Exercice 243 Déterminer des développements asymptotiques à deux termes puis les limites des
expressions suivantes :
Q 243.1 en x = 0 :
1.
1
x
2.
x−Arcsin(x)
sin(x)3
ln
³
exp(x)−1
x
´
;
ex −1
4.
Arctan(x)−sin(x)
tan(x)−Arcsin(x)
1
10. (1 + sin(x)) x ;
7. (1 + tan( x)2 ) 2x ;
11.
1
;
3.
5. (sin(x)) x ;
6. sin(x)3 − sh(x)3 ;
p
8.
1
− x(x+1)
;
;
9.
p
cos(x)− cos(2x)
sin(2x)
³
tan(x)
x
´
1
x2
;
Q 243.2 en x = 1
36
1
;
1
1
(1+sin(x)) x −exp(1− x2 )
1
(1+tan(x)) x −exp(1− x2 )
12. (cos(x))cot(x)
2
;
1.
2.
x 2 +1
2x−1
;
p
x 3 − x 2 + 3x − 1 ;
¡ ¢
3. sin π6 x ;
Q 243.3 en 1±
4. 8x 5 −x 4 +5x 3 −6x 2 +7x −
2;
6. (x − 1) exp
5. (2 − x)
8.
¡ ¢
tan π x2
;
7.
³
1
x 2 −3x+2
´
;
1
;
(1−x)3
1
.
1+x+x 2 +x 3
¯ ¡
¢¯ 1
sin(ln(x)) − ¯ln sin(π x2 ) ¯ 2
x −1
Q 243.4 en +∞
1.
p
4
2. ln
x4 + x2 + 1 ;
³ 2x 2 ´
e −x
2x
3.
;
x 2 +1
x+1 th(x) ;
4. x 2 ln
¡ x+1 ¢
x
5. (x + 1)1+ x+1 − x 1+ x ;
1
;
6. ch
¡
1
¡p
¢
¡p ¢¢ p1
1 + x − ch x x .
Exercice 244 f est une fonction réelle définie sur un intervalle ouvert contenant 0 et de classe
C ∞ sur cet intervalle.
Calculer le développement de Taylor de f en 0 à l’ordre n lorsque
1. n = 3 et x f (x)3 + f (x)2 + (x 2 + 1) f (x) − 2 = 0 ;
2. n = 54 et x 7 f (x)3 − x 8 + f (x) = 0 ;
3. n = 3 et x 2 + f (x)2 = 1, f ≥ 0 ;
4. n = 3 et f 0 (x) = sin( f (x)), f (0) = π ;
5. n = 8 et f (x) = tan x − x3 + x5 − x7 .
³
3
5
7
´
Exercice 245 Calculer les dérivées n e de
1.
x 7→
2.
x
1 − x2
en 0 puis en x (x ∉ {−1, 1}). On pourra décomposer la fraction en éléments simples.
x 7→ ex
2
Développer ex , e2xa , ea et faire le produit.
2
2
Exercice 246 Soient a et b deux réels tels que a < b et f ∈ C3 ([a, b], R). Montrer qu’il existe
c ∈]a, b[ tel que f (b) = f (a) + (b − a) f 0
³a +b ´
+
(b − a)3 000
f (c) (on pourra utiliser Taylor-Lagrange
24
2
a +b
entre a,
, et b ou Rolle, suivant le programme).
2
Exercice 247 Soit f une fonction telle que : f (x) = ax n + o(x n ) (a 6= 0). Soit t un réel non nul,
f (t x)
calculer ` = limx→0 f (x) . En déduire la valeur de n en fonction de t et `.
Application : soit f (x) = tan(sin(x)) − sin(tan(x)), justifier qu’il existe a et n tel que : f (x) =
ax n + o(x n ). À l’aide d’une calculette, estimer n . On pourra prendre t = 12 .
Calculer un équivalent simple de f (x) en 0.
Exercice 248 Soit P de degré impair et f ∈ C∞ (R, R), telle que
∀n ∈ N, ∀x ∈ R, | f (n) (x)| ≤ |P(x)|
Montrer que f est identiquement nulle.
37
13
Arithmétique dans Z
Exercice 249 Montrer que :
1. (m, n) 7→ 2m 3n est une injection de N2 dans N.
2. (m, n) 7→ 2m (2n + 1) est une bijection de N2 sur N? .
Exercice 250 Démontrer que, pour tout n dans N, 33n+3 − 26n − 27 est divisible par 169.
Même question avec 114n+2 + 194n+2 et 241.
Exercice 251 Soit P = {p 0 , . . . , p n } un ensemble de n +1 nombres premiers. Le nombre p 0 · · · p n +1
est-il divisible par un élément de P ? Que peut-on en déduire sur l’ensemble des nombres premiers ?
Exercice 252 a, b, c, d , k, m, n, r, s, x, y désignent des entiers positifs. Démontrer les assertions suivantes.
1. (ac) ∧ (bc) = c(a ∧ b) et (ac) ∨ (bc) = c(a ∨ b).
2. (a ∧ b)(a ∨ b) = ab .
3. Si a ∧ r = 1 et b ∧ r = 1 alors (ab) ∧ r = 1.
4. Si a ∧ r = d et b ∧ r = 1 alors (ab) ∧ r = d .
5. Si p est premier ou p = 1 alors pour tous entiers a et b : p | ab implique p | a ou p | b .
6. Si a ∧ b = d et ar + bs = d alors r ∧ s = 1.
7. (a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b ∧ c) et (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c).
8. (a ∨ b) ∧ c = (a ∧ c) ∨ (b ∧ c) et (a ∧ b) ∨ c = (a ∨ c) ∧ (b ∨ c).
9. Si a ∧ b = 1 alors (a + b) ∧ (a − b) vaut 1 ou 2 et (a + b) ∧ (a 2 − ab + b 2 ) vaut 1 ou 3.
10. Si |m| + |n| 6= 0 et ad − bc = 1 alors (am + bn) ∧ (cm + d n) = m ∧ n .
11. Si m ∧ n = d alors (2m − 1) ∧ (2n − 1) = 2d − 1.
12. Si 2n − 1 est premier alors n est premier.
13. Si 2n + 1 est premier alors n est une puissance de 2.
14. Si a ∧ b = 1 alors pour n ≥ 1 : (a n+1 + b n+1 ) ∧ (a n + b n ) | (a − b).
15. Si a ∧ b = 1 et ab = c n alors il existe des entiers x et y tels que a = x n et b = y n .
16. Si a ∧ b = 1 (b > 0) et
¡ a ¢m
b
= n alors b = 1.
17. Si a n’est pas une puissance m e d’un entier, alors a m n’est pas un entier.
1
18. Quelque soit n > 0, il existe n entiers consécutifs non premiers (on pourra utiliser (n +1)!+
k ).
Exercice 253 Démontrer ou infirmer les assertions suivantes.
1. Si p est premier alors p | a 2 + b 2 et p | b 2 + c 2 impliquent p | a 2 + c 2 .
2. a 2 | b 2 ⇒ a | b .
3. a ∧ b = 1 ⇒ a 2 ∧ b 2 = 1.
4. a ∧ b = 1 ⇒ (a 2 ∧ b 2 ) ∧ (ab) = 1.
Exercice 254 Démontrer que (n + 1) |
¡2n ¢
n
(utiliser
38
).
¡2n+1¢
n
Exercice 255 Démontrer que pour tout entier n positif supérieur ou égal à 2,
jamais entier (cas particulier du théorème de József Kürschák).
P
1
1≤k≤n k
n’est
Exercice 256 Soit m un entier positif supérieur ou égal à 3, démontrer que si (m − 1)! + 1 est
divisible par m alors m est premier. (

