PHYS-H-200 Physique quantique et statistique Chapitre 5: équation

PHYS-H-200 Physique quantique et statistique
Chapitre 5: ´ equation de Schr¨ odinger ` a une dimension
Jean-Marc Sparenberg
Universit ´ e Libre de Bruxelles
2011-2012
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1´
Etats li´ es et ´ etats libres
2Particule dans une boite
3Oscillateur harmonique
4Barri `
ere de potentiel constante
5Effet tunnel
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´
Etats li´ es et ´ etats libres
Potentiels confinants et non confinants
´
Equation de Schr¨ odinger stationnaire (une particule, une dimension)
Hψ(x)=Eψ(x)⇐⇒ −~2
2m
d2
dx2+V(x)ψ(x)=Eψ(x)
V(x)=potentiel r´ eel. Solutions ψ(x)acceptables physiquement ?
Potentiel confinant :V(x)→
|x|→∞
+∞⇒double condition aux limites
I´
etats li´ es : solutions de carr´ e sommable, pour certaines valeurs de E
ψ(x)∼
|x|→∞ 0,Z+∞
−∞ |ψ(x)|2dx =1(spectre discret)
faible probabilit´ e de pr´ esence ` a grande distance ⇒particule li ´ ee
Potentiel non confinant :V(x)→
|x|→∞ V±(=0)
I´
etats li´ es pour certaines valeurs ´ eventuelles de E<0
ψ(x)∼
|x|→∞ exp −p−2mE/~2|x|,Z+∞
−∞ |ψ(x)|2dx =1
I´
etats libres : solutions born ´ ees, pour toute E>0(spectre continu)
ψ(x)∼
|x|→∞ exp ±ip2mE/~2x,|ψ(x)|<∞ ∀x
probabilit´ e de pr´ esence non nulle ` a grande distance ⇒particule libre
(cf ondes planes : nombre d’onde k=p2mE/~2, paquets d’ondes) 3 / 17

Particule dans une boite
1´
Etats li´ es et ´ etats libres
2Particule dans une boite
3Oscillateur harmonique
4Barri `
ere de potentiel constante
5Effet tunnel
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Particule dans une boite
Conditions aux limites ⇒quantification de l’´ energie
d2ψ(x)
dx2+2mE ~2ψ(x)=0,0≤x≤a
Conditions aux limites : V(0) =V(a)=∞ ⇒ ψ(0) =ψ(a)=0
E<0⇒solution math´ ematique g´ en´ erale (κ=p−2mE/~2)
ψ(x)=C+exp(κx)+C−exp(−κx)=C1sinh(κx)+C2cosh(κx)
Iψ(0) =0⇐⇒ C2=0
Iψ(a)=0⇐⇒ C1sinh(κa)=0⇐⇒ C1=0
⇒pas de solution physique acceptable ⇒pas d’´ etat li´ e(cf classique)
E>0⇒solution math´ ematique g´ en´ erale (k=p2mE/~2)
ψ(x)=C+exp(ikx)+C−exp(−ikx)=C1sin(kx)+C2cos(kx)
Iψ(0) =0⇐⇒ C2=0
Iψ(a)=0⇐⇒ C1sin(ka)=0⇐⇒ ka =nπ, n∈N0
⇒nombres d’onde acceptables :kn=nπ
a(cf corde vibrante : λ=2L n)
⇒´ energies quantifi´ ees (spectre quadratique) : En=n2~2π2
2ma2,n∈N0
Applications : nanotechnologies (points quantiques, diodes laser. . .)
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