LFA/premièreS COURSGestiondedonnées MmeMAINGUY 1 Ch.6ÊPROBABILITÉS _ partie 1 1ereS I. Rappels 1/Loideprobabilité définition Onappelleexpériencealéatoiretouteexpérienceayantplusieursissues(ouéventualités)possiblesetdontonnepeut prévoiràl'avancelaquelledecesissuesseraréalisée. Cesissuessontnotées e1 ; e2 ; e3 ;…; en .Leurensembleestnoté Ω ,appeléunivers. { } Onadonc Ω = e1 ; e2 ; e3 ;…; en . Exemple Onlanceundéàsixfaces:l'universest: Ω = {1; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} définitions Chaqueéventualité ei estaffectéed'uneprobabilité,c'est-à-dired'unnombrepondérénoté pi telque: 0 ≤ pi ≤ 1 et p1 + p2 + …+ pn = 1 Onappelleloideprobabilitéladonnéedes pi vérifiantcesconditions. Sitouslesévénementsélémentairesontlamêmeprobabilité,onditqu'ilssontéquiprobables,ouquelaloide probabilité p estéquiprobable(ouéquirépartie). Exemple1 Onlanceundéà6facesbienéquilibré.Chaquefaceayantlemêmenombredechancesdesortir,chaqueéventualitéaune 1 probabilitéde .Laloideprobabilitéestdonc: ei 3 5 6 1 2 4 6 pi 1 1 1 1 1 1 6 6 6 6 6 6 Remarque: Demanièregénérale,siuneexpériencealéatoireestéquiprobableetcomporte n issuesdifférentes,chacunedesissuesa uneprobabilitéde 1 n Exemple2 Uneurnecontient10boulesindiscernablesautoucher:3noires,2blanches,5rouges. Ontireunebouleauhasarddansl'urne.L'universest: Ω = {noire ; blanche ; rouge} . L'univers Ω estmunidelaloideprobabilitédonnéeparletableausuivant: ei noire blanche rouge pi 0,3 0, 2 0,5 2/Vocabulairedesévénements définitions Unévénement A estunepartiede Ω .Onécrit A ⊂ Ω .Si e estunélémentde A ,onditquel'issue e réalise l'événement A . ∅ estl'événementimpossible. Ω estl'événementcertain. LFA/premièreS COURSGestiondedonnées MmeMAINGUY 2 Exemple Onlanceundéà6facesbienéquilibré.Onnote: A l'événement"obtenirunnombrepair": A = {2 ; 4 ; 6} B l'événement"obtenirunnombreinférieurouégalà2": B = {1; 2} C l'événement"obtenir7": C = {7} D l'événement"obtenirunnombrenégatif": D = ∅ ,événementimpossible E l'événement"obtenirunnombreinférieurouégalà6": E = {1; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} = Ω ,événementcertain. définitions Soient A et B deuxévénementsd'ununivers Ω . L'événement A ∩ B estl'événement" A et B ":ilestréalisési A et B sontréaliséstouslesdeux.unepartiede L'événement A U B estl'événement" A ou B ":ilestréalisésil'unaumoisdesdeuxévénementsestréalisé. L'événement A estl'événementcontrairede A ou"non A ". Deuxévénements A et B sontincompatibless'ilsnepeuventseréaliserenmêmetemps,c'est-à-diresi AI B = ∅ Exemple Onconsidèreunjeude32cartes.L'espériencealéatoireconsisteàtirerunecarteauhasard. L'univers Ω estl'ensembledes32cartesdujeu. Onconsidèrelesévénements A :"lacartetiréeestuncœur"et B "lacartetiréeestunroi". A U B événement:"lacartetiréeestuncœurouunroi" A ∩ B = { roidecœur } A :événement"lacartetiréeestunpique,outrèfleoucarreau A ∩ B :événement"lacartetiréeestn'importequellecartedujeuàl'exceptionduroidecœur" 3/Probabilitéd'unévénement définition Si Ω estununiversdeprobabilitésmunid'uneloi p ,alorslaprobabilitéd'unévénement A estlasommedes probabilitésdesissuesquiréalisent A . Remarques: ● p ( Ω ) = 1; p (∅ ) = 0 ●Danslecasdel'équiprobabilité,sil'univers Ω comporte n issues,ona: 1 nombre d ′elements de A nombre de cas favorables et pi = p ( A) = = n nombre d ′elements de Ω nombre de cas possibles propriété Si A et B sontdeuxévénements: p A ∪ B = p A + p B − p A ∩ B Casparticulier:si A et B sontincompatiblesalors: ( ) ( ) ( ) ( ( ) p A = 1 − p ( A ) ) p ( A U B ) = p ( A) + p ( B ) Exemple Dansuneurne,onplace 35 éléphants(si,si!). 