Calcul matriciel

ICAM NANTES – I1A – ML POUSSIN
Chapitre 07 CALCUL MATRICIEL
Dans tout le chapitre,
K
désigne
R
ou
C
.
Le TP-cours sur le calcul matriciel est supposé acquis.
I) VOCABULAIRE – RAPPELS ET COMPLEMENTS
Not : Ensembles
(
)
,n p
M
K
et
(
)
n
M
K
Voc : Matrice nulle, matrice ligne, matrice colonne, diagonale d’une matrice, matrice transposée, matrice échelonnée.
Voc propre aux matrices carrées : Matrice unité d’ordre n, matrice symétrique, matrice antisymétrique, matrice diagonale,
matrice triangulaire supérieure, matrice triangulaire inférieure, polynôme matriciel.
II) OPERATIONS – RAPPELS ET COMPLEMENTS
Somme, multiplication externe, multiplication interne.
Propriétés : Soit A, et B matrices de même type
(
)
,
n p
.
(
)
t t t
A B A B
+ = +
Propriétés : Soit A, et B matrices. Sous réserve de compatibilité des opérations :
n n
A I I A A
× = × =
La matrice unité
n
I
est élément neutre pour la multiplication interne dans
(
)
n
M
K
.
( )
t
t t
A B B A
× = ×
 La multiplication interne n’est pas commutative. En général,
AB BA
≠
.
 La multiplication interne n’est pas intègre :
0 0 ou 0
AB A B
=⇒= =
.
Ecriture matricielle d’un système
Matrice du système, matrice inconnue, matrice second membre.
(
)
S
AX B
⇔ =
III) MATRICES INVERSIBLES (uniquement pour les matrices carrées).
Matrice inversible, ensemble
(
)
n
GL
K
appelé « groupe linéaire ».
 La multiplication interne n’est pas commutative sur
(
)
n
M
K
. On doit donc dissocier
1
.
M N
−
et
1
.
N M
−
.
On ne peut donc pas utiliser la notation
M
N
avec les matrices.
 Soit
(
)
n
A M∈
R
. Si il existe une matrice
(
)
n
B M∈
R
tq
n
AB I
=
, alors A est inversible, et
1
A B
−
=
.
 La matrice
a b
A
c d
=
est inversible ssi
0
ad bc
− ≠
, et alors
1
1
d b
A
c a
ad bc
−
−
=
−
−
.
Soit
(
)
S
un système à n équations et n inconnues d’écriture matricielle :
AX B
=
A est inversible si et seulement si le système
(
)
S
possède une unique solution. Et alors
1
X A B
−
=
.
Algorithme de Gauss Jordan.
Matrices équivalentes par lignes, notation
L
A A
′
∼
.
Multiplication à gauche par une matrice élémentaire.
Soit A et B matrices carrées d’ordre n.
Si A est inversible, alors
1
A
−
est inversible et
(
)
1
1
A A
−
−
=
.
Si A et B sont inversibles, alors
A B
×
est inversible et
( )
1
1 1
A B B A
−
− −
× = × .
Si A est inversible, alors
t
A
est inversible et
(
)
(
)
1
1
t
t
A A
−−
=.
Si A équivault en lignes à une matrice inversible, alors A est inversible.
Si A équivault en lignes à une matrice non inversible, alors A est non inversible.
Une matrice contenant une colonne de 0 (ou une ligne de 0) n’est pas inversible.
Une matrice triangulaire est inversible ssi ses termes diagonaux sont tous non nuls.
Calcul de
1
A
−
→
Utilisation de la prop ( trouver B tel que
AB I
=
).
→
Formule pour
2
n
=
.
→
Polynôme annulateur de la matrice.
→
Inversion de système.
→
Méthode de Gauss Jordan.

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IV) PUISSANCES DE MATRICES (uniquement pour les matrices carrées).
Def par récurrence :
0
A I
=
et
1
0, . .
p p p
p A A A A A
+
∀ ≥ = =
Soit A et B matrices d’ordre n.
 Si A est diagonale, alors p
∗
∀ ∈
N
,
p
A
s’obtient en élevant les termes diagonaux à la puissance p.
 Si A et B commutent, alors
p
∀ ∈
N
,
( )
0
p
p
k p k
k
p
A B A B
k
−
=
+ =  
∑
(formule du binôme de Newton)
Calcul de
p
A
→
Conjectures, puis récurrence.
→
Cas particuliers ( matrices diagonales, matrices nilpotentes )
→
Utilisation de la formule du binôme de Newton sous condition.
→
Diagonalisation de la matrice (avec aide).
Objectifs :
Maîtriser le calcul matriciel, notamment les calculs de produits, de puissances, et d’inverses.
Faire le lien avec les systèmes linéaires.