equations du second degre exercices corriges

Cours et exercices de mathématiques M. CUAZ, http://mathscyr.free.fr
EQUATIONS DU SECOND DEGRE
EXERCICES CORRIGES
Exercice n°1.
Résoudre dans les équations : \
2169x= 2420x+= 268x
+
= 22 5721xx6
+
=− 2 11 5 2x
−
=
22
14 5 50xx−= −
Exercice n°2.
Résoudre dans les équations suivantes : \2 53xx0
−
= 2 94x0
−
= 2 31x0
+
=
221xx−+=0
Exercice n°3.
Résoudre dans les équations suivantes : \
223xx+−=000 2421xx+−= 2
961xx
+
+= 2610xx 0
−
+−=
210xx−−=
(
)
(
)
22
422 34xx xx−− − ++=0 2154
0
35
xx
xx
−−
−
=
+ 2332
0
44
xx
xx
++
−
=
−+
Exercice n°4.
Soit l’équation : (E) où x est l’inconnue, et m un paramètre réel
()
2
2223mxmxm+−+−=0
1) Etudier l’équation (E) pour m = -2
2) Pour quelle(s) valeur(s) du paramètre m l’équation (E) admet-elle deux solutions ? une seule solution ? aucune
solution ?
3) Lorsque les solutions de (E) existent, calculer leur somme et leur produit en fonction de m
Peut-on déterminer m pour que l’équation (E) ait deux solutions x’ et x’’ vérifiant la relation x’x’’=1 ?
Exercice n°5.
1) Résoudre dans l’équation \260XX+−=
2) En déduire la résolution des équations :
42
60xx+−= 60xx
+
−=
Exercice n°6. (Terminale S)
Résoudre dans : ^
Les équations et
()
2
265zz−+−=00=
( )
22
244zzz+−+
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CORRECTION
Exercice n°1
2169 169 ou 169 c'est-à-dire 13 ou 13xx x xx=⇔= =− = =−
22
4 20 16 16 ou 16 c'est-à-dire 4 ou 4xxxx x+= ⇔ = ⇔= =− = =−x
22
6 8 2 2 ou 2xxxx+=⇔ =⇔= =−
22 2 2
23
572163 23 3 xx x x+= − ⇔ =− ⇔ =− impossible dans \
222
99335 93
11 5 2 5 9 = = ou =-
555 5
5
xxxx x−=⇔=⇔=⇔= =− 5
5
22 2 2
14 5 50 4 36 9 9 ou 9 c'est-à-dire 3 ou 3xx x xx x xx−= −⇔ =⇔=⇔= =− = =−
Exercice n°2
2
53xx−=0
(
)
2
530 53
0 ou 5 3 0
33
0 ou . 0;
55
xx xx
xx
xxS
−=⇔ −=
⇔= −=
⇔= = =
0
Cette équation est une équation du
second degré résolue par factorisation
et application de la règle du produit nul.
L’usage veut que l’on classe les
solutions dans l’ordre croissant.
2
94x−=0
() ( )( )
2
22
9403 203232
3 2 0 ou 3 2 0
2222
ou . ;
3333
xx xx
xx
xxS
−=⇔ − =⇔ − + =
⇔−= +=
⇔= =− =−
0
Cette équation est une équation du
second degré résolue par factorisation
grâce à une identité remarquable
(
)
(
)
22
ab abab
−
=− + et application
de la règle du produit nul
2
31x+=0 22
1
310 3 xx+= ⇔ =− . Or pour tout réel x, , donc
l’équation n’a pas de solution réelle.
20x≥
S
=
∅
221xx−+=01
()
2
2210 1 0 10
x
xx x− +=⇔ − =⇔−=⇔=x Seuls les nombres nuls ont un carré nul
Exercice n°3
1) On calcule le discriminant du polynôme
(
)
223Px x x
=
+− :
(
)
2
241 341216
∆
=−××−=+=. 0
∆
> donc le
polynôme admet deux racines réelles distinctes (ou encore, l’équation admet deux solutions réelles distinctes) :
1
216 3
2
x−− ==− et 2
216
1
2
x−+ ==. On a donc
{
}
3;1S=− .