) Étudier la réciproque (théorème de Wilson).
Exercice 257 La fonction τ de Dickson est la fonction égale au nombre de diviseurs : τ(n) =
P
nm
n1
d |n 1. Exemples : τ(2) = 2, τ(6) = 4, τ(4) = 3. n étant donné sous la forme n = p 1 . . . p m , décomposition en facteurs premiers), calculer τ(n) en fonction des entiers n 1 , . . . , n m .
Application : Combien existe-t-il de diviseurs positifs de 75600.
Exercice 258 Soit P = d |n d le produit des diviseurs de l’entier naturel non nul n . Démontrer
que = P2 = n τ(n) où τ est la fonction de Dickson.
Indication : la fonction d 7→ dn est une permutation de l’ensemble des diviseurs de n .
Q
Exercice 259 La fonction ϕ d’Euler est la fonction qui à un entier n strictement positif associe
le nombre des entiers m tels que 1 ≤ m ≤ n et m ∧ n = 1. Exemples : ϕ(2) = 1, ϕ(6) = 2, ϕ(4) = 2.
1. Démontrer que si p est premier alors ϕ(p) = p − 1 et si n est entier supérieur à 1 alors
ϕ(p n ) = p n−1 (p − 1).
2. Démontrer que si a et b sont premiers entre eux (c.à.d. sans diviseur premier commun)
alors : ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b).
Indication : Posons, pour tout entier n supérieur ou égal à 1 : Pn = {q ∈ ‚1, n −1ƒ/q ∧n = 1}.
Soient m et n deux entiers supérieurs ou égaux à 2, tels que m ∧ n = 1. Notons u et v des
entiers tels que 1 = um + vn .
Pour tous entiers x et m nous notons x m l’entier de ‚0, m − 1ƒ égal à x modulo m .
Démontrer que l’application
x mn 7→ (x m , x n )
de Pmn dans Pm × Pn est une bijection dont l’application réciproque est (x m , x n ) 7→ x mn où
x mn est le reste de la division euclidienne de x m vn + x n um par mn .
3. Calculer
1≤m≤n m .
m∧n=1
P
On pourra utiliser la bijection m 7→ n − m et la fonction ϕ.
nm
4. n étant donné sous la forme n = p 1n1 . . . p m
vérifier que :
Ã
σ(n) =
X
d |n
d=
Y
n +1
!
X
1≤k≤m 0≤ j ≤n k
j
pk
=
Y
1≤k≤m
pk k
−1
pk − 1
Exercice 260 Calculer 2718 ∧ 3141 et 213 ∧ 2004.
Exercice 261 Résoudre les équations suivantes dans Z :
1. 8x + 3y = 27.
2. 1143x + 1957y = 1.
Exercice 262 Soit A une partie de Z telle que :
1. Si a et b sont dans A, alors a + b est dans A ;
2. Si a est dans A, alors −a est dans A.
Démontrer qu’il existe n dans N tel que A = n Z (ensemble des multiples de n ).
39
Exercice 263 Q 263.1 Soient n un entier positif jet pk un nombre premier. Démontrer que la
P
n
plus grande puissance de p qui divise n! est : ∞
.
k=1 p k
Q 263.2 Combien y-a-t-il de «0» consécutifs à la fin de l’écriture décimale de 72! ?
Q 263.3 Démontrer que pour tous réels a et b : b2ac + b2bc ≥ bac + bbc + ba + bc.
Q 263.4 Soient deux entiers positifs m et n , démontrer que
(2m)!(2n)!
m!n!(m+n)!
est entier.
Exercice 264 Pour tout entier positif non nul a nous notons Pa l’ensemble des diviseurs premiers
positifs de a et Da l’ensemble des diviseurs positifs de a . Nous définissons deux fonctions sur N?
par f (1) = 1 et
1 Y
(1 − d )
a d ∈Pa
X
g (a) =
f (d )
f (a) =
d ∈Da
1. Soient a et b deux entiers naturels tels que a∧b = 1. Démontrer que l’application (x, y) 7→ x y
définit une bijection de Da × Db dans Dab .
Indications : déterminer l’application réciproque.
2. En déduire que g est multiplicative, i.e. pour tous a et b tels que a ∧ b = 1 :
g (ab) = g (a)g (b)
3. Démontrer g (a) = a1 .
p
Exercice 265 Déterminer 11 . . . 155 . . . 56 où il y a 999 chiffres «1» puis 998 chiffres «5» et un
«6». Montrer que c’est un nombre entier et déterminer ses chiffres.
Exercice 266 Soit A = 44444444 , B est la somme des chiffres de A (en base 10). Le nombre C est
la somme des chiffres de B. Calculer la somme des chiffres de C.
Exercice 267 Quel est le chiffres des unités de 7
77
77
77
en base 10 ?
Exercice 268 Pour quelles valeurs de n entier le nombre n 2 + 3n + 5 est-il divisible par 11 ?
Démontrer que n 2 + 3n + 5 n’est jamais divisible par 121.
Exercice 269 Résoudre le système dans Z :
½
5x + 3y
2x + 3y
=
=
1 mod 31
0 mod 31
Exercice 270 Résoudre l’équation x 2 + 12x − 11 = 0 mod 17 dans Z.
Exercice 271 Résoudre l’équation dans N :
22n + 2n + 1 = 0 mod 21
Exercice 272 Soient a, b et c trois entiers. Démontrer que a 3 +b 3 +c 3 = 0 mod 7 implique abc = 0
mod 7.
Exercice 273 Démontrer que, pour tout n entier positif, 32n+1 + 2n+2 est divisible par 7.
40
14
Polynômes
Exercice 274 Effectuer les divisions euclidiennes suivantes :
1. X9 − 1 par X3 − 1 ;
2. X9 + 1 par X3 + 1 ;
3. Xmn − 1 par Xn − 1 où m et n sont des entiers positifs ;
Exercice 275 Factoriser X5 − 1 et X8 − 1.
Exercice 276 Factoriser X2 + X + 1 + i , X4 + X3 − X − 1 et X4 + 3X 3 + 4X 2 + 3X + 1. Pour le dernier
écrire x 2 Q(x + x1 ) où Q est un polynôme de degré 2.
Exercice 277 Montrer que pour tout entier n il existe un polynôme Tn de degré n tel que (pour
tout réel θ) :
cos nθ = Tn (cos θ)
(polynômes de Tchebychev).
Exercice 278 Calculer (1 + X)(1 + X2 ) · · · (1 + X2 ) par récurrence.
n
Exercice 279 Calculer les restes des divisions de X2n −2X n cos φ+1 , Xn sin φ−X sin nφ+sin(n−1)φ
et Xn+1 cos(n − 1)φ − Xn cos nφ − X cos φ + 1 par X2 − 2X cos φ + 1.
Exercice 280 Pour quelles valeurs de n , X2n + Xn + 1 est-il divisible par X2 + X + 1 ?
Exercice 281 Démontrer les égalités, pour n entier strictement positif et |x| 6= 1
X 2n − 1
X 2n+1 − 1
=
=
(X 2 − 1)
(X − 1)
n−1
Y
kπ
+ 1)
n
(1)
2kπ
+ 1)
2n + 1
(2)
(X 2 − 2X cos
k=1
n
Y
(X 2 − 2X cos
k=1
En déduire
n−1
Y
n
Y
k=1
kπ
sin
2n
k=1
=
kπ
2n + 1
=
sin
Exercice 282 Calculer
Y
sin
1≤k≤n−1
p
n
2n−1
p
2n + 1
2n
(3)
(4)
kπ
n
Exercice 283 Diviser (cos θ + X sin θ)n par (X2 + 1)2 .
Exercice 284 Diviser Xn sin θ − X sin nθ + sin(n − 1)θ par X2 − 2X cos θ + 1.
Exercice 285 Calculer le reste de la division de (X − 3)2n + (X − 2)n − 2 par
X − 3,
(X − 3)(X − 2),
(X − 3)3 ,
41
(X − 2)2 ,
(X − 2)2 (X − 3)2
Exercice 286 Soit P un polynôme. Montrer que P(X) − X divise P(P(X)) − X.
Exercice 287 Pour quelles valeurs de n , (Xn + 1)n − Xn est-il divisible par X2 + X + 1 ?
Exercice 288 Un polynôme P est divisible par son polynôme dérivé P0 . Que peut-on en déduire ?
Exercice 289 Le polynôme X3 + X2 + λX + 6 a deux racines α et β telles que α + β = αβ. Quelles
sont les valeurs possibles de λ ?
Exercice 290 Trouver tous les polynômes P de degré inférieur ou égal à 4 tel que P(X) + 10 soit
divisible par (X − 2)2 et P(X) − 12 divisible par (X + 2)3 .
Exercice 291 Chercher les racines du polynôme P
P=
X
(−1)k
Q
0≤ j ≤k (X −
j)
k!
0≤k≤n−1
En déduire une expression plus simple de P (on peut aussi procéder par récurrence).
Exercice 292 Soit P un polynôme irréductible de R[X]. Démontrer que P n’a que des racines
simples comme élément de C[X].
Exercice 293 Diviser Xn par (X − a)2 (calculer le quotient et le reste).
Exercice 294 Factoriser X8 + 1.
Exercice 295 Soit P = X5 − 209X + λ, trouver λ pour qu’il existe des racines réelles x 1 et x 2 de P
telles que x 1 x 2 = 1.
Exercice 296 Factoriser le polynôme X3 − (6 + 3i)X 2 + 3(3 + 4i)X − 2 − 11i sachant qu’il admet une
racine triple.
Exercice 297 Développer (1 − X)(1 − ω1 X) . . . (1 − ωn−1 X) où 1, ω1 , . . . , ωn−1 sont les racines n ede 1.
Exercice 298 Trouver un polynôme P tel que P(1) = 3, P0 (1) = 4, P 00 (1) = 5 et P(n) (1) = 0 pour n ≥ 3.
Exercice 299 Factoriser X6 − 2 cos(3θ)X3 + 1 sur C et sur R.
Exercice 300 Factoriser sur R les polynômes X4 + X2 + 1 et X8 + X4 + 1.
µ
i
n
Exercice 301 Factoriser 1 + X
¶n
µ
¶
i n
− 1 − X sur C.
n
Exercice 302 Soit P un polynôme dont les restes dans les divisions par X − 1, X − 2 et X − 3 sont
3, 6, 12. Déterminer le reste de la division de P par (X − 1)(X − 2)(X − 3).
Exercice 303 À quelle condition X2 + αX + 2 divise-t-il X4 + 3X 2 + αX + β ?
p
Exercice 304 Calculer (simplement et sans calculette) la valeur de X4 −X3 −3X 2 +3X−4 en 1+ 3 2.
42
Exercice 305 Trouver un polynôme de degré 5 sachant que le reste de sa division par (X + 1)3
est 1 et que le reste de sa division par (X − 1)3 est −1.
Exercice 306 Déterminer a et b pour que aXn+1 + bXn + 1 soit divisible par (X − 1)2 .
Exercice 307 Soient trois scalaires non nuls et deux à deux distincts. Montrer que les polynômes
X(X − b)(X − c) X(X − c)(X − a) X(X − a)(X − b)
+
+
a(a − b)(a − c) b(b − c)(b − a)
c(c − a)(c − b)
et 1 +
(X − a)(X − b)(X − c)
sont égaux.
abc
Exercice 308 Résoudre le système

