cours - ambition

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LFA/premièreS
COURSGestiondedonnées
MmeMAINGUY 1
Ch.6ÊPROBABILITÉS _ partie 1
1ereS
I. Rappels
1/Loideprobabilité
définition
Onappelleexpériencealéatoiretouteexpérienceayantplusieursissues(ouéventualités)possiblesetdontonnepeut
prévoiràl'avancelaquelledecesissuesseraréalisée.
Cesissuessontnotées e1 ; e2 ; e3 ;…; en .Leurensembleestnoté Ω ,appeléunivers.
{
}
Onadonc Ω = e1 ; e2 ; e3 ;…; en .
Exemple
Onlanceundéàsixfaces:l'universest: Ω = {1; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}
définitions
’Chaqueéventualité ei estaffectéed'uneprobabilité,c'est-à-dired'unnombrepondérénoté pi telque:
0 ≤ pi ≤ 1
et
p1 + p2 + …+ pn = 1 ’Onappelleloideprobabilitéladonnéedes pi vérifiantcesconditions.
’Sitouslesévénementsélémentairesontlamêmeprobabilité,onditqu'ilssontéquiprobables,ouquelaloide
probabilité p estéquiprobable(ouéquirépartie).
Exemple1
Onlanceundéà6facesbienéquilibré.Chaquefaceayantlemêmenombredechancesdesortir,chaqueéventualitéaune
1
probabilitéde .Laloideprobabilitéestdonc:
ei 3
5
6
1
2
4
6
pi 1 1 1 1 1 1 6
6
6
6
6
6
Remarque:
Demanièregénérale,siuneexpériencealéatoireestéquiprobableetcomporte n issuesdifférentes,chacunedesissuesa
uneprobabilitéde 1 n
Exemple2
Uneurnecontient10boulesindiscernablesautoucher:3noires,2blanches,5rouges.
Ontireunebouleauhasarddansl'urne.L'universest: Ω = {noire ; blanche ; rouge} .
L'univers Ω estmunidelaloideprobabilitédonnéeparletableausuivant:
ei noire blanche rouge pi 0,3 0, 2 0,5 2/Vocabulairedesévénements
définitions
’Unévénement A estunepartiede Ω .Onécrit A ⊂ Ω .Si e estunélémentde A ,onditquel'issue e réalise
l'événement A .
’ ∅ estl'événementimpossible.
’ Ω estl'événementcertain.
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Exemple
Onlanceundéà6facesbienéquilibré.Onnote:
A l'événement"obtenirunnombrepair": A = {2 ; 4 ; 6} B l'événement"obtenirunnombreinférieurouégalà2": B = {1; 2} C l'événement"obtenir7": C = {7} D l'événement"obtenirunnombrenégatif": D = ∅ ,événementimpossible
E l'événement"obtenirunnombreinférieurouégalà6": E = {1; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} = Ω ,événementcertain.
définitions
Soient A et B deuxévénementsd'ununivers Ω .
’L'événement A ∩ B estl'événement" A et B ":ilestréalisési A et B sontréaliséstouslesdeux.unepartiede
’L'événement A U B estl'événement" A ou B ":ilestréalisésil'unaumoisdesdeuxévénementsestréalisé.
’L'événement A estl'événementcontrairede A ou"non A ".
’Deuxévénements A et B sontincompatibless'ilsnepeuventseréaliserenmêmetemps,c'est-à-diresi
AI B = ∅ Exemple
Onconsidèreunjeude32cartes.L'espériencealéatoireconsisteàtirerunecarteauhasard.
L'univers Ω estl'ensembledes32cartesdujeu.
Onconsidèrelesévénements A :"lacartetiréeestuncœur"et B "lacartetiréeestunroi".
A U B événement:"lacartetiréeestuncœurouunroi"
A ∩ B = { roidecœur } A :événement"lacartetiréeestunpique,outrèfleoucarreau
A ∩ B :événement"lacartetiréeestn'importequellecartedujeuàl'exceptionduroidecœur"
3/Probabilitéd'unévénement
définition
Si Ω estununiversdeprobabilitésmunid'uneloi p ,alorslaprobabilitéd'unévénement A estlasommedes
probabilitésdesissuesquiréalisent A .
Remarques:
● p ( Ω ) = 1; p (∅ ) = 0 ●Danslecasdel'équiprobabilité,sil'univers Ω comporte n issues,ona:
1
nombre d ′elements de A nombre de cas favorables
et
pi = p ( A) =
=
n
nombre d ′elements de Ω nombre de cas possibles
propriété
Si A et B sontdeuxévénements:
’ p A ∪ B = p A + p B − p A ∩ B Casparticulier:si A et B sontincompatiblesalors:
(
)
( ) ( ) (
( )
’ p A = 1 − p ( A ) )
p ( A U B ) = p ( A) + p ( B ) Exemple
Dansuneurne,onplace 35 éléphants(si,si!). 28 sontdeséléphantsd'Afrique(lesautressontdeséléphantsd'Asie), 18 sontdesfemellesdont 15 sontdeséléphantesd'Afrique.
