tangente et périmètre constant d`un triangle

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Fiche 6
Ch 6 : tangente et périmètre constant d’un triangle
Enoncé : A et B sont deux points non diamétralement opposés d’un cercle C de centre O
La tangente en A au cercle C et la tangente en B au cercle C se coupent en R.
Le point M est un point libre sur le petit arc de cercle AB et distincts des points A et B.
On trace la tangente en M au cercle C ; elle coupe le segment [AR] en S et le segment [BR] en T.
On se pose alors la question suivante : que devient le périmètre du triangle RST lorsque l’on déplace le point M sur le petit arc de
cercle AB ( A et B exclus ) ?
I – Conjecture :
Créer un point O repéré dans le plan de coordonnées (0 ;0), puis le point A de coordonnées (1 ;4).
Créer le cercle C1 de centre O, passant par A
Créer le point B repéré sur le cercle (angle : -65° )
création des tangentes en A et B : créer les segments OA et OB, puis les droites perpendiculaires à OA en A ( D1) , puis à OB en B
(D2) .
Créer le point d’intersection de D1 et D2 : R
 Créer l’arc de cercle AB : origine : B extrémité : A, de nom : ar1, puis le point libre M sur ar1, avec pilotage au clavier.
tracer la tangente D3 en M à C1, puis S et T, points d’intersection de D3 respectivement avec D1 et D2.
Faire le calcul géométrique des longueurs SR, TR et ST, puis les faire afficher avec 3 chiffres après la virgule.
Faire le calcul algébrique : SR+TR + ST et le faire afficher.
Déplacer M. Que remarque-t-on ?
Que peut-on conjecturer pour le périmètre du triangle RST ?
S :5.934
T
S :7.973
R
T :9.356
R
T :23.263
OT
A
S
R
O
M
T
B
II – Démonstration :
1)
démontrer que : ST = AS + TB
a) En vous plaçant dans les triangles ARO et ROB, montrer que :
AR = RB
Astuce : en prenant r comme rayon, utiliser le théorème de Pythagore.
En déduire que : AS + SR = BT + TR
b) Appliquer le même raisonnement aux triangles ASO et OSM, puis aux triangles MOT et TBO.
En déduire que :
AS = SM
et
MT = TB.
c) Conclure sur : ST = AS + TB
2)
Démontrer que : SR + TR + ST = 2 AS
3)
Conclure .
4)
Comparer les triangles OAR et OBR ( mesures des côtés et des angles).
En déduire que (OR) est la bissectrice de l’angle AOB.
On en déduit la propriété suivante :
« Si un point M est équidistant des côtés d’un angle de sommet O, alors [OM) est la bissectrice de cet angle. »
Mme Bessaguet
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