Particules indiscernables

M´ecanique Quantique le 22 mars 2006
Gilles Montambaux
Petite Classe 7
Particules indiscernables
A - Particules identiques traversant une lame s´eparatrice
On consid`ere une particule pr´epar´ee `a un instant initial tidans un paquet d’ondes |ψ(ti)i=
|φ1iarrivant sur une lame s´eparatrice 50%-50% (figure 1). A un instant ult´erieur tf, le paquet
d’ondes a travers´e la lame et l’´etat de la particule peut s’´ecrire |ψ(tf)i= (|φ3i+|φ4i)/√2, o`u
|φ3iet |φ4id´esignent des paquets normalis´es se propageant dans chacune des voies de sortie.
On a hφ3|φ4i= 0.
φ1(r)
φ2(r)
φ3(r)
φ4(r)
Lame
Figure 1: Un paquet d’ondes
incident |φ1iou |φ2itraverse
une lame s´eparatrice 50%-50%
pour donner une superposition
coh´erente de deux paquets d’ondes
´emergents |φ3iet |φ4i.
1. Montrer que si |ψ(t)iet |ψ0(t)isont deux solutions de l’´equation de Schr¨odinger, alors
hψ(t)|ψ0(t)iest ind´ependant du temps.
2. On pr´epare la particule dans l’´etat |ψ0(ti)i=|φ2i, sym´etrique de |φ1ipar rapport `a la
lame et tel que hφ2|φ1i= 0. ´ Ecrire l’´etat |ψ0(tf)ide la particule `a l’instant tf.
3. On pr´epare `a l’instant tideux fermions dans le mˆeme ´etat de spin, l’un dans l’´etat |φ1i,
l’autre dans l’´etat |φ2i. Quels sont les ´etats initial et final du syst`eme ? Peut-on d´etecter
les deux fermions dans la mˆeme voie de sortie ?
4. On reprend la question pr´ec´edente avec deux bosons, ´egalement pr´epar´es dans le mˆeme
´etat de spin, l’un ´etant initialement dans l’´etat |φ1i, l’autre dans l’´etat |φ2i. Montrer que
les deux bosons sortent toujours dans la mˆeme voie.
B- Fermions en interaction dans une boˆıte
On consid`ere deux particules de spin 1/2 interagissant par un potentiel V(x1, x2) et confin´es
dans une boˆıte unidimensionnelle de longueur L. L’hamiltonien s’´ecrit:
ˆ
H=ˆp2
1
2m+ˆp2
1
2m+U(ˆx1) + U(ˆx2) + V(ˆx1,ˆx2)
o`u U(x) est le potentiel de confinement, U(x) = 0 si 0 < x < L,U(x) = ∞autrement.
1

1. Rappeler les ´etats propres et les ´energies propres lorsqu’une seule particule est pr´esente
dans la boˆıte. On notera dans la suite |aiet |biles deux ´etats de plus basse ´energie.
2. Les deux particules sont dans la boˆıte et on n´eglige d’abord leur interaction mutuelle.
D´eterminer les trois niveaux d’´energie les plus bas. ´ Ecrire les ´etats `a deux partic-
ules permis par le principe de Pauli. On rappelle que le principe de Pauli implique
l’antisym´etrisation des fonctions d’onde et que, comme l’hamiltonien est ind´ependant du
spin, celles-ci se mettent sous la forme d’un produit de fonctions d’onde d’espace et de
spin.
3. Le potentiel d’interaction est maintenant non nul mais on suppose qu’il est suffisamment
faible pour ne pas coupler les ´etats associ´es `a ces diff´erentes ´energies. On diagonalise donc
l’hamiltonien perturb´e dans chacun des sous-espaces associ´es `a ces diff´erents niveaux.
Donner les niveaux d’´energie les plus bas en pr´esence d’interaction.
On d´efinit les ´elements de matrice
Ka=haa|V(x1−x2)|aai
Kb=hbb|V(x1−x2)|bbi
K=hab|V(x1−x2)|abi
J=hab|V(x1−x2)|bai
o`u on a d´efinit l’´etat |abipar
|abi=|1 : a; 2 : bi=|1 : ai⊗|2 : bi
Jest appel´ee int´egrale d’”´echange”.
4. Montrer que la nature du premier ´etat excit´e d´epend du signe de l’interaction.
5. On consid`ere le cas particulier d’une interaction ponctuelle V(x1−x2) = gδ(x1−x2).
Calculer Ka,Kb,Ket Jdans ce cas.
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