Fonctions trigonometriques

Fonctions trigonométriques
1) Une nouvelle unité de mesure des angles : le radian
Soit C un cercle de centre O et de rayon OI = 1 sur lequel on définit un sens de parcours
positif appelé sens direct (sens contraire des aiguilles d’une montre) : ce cercle s’appelle
cercle trigonométrique.
(sens indirect : sens des aiguilles d’une
montre)
Soit J un autre
point du cercle tel que le
→ →
repère (O; OI , OJ ) soit orthonormé.
π
A'
3
Soit d la droite tangente au cercle en I. On
note K le point de coordonnées
(1 ; 1).
→
On munit d du repère (I ; IK ).
La circonférence d’un cercle de rayon 1 vaut
2π.
Dans l’unité de longueur choisie, la longueur
du demi-cercle est π.
2
"Enroulons" la droite d sur le cercle dans le
sens direct.
Les points de d d’abscisse positive viennent
coïncider avec les points du cercle.
On utilise ainsi une nouvelle unité de mesure
des angles appelée le radian.
J'
J
K
Exemples :
Si A’ est le point de d d’abscisse π, alors le
point du cercle en coïncidence avec A’ est
A, et l’angle IOA dans le sens direct mesure
π radians.
K'
1
C
A
O
I
Si on place un point J’ sur la droite d tel que
J et J’ coïncident.
Alors, la longueur de c
IJ dans le sens direct
π
est (quart de la circonférence) et
2
π
l’abscisse de J’ sur d est . L’angle IOJ dans
2
π
le sens direct mesure radians.
2
-1
B
-2
1
Définition du radian : Si K’ est le point de d d’abscisse 1, alors le point du cercle en
coïncidence avec K’ est K, et l’angle IOK dans le sens direct mesure 1 radian.
Remarque : un angle donné aura plusieurs mesures en radians puisque le point correspondant
sur le cercle trigonométrique sera en coïncidence avec plusieurs points de la droite d distants
d’un tour, c'est-à-dire de 2π (on peut donc ajouter des tours, c’est à dire des multiples de 2π) ;
IOI mesure 0 rad
ou 2 π rad
ou 2 π + 2 π rad
= 4 π rad …
IOJ mesure
π
rad
2
π
+ 2π rad
2
5π
=
rad ….
2
ou
IOA mesure π rad IOB mesure 3π rad
2
ou π + 2 π rad
3π
= 3π rad …
ou
+ 2 π rad
2
7π
=
rad….
2
Remarque : En enroulant la droite d sur le cercle dans le sens indirect, on fait coïncider les
points de la droite d d’abscisse négative avec les points du cercle C, ou en retirant des tours
(c’est à dire des multiples de 2π), on obtient aussi des mesures d’angle négatives…
Propriété : pour convertir des degrés en radians (ou le contraire), on utilisera un tableau de
proportionnalité du type :
Mesure en degrés 180 90 60 45 30 360
π π π π
Mesure en radians π
2π
2 3 4 6
2) Fonctions cosinus et sinus
a) Définition
Soit C le cercle trigonométrique.
Définition : Soit M un point de C tel que IOM = x rad (x ∈ Y).
Le cosinus de x, noté cos x, est l’abscisse de M.
Le sinus de M, noté sin x, est l’ordonnée de M.
Exemples : cos 0 = 1 et sin 0 = 0 ; cos π = -1 et sin π = 0 ;
π
π
cos = 0 et sin = 1.
2
2
Propriété 1 :
Pour tout x réel, -1 ≤ cos x ≤ 1 ; -1 ≤ sin x ≤ 1 et
cos² x + sin² x = 1
(cette dernière propriété est due au théorème de Pythagore).
Remarque : on retrouve ce qui a été vu en Troisième dans le triangle rectangle, en prenant
π
0<x< .
2
2
Propriété 2 : Quel que soit le réel x, cos(x + 2π) = cos x
et sin(x + 2π) = sin x (voir la remarque du 1) sur les « tours »).
On dit que le cosinus et le sinus ont pour période 2π.
Propriété 3 : Quel que soit le réel x, cos(-x) = cos x et
sin(-x) = - sin x.
Valeurs remarquables à connaître :
x
0
cos x
1
sin x
0
π
6
3
2
1
2
π
4
2
2
2
2
π
3
1
2
3
2
π
2
π
0
-1
1
0
b) Fonction cosinus
La fonction définie sur Y par x ï cos x s’appelle la fonction cosinus.
Sa période étant de 2π, on peut se permettre de ne l’étudier que sur un intervalle d’amplitude
2π comme [ - π ; π ].
Y étant symétrique par rapport à 0 et vu la propriété 3, la fonction cos est paire. Sa courbe
représentative sera dons symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
On peut donc réduire l’étude à [ 0 ; π ]
Tableau de variations :
Sur [ 0 ; π ] :
x
0
π
2
π
1
cos x
0
-1
3
En utilisant la parité, on obtient les variations sur [ - π ; π ] :
x
-π
-
π
2
π
2
0
π
1
cos x
0
0
-1
-1
Représentation graphique :
On trace l’ébauche de la courbe sur [ 0 ; π ] (en utilisant, par exemple, les valeurs
remarquables vues plus haut), puis on complète sur [ - π ; 0 ] grâce à la symétrie par rapport à
l’axe des ordonnées. Enfin, la courbe obtenue sur [ - π ; π ] est reproduite de 2π en 2π (on
effectue des translations de vecteurs de longueur 2π de direction l’axe des abscisses dans un
sens et dans l’autre).
Cette courbe s’appelle une sinusoïde.
y
1
-3π
-2π
-π
0
π
2π
3π
x
-1
c) Fonction sinus
La fonction définie sur Y par x ï sin x s’appelle la fonction sinus.
Sa période étant de 2π, on peut se permettre de ne l’étudier que sur un intervalle d’amplitude
2π comme [ - π ; π ].
Y étant symétrique par rapport à 0 et vu la propriété 3, la fonction sin est impaire. Sa courbe
représentative sera dons symétrique par rapport à l’origine.
On peut donc réduire l’étude à [ 0 ; π ]
4
Tableau de variations :
Sur [ 0 ; π ] :
x
π
2
1
0
sin x
π
0
0
En utilisant le fait que la fonction sinus soit impaire, on obtient les variations sur
[-π;π]:
x
sin x
-π
-
π
2
π
2
1
0
0
0
π
0
-1
Représentation graphique :
On procède de la même façon que pour la fonction cosinus.
Cette courbe s’appelle aussi une sinusoïde.
y
1
-3π
-2π
-π
0
π
2π
3π
x
-1
5