cours - ambition

LFA$/$première$S$COURS$Gestion$de$données$Mme$MAINGUY$
1
Ch.6ÊPROBABILITÉS _ partie 1
1ere$S$
I. !"##$%&'
(')'*+,'-$'#.+/"/,%,01'
définition(
On#appelle#expérience(aléatoire#toute#expérience#ayant#plusieurs#issues#(ou#éventualités)#possibles#et#dont#on#ne#peut#
prévoir#à#l'avance#laquelle#de#ces#issues#sera#réalisée.#
Ces#issues#sont#notées#
e
1;e2;e3;…;en
.#Leur#ensemble#est#noté#
Ω
,#appelé#univers.#
On#a#donc#
Ω=e
1;e2;e3;…;en
{ }
.#
Exemple#
On#lance#un#dé#à#six#faces##:###l'univers#est#:##
{ }
1; 2;3; 4;5;6Ω=
#
définitions(
"#Chaque#éventualité#
i
e
#est#affectée#d'une#probabilité,#c'est-à-dire#d'un#nombre#pondéré#noté#
i
p
#tel#que#:##
# #
01
i
p≤≤
#et#
p1+p2+…+pn=1
#
"#On#appelle#loi(de(probabilité#la#donnée#des#
i
p
#vérifiant#ces#conditions.#
"#Si#tous#les#événements#élémentaires#ont#la#même#probabilité,#on#dit#qu'ils#sont#équiprobables,#ou#que#la#loi#de#
probabilité#
p
#est#équiprobable#(ou#équirépartie).#
Exemple(1#
On#lance#un#dé#à#6#faces#bien#équilibré.#Chaque#face#ayant#le#même#nombre#de#chances#de#sortir,#chaque#éventualité#a#une#
probabilité#de#
1
6
.#La#loi#de#probabilité#est#donc#:##
#
#
Remarque(:#
De#manière#générale,#si#une#expérience#aléatoire#est#équiprobable#et#comporte#
n
#issues#différentes,#chacune#des#issues#a#
une#probabilité#de#
1
n
#
Exemple(2#
Une#urne#contient#10#boules#indiscernables#au#toucher#:#3#noires,#2#blanches,#5#rouges.#
On#tire#une#boule#au#hasard#dans#l'urne.##L'univers#est#:##
{ }
;;noire blanche rougeΩ=
.#
L'univers#
Ω
#est#muni#de#la#loi#de#probabilité#donnée#par#le#tableau#suivant:##
#
#
#
#
2')'3+4"/5%",.$'-$&'1617$8$70&'
définitions(
"#Un#événement#
A
#est#une#partie#de#
Ω
.#On#écrit#
A⊂Ω
.#Si#
e
#est#un#élément#de#
A
,#on#dit#que#l'issue(
e
(réalise((
(l'événement(
A
.#
"#
∅
#est#l'événement#impossible.#
"#
Ω
#est#l'événement#certain.#
i
e
#
1
#
2
#
3
#
4
#
5
#
6
#
i
p
#
1
6
#
1
6
#
1
6
#
1
6
#
1
6
#
1
6
#
i
e
#
noire
#
blanche
#
rouge
#
i
p
#
0, 3
#
0, 2
#
0, 5
#

LFA$/$première$S$COURS$Gestion$de$données$Mme$MAINGUY$
2
Exemple#
On#lance#un#dé#à#6#faces#bien#équilibré.#On#note#:##
A
#l'événement##"#obtenir#un#nombre#pair#"#:#
{ }
2;4;6A=
#
B
#l'événement##"#obtenir#un#nombre#inférieur#ou#égal#à#2#"#:#
{ }
1; 2B=
#
C
#l'événement##"#obtenir#7#"#:#
{ }
7C=
#
D
#l'événement##"#obtenir#un#nombre#négatif#"#:#
D=∅
,#événement#impossible#
E
#l'événement##"#obtenir#un#nombre#inférieur#ou#égal#à#6#"#:#
{ }
1; 2;3; 4; 5; 6E==Ω
,#événement#certain.#
#
définitions(Soient#
A
#et#
B
#deux#événements#d'un#univers#
Ω
.#
"#L'événement#
A∩B
#est#l'événement#"
A
#et#
B
#"#:#il#est#réalisé#si#
