Distance, tangente, bissectrice A (d) H I) Distance d`un point à une

Distance, tangente, bissectrice
I) Distance d’un point à une droite
Voir activité : Distance d’un point à une droite à l’aide de géoplan
1) Définition
Soit A un point et (d) une droite
On appelle distance du point A à la droite (d), la plus petite distance entre le point A et un point M se trouvant
sur la droite (d).
2) Propriété - définition
Si H le pied de la perpendiculaire à (d) passant par A alors:
H est le point de (d) le plus proche de A
AH est appelé la distance du point A à la droite (d).
Démonstration :
Pour n'importe quel point M sur (d) on a d'après le théorème de Pythagore appliqué au triangle AHM rectangle
en H :
AM2 = AH2 + HM2
Donc AM2 AH2
Donc AM AH donc AH est la distance de A à (d)
II) Tangente à un cercle
1) Définition
La tangente (T) en H à un cercle de centre O est la droite passant par le point H et qui est perpendiculaire au
rayon [OH].
INSTRUMENPOCHE/ConstructionsdeBases/Divers1
2) Propriété - définition
Si (T) est la tangente au cercle en H alors (T) et le cercle ont un seul point commun : le point H, autrement dit si
(T) est la tangente au cercle en H alors H est le point de contact du cercle et de la tangente en H au cercle.
Démonstration :
O
H
(T)
A
(d)
H

Soit M un point du cercle, soit T la tangente en H au cercle alors on a OM = OH or si M était un point de la
droite on aurait que OM > OH (distance de O à la droite (T) ) donc la tangente en H au cercle n' a qu'un seul
point commun avec le cercle et ce point est H.
III) Bissectrices des angles d’un triangle
1) Définition
La bissectrice d’un angle est la demi-droite qui
partage l’angle en deux angles adjacents de même
mesure.
2) Propriétés et définition
Si un point appartient à la bissectrice d’un angle alors il est équidistant de deux côtés de cet angle.
Si un point est équidistant de deux côtés d’un angle alors il appartient à la bissectrice de cet angle.
Dans un triangle, les bissectrices des trois angles sont
concourantes. Leur point de concours est équidistant
des trois côtés du triangle.
Ce point de concours est le centre du cercle inscrit
dans le triangle.
x
O
y
R
T
A
I