Modèle mathématique. - Les math. avec H. Rorthais

3e - programme 2012 –mathématiques – ch.N5 – cahier élève
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Ch.N5 : Inégalités et inéquations
1 INÉGALITÉS ET ÉQUATIONS
1.1 Inégalités
DÉFINITIONS 1
Une inégalité permet de comparer deux nombres.
 π  5 signifie que π – 5 est négatif ou nul : π – 5  0
 π  2 signifie que π – 2 est positif ou nul : π – 2  0
 π < 5 signifie que π – 5 < 0
 π > 2 signifie que π – 2 > 0
RÈGLES
 On ne change pas le sens d'une inégalité en additionnant ou en soustrayant un même nombre à ses
deux membres.
 On ne change pas le sens d'une inégalité en multipliant ou en divisant ses deux membres par un même
nombre strictement positif.
 On change le sens d'une inégalité en multipliant ou en divisant ses deux membres par un même nombre
strictement négatif.
Exemple 1 :
Sachant que 3 est un nombre compris entre 1,7 et 1,8, encadre –2 3 – 7.
1,7 < 3 < 1,8
On établit l'inégalité encadrant 3.
On multiplie l'inégalité par − 2 qui est
–2  1,7 > –2 3 > –2  1,8
négatif donc on change le sens de l'inégalité.
–3,4 > –2 3 > –3,6
–3,6 < –2 3 < –3,4
–3,6 – 7 < –2 3 – 7 < –3,4 – 7
–10,6 < –2 3 – 7 < –10,4
–2 3 – 7 est un nombre compris entre –10,6 et –10,4.
Par convention, on écrit plutôt les signes « < » : il
suffit d'inverser les bornes de l'inégalité.
On ajoute –7 à l'inégalité ce qui ne change pas
son sens.
1.2 Inéquations
ex. 1 et 2
DÉFINITIONS 2
Une inéquation est une inégalité comportant une ou des inconnues.
Une solution d'une inéquation est un nombre pour lequel l'inégalité est vraie.
Exemple 2 :
a) –2 est-il solution de l'inéquation 3x + 5 < –2x – 8 ?
b) –2,6 de 3x + 5 < –2x – 8 ?
a) On calcule séparément chaque membre de l'inégalité en remplaçant x par –2.
Le membre de gauche a pour valeur –1.
3  (–2) + 5 = –6 + 5 = –1
Le membre de droite a pour valeur –4.
–2  (–2) – 8 = 4 – 8 = –4
–1 > –4 donc –2 n'est pas solution de
On conclut après avoir comparé les deux
valeurs trouvées.
l'inéquation 3x + 5 < –2x – 8.
b) On calcule séparément chaque membre de l'inégalité en remplaçant x par –2,6.
Les deux valeurs trouvées sont identiques mais
3  (–2,6) + 5 = –2,8
l'inégalité est stricte.
–2  (–2,6) – 8 = –2,8
–2,6 n'est pas solution de l'inéquation 3x + 5 < –2x – 8.
Exercice du cours n°1 page 91
1
Parmi –2 ; 0 ; et 3, lesquels sont solutions de l'inéquation 3x – 2  5x – 3 ?
2
x = –2

3 × (–2) – 2 = –6 – 2 = –8

5 × (–2) − 3 = –10 – 3 = –13
–8 > –13
–2
x=0


3 × 0 – 2 = 0 – 2 = –2
5 × 0 – 3 = 0 – 3 = –3
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–2 > –3
x=
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0
1
2
1
3 × – 2 = 1,5 – 2 = –0,5
2
1
5 × – 3 = 2,5 – 3 = –0,5
2


1
2
–0,5  –0,5
x=3

3×3–2=9–2=7

5 × 3 – 3 = 15 – 3 = 12
7  12
3
Exercice du cours n°2 page 91
De quelles inéquations, parmi les suivantes, le nombre
b) 2x – 5  x + 8
a) 7x + 3 > 2x – 2
–5 –10
>
3
3
–2
–14 9 –5
7× +3=
+ =
3
3
3 3
–2
–4 6 –10
2× –2=
– =
3
3 3
3
–2
3
–2
est-il solution ?
3
c) x – 9  –3x + 2
d) –2x + 3 < 9
7x + 3 > 2x – 2
–2
–4 15 –19
–5=
–
=
3
3 3
3
–2
–2 24 22
+8= +
=
3
3
3
3
2×
–19 22

