Chapitre 8 : Distance-Tangente

Chapitre 8 : Distance-Tangente-Bissectrices
I. Distance d'un point à une droite
THÉORÈME 1 : étant donnés un point  et une droite , la plus courte distance entre le point  et un
point de la droite  est la distance , où  est le pied de la perpendiculaire à  passant par .
On appelle distance du point  à la droite , la distance .
Construction à la règle et au compas : étant donnés un point  et une droite ,
construire le segment , où  est la distance de  à .
A
H
M1
M2
A
A
A
A

II. Tangente à un cercle
DÉFINITION 1 : on considère un cercle de centre et un point   .
La tangente en  au cercle  est la droite perpendiculaire au rayon  passant par .
Construction de la tangente à  en  à la règle et au compas :
O
A
O
A
O
A
O
A
O
A

III. Bissectrice d'un angle
DÉFINITION 2 : la bissectrice d'un angle est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles adjacents
de même mesure.
Construction de la bissectrice d'un angle à la règle et au compas :

Caractérisation de la bissectrice :
THÉORÈME 2 :
 Si un point appartient à la bissectrice, alors il est équidistant des côtés de cet angle.
 De même, si un point est équidistant des côtés d'un angle, alors il appartient à la bissectrice de cet
angle.
IV. Cercle inscrit dans un triangle
DÉFINITION 3 : on dit qu'un cercle est inscrit dans un triangle si les trois côtés du triangle sont tangents au
cercle (à comparer avec la définition de la "tangente" partie II).

THÉORÈME 3 : les trois bissectrices d'un triangle sont concourantes. Le point de concours des bissectrices
est le centre du cercle inscrit dans le triangle.
Analogie cercle inscrit-cercle circonscrit : le centre du cercle circonscrit (ci-dessous)
est le point de concours des médiatrices, alors que le centre du cercle inscrit (ci-dessus) est le point
de concours des bissectrices.