Modèle mathématique. - Les math. avec H. Rorthais

3e - programme 2012 –mathématiques – ch.N5 – cahier élève Page 1 sur 5
H. Rorthais (Collège N.D. de l’Abbaye à Nantes) http://ndabbaye-nantes.loire-atlantique.e-lyco.fr/
Ch.N5 : Inégalités et inéquations
1 INÉGALITÉS ET ÉQUATIONS
1.1 Inégalités
DÉFINITIONS 1
Une inégalité permet de comparer deux nombres.
 π  5 signifie que π – 5 est négatif ou nul : π – 5  0
 π  2 signifie que π – 2 est positif ou nul : π – 2  0
 π < 5 signifie que π – 5 < 0
 π > 2 signifie que π – 2 > 0
RÈGLES
 On ne change pas le sens d'une inégalité en additionnant ou en soustrayant un même nombre à ses
deux membres.
 On ne change pas le sens d'une inégalité en multipliant ou en divisant ses deux membres par un même
nombre strictement positif.
 On change le sens d'une inégalité en multipliant ou en divisant ses deux membres par un même nombre
strictement négatif.
Exemple 1 :
Sachant que 3 est un nombre compris entre 1,7 et 1,8, encadre –2 3 – 7.
1,7 < 3 < 1,8
On établit l'inégalité encadrant 3.
–2  1,7 > –2 3 > –2  1,8
–3,4 > –2 3 > –3,6
On multiplie l'inégalité par − 2 qui est
négatif donc on change le sens de l'inégalité.
–3,6 < –2 3 < –3,4
Par convention, on écrit plutôt les signes « < » : il
suffit d'inverser les bornes de l'inégalité.
–3,6 – 7 < –2 3 – 7 < –3,4 – 7
–10,6 < –2 3 – 7 < –10,4
On ajoute –7 à l'inégalité ce qui ne change pas
son sens.
–2 3 – 7 est un nombre compris entre –10,6 et –10,4.
1.2 Inéquations ex. 1 et 2
DÉFINITIONS 2
Une inéquation est une inégalité comportant une ou des inconnues.
Une solution d'une inéquation est un nombre pour lequel l'inégalité est vraie.
Exemple 2 :
a) –2 est-il solution de l'inéquation 3x + 5 < –2x – 8 ?
b) –2,6 de 3x + 5 < –2x – 8 ?
a) On calcule séparément chaque membre de l'inégalité en remplaçant x par –2.
3  (–2) + 5 = –6 + 5 = –1
Le membre de gauche a pour valeur –1.
–2  (–2) – 8 = 4 – 8 = –4
Le membre de droite a pour valeur –4.
–1 > –4 donc –2 n'est pas solution de
l'inéquation 3x + 5 < –2x – 8.
On conclut après avoir comparé les deux
valeurs trouvées.
b) On calcule séparément chaque membre de l'inégalité en remplaçant x par –2,6.
3  (–2,6) + 5 = –2,8
–2  (–2,6) – 8 = –2,8
Les deux valeurs trouvées sont identiques mais
l'inégalité est stricte.
–2,6 n'est pas solution de l'inéquation 3x + 5 < –2x – 8.
Exercice du cours n°1 page 91
Parmi –2 ; 0 ; 1
2 et 3, lesquels sont solutions de l'inéquation 3x – 2
5x – 3 ?
x = –2
 3 × (–2) – 2 = –6 – 2 = –8
 5 × (–2) − 3 = –10 – 3 = –13
–8 > –13 –2
x = 0
 3 × 0 – 2 = 0 – 2 = –2
 5 × 0 – 3 = 0 – 3 = –3

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–2 > –3 0
x = 1
2
 3 × 1
2 – 2 = 1,5 – 2 = –0,5
 5 × 1
2 – 3 = 2,5 – 3 = –0,5
–0,5 –0,5 1
2
x = 3
 3 × 3 – 2 = 9 – 2 = 7
 5 × 3 – 3 = 15 – 3 = 12
7 12 3
Exercice du cours n°2 page 91
De quelles inéquations, parmi les suivantes, le nombre –2
3 est-il solution ?
a) 7x + 3 > 2x – 2
b) 2x – 5  x + 8
c) x – 9  –3x + 2
d) –2x + 3 < 9
7 × –2
3 + 3 = –14 3 + 9 3 = –5 3
2 × –2
3 – 2 = –4 3 – 6 3 = –10 3
–5
3 > –10 3–2 3 7x + 3 > 2x – 2
2 × –2
3 – 5 = –4 3 – 15 3 = –19 3
–2
3 + 8 = –2 3 + 24 3 = 22 3
–19
3
22
3–2 32x – 5
x + 8
–2
3 – 9 = –2 3 – 27 3 = –29 3
–3 × –2
3 + 2 = 6 3 + 2 = 2 + 2 = 4
–29
3
4 –2
3x – 9
–3x + 2
–2 × –2
3 + 3 = 4 3 + 9 3 = 13 3
13
3 < 9 –2 3–2x + 3 < 9
Exercice n°1 page 92
Reproduis et complète le tableau suivant.
Inégalités
En toutes lettres
a < 3a
a est un nombre strictement inférieur à 3.
b > –10
1  x
x est un nombre...
s  0,5
r est un nombre strictement positif.
a < 3a
a3
b > –10
b–10
1  x
x1

