2 Atome soumis `a des collisions ´elastiques
I - Equations d’´evolution libre
On consid`ere un vapeur d’atomes `a deux niveaux, tous identiques, dont on note |ail’´etat fon-
damental et |bil’´etat excit´e. On d´ecrit cette assembl´ee d’atomes par sa matrice densit´e
ρ=ρbb ρba
ρab ρaa
A. On note H0le hamiltonien du syst`eme `a deux niveaux isol´e. En choisissant l’origine des
´energies `a la moyenne arithm´etique des ´energies des deux niveaux, et en notant ~ω0leur ´ecart
´energ´etique, ´ecrire explicitement la matrice repr´esentant H0dans la base (|bi;|ai).
B. Rappeler l’´equation d’´evolution de la matrice densit´e sous l’effet d’un hamiltonien H0.
C. En d´eduire les ´equations d’´evolution libre des ´el´ements ρaa,ρab,ρba et ρbb (autrement dit,
´ecrire la matrice correspondant `a ˙ρ).
D. On va maintenant tenir en compte de ce que le syst`eme, dans l’´etat excit´e, peut retomber `a
l’´etat fondamental sous l’effet de l’´emission spontan´ee, avec une probabilit´e par unit´e de temps Γ.
R´e´ecrire les ´equations d’´evolution libre des populations et des coh´erences en y ajoutant le terme
correspondant `a l’´emission spontan´ee. V´erifier que la trace de la matrice densit´e est conserv´ee.
Dans la vapeur, les atomes subissent des collisions. A temp´erature ambiante, l’´energie thermique
restant consid´erablement plus petite que ~ω0, ces collisions sont uniquement ´elastiques : chaque
atome a, apr`es une collision, la mˆeme ´energie interne moyenne qu’avant. La probabilit´e pour un
atome de subir une collision est un taux constant par unit´e de temps γ.
E. Donner num´eriquement un ordre de grandeur de l’´energie thermique `a temp´erature ambiante
et de ~ω0pour une transition atomique tombant dans le domaine optique visible ; calculer le
rapport de ces deux ´energies caract´eristiques.
F. Comment se traduit, sur les ´equations d’´evolution des populations, l’hypoth`ese que les colli-
sions sont ´elastiques ?
Par effet de d´ecalage transitoire des niveaux ´energ´etiques, les collisions d´ephasent les coh´erences,
tant et si bien que la probabilit´e par unit´e de temps γde subir une collision se traduit par une
probabilit´e identique γpar unit´e de temps que les coh´erences soient ramen´ees `a z´ero : au ˙ρab
calcul´e pr´ec´edemment s’ajoute un terme −γ˙ρab.
G. Ecrire les nouvelles ´equations d’´evolution compl`etes des coh´erences.
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