 x +y +z
x y + y z + zx

xyz
=
=
=
1
1
1

 x +y +z
x2 + y 2 + z2
 1 1 1
x + y +z
=
=
=
1
9
1
Exercice 309 Résoudre le système
Exercice 310 Résoudre l’équation x 4 − 4x 3 + x 2 + 6x + 2 = 0 sachant que la somme de deux des
solutions est égale à 2.
Exercice 311 Trouver une condition sur les scalaires p et q pour que X3 + pX + q admette une
racine multiple.
Exercice 312 Résoudre x 4 − 4x 3 + (2 − λ)x 2 + 2x − 2 = 0 sachant que cette équation a au moins
une racine multiple.
Exercice 313 Déterminer λ pour que le polynôme P(X) = X3 − 3X + λ ait une racine multiple,
puis résoudre l’équation P(x) = 0.
Exercice 314 Calculer la somme des puissances quatrièmes des racines de X3 + X − 1.
Exercice 315 Déterminer un polynôme de degré 3 divisible par (X − 1) et ayant le même reste
lorsqu’il est divisé par (X − 2), (X − 3) ou (X − 4).
Exercice 316 Montrer que les racines complexes du polynôme
P=
X Xk
0≤k≤n k!
sont simples, qu’une seule racine est réelle si n est impair et aucune si n est pair.
Exercice 317 Déterminer le scalaire a pour que X4 −X+a et X2 −aX+1 aient une racine commune.
43
Exercice 318 Donner une condition sur p et q pour que les points dont les affixes sont les
racines de X3 + pX + q forment un triangle isocèle.
Exercice 319 Soit P un polynôme de degré 3. Montrer que les racines de P0 sont dans le triangle
déterminé par les racines x 1 , x 2 et x 3 de P.
Exercice 320 Soit le polynôme P , X3 + pX + q de racines a , b , c . Calculer
S=
a2 + b2 b2 + c 2 c 2 + a2
+
+
c2
a2
b2
en fonction de p et q .
Exercice 321 Calculer le pgcd de 2X 4 + 11X 3 + 10X 2 − 5X − 3 et de 2X 3 + 5X 2 + 5X + 3.
Exercice 322 Montrer que le polynôme P = nXn − 0≤k≤n−1 Xk a toutes ses racines simples et
toutes sauf une sont de module strictement inférieur à 1. (Calculer (1 − X)P .)
P
Exercice 323 Calculer les coefficients de (1 + X + X2 + · · · + Xn )2
Exercice 324 Soit P un polynôme tel que : P0 | P. Démontrer que P est de la forme λ(aX + b)n .
Exercice 325 Soit n un entier. Trouver un polynôme Pn tel que : Pn − Pn0 = Xn . (on pourrait
écrire P = Xn − Q.)
Exercice 326 Soient a etb deux scalaires distincts. Déterminer les coefficients de Bézout de
(X − a)2n et (X − b)2n . (Développer ((X − a) − (X − b))2n et couper la somme en deux.)
Exercice 327 Calcul de pgcd(A, B).
1. A = X4 + 11X 3 + 10X 2 − 5X − 3, B = 2X 3 + 5X 2 + 5X + 3.
2. A = X5 − 2X 4 + 2X 3 − 3X 2 + 2, B = X4 − 2X 3 + 7X 2 − 4X + 10.
3. A = X4 − 6X 3 + 9X 2 + 4X − 12, B = X3 − 3X 2 − X + 3.
Exercice 328 Soient a et b deux entiers, la suite de polynômes (Pn )n≥1 est définie par :
Pn (x) =
1 n
x (bx − a)n
n!
1. Montrer que Pn et Pn(k) prennent des valeurs entières en 0 et en
2. Soit In =
Rπ
0
Pn (x) sin(x) d x . Montrer que limn→∞ In = 0.
a
b.
3. Montrer que si π est rationnel alors In = 0 pour n assez grand. En déduire que π est
irrationnel.
44
15
Fractions rationnelles
Exercice 329 Décomposer en éléments simples sur C :
X 4 + 3X 3 + 2X 2 + X − 7
,
X3
X4 + X3 − 1
,
(X − 2)3
X5 + 1
,
(X 2 + X + 1)2
1
X 2 (X − 1)2
Exercice 330 Décomposer en éléments simples dans C(X) :
X 2 + 2X + 5
,
X 2 − 3X + 2
3X 2 + X + 1
,
(X − 1)(X 2 − 4)
1
(X 2 + X + 1)2
1
X8 + X4 + 1
X4 + X + 1
,
(X − 1)(X − 2)
,
1
,
X 2 − 2X − 1
X 3 + 7X 2 + 7X − 15
(X 3 − 1)3
X4 + 1
(X 2 − 1)3
2X + 3
(X − 3)(X 2 + X + 1)
,
Exercice 331 n ∈ N et θ ∈ R. Calculer les dérivées d’ordre n des fractions rationnelles suivantes
(θ est réel, m et n sont entiers strictements positifs et m < n ) :
X 2m
,
1 + X 2n
Q
X2
X 4 − 2X 2 cos θ + 1
1
,
0≤k≤n (X + k)
1
X
0≤k≤n
Q
0≤ j ≤k (X +
1
,
X 2 − 2X cos θ + 1
,
j)
1
X 2 − 2X sh θ − 1
Exercice 332 Décomposer en éléments simples dans C(X) :
X2 − X + 4
,
(X − 1)4 (X 2 + X + 1)3
X5 − 1
(X 2 + 1)(X 3 + 1)3
2X 5 + 3X 2 − 1
,
(X 2 + X + 1)3
,
X2 + 1
(X − 1)2 (X 2 − X + 1)2
Exercice 333 m et n étant des entiers strictement positifs (assez petits pour respecter le programme), décomposer en éléments simples dans C(X) :
1
(X 2 − 1)n
,
1
X m (1 − X)n
1
,
X 2n
(X 2 + 1)n
(X 2 − X + 1)n
,
45
Xm
Xn + 1
,
1
(X − 1)(X n − 1)
16
Espaces vectoriels
K désigne R ou C
16.1
Généralités
Exercice 334 Considérons les parties de R4 constituées des éléments (x, y, z, t ) tels que x + y +
z + t = 0 et, respectivement
1. z = 0
2. 2x + 3y = 0
3. x + 2y = 0 et 5x − z = 0
4. x = 0 ou y = 0
5. z = 1
Quelles sont celles qui sont des sous-espaces vectoriels ? Le cas échéant, déterminer une base.
Exercice 335 Dans chacun des cas suivants examiner si E est un sous-espace vectoriel de R3 et
donner une base de E le cas échéant :
1. E = {(x, 2x + y, 0)/(x, y) ∈ R2 }
2. E = {(y, 0, x + y)/(x, y) ∈ R2 }
3. E = {(x, y + 1, x)/(x, y) ∈ R2 }
4. E = {(x, x 2 , y)/(x, y) ∈ R2 }
5. E = {(x 3 , y, z)/(x, y, z) ∈ R3 }
6. E = {(x, y, y + 1)/(x, y) ∈ R2 }
7. E = {(x, y 2 )/(x, y) ∈ R2 }
Exercice 336 On munit R2 de l’addition usuelle et de la loi externe λ(x, y) = (λx, y). Est-ce un
R-espace vectoriel ?
λ
Exercice 337 L’ensemble R?
+ est muni de l’addition x⊥y = x y et de la loi externe λ>x = x .
Est-ce un R-espace vectoriel ?
Exercice 338 L’ensemble {(x, y, z) ∈ R3 /x 2 = y 2 } est-il un sous-espace vectoriel de R3 ?
Même question avec {(x, y, z) ∈ R3 /z(x 2 + y 2 ) = 0}.