3
3
–2
3
2x – 5  x + 8
–2
–2 27 –29
–9= –
=
3
3
3
3
–2
6
–3 × + 2 = + 2 = 2 + 2 = 4
3
3
–29
4
3
–2
3
x – 9  –3x + 2
–2 ×
–2
4 9 13
+3= + =
3
3 3 3
13
–2
<9
3
3
Exercice n°1 page 92
–2x + 3 < 9
Reproduis et complète le tableau suivant.
Inégalités
En toutes lettres
a < 3a
a est un nombre strictement inférieur à 3.
b > –10
1x
s  0,5
x est un nombre...
r est un nombre strictement positif.
a
a < 3a
b > –10
1x
3
–10
b
x
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s  0,5
s
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0,5
r
r>0
Exercice n°2 page 92 Vocabulaire
Traduis par une inégalité les phrases suivantes.
a) Le nombre x est au moins égal à 12.
b) Le nombre x n'est pas plus grand que 6.
c) Le nombre x est au plus égal à 7.
d) Le nombre x est inférieur ou égal à 7.
x  12
x6
x7
x7
Exercice n°9 page 92 Être ou ne pas être solution
a) Quelles sont, parmi les nombres –2 ; 0 et 2, des solutions de l'inéquation 5x  –10 ?
b) Le nombre 3 est-il solution de l'inéquation x + 1 > 0 ? Et le nombre –1 ?
c) Le nombre –2 est-il solution de l'inéquation 2x  0 ? Et le nombre 0 ?
d) Le nombre 3 est-il solution de l'inéquation 2x + 1  0 ? Et le nombre –3 ?
x = –2 5 × (–2) = –10
–10  –10
x=0
5×0=0
0  –10
x=2
5x  –10
–2
5x  –10
0
5 × 2 = 10
10  –10
5x  –10
2
x=3 3+1=4
4>0
x = –1
3
–1 + 1= 0
–1
0>0
x = –2
–2
2x  0
0
2×3+1=7
70
x = –3
2x  0
2×0=0
00
x=3
x+1>0
2 × (–2) = –4
–4  0
x=0
x+1>0
3
2x + 1  0
2 × (–3) + 1 = –5
–5  0
–3
2x + 1  0
2 RÉSOUDRE UNE INÉQUATION
2.1 Méthode de résolution
ex. 3
DÉFINITIONS 3
Résoudre une inéquation, c'est trouver tous les nombres qui vérifient l'inégalité.
Exemple 3 :
Résous l'inéquation suivante d'inconnue x : 7x – 3 > 2x – 1.
7x – 3 – 2x > 2x – 1 – 2x
On soustrait 2x à chaque membre.
5x – 3 > –1
On réduit.
5x – 3 + 3 > –1 + 3
On ajoute 3 à chaque membre.
5x > 2
On réduit.
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2
x>
5
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On divise chaque membre par 5 qui est strictement positif, donc le
sens de l'inégalité ne change pas.
Les solutions sont les nombres strictement supérieurs à
2
.
5
Exemple 4 :
Résous l'inéquation suivante d'inconnue x : –3x – 8  x – 1.
–4x – 8  –1
On soustrait x à chaque membre.
–4x  7
On ajoute 8 à chaque membre.
–7
On divise chaque membre par –4 qui est strictement négatif, donc
x
on change le sens de l'inégalité.
4
Les solutions sont tous les nombres supérieurs ou égaux à
–7
.
4
Exercice du cours n°3 page 91
Résous les inéquations d'inconnue x suivantes.
a) 7x + 3 > 2x – 2
b) 2x – 5  4x + 8
c) –5x – 9  –x + 2
d) –2x + 3 < –9
7x + 3 > 2x – 2
7x – 2x > –2 – 3
5x > –5
–5
x>
5
x > –1
–1
2x – 5  4x + 8
2x – 4x  8 + 5
–2x  13
–13
x
2
–13
2
–5x – 9  –x + 2
–5x + x  2 + 9
–4x  11
–11
x
4
–11
4
–2x + 3 < –9
–2x < –9 – 3
–2x < –12
–12
x>
–2
x>6
6
Exercice n°17 page 93 Inéquations en vrac
Résous les inéquations suivantes, puis représente les solutions sur un axe en coloriant la partie qui convient.
a) x + 7 < 12
b) 5 + x  –9
c) t – 7 > 0
d) y + 1  1,5
e) 10 + x > –20
f) t – 51 < –30
x + 7 < 12
x + 7 – 7 < 12 – 7
x<5
5
solut ions
5 + x  –9
5 + x – 5  –9 – 5
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y + 1  1,5
y + 1 – 1  1,5 – 1
y  0,5
0,5
solutions
10 + x > –20
10 + x – 10 > –20 –10
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x  –14
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x > –30
-14
-30
solut ions
solut ions
t–7>0
t–7+7>0+7
t – 51 < –30
t – 51 + 51 < –30 + 51
t>7
t < 21
7
21
solut ions
solut ions
2.2 Représenter les solutions d'une inéquation sur une droite graduée
ex. 4 et 5
DÉFINITIONS 4
Dans la représentation des solutions sur une droite graduée :
 si un crochet est tourné vers les solutions, alors le nombre correspondant fait partie des solutions.
 si le crochet est tourné vers l'extérieur, alors le nombre correspondant ne fait pas partie des solutions.
Exemple 5 :
a) Sur une droite graduée, représente en rouge les nombres solutions de l'inéquation x > 3.
b) Sur une droite graduée, hachure les nombres qui ne sont pas solutions de l'inéquation x  –2.
3
0
1
a)
Le crochet n'est pas tourné vers les solutions car le nombre 3 n'est pas solution.
−2
b)
0
1
Le crochet est tourné vers les solutions car le nombre –2 est une solution.
Exercice du cours n°4 page 91
Colorie en rouge la partie d'une droite graduée correspondant aux solutions de l'inéquation x  –1.
x  –1
−1
0
Exercice du cours n°5 page 91
Donne une inéquation dont les solutions correspondent à la partie qui n'est pas hachurée sur cette droite graduée.
0
1
x
x>2
2
x – 7 > –5
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