Particules indiscernables

Mécanique Quantique
Gilles Montambaux
le 22 mars 2006
Petite Classe 7
Particules indiscernables
A - Particules identiques traversant une lame séparatrice
On considère une particule préparée à un instant initial ti dans un paquet d’ondes |ψ(ti )i =
|φ1 i arrivant sur une lame séparatrice 50%-50% (figure 1). A un instant ultérieur tf , le √
paquet
d’ondes a traversé la lame et l’état de la particule peut s’écrire |ψ(tf )i = (|φ3 i + |φ4 i) / 2, où
|φ3 i et |φ4 i désignent des paquets normalisés se propageant dans chacune des voies de sortie.
On a hφ3 |φ4 i = 0.
φ4(r)
φ1(r)
φ3(r)
Lame
φ2(r)
Figure 1: Un paquet d’ondes
incident |φ1 i ou |φ2 i traverse
une lame séparatrice 50%-50%
pour donner une superposition
cohérente de deux paquets d’ondes
émergents |φ3 i et |φ4 i.
1. Montrer que si |ψ(t)i et |ψ 0 (t)i sont deux solutions de l’équation de Schrödinger, alors
hψ(t)|ψ 0 (t)i est indépendant du temps.
2. On prépare la particule dans l’état |ψ 0 (ti )i = |φ2 i, symétrique de |φ1 i par rapport à la
lame et tel que hφ2 |φ1 i = 0. Écrire l’état |ψ 0 (tf )i de la particule à l’instant tf .
3. On prépare à l’instant ti deux fermions dans le même état de spin, l’un dans l’état |φ1 i,
l’autre dans l’état |φ2 i. Quels sont les états initial et final du système ? Peut-on détecter
les deux fermions dans la même voie de sortie ?
4. On reprend la question précédente avec deux bosons, également préparés dans le même
état de spin, l’un étant initialement dans l’état |φ1 i, l’autre dans l’état |φ2 i. Montrer que
les deux bosons sortent toujours dans la même voie.
B- Fermions en interaction dans une boı̂te
On considère deux particules de spin 1/2 interagissant par un potentiel V (x1 , x2 ) et confinés
dans une boı̂te unidimensionnelle de longueur L. L’hamiltonien s’écrit:
p̂21
p̂2
+ 1 + U (x̂1 ) + U (x̂2 ) + V (x̂1 , x̂2 )
2m 2m
où U (x) est le potentiel de confinement, U (x) = 0 si 0 < x < L, U (x) = ∞ autrement.
Ĥ =
1
1. Rappeler les états propres et les énergies propres lorsqu’une seule particule est présente
dans la boı̂te. On notera dans la suite |ai et |bi les deux états de plus basse énergie.
2. Les deux particules sont dans la boı̂te et on néglige d’abord leur interaction mutuelle.
Déterminer les trois niveaux d’énergie les plus bas. Écrire les états à deux particules permis par le principe de Pauli. On rappelle que le principe de Pauli implique
l’antisymétrisation des fonctions d’onde et que, comme l’hamiltonien est indépendant du
spin, celles-ci se mettent sous la forme d’un produit de fonctions d’onde d’espace et de
spin.
3. Le potentiel d’interaction est maintenant non nul mais on suppose qu’il est suffisamment
faible pour ne pas coupler les états associés à ces différentes énergies. On diagonalise donc
l’hamiltonien perturbé dans chacun des sous-espaces associés à ces différents niveaux.
Donner les niveaux d’énergie les plus bas en présence d’interaction.
On définit les élements de matrice
Ka
Kb
K
J
=
=
=
=
haa|V (x1 − x2 )|aai
hbb|V (x1 − x2 )|bbi
hab|V (x1 − x2 )|abi
hab|V (x1 − x2 )|bai
où on a définit l’état |abi par
|abi = |1 : a ; 2 : bi = |1 : ai ⊗ |2 : bi
J est appelée intégrale d’”échange”.
4. Montrer que la nature du premier état excité dépend du signe de l’interaction.
5. On considère le cas particulier d’une interaction ponctuelle V (x1 − x2 ) = gδ(x1 − x2 ).
Calculer Ka , Kb , K et J dans ce cas.
2