Onprendunéléphantauhasard.Quelleestlaprobabilitépourquel'éléphantchoisisoitd'Afriqueouunefemelle?
II. Modèlesderéférence:àl'aided'exemples
1/Diagrammes
Exemple
Dansungroupede20personnes,10fontdusurf,8delapêche,et3pratiquentlesdeux.Onchoisitauhasardune
personnedugroupe.
1/ Calculerlaprobabilitéqu'elles'intéresseàlapêcheouausurf.
2/
Calculerlaprobabilitéqu'ellenes'intéresseniàlapêche,niausurf.
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2/Tableau
Exemple
Uninstitutdesondageainterrogé800personnesquirésidentsoitenzoneurbaine U ,soitenzonerurale R .Cesondagea
eulieusoitpartéléphone T soitparentretien E .Ondonne:
●320personnesontétéinterrogéesaucoursd'unentretien.Parmielles,50viventenzonerurale.
●320personnesontétéinterrogéespartéléphoenetviventenzoneurbaine
Réunirlesinformationssousformedetableauàcompléter.
Onchoisitunepersonneauhasard:
2/ Calculerlaprobabilitédesévénements U et E .
1/
3/
Calculerlaprobabilitéqu'unepersonnehabiteenzoneurbainesachantqu'elleaétésondéeparentretien.
3/Arbredeprobabilité
Règles
Unarbredeprobabilitérespectetroisrègles:
’lasommedesprobabilitéspartantd'unemêmeracineesttoujourségaleà 1 ;
’laprobabilitéd'unchemineestégaleauproduitdesprobabilitésrencontréessurcechemin;
’laprobabilitéd'unévénementestasommedesprobabilitésdescheminsquiréalisentcetévénement.
Exemple1
Unmagasindematérielsinformatiquesproposedeuxtypesd'ordinateurs:desordinateursdebureauetdesordinateurs
portables.
Uneenquêtesurletypedesordinateursachetéspermetd'affirmerque,danscemagasin:
●75%desacheteursd'ordinateurssontdesétudiants;
●60%desacheteursétudiantschoisissentunordinateurportable,
●30%desacheteursnonétudiantschoisissentunordinateurportable.
Oninterrogeauhasardunepersonneayantachetéunordinateurdanscemagasin.
Onnote E l'événement"lapersonneinterrogéeestunétudiant"et E soncontraire.
Onnote A l'événement"lapersonneinterrogéeachoisiunordinateurportable"et A soncontraire.
1/ Construireunarbrepondéré.
2/
a)Calculer
(
b)Endéduire
3/
)
(
)
p E ∩ A et p E ∩ A .
p ( A) .
Déterminerlaprobabilitépourquelapersonneinterrogéaitchoisiunordinateurdebureau.
Exemple2
Ungrandmagasinproposeunjeupermettantdegagnerunbond'achatde15€.Ils'agitde:
●lancerundéà6faces,parfaitementéquilibré,dont1faceestjaune,2facessontbleueset3facessontrouges;
puis:
●fairetournerunerouediviséeen3secteurs:unsecteurjaunede150°,unbleude100°etlesecteurrestantrouge.
Lejoueurgagnelorsquelesdeuxcouleursobtenuessontidentiques.
1/
Soit J1 , B1 et R1 lesévénements:"obtenirjauneavecledé","obtenirbleuavecledé","obtenirrougeavecledé".
Calculerlesprobabilitésdesévénements J1 , B1 et R1 .
2/
Soit J 2 , B2 et R2 lesévénements:"obtenirjauneaveclaroue","obtenirbleuaveclaroue","obtenirrougeavec
laroue".Calculerlesprobabilitésdesévénements J 2 , B2 et R2 .
3/
4/
Représenterlasituationàl'aided'unarbrepondéréetcalculerlaprobabilitéd'obtenirdeuxfoislacouleurjaune,
puiscalculerlaprobabilitédeuxfoisbleu,etenfind'obtenirdeuxfoisrouge.
Soit G l'événement"lejoueurgagneunbond'achat".Déduiredelaquestionprécédente p (G ) .
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Lathéorie:variablealéatoire
III.
1/Introduction
Onsesouvientquel'universprobabilisable,souventnoté Ω ,estconstituédetouteslesissuesd'uneexpariencealéaoire.
Letermediscrtetraduitlefaitquel'onpeutdénombrerchacunedesissues(onpeutleurdonnerunevaleurprécise).nous
étudieronsenterminaleSdesloisdeprobabilitécontinues;onnepourrapasdonnerunevaleuràchacunedesissues(par
exemple,onnepeutpascomptertouslesnombresréelscomprisentre2et3).
Exemple
Unjoueurlance 2 foisunepièceéquilibrée.Ilgagne 2 €par"PILE"obtenuetperd 1 €par"FACE"obtenu.Onmodélise
l'expérienceparlaloiéquirépartie p sur Ω = {( F ; F ) ; ( P; P ) ; ( F ; P ) ; ( P; F )} .
Legainalgébriquedujoueurestunevariablealéatoire X sur Ω .
