là - Tourbillon

1 Logique
Exercice 1 Soit Pune proposition. Vérifier la validité des assertions suivantes.
—Pou Faux =P
—Pet Vrai =P
—P⇒Faux =non P
Exercice 2 Pet Qsont deux propriétés, l’assertion (P ∧Q) ⇒((¬P) ∨Q) est-elle vraie ?
Exercice 3 Extrait de l’épreuve spécifique (MP) des CCP.
Dans la mythologie grecque, l’accès aux enfers est gardé par le Cerbère, un terrible loup à
trois têtes. Celui-ci se trouve devant trois couloirs qui, soit permettent de rejoindre le monde des
vivants, soit conduisent directement aux enfers.
Lorsque Cerbère accueille un nouvel arrivant, il est contraint de lui dire la vérité. Par la suite,
il peut mentir ou dire la vérité à sa guise mais il respecte toujours les règles qu’il s’est fixées.
Après avoir bu la coupe de cigüe, Socrate se retrouve face à Cerbère. Celui-ci, honoré de
rencontrer le grand philosophe, veut lui offrir une chance d’éviter la damnation éternelle. Il lui
dit alors : «Je vais t’indiquer un des couloirs qui mènent au monde des vivants mais, pour mettre
à l’épreuve ta grande sagesse, j’énoncerai trois indications logiques qui seront, soit toutes vraies,
soient toutes fausses et tu en déduiras le couloirs que tu devras suivre».
Nous noterons I1,I2et I3les propositions associées aux indications de la première, la deuxième
et la troisième tête du Cerbère.
Q 3.1 Représenter l’énoncé de Cerbère sous la forme d’une formule du calcul des propositions
dépendant de I1,I2et I3.
La première tête dit ensuite : «Le premier couloirs ainsi que le troisième mènent au monde
des vivants».
La deuxième tête dit : «Si le deuxième couloir mène au monde des vivants, alors le troisième
n’y mène pas».
La troisième tête conclut par : «Le premier couloir mène au monde des vivants par contre le
deuxième n’y mène pas».
Nous noterons C1,C2,C3les variables propositionnelles correspondant au fait qui le premier,
le deuxième, le troisième couloir mène au monde des vivants.
Q 3.2 Exprimer I1,I2et I3sous la forme de formules du calcul des propositions dépendant de
C1,C2et C3.
Q 3.3 En utilisant le calcul des propositions (résolution avec les tables de vérité), déterminer le
couloir que Socrate doit suivre pour rejoindre le monde des vivants.
Q 3.4 En admettant que Cerbère ait menti en donnant les trois indications, Socrate pouvait-il
suivre d’autres couloirs Si oui, le ou lesquels ?
Exercice 4 Démontrer (1 =0) ⇒(1 <0).
Exercice 5 Nier et discuter la véracité des assertions suivantes.
1. ∃x∈R,∀y∈R,x+y>0;
2. ∀x∈R,∃y∈R,x+y>0;
3. ∀x∈R,∀y∈R,x+y>0;
1

4. ∃x∈R,∀y∈R,y2>x.
Exercice 6 Écrire précisément, puis nier les assertions suivantes. fest une application définie
sur Ret à valeurs réelles.
1. Pour tout xréel, f(x)est inférieur à 1.
2. Il existe xréel tel que f(x)≤1.
3. L’application fest croissante.
4. La partie Ide Rest un intervalle.
5. fest paire.
6. fest périodique.
7. fest strictement croissante.
8. fest injective (respectivement surjective).
9. ∀x∈R,f(x)<x2.
Exercice 7 Les assertions suivantes sont-elles équivalentes ? Laquelle implique l’autre ?
1. x∈R:x2=4et x=2.
2. z∈C:z=¯ zet z∈R.
3. x∈R:x=1et e2πx=1.
Exercice 8 Comparer les assertions suivantes.
1. ∀x,∃y,x≤y
2. ∀x,∀y,x≤y
3. ∃x,∃y,x≤y
4. ∃x,∀y,x≤y
Exercice 9 Dans un village un barbier rase tous les habitants qui ne se rasent pas eux-même.
Le barbier se rase-t-il ?
Exercice 10 Que pensez-vous de ce raisonnement ?
1. Plus il y a d’emmenthal, plus il y a de trous.
2. Plus il y a de trous, moins il y a d’emmenthal.
3. Donc plus il y a d’emmenthal, moins il y a d’emmenthal.
Exercice 11 A, B et Csont des assertions. Les formules suivantes sont-elles des tautologies ?
1. (A ∧(A ⇒B)) ⇒B
2. A⇒(B ⇒A)
3. ((A ⇒B) ∧(A ⇒C)) ⇒((A ⇒B) ∧C)
4. ((A ⇒B) ∧(A ⇒C)) ⇒((B ∧A) ⇒C)
Exercice 12 Écrire les négations des prédicats (propositions) :
1. ∃x∈R,∀y∈R,x≥y.
2. ∀x∈Q,x2=2.
2