Exercice 339 Montrer que (x, y, z) ∈ R3 /x + y + z = 0 et 2x − y + 3z = 0 est un sous-espace vectoriel de R3 .
©
ª
Exercice 340 On pose dans R3 :
P1 = vect((2, 3, −1), (1, −1, −2)) et P2 = vect((3, 7, 0), (5, 0, −7))
Montrer que P1 = P2 .
Exercice 341 Dans R3 , (−14, 1, 19) est-il combinaison linéaire des vecteurs (−1, 2, 5) et (4, 1, −3) ?
Exercice 342 Dans R3 les vecteurs (2, 1, 0), (−2, 1, 0) et (1, 2, 3), (−2, −4, −6) engendrent-ils le même
sous-espace vectoriel ? Même question avec (−1, 3, 2), (0, −4, 1) et (1, 1, −3), (2, −2, −5).
46
Exercice 343 Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E. Montrer que F ∪ G est un sousespace vectoriel de E ssi (F ⊂ G ou G ⊂ F).
Exercice 344 Soient E1 , E2 , E3 trois sous-espaces vectoriels de E tels que E1 ⊂ E3 . Montrer que
E1 + (E2 ∩ E3 ) = (E1 + E2 ) ∩ E3 .
Exercice 345 Dans R3 , E est le sous-espace engendré par (1,-1,0) et (0,1,1), F est engendré par
(1,0,1) et (0,1,1). Trouver un ensemble de générateurs de E ∩ F.
Exercice 346 Soient (e j )1≤ j ≤n des vecteurs linéairement indépendants d’un espace vectoriel E.
Soit u un élément de E. Montrer que {(e j )1≤ j ≤n , u} est une partie libre si et seulement si u
n’appartient pas au sous-espace vectoriel engendré < (e j )1≤ j ≤n , u >.
Exercice 347 Soit E = C ([0, 1], R). Montrer que { f ∈ E/
de E.
R1
0
f (t ) dt = 0} est un sous-espace vectoriel
Exercice 348 Soit E = C (R, R). Montrer que F = { f ∈ E/∀(x, y) ∈ R2 , f (x + y) = ex f (y) + e y f (x)} est
un sous-espace vectoriel de E. Soit E0 la partie de E formée des fonctions dérivables. Montrer que
E0 et E0 ∩ F sont des sous-espaces vectoriels de E. Déterminer E0 ∩ F puis F.
Exercice 349 Soit E = C (R, R). Montrer que l’application u de E dans E définie par u : f 7→
u( f ) où pour tout x réel u( f )(x) = f (x) + f (2x) est linéaire. Montrer que { f ∈ E/u( f ) = 0} est un
sous-espace vectoriel de E, pouvez-vous trouver une partie génératrice ?
Exercice 350 Parmi les parties suivantes de F (R, R) déterminer lesquels sont des sous-espaces
vectoriels :
1. Les fonctions continues
2. Les fonctions positives
3. Les fonctions paires
4. Les fonctions périodiques
5. Les fonction croissantes
6. Les fonctions monotones
7. Les fonctions dérivables
8. Les fonctions qui s’annulent en 0
9. Les polynômes divisibles par X2 + 4
10. L’ensemble des fonctions qui tendent vers 3 en +∞
Exercice 351 Soient `∞ l’espace vectoriel des suites réelles bornées, K le sous-ensemble des
suites stationnaires, `0 le sous-ensemble des suites qui convergent vers 0.
Q 351.1 Montrer que K et `0 sont des sous-espaces vectoriels de `∞ .
Q 351.2 Déterminer K ∩ `0 et K + `0
Exercice 352 Soient E = C ([0, 1], R) et F = { f ∈ E/∀(x, y) ∈ R2 , f (1) − 2 f (0) + 01 x 2 f (x) dx = 0}. E
est-il un sous-espace vectoriel de E ? Soit E0 la partie de E formée des fonctions de classe C2 .
Montrer que E0 et E0 ∩ F sont des sous-espaces vectoriels de E. Déterminer E0 ∩ F.
R
47
Exercice 353 Soient E = C (R, R) et F, la partie de E formée des fonctions f telles qu’il existe
des réels a et b vérifiants pour tout x réel :
f (x) = a cos(x + b)
F est-il un sous-espace vectoriel de E ?
Exercice 354 Soit E = C 1 (R, R) et F = f ∈ E/ f (0) = f 0 (0) = 0 . Montrer que F est un sous-espace
vectoriel de E et déterminer un supplémentaire de F dans E.
©
ª
Exercice 355 Soient E l’espace vectoriel complexe des suites convergentes à valeurs complexes,
F la partie de E constituée des suites constantes et G la partie formée des suites qui convergent
vers 0. Démontrer que E = F ⊕ G.
Exercice 356 Espace vectoriel égal à la réunion de sous-espaces.
Le corps K est infini (c’est le cas ici). Supposons qu’un espace vectoriel E soit égal à la réunion
d’un nombre fini de sous-espaces (Fk )1≤k≤n avec n ≥ 2. L’ensemble des entiers n qui vérifient cette
propriété a un minimum. Supposons que n est minimal. Par suite, pour tout k ∈ ‚1, nƒ : Fk n’est
pas inclus dans ∩ j 6=k F j . Il existe donc des vecteurs (x k )1≤k≤n tels que x k ∈ Fk et x k ∉ ∩ j 6=k F j . Ainsi
pour tout t dans K, les vecteurs de la forme t x 1 + (1 − t )x 2 sont dans E. D’après le principe des
tiroirs, il existe un sous-espace Fm qui contient au moins deux de ces vecteurs. En conséquence
x 1 et x 2 appartiennent à Fm . L’entier m est distinct de 1 ou de 2, donc x 2 ∈ Fm ⊂ ∩ j 6=2 F j ou
x 1 ∈ Fm ⊂ ∩ j 6=1 F j , ce qui est faux.
16.2
Bases
Exercice 357 Soient E1 et E2 les parties de R4 définies par
E1 = {(x, y, z, t )/x − y = z − t = 0} et E2 = {(x, y, z, t )/3x − 2y + 4z + t = x + y − 3z − 2t = 0}
Montrer que ce sont des sous-espaces de R4 et exhiber des bases de E1 et E2 .
Exercice 358 Les vecteurs suivants sont-ils linéairement indépendants dans R4 ?
— (2,-5,2,-3), (-1,-3,3,-1), (1,1,-1,0), (-1,1,0,1)
— (2,-3,0,4), (6,-7,-4,10), (-1,1,0,1)
— (1,1,1,1), (1,2,3,4), (1,4,9,16), (1,8,27,64)
— (1,2,1,3), (2,-1,2,1), (1,1,1,2), (0,1,0,1)
Exercice 359 Compléter ((1, −1, 2, 3), (3, 0, 4, −2)) en une base de R4
Exercice 360 Trouver un sous-ensemble maximal de vecteurs linéairement indépendants de
3
{(2, −3, 0, 4), (−1, , 0, −2), (1, −1, 2, 1), (6, −7, 8, 8)}
2
p
p
p
Exercice 361 ( (3) − 2, (3) + 2) et (−1, 7 + 4 (3)) sont-ils linéairement indépendants ?