Elleassocieauxissues ( F ; F ) ; ( F ; P ) ; ( P; F ) ; ( P; P ) ,lesvaleursrespectives −2 ; 1 ; 1 ; 4 .
Onaalors: p ( X = −2) = p
({( F; F )}) = 14 p ( X = −1) = p
p ( X = 4) = p
({( F; P )}) + p ({( P; F )}) = 12 ({( P; P )}) = 14 définition
Soit Ω estl'universassociéàuneexpériencealéatoire E et p uneloideprobabilitésur Ω .
Ondéfinitunevariablealéatoireenassociantàchaqueissue e unnombreréel x .
X estuneapplicationde Ω dans ° .
X Ω = x1 ; x2 ;…; xn estalorsl'imagede Ω .
( ) {
}
Si { x ; x ;…; x } estalorsl'ensembledesvaleursprisesparlavariablealéatoire X surl'univers Ω alorspourtout i 1
2
n
variantde 1 à n :
●l'événement" X prend la valeur xi "estnoté:" X = xi "
●laprobabilitédel'événement" X = xi "est p ( X = xi ) .
Remarque
si x ∉ Ω alors ( X = x ) = ∅ etdonc p ( X = x ) = 0 .
PointMéthode
Définirlaloideprobabilitéd'uneexpériencealéatoirerevientdoncà:
Êdéterminertouteslesvaleurspossibles x1 ; x2 ;…; xn prisespar X ;
Êdéterminerlesprobabilités p1 ; p2 ;…; pn desévénementscorrespondants;
Êregrouperlesrésultatsdansuntableaudutype:
Valeursprisespar X Probabilitécorrespondante p ( X = xi ) x1 x2 K xn p1 p2 K pn Nepasoublierdevérifierque p1 + p2 + …+ pn = 1 Application
Lesgrecsetlesromainsutilisaientunjeud'osseletsd'agneauxappelésastragales.Pourunastragaledonné,dontlesfaces
sontnumérotéesde 1 à 4 ,desexpériencesstatistiquesontrévéléqu'enrèglegénéral:
●l'astragaleretombesurlesfaces 2 et 4 avecdeschanceségalesmaisdeuxfoisplussouventsurla
face 2 quesurlaface 1 .
●onobtientlaface 3 avecunefréquenceégaleàunefoisetdemicelledelaface 2 .
Onlancecetastragale.
1/
Proposerunemodélisationdecetteexpériencealéatoire.Ondésignerapar pk laprobabilitéquel'astragaleretombe
surlafacenuméro k ,pour k prenantlesvaleurs 1 à 4 .
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2/
Calculerlesprobabilitésdesévénements:
a) A :"obtenirunnuméroimpair"
b)"obtenirunnumérosupérieurouégalà 2 "
c) B ; A ∩ B ; A U B .
3/
Ondéfinitunevariablealéatoire X prenantpourvaleurslesgainsalgébriquesdelamanièresuivante:
lejoueurmise 5 drachmes.Illancel'astragale.S'ilobtientunnuméropair,ilgagne 3 drachmes,s'ilobtientle 3 ,il
gagne 5 drachmes,ets'ilobtientlenuméro 1 ,ilgagne 7 drachmes.
Établirlaloideprobabilitédela v.a. X .
2/Espérance,variancemathématiqueetécart-type
Dansceparagraphe,onconsidèreunevariablealéatoire X dontlesissuessontlesnombres xi Laloideprobabilitéestalors
Valeursprisespar X x1 x2 K xn p1 p2 K pn Probabilité
définition
●L'espérancedecetteloiestlenombrenoté E ( X ) ,égalà:
n
E ( X ) = x1 p1 + x2 p2 + …+ xn pn = ∑ pi xi i=1
Danslecasd'ungrandnombrederépétitionsdel'expérience,l'espérancemathématiquereprésentelamoyennedes
valeurs xi prisespar X pondéréesparleurprobabilitérespectives pi .
●Lavariancedecetteloiestlenombrenoté V ( X ) définipar:
(
)
(
)
(
)
n
(
)
V ( X ) = p1 x1 − E ( X ) + p2 x2 − E ( X ) + …+ pn xn − E ( X ) = ∑ pi xi − E ( X ) 2
2
2
i=1
2
●L'écart-typedecetteloi,noté σ ,estégalà: σ ( X ) = V ( X ) .
L'écart-typemesureladispersiondelavariablealéatoireautourdesamoyenne.
Remarque
Onatoujours V ( X ) ≥ 0 donconpeuttoujourscalculerl'écart-type.Deplus σ ( X ) = V ( X ) ≥ 0 3/Linéaritédel'espérance
Àpartirdesvariablesaléatoiresexistantes,onpeutencréerdenouvelles.
Avecdesnotaionsusuelles,onobtient:
Ê aX + b : xi ! a X = xi + b avec a et b réels
(
)
Ê X + Y : x ! ( X = x ) + (Y = x ) i
i
i
propriétés
Onconsidèrelavariablealéatoire Y = aX + b , a et b réelsquelconques.Alors:
● E (Y ) = E ( ax + b ) = aE ( X ) + b ● V (Y ) = a2V ( X ) et σ (Y ) = a σ ( X ) 
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