Polycopié 4e : Chapitre 1 : Pour l`initiation à la démonstration :

L. GUADALUPI Chapitre 10 – Synthèse MTH4010 – Page S.1
CHAPITRE 10 – DISTANCE D’UN POINT À UNE DROITE. TANGENTE À UN CERCLE
EN UN POINT. BISSECTRICE. CERCLE INSCRIT DANS UN TRIANGLE.
I. DISTANCE D’UN POINT À UNE DROITE.
Dans ce paragraphe, on considère
un point A et une droite (d) .
Définition :
La distance d’un point A à une droite (d) est la plus petite distance entre le point A et un
point quelconque de (d).
Propriété n° 1 :
La distance d’un point A à une droite (d) est la longueur du segment [AH],
où H est le pied de la perpendiculaire à la droite (d) passant par le point A.
A
(d )
H
A
(d )
A M 1 > A H
A M 2 > A H
M 2
M 1
H
A
(d )

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Méthode pour M E SU R E R la distance d’un point à une droite :
ÉTAPE
SCHÉMA
On souhaite mesurer la distance du point A à la
droite (d) :
1. A l’aide de l’équerre, on trace la
perpendiculaire à la droite (d) passant par
le point A.
A l’intersection de la droite que l’on vient
de tracer et de la droite (d), on place le
point H.
2. A l’aide de la règle graduée, on mesure la
longueur AH.
Méthode pour D É T E R M I N E R la distance d’un point à une droite :
Sur un exemple :
On considère la figure suivante :
Déterminer la distance du point S à la droite (d).
On sait que le point K est le pied de la perpendiculaire à la droite (d) passant par le point S.
Donc la distance du point S à la droite (d) est la longueur SK, soit 3 cm.
S
I
J
K
L
(d)

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II. TANGENTE À UN CERCLE EN UN POINT.
Définition :
On dit qu’une droite (d ) est tangente à un cercle ( C ) si elle a un unique point commun avec ce
cercle. On dit aussi que le cercle est tangent à cette droite.
Exemple :
La droite (d ) passe par le point A et elle n’a aucun autre point
commun avec le cercle ( C ).
On dit que (d ) est tangente au cercle ( C ) en A.
Propriété n° 2 :
Si une droite (d ) est tangente en un point A à un cercle ( C ) de centre O, alors les droites (d ) et
(OA) sont perpendiculaires (en A).
Propriété n° 3 (réciproque de la propriété n° 2) :
Si une droite (d ) est perpendiculaire en A à une droite (OA), alors (d ) est tangente en A au cercle
( C ) de centre O passant par le point A.
(d )
O
( C )
A
(d )
O
( C )
I

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III. BISSECTRICE D’UN ANGLE.
Définition – Rappel :
La bissectrice d’un angle est la demi-droite qui le partage en deux angles adjacents de même
mesure.
Exemple :
Sur le schéma ci-dessous, [Ot) est la bissectrice de l’angle  xOy .
Propriété n° 4 :
Si un point est équidistant des deux côtés d’un angle, alors il appartient à la bissectrice de cet
angle.
Propriété n° 5 (réciproque de la propriété n° 4) :
Si un point appartient à la bissectrice d’un angle, alors il est équidistant des deux côtés de cet
angle.
O
x
y
t

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IV. CERCLE INSCRIT À UN TRIANGLE.
Définition :
On appelle bissectrice d’un triangle toute
bissectrice de l’un des angles de ce triangle.
Propriété – Définition :
Les trois bissectrices d’un triangle sont
concourantes en un point I qui est situé
à la même distance d des trois côtés de ce
triangle.
Le cercle de centre I et de rayon d est
appelé le cercle inscrit dans le triangle.
A
B
C
I
A
B
C