A
#et#
B
#sont#réalisés#tous#les#deux.une#partie#de##
"#L'événement#
ABU
#est#l'événement#"
A
#ou#
B
#"#:#il#est#réalisé#si#l'un#au#mois#des#deux#événements#est#réalisé.#
"#L'événement#
A
#est#l'événement#contraire#de#
A
#ou#"non#
A
".#
"#Deux#événements#
A
#et#
B
#sont#incompatibles#s'ils#ne#peuvent#se#réaliser#en#même#temps,#c'est-à-dire#si##
#
AB=∅I
#
Exemple#
On#considère#un#jeu#de#32#cartes.#L'espérience#aléatoire#consiste#à#tirer#une#carte#au#hasard.#
L'univers#
Ω
#est#l'ensemble#des#32#cartes#du#jeu.#
On#considère#les#événements#
A
#:#"#la#carte#tirée#est#un#cœur#"#et#
B
#"#la#carte#tirée#est#un#roi#".#
ABU
#événement#:#"#la#carte#tirée#est#un#cœur#ou#un#roi#"#
A∩B=
{
roi#de#cœur
}
#
A
#:#événement#"#la#carte#tirée#est#un#pique,#ou#trèfle#ou#carreau#
A∩B
#:#événement#"la#carte#tirée#est#n'importe#quelle#carte#du#jeu#à#l'exception#du#roi#de#cœur#"#
#
9')':.+/"/,%,01'-;57'1617$8$70'
définition(
Si#
Ω
#est#un#univers#de#probabilités#muni#d'une#loi#
p
,#alors#la#probabilité#d'un#événement#
A
#est#la#somme#des#
probabilités#des#issues#qui#réalisent#
A
.#
Remarques(:#
●#
( )
1pΩ=
#;#
( )
0p∅=
#
●#Dans#le#cas#de#l'équiprobabilité,#si#l'univers#
Ω
#comporte#
n
#issues,#on#a#:##
#
1
i
pn =
# # et#
( )
nombre d elements de A nombre de cas favorables
pA nombre d elements de nombre de cas possibles
′
==
′Ω
#
#
propriété(Si#
A
#et#
B
#sont#deux#événements#:(
"#
p A∪B
( )
=p A
( )
+p B
( )
−p A∩B
( )
#Cas#particulier#:#si#
A
#et#
B
#sont#incompatibles#alors#:#
# #
( ) ( ) ( )
pA B pA pB=+U
#
"#
( )
( )
1pA pA=−
#
Exemple#
Dans#une#urne,#on#place#
35
#éléphants#(si,#si#!)#.#
28
#sont#des#éléphants#d'Afrique#(les#autres#sont#des#éléphants#d'Asie),#
18
#
sont#des#femelles#dont#
15
#sont#des#éléphantes#d'Afrique.#
On#prend#un#éléphant#au#hasard.#Quelle#est#la#probabilité#pour#que#l'éléphant#choisi#soit#d'Afrique#ou#une#femelle#?#
#
II. Modèles(de(référence(:'<'%;",-$'-;$=$8#%$&'
(')'>,"?."88$&'
Exemple#
Dans#un#groupe#de#20#personnes,#10#font#du#surf,#8#de#la#pêche,#et#3#pratiquent#les#deux.#On#choisit#au#hasard#une#
personne#du#groupe.#
(')' Calculer#la#probabilité#qu'elle#s'intéresse#à#la#pêche#ou#au#surf.#
2')' Calculer#la#probabilité#qu'elle#ne#s'intéresse#ni#à#la#pêche,#ni#au#surf.#

LFA$/$première$S$COURS$Gestion$de$données$Mme$MAINGUY$
3
2')'@"/%$"5'
Exemple#
Un#institut#de#sondage#a#interrogé#800#personnes#qui#résident#soit#en#zone#urbaine#
U
,#soit#en#zone#rurale#
R
.#Ce#sondage#a#
eu#lieu#soit#par#téléphone#
T
#soit#par#entretien#
E
.#On#donne#:#
●#320#personnes#ont#été#interrogées#au#cours#d'un#entretien.#Parmi#elles,#50#vivent#en#zone#rurale.#