2) On calcule le discriminant du polynôme
()
242Px x x 1
=
+− :
(
)
2
4 4 1 21 16 84 100∆= − × × − = + = . 0
∆
> donc le
polynôme admet deux racines réelles distinctes (ou encore, l’équation admet deux solutions réelles distinctes) :
1
4100 7
2
x−− ==− et 2
4100
3
2
x−+ ==. On a donc
{
}
7;3S=− .
3) On calcule le discriminant du polynôme
(
)
2
96Px x x 1
=
++ : 2 64910
∆
=−××=. donc le polynôme admet
une unique racine réelle (ou encore, l’équation admet une unique solution réelle) :
0∆=
1
x6
29
−1
3
=
=−
×. Ainsi 1
3
S
=
− .
4) On calcule le discriminant du polynôme
()
261Px x x 0
=
−+ − :
(
)
(
)
2
64 1 10 4
∆
= − ×− ×− =−. donc l’équation
n’admet pas de solutions réelles. . Il existe cependant des solutions complexes
0∆<
S=∅
5) On calcule le discriminant du polynôme
(
)
21Px x x
=
−− :
() ()
2
1411145
∆
=− − ××− =+ = . 0
∆
> donc le
polynôme admet deux racines réelles distinctes (ou encore, l’équation admet deux solutions réelles distinctes) :
1
15
2
x− = et 2
1
2
x+ =5 . On a donc 1515
;
22
−+
S=.
6)
(
)
(
)
22 2 2
42-2 340 420 ou -2 34xx xx xx xx− − + + =⇔ − −= + +=0 (règle du produit nul) et on retrouve des
équations du second degré « classiques »
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7) 2154
0
35
xx
xx
−−
−
+=
. L’équation est définie si et seulement si 3x
≠
− et 0x
≠
. Pour tout ,
{
}
\3;0x∈−\
(
)
(
)
(
)
() () ()()
215 354
2154
00215
35 5 3
xxxx
xx xxxx
xx xx
−× − + −
−−
−=⇔ =⇔−×−+−
++ 3540
= (une fraction est nulle si et
seulement si son numérateur est nulle)
(
)
22 2
10 5 5 415120 5 1612xxxxx x x⇔ −− −+−=⇔−+=0 et on retrouve une équations du second degré « classique »
On pouvait aussi mettre en œuvre la technique des produits en croix : Pour tout
{
}
\3;0x∈−\,
2154 2154
0
35 35
xx xx
x
xx
−− −−
−=⇔=
++
x
() ()( )()
(
)
(
)
()
22 2
215 354 215 354
10 5 5 415120 5 16120
xxxx xxxx
xxxxx x x
⇔−×=+ −⇔−×−+ −=
⇔ −− −+−=⇔−+=
0
8) 2332
0
44
xx
xx
++
−
−+
=. L’équation est définie si et seulement si 4x
≠
− et 4x
≠
. Pour tout
{
}
\4;4x∈−\,
(
)
(
)
(
)
(
)
()() ()() ()()
22 2
23 4 32 4 2 8 3 12 3 12 2 8 21 20
00
44 44 44
xx xx xxx x xx x x
xx xx xx
++−+− +++− + −+ −+ + 0
=
⇔=⇔
+− +− +−
=
221 20 0xx⇔− + + = (une fraction est nulle si et seulement si son numérateur est nulle)
Pour cette dernière équation, on calcule , donc l’équation admet deux solutions
réelles distinctes
() ()
2
21 4 1 20 441 80 521∆= − × − × = + =
1
21 521 21
22
x−− =
−
521
+
= et 2
21 521 21 521
22
x−+ − ==
−. Ainsi 21 521 21 521
;
22
S
+−
= .
Exercice n°4
1) Si , l’équation (E) est équivalente à l’équation du premier degré 2m=− 7
470 4 xx
−
=⇔=
2) Si , l’équation (E) admet pour discriminant : 2m≠−
()
2
2223mxmxm+−+−=0
()( )( )
(
)
(
)
222 2
24223484244
mmm m mmm mm∆=− − + − = − + − = − − +6
L’étude du signe du signe du discriminant, qui est lui même un polynôme de variable m , nous donnera le nombre de
solutions de l’équation (E). Le discriminant a le même signe que l’expression
m
∆26mm
−
−+
2
5
. On calcule le propre
discriminant de l’expression ∆= , qui vaut
()
2
mmm− − 6+
()
2
141625
−
−×−×= = , d’où l’existence de deux racines
distinctes
()
1
125
2
21
m− ==
×− et
()
2
125
21
+3m
=
=−
×− .