~ ) est-elle libre, génératrice ?
Exercice 362 Dans R3 la famille (~
u ,~
v, w
~ = (1, 1, 0)
1. ~
u = (1, 0, 1), ~
v = (0, 1, 1), w
~ = (1, 0, −1)
2. ~
u = (1, 1, 2), ~
v = (2, 1, 1), w
48
~ = (2, −1, −1)
3. ~
u = (5, 0, 1), ~
v = (1, 2, 3), w
Exercice 363 Soient, dans R4
e 1 = (1, −1, 2, −3), e 2 = (1, 1, 2, 0), e 3 = (3, −1, 6, −6), e 4 = (0, −2, 0, −3), e 5 = (1, 0, 1, 0)
S =< e 1 , e 2 , e 3 > et T =< e 4 , e 5 >. Trouver des bases (et donc les dimensions) de S , T , S ∩ T et S + T .
Même question avec
e1
e4
=
=
(2, 3, 4, −1, −2, 1)
(2, 1, 3, −1, 4, −1)
e2
e5
=
=
(1, 1, 2, 1, 3, 1)
(−1, 1, −2, 2, −3, 3)
e3
e6
=
=
(0, −1, 0, 3, 6, 2)
(1, 5, 0, 4, −1, 7)
et S =< e 1 , e 2 , e 3 >, T =< e 4 , e 5 , e 6 >
Exercice 364 Soient f (x) = cos(x), g (x) = cos(x) cos(2x) et h(x) = sin(x) sin(2x). Déterminer une
base de Vect( f , g , h).
Exercice 365 Quel est le rang de {(1 + i), 1, i), (i, −1, 1 − i), (2 + i, 0, −i)} dans C3 ?
Exercice 366 Calculer le rang de la famille ((2, −3, 4, −1), (1, 2, −1, 2), (3, −1, 2, −3), (3, −1, 1, −7))
dans R4 .
Exercice 367 Soient α et β dans C, On pose
e 1 = (α, −α, β, −β)
e 3 = (β, β, α, α)
e 2 = (α, −α, β, β)
e 4 = (β, −β, α, α)
e 5 = (1, 1, 1, 1)
Calculer les rangs de (e j )1≤ j ≤5 et de (e j )1≤ j ≤4 .
Exercice 368 Soit α dans C, On pose
e 1 = (1, α, −α2 , α3 ),
e 3 = (α2 , α3 , 1, α),
e 2 = (α, α2 , α3 , 1)
e 4 = (α3 , 1, α, α2 ),
e 5 = (1, 1, 1, 1)
Calculer le rang de {e 1 , e 2 , e 3 , e 4 , e 5 } (discuter suivant α).
Exercice 369 Soient E = K[X] et (P j )1≤ j ≤n des polynômes non nuls vérifiant l’une des conditions
1. les degrés sont deux à deux distincts ;
2. les valuations sont deux à deux distinctes.
Montrer qu’alors (P j )1≤ j ≤n est une partie libre.
Exercice 370 Soit a un réel. Trouver un supplémentaire dans R[X] du sous-espace vectoriel Va
des polynômes P tels que P(a) = 0. Donner une base de V1 ∩ V2
Exercice 371 Soient a un réel, I = [a, +∞[ et E le R-espace vectoriel des fonctions définies sur I.
Dans chacun des cas suivants, étudier l’indépendance des ensembles { f α /α ∈ A} de vecteurs.
Q 371.1 A = C et f α (x) = eαx
En déduire :
49
Q 371.2 a > 0, A = C et f α (x) = x α
Q 371.3 a > 1, A = C et f α (x) = | ln x|α
Application : montrer que {sin x, sin x 2 , sin x 3 } est une partie libre de fonctions sur R.
Exercice 372 E = F (R, C), montrer que {einx /n ∈ Z} et {cos(nx), sin(nx)/n ∈ N} sont des parties
libres.
Exercice 373 Soient n éléments c j distincts deux à deux dans K. Montrer que {(X −c j )n /1 ≤ j ≤
n} est une partie libre de K[X].
Cet exercice se généralise aux fonctions définies sur un intervalle I de R avec {|X − c|α /c ∈ R, α ∈ C}
Exercice 374 Soit A une partie non vide de R, E = F (A, R). Soit f dans E telle que ] f (A) = ∞.
Montrer qu’alors ( f n )n∈N est une partie libre de E.
Exercice 375 Soient (α j )1≤ j ≤n des réels deux à deux distincts et (λ j )1≤ j ≤n des réels non tous
P
nuls. Montrer que l’ensemble des réels x positifs tels que 1≤ j ≤n λ j x α j = 0 a au plus n éléments
(procéder par récurrence et utiliser le théorème de Rolle).
Exercice 376 Montrer que B = {t 7→ 1[a,x] (t )/x ∈]a, b]}∪{t 7→ 1{x} /x ∈ [a, b]} est une base de l’espace
vectoriel des fonctions en escalier sur [a, b].
Exercice 377 Montrer que B = {t 7→ |t − c|/c ∈ [a, b]} est une base de l’espace vectoriel des fonctions affines par morceaux sur [a, b].
Indication : t 7→ |t − c| est dérivable sur R à {c}
Exercice 378 Montrer que {
Q
0≤k≤m (X − k)/0 ≤ m
≤ n} est une base de E = Kn [X].
Exercice 379 Soient E = R4 [X] et
1. F1 = {P ∈ E/P(1) = 0}
2. F2 = {P ∈ E/P 0 (−1) = 0}
3. F3 = {P ∈ E/(X2 + 2) | P}
4. F4 = {P ∈ E/(X + 1)P 0 = 2P}
Vérifier que (Fk )1≤k≤4 est une famille de sous-espaces de E, puis déterminer des bases de ces
sous-espaces ainsi que de leurs intersections, en particulier ∩1≤k≤4 Fk .
16.3
Applications linéaires
Exercice 380 Dans chacun des cas suivants, f est une application de R2 dans R2 ou R. Trouver
les applications linéaires.
f (x, y)
f (x, y)
=
=
2x
f (x, y)
=
x − 2y − 1
x
y 2 +1
f (x, y)
f (x, y)
=
=
2x + 3y
x2 + y
f (x, y)
=
(x − y, 3x + 5y)
Exercice 381 Déterminer les images et noyaux des applications linéaires f , g et h :
1. f ∈ L (R2 , R3 ) :
f : (x, y) 7→ (x + y, 2x + 3y, −3x + y)
50
2. g ∈ L (R3 , R2 ) :
g : (x, y, z) 7→ (x + 3y + 3z, 3x + y − 4z)
3. h ∈ L (R3 , R3 ) :
h : (x, y, z) 7→ (x + y − z, 2x + 3y + 4z, 3x + y − z)
Exercice 382 Soient E = R[X], a un réel et φ l’application de E dans lui-même qui à P associe
le polynôme P(X) + (aX + 1)P 0 (X). φ est-elle linéaire ? surjective ? injective ? (discuter suivant a ).
Exercice 383 Soit E = K[X], montrer que
P
P
— n≥0 an Xn 7→ n≥0 an X2n est injective mais pas surjective
P
P
— n≥0 an Xn 7→ n≥0 (a2n + a2n+1 )Xn est surjective mais pas injective
Exercice 384 Soit E = K[X], étudier l’injectivité et la surjectivité des endomorphismes φ : P 7→
P − P 0 et ψ : P 7→ Q où Q est le polynôme défini par l’intermédiaire des fonctions polynômes par
Q(x) = e x (e −x P(x))0 .
Exercice 385 Soient E un K-espace vectoriel et f un endomorphisme involutif de E. Montrer
que :
Ker( f − i dE ) = Im( f + i d E )
Ker( f + i dE ) = Im( f − i d E )
Ker( f − i d E ) ⊕ Ker( f + i dE ) = E