●#320#personnes#ont#été#interrogées#pa#rtéléphoen#et#vivent#en#zone#urbaine#
(')' Réunir#les#informations#sous#forme#de#tableau#à#compléter.#
On#choisit#une#personne#au#hasard#:#
2')' Calculer#la#probabilité#des#événements#
U
#et#
E
.#
9')' Calculer#la#probabilité#qu'une#personne#habite#en#zone#urbaine#sachant#qu'elle#a#été#sondée#par#entretien.#
9')'A./.$'-$'#.+/"/,%,01'
Règles(
Un#arbre#de#probabilité#respecte#trois#règles#:#
"#la#somme#des#probabilités#partant#d'une#même#racine#est#toujours#égale#à#
1
#;#
"#la#probabilité#d'un#chemine#est#égale#au#produit#des#probabilités#rencontrées#sur#ce#chemin#;#
"#la#probabilité#d'un#événement#est#a#somme#des#probabilités#des#chemins#qui#réalisent#cet#événement.#
Exemple(1#
Un#magasin#de#matériels#informatiques#propose#deux#types#d'ordinateurs#:#des#ordinateurs#de#bureau#et#des#ordinateurs#
portables.#
Une#enquête#sur#le#type#des#ordinateurs#achetés#permet#d'affirmer#que,#dans#ce#magasin#:#
●#75%#des#acheteurs#d'ordinateurs#sont#des#étudiants#;#
●#60%#des#acheteurs#étudiants#choisissent#un#ordinateur#portable#,#
●#30%#des#acheteurs#non#étudiants#choisissent#un#ordinateur#portable.#
On#interroge#au#hasard#une#personne#ayant#acheté#un#ordinateur#dans#ce#magasin.#
On#note#
E
#l'événement#"la#personne#interrogée#est#un#étudiant"#et#
E
#son#contraire.#
On#note#
A
#l'événement#"la#personne#interrogée#a#choisi#un#ordinateur#portable"#et#
A
#son#contraire.#
(')' Construire#un#arbre#pondéré.#
2')' a)#Calculer#
p E ∩A
( )
#et#
p E ∩A
( )
.#
b)#En#déduire#
( )
pA
.#
9')' Déterminer#la#probabilité#pour#que#la#personne#interrogé#ait#choisi#un#ordinateur#de#bureau.#
#
Exemple(2#
Un#grand#magasin#propose#un#jeu#permettant#de#gagner#un#bon#d'achat#de#15€.#Il#s'agit#de#:##
●#lancer#un#dé#à#6#faces,#parfaitement#équilibré,#dont#1#face#est#jaune,#2#faces#sont#bleues#et#3#faces#sont#rouges#;#
###puis#:#
●#faire#tourner#une#roue#divisée#en#3#secteurs#:#un#secteur#jaune#de#150°,#un#bleu#de#100°#et#le#secteur#restant#rouge.#
Le#joueur#gagne#lorsque#les#deux#couleurs#obtenues#sont#identiques.#
(')' Soit#
1
J
#,#
1
B
#et#
1
R
#les#événements#:#"obtenir#jaune#avec#le#dé"#,#"obtenir#bleu#avec#le#dé"#,#"obtenir#rouge#avec#le#dé".#
Calculer#les#probabilités#des#événements#
1
J
#,#
1
B
#et#
1
R
.#
2')' Soit#
2
J
#,#
2
B
#et#
2
R
#les#événements#:#"obtenir#jaune#avec#la#roue"#,#"obtenir#bleu#avec#la#roue"#,#"obtenir#rouge#avec#
la#roue".#Calculer#les#probabilités#des#événements#
2
J
#,#
2
B
#et#
2
R
.#
9')' Représenter#la#situation#à#l'aide#d'un#arbre#pondéré#et#calculer#la#probabilité#d'obtenir#deux#fois#la#couleur#jaune,#
