Résultat Soit ∑ ak une série à termes réels ou complexes

Séries
Séries de puissances
Critère de la racine
Critère des séries alternées
Résultat
P
Soit ap
k une série à termes réels ou complexes. Supposons que la limite
limk→∞ k |ak | existe et vaut L, éventuellement L = +∞. Alors
si L < 1, la série converge absolument ;
si L > 1, la série diverge ;
(si L = 1, le test ne conclut pas).
Démonstration.
Si L > 1, alors |ak | > 1 à partir d’un certain rang, et donc ne peut pas
tendre vers 0, ce qui implique la divergence de la série.
k
Si L < 1, alors pour t = L+1
2 , on a |ak | < t à partir d’un certain rang. Le
critère de comparaison avec la série géométrique s’applique alors puisque
P
P
t < 1 : k t k converge, donc k ak converge également.
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Séries de puissances
Critère de la racine
Critère des séries alternées
Définition
P
Une série alternée est une série j cj telle que cj+1 et cj ont des signes
distincts (l’un négatif, l’autre positif) pour tout j (à partir d’un certain
rang.)
Exemple
Les séries suivantes sont des séries alternées :
X
X (−1)k X (−1)k X
(−1)k ,
,
,
(−k)k
2
k
k
k
k
k
k
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Critère de la racine
Critère des séries alternées
Résultat
P
Si j cj est une série alternée telle que la suite (|cj |)
est décroissante (à partir d’un certain rang), et
tend vers 0
alors la série converge.
Exemple
La série harmonique alternée
pas absolument).
P (−1)k
k
k
est convergente (mais ne converge
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Critère de la racine
Critère des séries alternées
La preuve est omise, mais un petit dessin suffira à nous convaincre :
sj
j
abcisses : les valeurs de k,
ordonnées : les valeurs de sk , la k-ième somme partielle.
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Séries de puissances
Le rayon de convergence
Théorème de dérivation d’une série de puissances
Rappelons que le polynôme (ou développement) de Taylor d’ordre n d’une
fonction f autour d’un point a prend la forme suivante :
n
X
(x − a)k
Tf ,a,n (x ) =
f k (a)
k!
k=0
(x − a)2
(x − a)n
+ · · · + f n (a)
.
2
n!
Cette formule fait penser à une somme partielle d’une série.
= f (a) + f 0 (a)(x − a) + f 00 (a)
Définition
Si f : A ⊂ R → R est de classe C∞ , et a est intérieur à A, alors la série de
Taylor de f en a est la série :
∞
X
(x − a)k
.
f k (a)
k!
k=0
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Le rayon de convergence
Théorème de dérivation d’une série de puissances
Exemple
Voici quelques exemples de séries de Taylor en a = 0 :
∞
X
1
1 + x + x2 + x3 + · · ·
xk
1−x
k=0
exp x
1+x +
x2 x3 x4
+
+
+ ···
2
3!
4!
∞
X
xk
k=0
∞
X
k!
cos(x )
1−
x2 x4
+
− ···
2
4!
(−1)k 2k
x
(2k)!
k=0
sin(x )
x−
x3 x5
+
− ···
3!
5!
∞
X
ln(1 + y )
y2 y3 y4
y−
+
−
+ ···
2
3
4
(−1)k 2k+1
x
(2k + 1)!
k=0
∞
X
(−1)k+1
k=1
yk
k
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Le rayon de convergence
Théorème de dérivation d’une série de puissances
Définition
Une série de puissances est une série ayant la forme suivante :
∞
X
ck (z − z0 )k
k=0
où
z0 est une constante donnée appelée le centre de la série ;
pour tout k, ck est un nombre (réel ou complexe) donné ;
z est un paramètre (réel ou complexe) en fonction duquel la série
peut converger ou diverger.
Exemple
La série de Taylor d’une fonction en un point a est une série de puissance
k0
centrée en a dont les coefficients sont ck = f k!(a) .
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Séries de puissances
Le rayon de convergence
Théorème de dérivation d’une série de puissances
Exemple
Considérons la série de Taylor de l’exponentielle :
∞ j
X
z
.
j!
j=0
Ici, z0 = 0 et cj =
limite :
1
j! .
Appliquons le critère du quotient, et calculons la
j+1 z
(j+1)! z = 0.
L = lim z j = lim j→∞ j→∞ j + 1 j!
Nous en déduisons que cette série de puissance converge toujours puisque
0 < 1, et ce quel que soit z.
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Séries de puissances
Le rayon de convergence
Théorème de dérivation d’une série de puissances
Exemple
Considérons la série de Taylor de
1
1−z
:
1 + z + z2 + z3 + · · · =
∞
X
zk.
k=0
Faisons mine de n’avoir pas déjà vu cette série... et appliquons le critère
du quotient :
z k+1 L = lim k = |z|
k→∞ z
Nous en déduisons :
si |z| < 1, la série converge absolument, mais
si |z| > 1 alors la série diverge.