Exercice 386 Soient E un K–espace vectoriel et f un endomorphisme tel que f 2 + f − 2i dE = 0.
Montrer que :
E = Ker( f − i d E ) ⊕ Ker( f + 2i d E )
Exercice 387 Soient E = R2 [X], E? = L (E, R) et les éléments f 0 , f 1 , f 2 de E∗ :
f 0 : P 7→ P(0); f 1 : P 7→ P(1); f 2 : P 7→ P(2)
Q 387.1 Montrer que { f 0 , f 1 , f 2 } est une base B de E∗
Q 387.2 Soit φ : P 7→
R2
0
P(t ) d t . Calculer les coordonnées de φ dans B (formule de Simpson).
Exercice 388 Soit E = Kn [X], calculer les coordonnées de Xm (0 ≤ m ≤ n ) dans la base {(X−1)k /0 ≤
k ≤ n}.
Exercice 389 Soit E un K–espace vectoriel.
Q 389.1 Montrer que l’endomorphisme p est un projecteur si et seulement si i dE − 2p est une
involution.
Q 389.2 Soient p et q deux projecteurs, montrer que p + q est un projecteur si et seulement si
p ◦ q = q ◦ p = 0 (ou ssi p ◦ q + q ◦ p = 0).
51
Exercice 390 Soient E = Kn [X], l’endomorphisme f : P 7→ f (P) de E défini par :
f (P)(X) = P(X + 1) + P(X − 1) − 2P(X)
Déterminer l’image et le noyau de f .
Exercice 391 Soient f et g deux endomorphismes d’un K–espace vectoriel E tels que f ◦g = g ◦ f ,
montrer que ker( f ) et Im( f ) sont stables par g , i.e. :
f (ker(g )) ⊂ ker(g )
et
f (Im(g )) ⊂ Im(g )
Exercice 392 Soient f et g dans le dual E∗ = L (E, K) d’un K-espace vectoriel E tels que g |ker f =
0. Montrer qu’il existe un scalaire λ tel que g = λ f .
Exercice 393 Soit φ l’endomorphisme de Rn [X] défini par φ(P)(X) = P(1 − X). Déterminer les
vecteurs x tels que φ(x) soit colinéaire à x .
Exercice 394 Soient a , b , c trois réels distincts deux à deux et u l’endomorphisme de R2 [X]
qui, à un polynôme P associe le reste de la division de X3 P(X) par (X − a)(X − b)(X − c). Soit λ un
réel. À quelle condition l’équation : u(P) = λP admet-elle des solutions non nulles ?
Exercice 395 Soient E un C–espace vectoriel et f un endomorphisme de E tel que f 3 = i d E .
Posons Am = {x ∈ E/ f (x) = j m x}. Montrer que
E = A0 + A1 + A2
Déterminer (A0 + A1 ) ∩ A2 .
Exercice 396 Soit p un entier positif, K[X p ] est l’espace vectoriel des polynômes P de la forme
Q(X p ) où Q est dans K[X].
Q 396.1 Calculer dimK[X p ] ∩ Kn [X]
Q 396.2 Montrer que tout élément P de K[X] s’écrit de manière unique sous la forme
P(X) =
X
Qk (X p )
0≤k≤p
où pour tout k , Q est dans K[X].
Q 396.3 Soit P dans C[X]. Montrer que P est dans C[X p ] si et seulement si P(e
Q 396.4 Démontrer que h : P 7→
sa nature.
1
p
P
0≤k≤p−1 P(e
k2iπ
p
2i π
p
X) = P(X).
X) est un endomorphisme de C[X] et donner
Exercice 397 Soient f : E → F et g : F → G deux applications linéaires. Montrer que ker( f ) ⊂
ker(g ◦ f ) et Im(g ◦ f ) ⊂ Im(g ).
Exercice 398 Soit ( f , g ) ∈ (L (E))2 où E est un K-espace vectoriel de dimension finie n
1. Démontrer que rang( f +g ) ≤ rang( f )+rang(g ). En déduire que ¯rang( f ) − rang(g )¯ ≤ rang( f +
g ).
¯
52
¯
2. Montrer les inégalités rang( f ) + rang(g ) − n ≤ rang( f ◦ g ) ≤ min(rang( f ), rang(g )) (on pourra
utiliser h = g |ker( f ◦g ) dont on déterminera le noyau).
3. Démontrer que si f + g est inversible et g ◦ f = 0 alors rang( f ) + rang(g ) = n .
Exercice 399 Soit f ∈ L (E) telle que f 3 = f 2 + f + i d . Montrer que f est un automorphisme.
Exercice 400 Soit f ∈ L (E) telle que f 3 = f 2 + f . Montrer que E = ker( f )⊕ Im( f ) (on remarquera
que f ◦ ( f 2 − f − i d ) = 0).
Exercice 401 Soient p et q deux projecteurs de L (E).
1. Montrer l’équivalence des trois propriétés suivantes :
i. p + q est un projecteur.
ii. p ◦ q + q ◦ p = 0.
iii. p ◦ q = q ◦ p = 0.
2. On suppose désormais que l’une de ces conditions est réalisée. Montrer que Im(p) ⊂ ker(q)
et Im(q) ⊂ ker(p).
3. Montrer que ker(p + q) = ker(p) ∩ ker(q).
4. (*) Montrer que Im(p + q) = Im(p) ⊕ Im(q).
Exercice 402 Soit f ∈ L (E). Montrer que ker f ∩ Im f = f (ker f ◦ f ).
Exercice 403 Soit
f :
f :
R2
(x, y)
→
7
→
R2
1
3 (−x + 2y, −2x + 4y)
Déterminer l’espace invariant par f et un vecteur non nul u colinéaire à son image. En déduire
la nature de f .
Exercice 404 Montrer que F est un sous-espace de l’espace vectoriel E puis déterminer une
bases et la dimension de F si :
1. F = {u ∈ `(K)/∀n ≥ 0 : u n+2 = 5u n+1 − 6u n } ;
2. F = { f ∈ C∞ (R, R)/ f 00 = f 0 + 2 f }.
Exercice 405 Caractérisation des homothéties. Soit : ϕ : E → E une application linéaire telle que
pour tout x ∈ E, la famille (x, ϕ(x)) soit liée. Montrer que ϕ est une homothétie.
Exercice 406 Centre de L (E). Soit ϕ une application linéaire qui commute à tout endomorphisme ψ de E, i.e. pour tout ψ ∈ L (E) : ϕ ◦ ψ = ψ ◦ ϕ. Montrer que ϕ est une homothétie.
Indication : s’il existe x ∈ E tel que (x, ϕ(x)) soit libre, considérer θ : x 7→ x + ϕ(x) pour voir que
x = 0 et obtenir une contradiction grâce à l’exercice précédent.
53
17
Matrices et déterminants
Sauf mention du contraire, le corps de base est C.
17.1
Matrices
Exercice 407 Calculer les matrices des applications linéaires f , g et h relativement aux bases
canoniques :
1. f ∈ L (R2 , R3 ) :
f : (x, y) 7→ (x + y, 2x + 3y, −3x + y)
2. g ∈ L (R3 , R2 ) :
g : (x, y, z) 7→ (x + 3y + 3z, 3x + y − 4z)
3. h ∈ L (R3 , R3 ) :
h : (x, y, z) 7→ (x + y − z, 2x + 3y + 4z, 3x + y − z)
Exercice 408 Parmi les six matrices :