puis#calculer#la#probabilité#deux#fois#bleu,#et#enfin#d'obtenir#deux#fois#rouge.#
B')' Soit#
G
#l'événement#"le#joueur#gagne#un#bon#d'achat".#Déduire#de#la#question#précédente#
( )
pG
.#
#
#
#
#

LFA$/$première$S$COURS$Gestion$de$données$Mme$MAINGUY$
4
#
III. *"'0C1+.,$'D'6".,"/%$'"%1"0+,.$'
(')'E70.+-540,+7'
On#se#souvient#que#l'univers#probabilisable,#souvent#noté#
Ω
,#est#constitué#de#toutes#les#issues#d'une#exparience#aléaoire.#
Le#terme#discrte#traduit#le#fait#que#l'on#peut#dénombrer#chacune#des#issues#(on#peut#leur#donner#une#valeur#précise).#nous#
étudierons#en#terminale#S#des#lois#de#probabilité#continues;#on#ne#pourra#pas#donner#une#valeur#à#chacune#des#issues#(par#
exemple,#on#ne#peut#pas#compter#tous#les#nombres#réels#compris#entre#2#et#3).#
Exemple#
Un#joueur#lance#
2
#fois#une#pièce#équilibrée.#Il#gagne#
2
€#par#"PILE"#obtenu#et#perd#
1
€#par#"FACE"#obtenu.#On#modélise#
l'expérience#par#la#loi#équirépartie#
p
#sur#
( ) ( ) ( ) ( )
{ }
;;;;;;;FF PP FP PFΩ=
.#
Le#gain#algébrique#du#joueur#est#une#variable#aléatoire#
X
#sur#
Ω
.#
Elle#associe#aux#issues#
( ) ( ) ( ) ( )
;;;;;;;FF FP PF PP
,#les#valeurs#respectives#
2;1;1;4−
.#
#On#a#alors#:#####
( ) ( )
{ }
( )
1
2;
4
pX p FF=−= =
#
#
( ) ( )
{ }
( )
( )
{ }
( )
1
1; ;
2
pX p FP p PF=−= + =
#
#
( ) ( )
{ }
( )
1
4;
4
pX p PP== =
#
définition(
Soit#
Ω
#est#l'univers#associé#à#une#expérience#aléatoire#
E
#et#
p
#une#loi#de#probabilité#sur#
Ω
.#
On#définit#une#variable#aléatoire#en#associant#à#chaque#issue#
e
#un#nombre#réel#
x
.#
X
#est#une#application#de#
Ω
#dans#
°
.#
XΩ
( )
=x1;x2;…;xn
{ }
#est#alors#l'image#de#
Ω
.#
Si#
x1;x2;…;xn
{ }
#est#alors#l'ensemble#des#valeurs#prises#par#la#variable#aléatoire#
X
#sur#l'univers#
Ω
#alors#pour#tout#
i
#
variant#de#
1
#à#
n
#:#
●#l'événement#"
i
Xprendlavaleurx
"#est#noté#:#"
i
Xx=
"#
●#la#probabilité#de#l'événement#"
i
Xx=
"#est#
( )
i
pX x=
.#
Remarque#
si#
x∉Ω
#alors#
( )
Xx==∅
#et#donc#
( )
0pX x==
.#
#
Point(Méthode#
Définir#la#loi#de#probabilité#d'une#expérience#aléatoire#revient#donc#à#:#
##Ê#déterminer#toutes#les#valeurs#possibles#
x1;x2;…;xn
#prises#par#
X
#;#
##Ê#déterminer#les#probabilités#
p1;p2;…;pn
#des#événements#correspondants#;#
##Ê#regrouper#les#résultats#dans#un#tableau#du#type#:#
#
#
#
#
Ne#pas#oublier#de#vérifier#que#
p1+p2+…+pn=1
#
#
Application#
Les#grecs#et#les#romains#utilisaient#un#jeu#d'osselets#d'agneaux#appelés#astragales.#Pour#un#astragale#donné,#dont#les#faces#
sont#numérotées#de#
1
#à#
4
,#des#expériences#statistiques#ont#révélé#qu'en#règle#général#:#
#●#l'astragale#retombe#sur#les#faces#