3. ∃y∈R+,∀x∈R,y=x2.
4. ∀x∈R,∃y∈R+,y=x2.
Exercice 13 Soit f:R→R. Traduire symboliquement
—fest majorée.
—fest bornée.
—fest paire.
—fne s’annule jamais.
—fs’annule.
—fn’est pas périodique.
—fn’a jamais la même valeur en deux points distincts.
—fprend toutes les valeurs entières.
Exercice 14 Soit f:R→R. Nier les propositions suivantes :
— Pour tout xréel f(x)≤1.
—fest croissante.
—fest croissante et positive.
— il existe xréel positif tel que f(x)≤0.
Exercice 15 1. Écrire la négation de (x y =0) ⇔(x=0 et y=0).
2. Écrire la négation de l’assertion ∃x∈R,∀y∈R,x+y>0; laquelle est vraie ?
3. Écrire la négation de l’assertion ∃x∈R,∀y∈R,y2>x; laquelle est vraie ?
Exercice 16 Dans ce qui suit, ndésigne un entier positif.
1. u0=3et un+1=u2
n, calculer unen fonction de n.
2. Pour quelles valeurs de na-t-on n≤2n?
3. 7n≤2npour nassez grand.
4. Soit la proposition Pn:3divise 4n−1et la proposition Qn:3divise 4n+1. Prouver que,
pour tout nentier positif : Pn⇒Pn+1et Qn⇒Qn+1. Montrer que, pour tout nentier
positif Pnest vrai. Que dire de Qn?
Exercice 17 1. Les affirmations suivantes sont-elles vraies ?
(∃y∈N) (∀x∈N)x≤y
(∀x∈N) (∃y∈N)x≤y
2. n3+2nest divisible par 3.
3. 52n−1est divisible par 24.
4. 2n+5≤2npour nassez grand.
Exercice 18 Eet Fsont deux ensembles, comparer
1. P(E ∪F) et P(E) ∪P(F) ;
2. P(E ∩F) et P(E) ∩P(F) ;
3. P(E ×F) et P(E) ×P(F).
Exercice 19 Que peut-on dire d’ensembles Aet Btels que A∪B=A∩B?
3

Exercice 20 Soient trois ensembles A,Bet C, démontrer :
A∪B=A∩C⇔B⊂A⊂C(1)
½A∪B⊂A∪C
A∩B⊂A∩C⇒B⊂C(2)
(A ∪B) ∩(B ∪C) ∩(C ∪A) =(A ∩B) ∪(B ∩C) ∪(C ∩A) (3)
Exercice 21 Soit fune application de P(E) dans Rtelle que : A∩B=⇒ f(A∪B) =f(A)+f(B).
Démontrer que f()=0et f(A ∪B) =f(A) +f(B) −f(A ∩B).
Exercice 22 Soit fune application de Edans F. Démontrer que pour toute partie Ade Eet
toute partie Bde F:f(f−1(B) ∩A) =B∩f(A).
Exercice 23 Soient Xet Ydeux parties d’un ensemble E. Simplifier
A=(X ∩Y) ∪(X ∩EY)
B=(X ∪Y) ∩(X ∪EY)
C=X∪(Y ∩(E Y))
(E ×G) ∪(F ×G)
Exercice 24 Soient E,F,G,H quatre ensembles. Prouver que
(E ×F) ∩(G ×H) =(E ∩G) ×(F ∩H)
Exercice 25 Aet Bdésignent des parties de l’ensemble Eou de l’ensemble Fet fest une
application de Evers F. Démontrer :
—f(A ∩B) ⊂f(A) ∩f(B)
—f−1(A ∩B) =f−1(A) ∩f−1(B)
—f−1(A ∪B) =f−1(A) ∪f−1(B)
—f(A ∪B) =f(A) ∪f(B)
—f(A) f(B) ⊂f(A B)
—f−1(A B) =f−1(A) f−1(B)
Exercice 26 Soit fune application de Edans F.
1. Démontrer que fest bijective si et seulement si pour toute partie Ade E:f(E\A) =F\ f(A).
2. fest injective si et seulement si pour toutes parties Aet Bde E:f(A ∩B) =f(A) ∩f(B).
Exercice 27 (E,≤1)et (F,≤2)sont des ensembles ordonnés. Nous munissons E×Fde la relation
définie par
(x,y)(x,y)⇔(x≤1x)∨((x=x)∧(y≤2y))
Démontrer que (E ×F,)est un ensemble ordonné.
4

Exercice 28 Soient Eet Fdeux ensembles et fune application de Edans F. Démontrer les
implications :
∀x∈Ef−1({f(x)}) ={x}⇔fest injective
∀y∈Ff(f−1({y})) ={y}⇔fest surjective
Exercice 29 Soient E,Fet Gtrois ensembles, fune application de Edans Fet gune application
de Fdans G. Démontrer les implications :
g◦fest injective ⇒fest injective
g◦fest surjective ⇒gest surjective
Exercice 30 fune application définie sur un ensemble Eà valeurs dans un ensemble F.
1. Si E=,fest injective, si et seulement s’il existe une application rde Fdans Etelle que :
r◦f=idE.
2. fest surjective si et seulement s’il existe une aplication sde Fdans Etelle que f◦s=idF.
Exercice 31 Les applications suivantes sont-elles injectives ? surjectives ?
1.
R2→R2
(x,y)→ (x,2x−3y)
2.
R2→R2
(x,y)→ (x+y,x y)
Exercice 32 Eest l’ensemble {0,1,2}. Écrire tous les éléments de l’ensemble P(E).
Exercice 33 Montrer que l’ensemble D={(x,y)∈R2,x2+y2≤1} ne peut pas s’écrire comme le
produit cartésien de deux parties de R.
Exercice 34 Soient trois applications :
f: E →F
g: F →G
h: G →E
Démontrer que si, parmi h◦g◦f,g◦f◦h,f◦h◦gil y a deux applications injectives, la troisième
étant surjective, alors f,get hsont bijectives (respectivement surjectives et injective).
Exercice 35 On considère l’application
f:R−→ R
x−→ 1+x2
1. Déterminer les antécédents par l’application fdes réels suivants : 1, 2, 3, 0, −1.
2. L’application fest-elle injective ? surjective ? bijective ?
5