28 sontdeséléphantsd'Afrique(lesautressontdeséléphantsd'Asie), 18 sontdesfemellesdont 15 sontdeséléphantesd'Afrique. Onprendunéléphantauhasard.Quelleestlaprobabilitépourquel'éléphantchoisisoitd'Afriqueouunefemelle? II. Modèlesderéférence:àl'aided'exemples 1/Diagrammes Exemple Dansungroupede20personnes,10fontdusurf,8delapêche,et3pratiquentlesdeux.Onchoisitauhasardune personnedugroupe. 1/ Calculerlaprobabilitéqu'elles'intéresseàlapêcheouausurf. 2/ Calculerlaprobabilitéqu'ellenes'intéresseniàlapêche,niausurf. LFA/premièreS COURSGestiondedonnées MmeMAINGUY 3 2/Tableau Exemple Uninstitutdesondageainterrogé800personnesquirésidentsoitenzoneurbaine U ,soitenzonerurale R .Cesondagea eulieusoitpartéléphone T soitparentretien E .Ondonne: ●320personnesontétéinterrogéesaucoursd'unentretien.Parmielles,50viventenzonerurale. ●320personnesontétéinterrogéespartéléphoenetviventenzoneurbaine Réunirlesinformationssousformedetableauàcompléter. Onchoisitunepersonneauhasard: 2/ Calculerlaprobabilitédesévénements U et E . 1/ 3/ Calculerlaprobabilitéqu'unepersonnehabiteenzoneurbainesachantqu'elleaétésondéeparentretien. 3/Arbredeprobabilité Règles Unarbredeprobabilitérespectetroisrègles: lasommedesprobabilitéspartantd'unemêmeracineesttoujourségaleà 1 ; laprobabilitéd'unchemineestégaleauproduitdesprobabilitésrencontréessurcechemin; laprobabilitéd'unévénementestasommedesprobabilitésdescheminsquiréalisentcetévénement. Exemple1 Unmagasindematérielsinformatiquesproposedeuxtypesd'ordinateurs:desordinateursdebureauetdesordinateurs portables. Uneenquêtesurletypedesordinateursachetéspermetd'affirmerque,danscemagasin: ●75%desacheteursd'ordinateurssontdesétudiants; ●60%desacheteursétudiantschoisissentunordinateurportable, ●30%desacheteursnonétudiantschoisissentunordinateurportable. Oninterrogeauhasardunepersonneayantachetéunordinateurdanscemagasin. Onnote E l'événement"lapersonneinterrogéeestunétudiant"et E soncontraire. Onnote A l'événement"lapersonneinterrogéeachoisiunordinateurportable"et A soncontraire. 1/ Construireunarbrepondéré. 2/ a)Calculer ( b)Endéduire 3/ ) ( ) p E ∩ A et p E ∩ A . p ( A) . Déterminerlaprobabilitépourquelapersonneinterrogéaitchoisiunordinateurdebureau. Exemple2 Ungrandmagasinproposeunjeupermettantdegagnerunbond'achatde15€.Ils'agitde: ●lancerundéà6faces,parfaitementéquilibré,dont1faceestjaune,2facessontbleueset3facessontrouges; puis: ●fairetournerunerouediviséeen3secteurs:unsecteurjaunede150°,unbleude100°etlesecteurrestantrouge. Lejoueurgagnelorsquelesdeuxcouleursobtenuessontidentiques. 1/ Soit J1 , B1 et R1 lesévénements:"obtenirjauneavecledé","obtenirbleuavecledé","obtenirrougeavecledé". Calculerlesprobabilitésdesévénements J1 , B1 et R1 . 2/ Soit J 2 , B2 et R2 lesévénements:"obtenirjauneaveclaroue","obtenirbleuaveclaroue","obtenirrougeavec laroue".Calculerlesprobabilitésdesévénements J 2 , B2 et R2 . 3/ 4/ Représenterlasituationàl'aided'unarbrepondéréetcalculerlaprobabilitéd'obtenirdeuxfoislacouleurjaune, puiscalculerlaprobabilitédeuxfoisbleu,etenfind'obtenirdeuxfoisrouge. Soit G l'événement"lejoueurgagneunbond'achat".Déduiredelaquestionprécédente p (G ) . LFA/premièreS COURSGestiondedonnées MmeMAINGUY 4 Lathéorie:variablealéatoire III. 1/Introduction Onsesouvientquel'universprobabilisable,souventnoté Ω ,estconstituédetouteslesissuesd'uneexpariencealéaoire. Letermediscrtetraduitlefaitquel'onpeutdénombrerchacunedesissues(onpeutleurdonnerunevaleurprécise).nous étudieronsenterminaleSdesloisdeprobabilitécontinues;onnepourrapasdonnerunevaleuràchacunedesissues(par exemple,onnepeutpascomptertouslesnombresréelscomprisentre2et3). Exemple Unjoueurlance 2 foisunepièceéquilibrée.Ilgagne 2 €par"PILE"obtenuetperd 1 €par"FACE"obtenu.Onmodélise