Ce nombre 1 est appelé le rayon de convergence de la série.
Que dire lorsque |z| = 1 ? Le critère du quotient ne nous aide pas !
Cependant, dans cet exemple, nous savons que la série géométrique
diverge lorsque |z| = 1 (pourquoi ?).
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Séries de puissances
Le rayon de convergence
Théorème de dérivation d’une série de puissances
Exemple
Considérons la série de Taylor de ln(1 + z) :
∞
X
zk
z2 z3 z4
(−1)k+1
z−
+
−
+ ··· =
k
2
3
4
k=1
Le critère du quotient nous apprend que
si |z| < 1, la série converge absolument, mais
si |z| > 1 alors la série diverge.
Le rayon de convergence est 1.
Que dire lorsque |z| = 1 ?Nous savons déjà que pour z = 1, la série
ci-dessus est harmonique alternée.Si z = −1, il s’agit de la série
harmonique.
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Le rayon de convergence
Théorème de dérivation d’une série de puissances
Théorème
Considérons la série de puissance
∞
X
ck (z − z0 )k .
k=0
Il y a deux possibilités :
Soit il existe un réel R ≥ 0, appelé rayon de convergence, tel que
pour tout z tel que |z − z0 | < R, la série converge absolument, et
pour tout z tel que |z − z0 | > R, la série diverge.
(Le théorème ne dit rien lorsque |z − z0 | = R.)
Soit la série converge absolument pour tout z ∈ C.Dans ce cas, on
note en général R = +∞, et on dit que le rayon de convergence est
infini.
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Le rayon de convergence
Théorème de dérivation d’une série de puissances
Résultat
Dans le contexte du théorème précédent,
q si la limite
lim
j→∞
j
|cj |
existe et vaut α (éventuellement α = +∞), alors le rayon de convergence
vaut
1
R=
ou R = +∞ si α = 0
α
D’autre part, si la limite
c
j+1 lim j→∞ cj existe, alors elle est égale à α.
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Séries de puissances
Le rayon de convergence
Théorème de dérivation d’une série de puissances
Remarque
Lorsque z = z0 , la série converge toujours absolument puisque la somme
se résume alors au terme en j = 0, tous les autres s’annulent. En
particulier, si R = 0, la série converge uniquement pour z = z0 . C’est un
cas très défavorable.
A l’opposé, le cas R = +∞ est le cas favorable où la série converge pour
toute valeur de z.
Remarque
Lorsque R > 0 (ou R = +∞), une série de puissance définit donc une
fonction dont le domaine contient le disque ouvert de rayon R centré en z0 .
Cette fonction a ses valeurs dans C en général : à chaque point z du
domaine, on associe la somme de la série correspondant à cette valeur de
z.
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Séries de puissances
Le rayon de convergence
Théorème de dérivation d’une série de puissances
Considérons la série suivante de rayon de convergence R :
∞
X
ck (x − x0 )k .
k=0
Supposons, dans cette section, que x0 et ck sont des réels pour tout k.
Dans cette situation, pour toute valeur réelle de x vérifiant |x − x0 | < R,
la série converge vers un nombre réel. Notons g(x ) ce nombre.
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Le rayon de convergence
Théorème de dérivation d’une série de puissances
La série de puissance définit donc une fonction
g : ]x0 − R, x0 + R[ → R : x 7→
∞
X
ck (x − x0 )k .
k=0
Théorème
Si R est le rayon de convergence de la série
∞
X
ck (x − x0 )k
k=0
alors le rayon de convergence de la série dérivée :
∞
X
kck (x − x0 )k−1
k=0
est R également. De plus, en notant g(x ) la somme de la première série et
h(x ) la somme de la seconde série, nous avons :
g 0 (x ) = h(x )
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Le rayon de convergence
Théorème de dérivation d’une série de puissances
Remarque
Le résulat ci-dessus indique donc que l’on peut dériver une série de
puissances terme à terme (comme si c’était une somme finie).
Exemple
Considérons la série
∞
X
xj
j=1
j
.
dont le rayon de convergence vaut 1, et notons g(x ) sa valeur. Dans
l’intervalle ]−1, 1[, nous en déduisons que
g 0 (x ) =
∞
X
x j−1 = 1 + x + x 2 + · · ·
j=1
ce qui est une série géométrique, dont on connait la somme :
1
g 0 (x ) =
1−x
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Théorème de dérivation d’une série de puissances
Exemple
Nous en déduisons que
g(x ) = − ln(1 − x ) + C
pour une certaine constante C . Or g(0) = 0 (il suffit de remplacer x par 0
dans la série de g : tous les termes s’annulent), donc C = 0. Dès lors
∞
X
xj
= − ln(1 − x ).
j
j=1
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