Distance d`un point à une droite Tangente à un cercle

Distance d’un point à
une droite Tangente à
un cercle Bissectrice et
cercle inscrit
I. Distance d’un point à une droite
Propriété :
Le point d’une droite le plus proche d’un point donné
est le pied de la perpendiculaire menée du point à la droite.
Dans l’exemple ci-contre, le point le plus
près du point A sur la droite (d
1
) est
le point H : on peut le construire
à l’aide d’une équerre.
En prenant un autre point M sur la droite (d
1
) et
en observant le triangle HAM, rectangle en H,
on voit que la distance AH est plus petite que la
distance AM (hypothénuse) et même que toutes
les distances AM possibles.
! Méthode :
• On va utiliser une équerre et les deux côtés de celle-ci, qui touchent
l’angle droit.
• On place le premier côté de l’équerre le long de la droite (d
1
).
• On fait coulisser l’équerre le long de la droite (d
1
), jusqu’à ce que le
deuxième côté de l’équerre soit sur le point A.
• On peut alors tracer la perpendiculaire à la droite (d
1
) passant par le
point A et le point H qui est à l’intersection de cette droite et de la
droite (d
1
).
• H est le point de (d
1
) le plus proche de A.
! Propriété :
La distance du point A à la droite (d
1
) sera la distance AH.
AH
(d
1
)
M
II. Tangente à un cercle
Soit un cercle (C) de centre O et A un point appartenant à ce cercle.
! Définition :
La tangente en A à ce cercle (C), est la droite perpendiculaire au
rayon [AO] passant par A.
La tangente en A au cercle (C) est la droite (d1)
! Propriétés
• Si une droite passe par A et est perpendiculaire au rayon [OA], alors
cette droite est la tangente en A au cercle (C).
• Si une droite est tangente au cercle (C) en un point A, alors cette
droite est perpendiculaire au segment [OA].
! Méthode pour tracer la tangente :
• On trace le segment [OA].
• On trace la perpendiculaire au segment [OA] passant par A en
utilisant l’équerre.
• Cette droite est la tangente au cercle (C) en A.
O
(d
1
)
A
(C)
III. Bissectrice et cercle inscrit à un triangle
! Définition :
La bissectrice d’un angle est la demi-droite, d’origine le sommet de
l’angle, qui le coupe en deux angles égaux.
Sur la figure ci-contre, la bissectrice
de l’angle est la demi-droite
dessinée en vert.
On a .
! Propriété :
Un point de la bissectrice d’un angle est équidistant des côtés de
l’angle et, inversement, un point équidistant des côtés d’un angle est
sur la bissectrice de cet angle.
! Méthode de tracé :
- A l’aide d’un rapporteur.
- A l’aide d’un compas :
Dans la figure ci-dessus, on suppose que OA = OB.
En prenant le même écartement du compas, on dessine un arc de
cercle de centre A et un autre de centre B.
Le point d’intersection de ces arcs de cercle est sur la bissectrice et on
peut la dessiner en reliant ce point d’intersection au point O.
! Propriété :
Les 3 bissectrices d’un triangle
sont concourantes en un point
qui est le centre du cercle inscrit
dans ce triangle.
( I centre du cercle inscrit dans le triangle ABC, ci-dessus en bleu)
Figures réalisées avec GDmath (http://gdmath.free.fr/)
Editeur : MemoPage.com SA © / Auteur : Pierre Larivière / 2009
A
B
O
M
B
A
C
I