Le signe de est donc donné par :
26
mmm∆=− − +
-Si
][
{
}
][]
3; 2 \ 2 3; 2 2; 2m∈− − =− − ∪−
[
, puisque m
∆
>, l’équation (E) admettra deux solutions réelles distinctes. 0
-Si , puisque , l’équation (E) n’admettra aucune solution réelle.
][]
;3 2;m∈−∞− ∪ +∞
[
0
m
∆<
-Si m = -3 ou m = 2, puisque , l’équation admettra une unique solution réelle. 0
m
∆=
3) Lorsque les solutions de (E) existent, elles valent
(
)
()
2
1
24 6
22
mmm
x
m
−
−−+
=+ et
()
()
2
2
24 6
22
mmm
x
m
+−−+
=+, de sorte
que leur somme vaut
()
()
(
)
() ()
22
12
24 624 6 42
22 22 22
mmm mmm mm
Sx x
mmm
−−−+ +−−+
=+= + = =
+++
2
m+
,
et leur produit vaut :
()
()
()
(
)
()
()
22
12 2
24 624 6
22
mmm mmm
Pxx
m
− − −+ + − −+
== +
()
()
()
()
()
() () ()
2
2222 22
222
24 6
44 6
84242
42 42 42 2
mmmmmm mm mm
mmm
−−−+ −− −+
2
6
m
+
−+
===
+++
−
=
+

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En calculant le déterminant, on factorise
()
23
2622
2
mm m m +−= + −
()
, et ainsi
()
2
3
22 23
2
2
2
mm
m
P
m
m
+−
−
==
+
+
Remarque : En utilisant directement les relations entre coefficients et racines, à savoir 12
b
Sx x
a
=+=− et 12
c
Pxx
a
=
=,
on pouvait directement retrouver ces résultats
4) L’équation (E) admet deux solutions x’ et x’’ vérifiant la relation x’x’’=1 si et seulement si
]
[
]
[
3; 2 2; 2m∈− − ∪− et
23
12 3 2
2
m
Pmm
m
−
==⇔−=+⇔
+5m=. Ceci est impossible car si m = 5, l’équation n’admettra aucune solution réelle.
Exercice n°5
1) L’équation admet deux solutions réelles distinctes
260XX+−= 1
125 3
2
X−−
=
=− et 2
125
2
2
X−+ ==
2) En posant 2
X
x=, puisque
()
2
42 2
x
xX==, l’équation devient équivalente à 260XX
+
−=, que l’on a résolu au
dessus : 2
X
= ou . En revenant à la variable x on a : 3=−X2 2 2 2 ou 2Xx x x=⇔ =⇔= =−
2
3Xx=− ⇔ =−3. Or pour tout réel x, , donc l’équation n’a pas de solution réelle. Finalement,
20x≥
{
}
2; 2S=−
En posant
X
x=, puisque
(
)
22
x
xX==, l’équation devient équivalente à 260XX
+
−=, que l’on a résolu au
dessus : 2
X
= ou En revenant à la variable x on a : 3X=− 22Xx 4x
=
⇔=⇔=
3Xx=− ⇔ =−3. Or pour tout réel positif x, 0x≥, donc l’équation n’a pas de solution réelle. Finalement,
{
}
4=S
Exercice n°6 (Terminale S)
On calcule le discriminant de l’équation :
2
265zz−+−=0
()() ()
2
2
6 4 2 5 36 40 4 2i∆= − × − × − = − =− =
L’équation admet donc deux racines complexes conjuguées :
()
1
62 3 1
2222
i
zi
−−
==+
×− et
()
2
62 3 1
2222
i
zi
−+
==−
×−
3131
;
2222
Si =− + i
0= L’équation se réécrit
()( )
22
244zzz+−+
(
)
(
)
()
2
222zi zi z 0
+
−−=, et admet donc comme ensemble de
solutions
{
}
2; 2;2Sii=−