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s  0,5
s0,5
r > 0
r
Exercice n°2 page 92 Vocabulaire
Traduis par une inégalité les phrases suivantes.
a) Le nombre x est au moins égal à 12.
b) Le nombre x n'est pas plus grand que 6.
c) Le nombre x est au plus égal à 7.
d) Le nombre x est inférieur ou égal à 7.
x 12
x 6
x 7
x 7
Exercice n°9 page 92 Être ou ne pas être solution
a) Quelles sont, parmi les nombres –2 ; 0 et 2, des solutions de l'inéquation 5x –10 ?
b) Le nombre 3 est-il solution de l'inéquation x + 1 > 0 ? Et le nombre –1 ?
c) Le nombre –2 est-il solution de l'inéquation 2x 0 ? Et le nombre 0 ?
d) Le nombre 3 est-il solution de l'inéquation 2x + 1 0 ? Et le nombre –3 ?
x = –2 5 × (–2) = –10
–10 –10 –2 5x –10
x = 0 5 × 0 = 0
0 –10 0 5x –10
x = 2 5 × 2 = 10
10 –10 2 5x –10
x = 3 3 + 1 = 4
4 > 0 3 x + 1 > 0
x = –1–1 + 1= 0
0 > 0 –1x + 1 > 0
x = –2 2 × (–2) = –4
–4 0 –2 2x 0
x = 0 2 × 0 = 0
0 0 0 2x 0
x = 3 2 × 3 + 1 = 7
7 0 3 2x + 1 0
x = –3 2 × (–3) + 1 = –5
–5 0 –3 2x + 1 0
2 RÉSOUDRE UNE INÉQUATION
2.1 Méthode de résolution ex. 3
DÉFINITIONS 3
Résoudre une inéquation, c'est trouver tous les nombres qui vérifient l'inégalité.
Exemple 3 :
Résous l'inéquation suivante d'inconnue x : 7x – 3 > 2x – 1.
7x – 3 – 2x > 2x – 1 – 2x
On soustrait 2x à chaque membre.
5x – 3 > –1
On réduit.
5x – 3 + 3 > –1 + 3
On ajoute 3 à chaque membre.
5x > 2
On réduit.

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x > 2
5
On divise chaque membre par 5 qui est strictement positif, donc le
sens de l'inégalité ne change pas.
Les solutions sont les nombres strictement supérieurs à 2
5 .
Exemple 4 :
Résous l'inéquation suivante d'inconnue x : –3x – 8  x – 1.
–4x – 8  –1
On soustrait x à chaque membre.
–4x  7
On ajoute 8 à chaque membre.
x  –7
4
On divise chaque membre par –4 qui est strictement négatif, donc
on change le sens de l'inégalité.
Les solutions sont tous les nombres supérieurs ou égaux à –7
4 .
Exercice du cours n°3 page 91
Résous les inéquations d'inconnue x suivantes.
a) 7x + 3 > 2x – 2
b) 2x – 5  4x + 8
c) –5x – 9  –x + 2
d) –2x + 3 < –9
7x + 3 > 2x – 2
7x – 2x > –2 – 3
5x > –5
x > –5
5
x > –1
–1
2x – 5 4x + 8
2x – 4x 8 + 5
–2x 13
x –13
2
–13
2
–5x – 9 –x + 2
–5x + x 2 + 9
–4x 11
x –11
4
–11
4
–2x + 3 < –9
–2x < –9 – 3
–2x < –12
x > –12
–2
x > 6
6
Exercice n°17 page 93 Inéquations en vrac
Résous les inéquations suivantes, puis représente les solutions sur un axe en coloriant la partie qui convient.
a) x + 7 < 12
b) 5 + x  –9
c) t – 7 > 0
d) y + 1  1,5
e) 10 + x > –20
f) t – 51 < –30
x + 7 < 12
x + 7 – 7 < 12 – 7
x < 5
solutions
5
5 + x  –9
5 + x – 5  –9 – 5
y + 1  1,5
y + 1 – 1  1,5 – 1
y  0,5
solutions
0,5
10 + x > –20
10 + x – 10 > –20 –10

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x  –14
solutions
-14
t – 7 > 0
t – 7 + 7 > 0 + 7
t > 7
solutions
7
x > –30
solutions
-30
t – 51 < –30
t – 51 + 51 < –30 + 51
t < 21
solutions
21
2.2 Représenter les solutions d'une inéquation sur une droite graduée ex. 4 et 5
DÉFINITIONS 4
Dans la représentation des solutions sur une droite graduée :
 si un crochet est tourné vers les solutions, alors le nombre correspondant fait partie des solutions.
 si le crochet est tourné vers l'extérieur, alors le nombre correspondant ne fait pas partie des solutions.
Exemple 5 :
a) Sur une droite graduée, représente en rouge les nombres solutions de l'inéquation x > 3.
b) Sur une droite graduée, hachure les nombres qui ne sont pas solutions de l'inéquation x  –2.
a)
013
Le crochet n'est pas tourné vers les solutions car le nombre 3 n'est pas solution.
b)
01
− 2
Le crochet est tourné vers les solutions car le nombre –2 est une solution.
Exercice du cours n°4 page 91
Colorie en rouge la partie d'une droite graduée correspondant aux solutions de l'inéquation x –1.
x –1
0
−1
Exercice du cours n°5 page 91
Donne une inéquation dont les solutions correspondent à la partie qui n'est pas hachurée sur cette droite graduée.
0 1
x x > 2
2
x – 7 > –5