1 EXERCICES DE PROBABILITES (énoncés 1 à 37) Exercice 1

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EXERCICES DE PROBABILITES (énoncés 1 à 37)
Exercice 1
Voici l’inventaire des valeurs possibles des 119 billets qui composent une
tombola :
Valeur du billet en Euro
Nombre de billets correspondant à la
valeur
200
1
50
3
10
15
0
100
• X représente la valeur du billet (choisi au hasard) que vous allez acheter.
1) Calculer la probabilité pour que X soit au moins égale à 10.
2) Calculer la probabilité pour que X soit au plus égale à 50.
3) Calculer la probabilité pour que X soit égale à moins de 50.
4) Calculer la probabilité pour que X soit égale à plus que 10.
Exercice 2 On décide de supprimer tous les billets valant 0 de la tombola de
l'exercice 1. Calculer le prix de vente du billet pour cette nouvelle situation.
Exercice 3 Voici une variable aléatoire X (les caractéristiques sont réunies dans
le tableau suivant) :
i
Valeur possible de X : xi P(X= xi)
1
2
0.10
2
3
0.40
4
6
1) Donner la valeur de P(X = 6)
2) Calculer l’espérance mathématique de X.
Exercice 4
Calculer l'écart type de la variable aléatoire définie dans l'exercice 3.
2
Exercice 5
Voici l’inventaire des valeurs possibles des billets de deux tombolas dont le
prix de vente des billets est le même :
1ère tombola
Valeur du billet en Euro
Nombre de billets correspondant à la
valeur
200
1
50
3
10
15
0
100
ème
2 tombola
Valeur du billet en Euro
Nombre de billets associés
2000
1
50
3
10
285
0
901
Calculer la variance et l’écart type pour les variables aléatoires représentant les
prix des billets des deux tombolas précédentes. Vérifier que la 2ème tombola est
plus risquée.
Exercice 6
Si 0 est colorié, et si un entier est colorié alors l’entier suivant de l’entier suivant
est colorié, quelle est la propriété des entiers qui sont coloriés ?
Soit f : N → E une fonction de l’ensemble des entiers naturels N vers un
ensemble E telle que :
f (0) = a et si f (n ) = a alors f (n + 1) = a.
Quelle est la fonction f ?
3
Exercice 7
Pour n ≥ 1si f (n ) est défini : f (n + 1) est défini par f (n + 1) = f (n ) + n et f (1) = 0
donc f (n ) est défini pour tout entier n ≥ 1. En utilisant le Principe de Récurrence,
n (n − 1)
. A savoir : l’égalité est vraie
prouver que : pour tout entier n ≥ 1 : f (n ) =
2
pour n = 1 et si elle est vraie pour n ≥ 1 alors elle est encore vraie pour n + 1.
Exercice 8
Démontrer par récurrence que pour tout entier n tel que n ≥ 1:
n


k

si a ≠ 1 alors (1 − a ) 1 + ∑ a  = 1 − a n +1


 k =1 
[ (1 − a )(1 + a + ...... + a n ) = 1 − a n +1 ]
Refaire la démonstration pour n ≥ 0 .
Exercice 9
Vérifier que pour tout entier n (n ≥ 1) l’égalité suivante est vérifiée :
k =n
∑
k2 =
k =1
n (n + 1)(2n + 1)
6
Exercice 10
Définir par récurrence n × a pour tout entier naturel n.
Montrer par récurrence que pour n ≥ 2 : n × a = a + ..... + a .
La somme a + ..... + a étant constituée de n termes.
Exercice 11
5! 5! n !
n!
5!
; ;
;
;
4! 3! (n − 1)! (n − 2)! 2!3!
n!
2) Calculer
si n = 49 et k = 6 .
k !(n − k )!
1) Simplifier :
4
Exercice 12
43 .
1) On sait C 649 = 13983816; donner C 49
100 × 99
98 .
= 4950 ; donner C100
2) On sait
2
8 .
3) Calculer simplement C10
Exercice 13
Formule de Pascal
1 + Ck = Ck
C kn −
−1
n −1
n
On construit « pas à pas » le Triangle de Pascal qui donne les valeurs des C kn :
k =0 k =1 k =2 k =3 k =4 k =5
n =0 1
n =1 1
1
n =2 1
2
1
n =3 1
3
3
1
n =4 1
4
6
4
1
n =5 1
5
10
10
5
1
Remplir la sixième ligne du triangle de Pascal et à l’aide de cette ligne donner la
valeur de C36 et vérifier que l’on a bien : C64 = C 62 .
Exercice 14
49 + C50 = C50 .
1) Vérifier directement à l’aide d’un calcul de fractions : C99
99
100
Effectuer la démonstration directe de la Formule de Pascal donnée sous la forme
1
suivante : C kn + C kn +1 = C nk +
+1 .
Exercice 15
Développer (a + b)5 , (a + b) 6 en donnant les valeurs des coefficients.
5
Exercice 16 Il faut prouver que si (a + b) n =
(a + b) n +1 =
k = n +1
∑
k =0
k =n
∑ C kn a n − k b k
est vrai alors
k =0
C kn +1a n − k +1 b k 1est encore vrai.
Comprendre la démonstration suivante, en particulier:
k =n
k = n +1
k
n
−
k
k
+
1
∑ Cn a b = ∑ Ckn −1a n +1− k b k .
k =0
k =1
 k =n