8
−6
1
−1
A= 9
3

9

−2
C=
1

5
−2 ,
7

1
1 ,
−3
B=
µ
9
1
µ
−1
D=
8
0
−2
0
−4
−2
−1
2
6
¶
¶

¡
E= 5
¢
4 ,
−1

5
F = −3
4
déterminer tous les couples de matrices composables, et effectuer les calculs.

−1
Exercice 409 Soit A =  0
0

1
Exercice 410 Soit A = 0
0
5
1
0
−5
1
0

3
4. Calculer An en fonction de n (n ∈ Z).
2

3
2 .
1
Q 410.1 Calculer An en fonction de n (n ∈ Z).
Q 410.2 Calculer le réel λ tel que (A − λI)3 = 0.
Q 410.3 En déduire des réels a2 , a1 , a0 tels que :
A3 + a 2 A2 + a 1 A + a 0 I = 0
puis A−1 en fonction de A.
54

2
Exercice 411 Soit A = 2
3
que pour tout n ≤ 0 :
3
5
5

0
Exercice 412 Soit A = 1
1
1
0
1

5
7. Montrer qu’il existe des suites réelles (u n ), (v n ) et (w n ) telles
7
An = u n A2 + v n A + w n I

1
1 .
0
Q 412.1 Montrer qu’il existe une base (e) = {e 1 , e 2 , e 3 } de R3 et des réels λ1 , λ2 , λ3 tels que pour
tout j : Ae j = λ j e j .
Q 412.2 Soit a l’endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base canonique est égale à A.
Calculer la matrice de a dans la base (e).
Q 412.3 Calculer, en fonction de l’entier n , la matrice de a dans la base (e).
Q 412.4 En déduire An en fonction de n .

−3
Q 412.5 Même question avec B =  0
−2


4
1
0 puis C = 1
3
1
1
2
1
Q 412.6 Même question, dans R2 avec R =
valeurs de θ).
µ
cos(θ)
sin(θ)
1
2
1

1
1.
3
¶
² sin(θ)
où ² = ±1 (discuter suivant les
cos(θ)
Exercice 413 Résoudre l’équation
µ
1
X =
1
2
1
0
¶
Exercice 414 Parmi les matrices suivantes déterminer celles qui sont inversibles et calculer les
inverses (le cas échéant, discuter suivant les valeurs des paramètres) :

1
0
0

a
1
0
−2a
 3
1+a

a2
a
1
2
a
2

1
0
0

3
5
1
2
1
0

1
1
1

3
2
1
a
b
c

1 + a1
 1
1

a2
2
b
c2

1
1 + a2
1
49
 21
−14
25
15
−10

1
1 
1 + a3
p 
3
π
e
Exercice 415 Déterminer le noyau et l’image de l’endomorphisme de C3 dont la matrice, dans
la base canonique, est :
 2

a
ab
ac
ab
b2
bc
Discuter suivant la valeur des paramètres.
55
ac
bc 
c2
Exercice 416 Soient a1 , a2 , a3 trois nombres complexes,

a1
A = a 2
a3
µ
et P = (e
2iπ j k
3
a2
a3
a1

a3
a1 
a2
¶
)1≤ j ≤3 . Calculer tPP puis P −1 AP .
1≤k≤3

1

Exercice 417 Soit A = 3
4

0
2. Trouver une matrice 3 × 3 non nulle telle que AB = 0.
2
1
1
2
Exercice 418 Dans R2 on considère D = Vect((1, 3)) et D0 = Vect((−2, 4)). Montrer que R2 = D⊕D0 .
Déterminer la matrice dans la base canonique de la projection vectorielle sur D de direction D0 .
Exercice 419 Dans R3 rapporté à la base canonique, on considère le plan (P) d’équation x + y +
3z = 0 et la droite (D) d’équation
½
x = 3z
y = 2z
Déterminer :
— la matrice
— la matrice
— la matrice
— la matrice
A
B
C
E
de la projection vectorielle p sur (P) de direction (D) ;
de la symétrie vectorielle s par rapport à (P) de direction (D) ;
de la projection vectorielle p 0 sur (D) de direction (P) ;
de la symétrie vectorielle s 0 par rapport à (D) de direction (P).
Exercice 420 Dans R3 rapporté à la base canonique, on considère le plan (P) d’équation 2x −
y + z = 0 et la droite (D) engendrée par le vecteur a = (1, 2, −1) Déterminer :
— la matrice A de la projection vectorielle sur (P) parallèlement à (D) ;
— la matrice B de la symétrie vectorielle par rapport à (P) de direction (D) ;
— la matrice C de la projection vectorielle sur (D) de direction (P) ;
— la matrice E de la symétrie vectorielle par rapport à (D) de direction (P).
Exercice 421 Soit E = R3 [X] le R-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré au
plus 3. On considère les endomorphismes suivants :
u:
E
P
→
7
→
v:
E
P(X − 2)
E
P
→
7
→
E
(X + 1)P 0
Si λ ∈ R, on note Mλ la matrice de u + λv dans la base canonique. Déterminer Mλ et le rang de
u + λv en fonction de λ.
Exercice 422 Image et noyau de l’endomorphisme v de R3 de matrice A dans la base canonique :

1
A =  −3
−2
1
−3
−2

−1
3 .
2
Montrer que dans une base de R3 bien choisie que l’on précisera, la matrice de v est

0
A = 0
0
0
56
1
0
0

0
0 .
0
Montrer que dans une base de R3 bien choisie, la matrice de v est

0
A00 =  0
0

1
0 .
0
0
0
0
Exercice 423 Soit E = R3 [X] et
f :
E
P
E
P(X + 2) + P(X) − P(X + 1)
−→
7−→
Vérifier que f (E) ⊂ E et que f ∈ L (E).
Déterminer ker f et Im f .
Peut-on trouver une base B de E sur laquelle la matrice de f est :
0
 0

M=
0
0

0
0
0
0
1
0
0
0

0
1 
.
0 
0
Exercice 424 On pose
µ
A=
2
1
−8
2
0
7
¶
.
Trouver une matrice B ∈ M3,2 (R) telle que AB = I2 . La matrice B est-elle unique ?
Existe-t-il C ∈ M3,2 (R) telle que CA = I3 ?
Exercice 425 Soit n ∈ N∗ et ω = exp(2iπ/n). On définit les matrices A = (ai , j ) et B = (bi , j ) ∈ Mn (C)
par :
a i , j = ω(i −1)( j −1) et b i , j = ω−(i −1)( j −1) .
Calculer A2 , B2 , AB, BA. Déterminer A−1 .
Exercice 426 Déterminer le rang des matrices suivantes :

1
A =  −1
1

0
C= m
−1
m
2
0

r
0
p
0
E =  −r
q
2
2
6


1
3
 −1
4 , B = 
 1
10
−1


t
−1
 0
m , D = 
 0
1
0


−q
4
p , F =  2
0
−1

1
1 
,
11 
3
−1
1
−2
2
2
t
0
0

7
−1 

3 
1+t

−1 6
3 −4 
−2 3
−1
p
2
2+t
0
5
−1
1
Exercice 427 Image et noyau de l’endomorphisme u de R3 de matrice A dans la base canonique :

2
A =  −1
−1
−1
2
−1
Caractériser u géométriquement.
57

−1
−1  .
2
Exercice 428 Soient A et B deux matrices carrées de taille n telles que AB = 0 et A + B est
inversible. Montrer que rangA + rangB = n .
Exercice 429 Calculer l’inverse de

1
0

.
.
.

0
0
2
1
3
2
···
···
n −1
n −2
0
0
0
0
0
0
1
0
−1
1
1
0
−1
3
1
2
..
.
..
.
..
.
..
.

n
n − 1

.. 

. 

