Exercice 1. Calculer les différentielles en tout point des applications

ENS de Lyon
Topologie et Calcul Différentiel
TD 10
6-8/11/2012
Exercice 1. Calculer les différentielles en tout point des applications suivantes, en précisant leurs noyaux et images. Déterminer l’ensemble des points critiques pour les fonctions
à valeurs réelles.
Rn \ {0} →
R
1.
x
7→ ||x||2
2.
Rn \ {0}
x
3.
Gln (R) →
M
7→
4.
Mn (R)
M
→ Mn (R)
où P ∈ Gln (R)
7→ P M P −1
5.
Mn (R)
M
→
R
Gln (R) →
et
7→ det(M )
M
7→
→
7→
Rn
x
||x||2
Gln (R)
Mn (R) →
et
t
MM
M
7→
Symn (R)
t
MM
R
det(M )
Exercice 2. Formules de Taylor, exemples et contre-exemples
1. Ecrire le développement limité à l’ordre six en (0, 0) de f (x, y) = x7 + x5 y − x4 + y 3 .

1

0
2. Ecrire le développement limité à l’ordre n − 1 de det en 
 ..
.
0
0
0 ···
···

0
0

.
. . .. 
. .

0 0
!
I
0
3. Ecrire le développement limité à l’ordre 2 de det en n−2
.
0 0
4. L’égalité des accroissements finis est-elle vraie pour des fonctions à valeurs dans C ?
Redémontrer la formule de Taylor-Lagrange pour une fonction de R dans R. En
déduire un énoncé correct d’une formule de Taylor-Lagrange pour des fonctions de
plusieurs variables.
Exercice 3. Soit C l’ensemble des (x, y) ∈ R2 tels que
x3 + y 3 − 3xy = 0.
1. Cette équation définit-elle y comme fonction implicite de x ? Lorsque c’est le cas,
calculer la dérivée de la fonction implicite et écrire l’équation de la tangente à C.
2. Dessiner C et préciser l’asymptote. On pourra pour cela calculer l’intersection de C
avec la droite y = tx et en déduire une paramétrisation de C.
1
Exercice 4.
1. Soit f : Rn → Rn une application de classe C 2 dont la matrice jacobienne est
antisymétrique en tout point. Montrer que f est affine.
!
Idp
0
t
2. On rappelle que Op,q (R) = {M ∈ Mn (R) | M Ip,q M = Ip,q } où Ip,q =
0 −Idq
n
n
2
Soit f : R → R une application de classe C dont la matrice jacobienne est dans
Op,q (R) en tout point. Montrer que f est affine (on pourra commencer par le cas
q = 0 et par rappeler que les vecteurs colonnes de M ∈ Op,0 (R) forment une famille
orthonormée).
Exercice 5.
Soit E et F deux R-espaces vectoriels de dimensions finies, soit U et V deux ouverts
de E et f : U → F et ϕ : V → U des applications C 2 .
1. Soit x ∈ V , calculer Dx2 (f ◦ ϕ) en utilisant la formule de Taylor-Young.
2. Écrire l’expression de la différentielle du composé Dx (f ◦ϕ) comme composé de trois
applications élémentaires. Différentier chacune de ces applications, puis retrouver le
résultat précédent.
L’exercice 7 permettra de dégager des conséquences géométriques importantes de ce calcul.
Exercice 6. Lemme de Morse linéaire
1. Montrer que A ∼ B ssi ∃P ∈ Gln (R) A = t P BP est une relation d’équivalence sur
Symn (R).


Idp
0
0


2. On note Ip,q =  0 −Idq 0. Montrer que si (p, q) 6= (p0 , q 0 ) alors Ip,q 6∼ Ip0 ,q0 .
0
0
0
3. Réciproquement, montrer que pour toute matrice A symétrique il existe (p, q) tel
que A ∼ Ip,q .
On appelle rang de A l’entier p + q et signature de A le couple (p, q).
Exercice 7. Lemme de Morse
1. Question préliminaire d’algèbre bilinéaire : Soit E un R-espace vectoriel, dont on
note E = (ei )i∈[1,n] une base. On rappelle que ϕE : BS(E × E, R) → Sym(n, R), qui
à b associe la matrice (b(ei , ej ))i,j est un isomorphisme d’espaces vectoriels, tel que si
x, y ont pour vecteurs-coordonnées X, Y dans la base E, alors b(x, y) = X T ϕE (b)Y .
Rappeler le lien entre ϕE et ϕE 0 où E 0 est une autre base de E. On définit ainsi une
relation d’équivalence sur Symn (R).
2. Existe-t-il un changement de coordonnées local en 0 qui envoie localement le graphe
de f (u, v) = u2 + v 2 sur celui de g(u, v) = uv ?
La suite de l’exercice étudie la réciproque : on considère f : Rn → R de classe C 2
telle que f (0) = 0, D0 f = 0 et D02 f est de rang n et de signature (p, q) (cf exercice
6). On se propose de démontrer le lemme de Morse : il existe un changement de
coordonnées local en 0 qui rend f quadratique.
2
3. Montrer qu’il existe h : Ω → Symn (R) avec Ω voisinage de 0 telle que :
f (x) = f (0) + t xh(x)x
4. Soit A ∈ Symn (R) de rang n et de signature (p, q), montrer qu’il existe un ouvert
U de Symn (R) contenant A et une application g : U → Symn (R) telle que
t
g(M )M g(M ) = Ip,q
5. En déduire le lemme de Morse.
Exercice 8. Déterminer le rang de la différentielle en chaque point et, autant que faire
se peut, les lignes de niveau des applications suivantes : 

R → R2







− 1t
C∗ → C∗
C → C



(0, e ) si t > 0
z 7→ z 2
z 7→ z 2

t 7→ (0, 0) si t = 0






 1t

(e , 0) si t < 0

R3
→R
(x, y, z) → x2 + y 2 − z 2



R



C
→ C∗
z 7→ ez

t



→ R2 
7→
r(t) 

cos(t)
sin(t)
si r2 + (r0 )2 6= 0.
Exercice 9. Application du théorème du rang
1. Soit A : Rm −→ Rn une application linéaire. À quelle condition A est-elle ouverte ?
2. Soit f : Rm −→ Rn une application de classe C 1 qui est injective. Montrer que
m ≤ n et que Df est de rang m sur un ouvert dense.
3