l'expérienceparlaloiéquirépartie p sur Ω = {( F ; F ) ; ( P; P ) ; ( F ; P ) ; ( P; F )} . Legainalgébriquedujoueurestunevariablealéatoire X sur Ω . Elleassocieauxissues ( F ; F ) ; ( F ; P ) ; ( P; F ) ; ( P; P ) ,lesvaleursrespectives −2 ; 1 ; 1 ; 4 . Onaalors: p ( X = −2) = p ({( F; F )}) = 14 p ( X = −1) = p p ( X = 4) = p ({( F; P )}) + p ({( P; F )}) = 12 ({( P; P )}) = 14 définition Soit Ω estl'universassociéàuneexpériencealéatoire E et p uneloideprobabilitésur Ω . Ondéfinitunevariablealéatoireenassociantàchaqueissue e unnombreréel x . X estuneapplicationde Ω dans ° . X Ω = x1 ; x2 ;…; xn estalorsl'imagede Ω . ( ) { } Si { x ; x ;…; x } estalorsl'ensembledesvaleursprisesparlavariablealéatoire X surl'univers Ω alorspourtout i 1 2 n variantde 1 à n : ●l'événement" X prend la valeur xi "estnoté:" X = xi " ●laprobabilitédel'événement" X = xi "est p ( X = xi ) . Remarque si x ∉ Ω alors ( X = x ) = ∅ etdonc p ( X = x ) = 0 . PointMéthode Définirlaloideprobabilitéd'uneexpériencealéatoirerevientdoncà: Êdéterminertouteslesvaleurspossibles x1 ; x2 ;…; xn prisespar X ; Êdéterminerlesprobabilités p1 ; p2 ;…; pn desévénementscorrespondants; Êregrouperlesrésultatsdansuntableaudutype: Valeursprisespar X Probabilitécorrespondante p ( X = xi ) x1 x2 K xn p1 p2 K pn Nepasoublierdevérifierque p1 + p2 + …+ pn = 1 Application Lesgrecsetlesromainsutilisaientunjeud'osseletsd'agneauxappelésastragales.Pourunastragaledonné,dontlesfaces sontnumérotéesde 1 à 4 ,desexpériencesstatistiquesontrévéléqu'enrèglegénéral: ●l'astragaleretombesurlesfaces 2 et 4 avecdeschanceségalesmaisdeuxfoisplussouventsurla face 2 quesurlaface 1 . ●onobtientlaface 3 avecunefréquenceégaleàunefoisetdemicelledelaface 2 . Onlancecetastragale. 1/ Proposerunemodélisationdecetteexpériencealéatoire.Ondésignerapar pk laprobabilitéquel'astragaleretombe surlafacenuméro k ,pour k prenantlesvaleurs 1 à 4 . LFA/premièreS COURSGestiondedonnées MmeMAINGUY 5 2/ Calculerlesprobabilitésdesévénements: a) A :"obtenirunnuméroimpair" b)"obtenirunnumérosupérieurouégalà 2 " c) B ; A ∩ B ; A U B . 3/ Ondéfinitunevariablealéatoire X prenantpourvaleurslesgainsalgébriquesdelamanièresuivante: lejoueurmise 5 drachmes.Illancel'astragale.S'ilobtientunnuméropair,ilgagne 3 drachmes,s'ilobtientle 3 ,il gagne 5 drachmes,ets'ilobtientlenuméro 1 ,ilgagne 7 drachmes. Établirlaloideprobabilitédela v.a. X . 2/Espérance,variancemathématiqueetécart-type Dansceparagraphe,onconsidèreunevariablealéatoire X dontlesissuessontlesnombres xi Laloideprobabilitéestalors Valeursprisespar X x1 x2 K xn p1 p2 K pn Probabilité définition ●L'espérancedecetteloiestlenombrenoté E ( X ) ,égalà: n E ( X ) = x1 p1 + x2 p2 + …+ xn pn = ∑ pi xi i=1 Danslecasd'ungrandnombrederépétitionsdel'expérience,l'espérancemathématiquereprésentelamoyennedes valeurs xi prisespar X pondéréesparleurprobabilitérespectives pi . ●Lavariancedecetteloiestlenombrenoté V ( X ) définipar: ( ) ( ) ( ) n ( ) V ( X ) = p1 x1 − E ( X ) + p2 x2 − E ( X ) + …+ pn xn − E ( X ) = ∑ pi xi − E ( X ) 2 2 2 i=1 2 ●L'écart-typedecetteloi,noté σ ,estégalà: σ ( X ) = V ( X ) . L'écart-typemesureladispersiondelavariablealéatoireautourdesamoyenne. Remarque Onatoujours V ( X ) ≥ 0 donconpeuttoujourscalculerl'écart-type.Deplus σ ( X ) = V ( X ) ≥ 0 3/Linéaritédel'espérance Àpartirdesvariablesaléatoiresexistantes,onpeutencréerdenouvelles. Avecdesnotaionsusuelles,onobtient: Ê aX + b : xi ! a X = xi + b avec a et b réels ( ) Ê X + Y : x ! ( X = x ) + (Y = x ) i i i propriétés Onconsidèrelavariablealéatoire Y = aX + b , a et b réelsquelconques.Alors: ● E (Y ) = E ( ax + b ) = aE ( X ) + b ● V (Y ) = a2V ( X ) et σ (Y ) = a σ ( X )