2
#et#
4
#avec#des#chances#égales#mais#deux#fois#plus#souvent#sur#la##
####face#
2
#que#sur#la#face#
1
.#
#●#on#obtient#la#face#
3
#avec#une#fréquence#égale#à#une#fois#et#demi#celle#de#la#face#
2
.#
On#lance#cet#astragale.#
(') Proposer#une#modélisation#de#cette#expérience#aléatoire.#On#désignera#par#
k
p
#la#probabilité#que#l'astragale#retombe#
sur#la#face#numéro#
k
,#pour#
k
#prenant#les#valeurs#
1
#à#
4
.#
Valeurs#prises#par#
X
#
1
x
#
2
x
#
K
#
n
x
#
Probabilité#correspondante#
( )
i
pX x=
#
1
p
#
2
p
#
K
#
n
p
#

LFA$/$première$S$COURS$Gestion$de$données$Mme$MAINGUY$
5
2') Calculer#les#probabilités#des#événements#:#
a)##
A
#:#"obtenir#un#numéro#impair"#
b)##"obtenir#un#numéro#supérieur#ou#égal#à#
2
"#
c)##
B
#;#
A∩B
#;#
ABU
.#
9') On#définit#une#variable#aléatoire#
X
#prenant#pour#valeurs#les#gains#algébriques#de#la#manière#suivante#:#
le#joueur#mise#
5
#drachmes.#Il#lance#l'astragale.#S'il#obtient#un#numéro#pair,#il#gagne#
3
#drachmes,#s'il#obtient#le#
3
,#il#
gagne#
5
#drachmes,#et#s'il#obtient#le#numéro#
1
,#il#gagne#
7
drachmes.#
Établir#la#loi#de#probabilité#de#la#
..va
#
X
.#
#
#
2')'F&#1."74$G'6".,"74$'8"0C18"0,H5$'$0'14".0I0J#$'
Dans#ce#paragraphe,#on#considère#une#variable#aléatoire#
X
#dont#les#issues#sont#les#nombres#
i
x
#
La#loi#de#probabilité#est#alors##
#
#
#
#
#
définition(
●#L'espérance#de#cette#loi#est#le#nombre#noté#
( )
EX
,#égal#à#:#
#
E X
( )
=x1p1+x2p2+…+xnpn=pi
i=1
n
∑xi
#
Dans#le#cas#d'un#grand#nombre#de#répétitions#de#l'expérience,#l'espérance#mathématique#représente#la#moyenne#des#
valeurs#
i
x
#prises#par#
X
#pondérées#par#leur#probabilité#respectives#
i
p
.#
●#La#variance#de#cette#loi#est#le#nombre#noté#
( )
VX
#défini#par#:#
#
V X
( )
=p1x1−E X
( )
( )
2
+p2x2−E X
( )
( )
2
+…+pnxn−E X
( )
( )
2
=pi
i=1
n
∑xi−E X
( )
( )
2
#
●#L'écart-type#de#cette#loi,#noté#
σ
,#est#égal#à#:##
( ) ( )
XVX σ =
.#
L'écart-type#mesure#la#dispersion#de#la#variable#aléatoire#autour#de#sa#moyenne.#
Remarque#
On#a#toujours#
( )
0VX≥
#donc#on#peut#toujours#calculer#l'écart-type#.#De#plus#
( ) ( )
0XVX σ =≥
#
#
9')'*,71".,01'-$'%;$&#1."74$
À#partir#des#variables#aléatoires#existantes,#on#peut#en#créer#de#nouvelles.#
Avec#des#notaions#usuelles,#on#obtient#:##
##Ê#
aX b+
#:#
xi!a X =xi
( )
+b
###avec#
a
#et#
b
#réels#
##Ê#
XY+
#:#
xi!X=xi
( )
+Y=xi
( )
#
#
propriétés(
On#considère#la#variable#aléatoire#
Y aX b=+
,#
a
#et#
b
#réels#quelconques.#Alors#:#
●#
( ) ( ) ( )
EY Eax b aE X b=+= +
#
●#
( ) ( )
2
VY aV X=
##et##
( ) ( )
YaX σσ =
#
#
#
#
Valeurs#prises#par#
X
#
1
x
#
2
x
#
K
#
n
x
#
Probabilité#
1
p
#
2
p
#
K
#
n
p
#