2 
1
Exercice 430 On considère la matrice
1
 0
A=
 −1
1


−3
1 

3 
−2
On note u l’endomorphisme de R4 de matrice A dans la base canonique.
1. Déterminer une base de Im u et le rang de u .
2. Déterminer une base de ker u .
3. Montrer que R4 = Imu ⊕ ker u .
Exercice 431 On considère (Ei , j )1≤i ≤n, 1≤ j ≤n la base canonique de Mn (K). Si i 6= j et λ ∈ K,
montrer que In + λEi , j est inversible et donner son inverse. Que peut-on dire si i = j ?
Exercice 432
1. Soit n ∈ N, n ≥ 2. Soit A = (ai , j ) ∈ Mn (R) avec ai , j = Cij −1
avec les conventions
−1
habituelles. Montrer A est inversible.
2. En considérant
f : Rn−1 [X] → Rn−1 [X], P 7→ P(X + 1),
déterminer l’inverse de A.
Exercice 433 Soit la matrice
µ
A=
3
1
2
4
¶
.
1. Déterminer deux réels α et β tels que
A2 + αA + βI2 = 0.
2. En déduire que A est inversible, et calculer A−1 .
3. Déterminer le reste de la division euclidienne de Xn par X2 + αX + β pour n ∈ N.
4. En déduire la valeur de An pour tout n ∈ N.
Exercice 434 Déterminer An et Bn , si on pose

2
A= 0
0
0
2
0


0
2
0  et B =  0
−1
0
58
0
1
0

0
3 .
1
Exercice 435 Soit n ∈ N∗ . Une matrice N de Mn (R) est nilpotente s’il existe un entier p tel que
Np = 0. Si N est nilpotente, montrer que In + N est inversible.
Montrer que les matrices N suivantes sont nilpotentes et déterminer (I3 + N)−1 :

0
 0
0

1
2 
0
4
0
0

1
 −2
1
,
0
0
0

−1
2 .
−1
Exercice 436 On considère la matrice

1
A= 0
0

1
1 .
1
1
1
0
Calculer An , pour n entier relatif. On remarquera que A − I3 est nilpotente.
Exercice 437 On considère le corps K = R ou C. Soit J = (1) ∈ Mn (K) (tous les coefficients sont
égaux à 1).
1. Calculer J2 puis J p pour p ∈ N. J est-elle inversible ?
2. Soit A = (ai , j ) avec ai ,i = 0 et ai , j = 1 si i 6= j . Montrer que A est inversible et calculer A−1 .
Exercice 438 On considère la base canonique B = (1, X, X2 , X 3 ) de R3 [X].
1. montrer que la famille
B 0 = (1, X, X(X − 1), X(X − 1)(X − 2))
est une base de R3 [X].
2. (a) Déterminer la matrice de passage P de B à B 0 .
(b) Déterminer la matrice de passage Q de B 0 à B .
(c) Soit u l’endomorphisme de dérivation. Déterminer la matrice A de u dans la base B
puis la matrice A0 de u dans la base B 0 .
Exercice 439 Soit u l’endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base canonique B est

2
A =  −1
1
1
0
2

1
2 
−1
On pose e 10 = (1, 0, 1), e 20 = (−1, 0, 2) et e 30 = (1, 2, 1). Vérifier que B 0 = (e 10 , e 20 , e 30 ) est une base de R3 .
Déterminer la matrice A0 de u dans la base B 0 .
Exercice 440 Soit u l’endomorphisme de R4 dont la matrice sur la base canonique (²1 , ²2 , ²3 , ²4 )
est


0
 2
M=
 0
0
1
1
0
0
5
6
0
1
9
8 
.
3 
−2
On considère les vecteurs suivants de R4 : e 1 = (−13, −37, 3, 1), e 2 = (−1, 1, 0, 0), e 3 = (1, 2, 0, 0) et
e 4 = (−7, 1, −5, 5). Montrer que B = (e 1 , e 2 , e 3 , e 4 ) est une base de R4 . Déterminer la matrice M0 de
u dans la base B .
59
Exercice 441 Soient α, β, γ trois réels. On considère l’endomorphisme f de R3 dont la matrice
dans la base canonique (²1 , ²2 , ²3 ) est
α2
A =  αβ
αγ

αβ
β2
βγ

αγ
βγ  .
γ2
Rang de f ? Image ? Noyau ? Déterminer une base dans laquelle la matrice de f est simple. En
déduire An .
 x
 2
Exercice 442 Soit G =  0

0
µ
cos θ
Exercice 443 Soit A(θ) =
sin θ

0
.
.
.
Exercice 444 Soit A = 

0
1
...
¶
− sin θ
pour θ ∈ R. Calculer An (θ) pour n ∈ Z.
cos θ
0
1



0
. Les «1» sont sur la seconde diagonale. En utilisant
.. 


.
... 0
n
p
L (K n , K
 ), calculer A pour p ∈ Z.
... 0
.
..
. .. 

.
..

. 1
... 0
1
1
0
l’application linéaire associée,
de

0
.
.
.
Même chose avec A =  .
.
.
0


0

x  , x ∈ R . Montrer que G est un groupe multiplicatif.

1
0
1
0
1
..
.
...
Exercice 445 Soit J = (1) ∈ Mn (K).
1. Calculer J p pour p ∈ N.
2. J est-elle inversible ?
3. Soit A = (ai , j ) avec ai ,i = 0 et ai , j = 1 si i 6= j . Montrer que A est inversible et calculer A−1 .

0
Exercice 446 Soit A = −2
2
0
1
0

0
−1.
2
1. Calculer A3 − 3A2 + 2A.
2. Quel est le reste de la division euclidienne de Xn par X3 − 3X 2 + 2X ?
3. Calculer An pour n ∈ N.
4. A est-elle inversible ?
Exercice 447 Déterminer la matrice de la projection de R2 sur R~i de direction R(~i + ~j ) dans la
base (~i + ~j , ~j ) puis (~i , ~j ).
Exercice 448 Soient A et B ∈ Mn (K) telles que ∀X ∈ Mn (K) tr(AX) = tr(BX). Montrer que A = B.
Exercice 449 Que peut-on dire d’une matrice A ∈ Mn (R) qui vérifie tr(AtA) = 0 ?
60


1
0 dans la base canonique. Déterminer la
3
3 −1
Exercice 450 Soit f ∈ L (R3 ) de matrice 0 2
1 −1
matrice de f dans la base (1, 0, −1), (0, 1, 1), (1, 0, 1).
Exercice 451 Soit f l’endomorphisme de R2 de matrice
Soient
1.
2.
3.
µ
e 1 = (−2, 3) et e 2 = (−2, 5).
2
− 52
2 ¶
3
− 23
dans la base canonique.
Montrer que (e 1 , e 2 ) est une base de R2 et déterminer mat( f , e).
Calculer An pour n ∈ N.
Déterminer l’ensemble des suites réelles qui vérifient
(
∀n ∈ N
x n+1 = 2x n + 23 y n
y n+1 = − 52 x n − 23 y n
Exercice 452 Soit E un R-espace vectoriel de dimension 3 et f ∈ L (E) − {0} telle que f 2 = 0.

0
Montrer qu’il existe une base dans laquelle la matrice de f est 1
0
0
0
0

0
0.
0
Exercice 453 Soit E = vect(AB − BA, (A, B) ∈ Mn (K)2 ).
1. Montrer que E = ker tr (pour l’inclusion non triviale, on trouvera une base de ker tr formée
de matrices de la forme AB − BA).
2. Soit f ∈ Mn (K)∗ telle que ∀(A, B) ∈ Mn (K)2 f (AB) = f (BA). Montrer qu’il existe α ∈ R tel
que f = αtr.
Exercice 454 Soient A =
µ
1
0
¶
1
et
1
Φ : M 2 (R )
Φ:M
→
7
→
M2 (R)
AM − MA
Montrer que Φ est linéaire, déterminer sa matrice dans la base canonique et calculer ker Φ et
ImΦ.
¶
b
∈ E = M2 (K)), on considère ϕ ∈ L (E) définie par M 7→ AM. Calculer
d
la matrice de ϕ dans la base canonique de E. À quelle condition ϕ est-elle inversible ?
Exercice 455 Soit A =
µ
a
c

1
Exercice 456 Discuter suivant les valeurs de λ ∈ R le rang de la matrice  12
1
3

1
Exercice 457 Calculer l’inverse de  1
−2
2
2
−2
1
2
1
3
1
4
1
3
1
4 .
λ

1
−1.
−1
Exercice 458 Soient n entier supérieur à 1 une matrice An = (a j ,k )1≤ j ≤n telle que a j , j = 0 et
1≤k≤n
a j ,k = ±1 sinon.
61
1. Démontrer que A2n est inversible.
2. Soient 2n + 1 cailloux tels que toute partie de 2n cailloux peut être partagée en deux tas
de n cailloux de mêmes masses. Démontrer que tous les cailloux ont la même masse.
62