n
k
n
−
k
k

Preuve (a + b) × (a + b) = ∑ C n a
b  × (a + b )


 k =0

k =n
k =n
k
n
−
k
+
1
k
= ∑ Cn a
b + ∑ C kn a n − k b k +1 (développement )
k =0
k =0
k =n
k = n +1
k
n
−
k
+
1
k
= ∑ Cn a
b + ∑ C kn −1a n +1− k b k (remplacement de k par k − 1)
k =0
k =1
k =n
k =n
n
+
1
k
n
−
k
+
1
k
=a
+ ∑ Cn a
b + ∑ C kn −1a n +1− k b k + b n +1
k =1
k =1
k =n
n
+
1
=a
+ ∑  C kn a n − k +1 b k + C kn −1a n +1− k b k  + b n +1


k =1
= a n +1 +
= a n +1 +
=
k = n +1
∑
k =0
k =n
∑
 C k + C k −1 a n − k +1 b k + b n +1 (mise en facteur de a n − k +1 b k )
n 
 n
∑
C kn +1a n − k +1b k + b n +1 (Formule de Pascal)
k =1
k =n
k =1
C kn +1a n − k +1b k = (a + b) n +1
6
Exercice 17
Pour fabriquer un octet on choisit des places parmi 8 où l’on écrit 1 et aux
places restantes on écrit 0. Combien y-a-t-il d’octets possibles ?
Combien y-a-t-il de sous ensembles non vides possibles d’un ensemble à n
éléments ?
Exercice 18
On place n points distincts n ≥ 2 sur un plan, combien peut-on tracer de
segments du type MN où M et N sont choisis parmi ces points ?
On note f (n ) le nombre de segments obtenus ; vérifier que f (n + 1) = f (n ) + n et
expliquer logiquement cette propriété.
Exercice 19
En remarquant que (1 + 1) n = 2 n vérifier la propriété précédente à l’aide de la
Formule du Binôme.
Exercice 20
On dispose de n objets (avec n ≥ 2 ) et parmi ces objets un et un seul est rouge.
On suppose k ≤ n − 1 .
1) Combien y a-t-il de combinaisons possibles de k objets choisis parmi ces n
objets qui ne contiennent pas l’objet rouge ?
2) Si k ≤ n − 1 combien y a-t-il de combinaisons possibles de k objets choisis
parmi ces n objets qui ne contiennent l’objet rouge ?
3) Combien y a-t-il de combinaisons possibles de k objets choisis parmi ces n
objets?
1
k
k
4) En déduire la Formule de Pascal C nk −
−1 + C n −1 = C n .
Exercice 21
E est un ensemble à n éléments.
Combien possède-t-il de parties non vides ?
Combien possède-t-il de parties qui contiennent au moins 2 éléments (distinguer
le cas 0 ≤ n < 2 du cas n ≥ 2 ) .
7
Exercice 22
Quelle est la probabilité qu’une famille de 5 enfants ne contienne que des filles ?
Quelle est la probabilité qu’une famille de 5 enfants contienne au moins un
garçon ?
Exercice 23
A) Une famille est composée de 10 enfants ; on suppose que la probabilité pour
un nouveau-né d’être un garçon 0,51.
Quelle est la probabilité que la famille contienne autant de garçons que de
filles ?
Quelle est la probabilité que la famille contienne au moins 4 garçons mais moins
de 7 ?
B) On suppose que les situations météorologiques des différents « 31 décembre
à Paris » sont indépendantes les unes des autres et que la probabilité qu’il neige
le 31 décembre à Paris est toujours égale à 0,20.
Quelle est la probabilité pour que pendant les 5 prochaines années il y ait
exactement 3 années avec de la neige le 31 décembre à Paris ?
Quelle est la probabilité pour que pendant les 5 prochaines années il ne neige
jamais le 31 décembre à Paris ?
Quelle est la probabilité pour que pendant les 5 prochaines années il neige au
moins une fois à Paris le 31 décembre ?
Exercice 24
X est une variable aléatoire de loi Binomiale B (5 ; 0,4).
1) Quelles sont les valeurs possibles de X ?
2) Donner l’expression en fonction de k de la probabilité pour que X soit égale à
k, indiquer les valeurs possibles de k.
3) Calculer le plus simplement possible la probabilité pour que X soit au moins
égale à 1.
4) Calculer la probabilité pour que X soit au plus égale à 3.
5) Calculer la probabilité pour que X soit égale à moins de 3.
Exercice 25
X est une variable aléatoire de loi B (5 ; 0,4).
Calculer la probabilité pour que X soit égale à son espérance mathématique.
Donner la variance et l’écart type de X.
Si la loi de Y est B (5 ; 0,3), Y peut-elle être égale à son espérance
mathématique ?
8
Exercice 26
k


Vérifier que p k = : k = 1,2,3,4  est une distribution de probabilités.
10


On se donne la variable aléatoire X qui prend les valeurs 1,2,3,4 avec les
k
probabilités correspondantes P(X = k ) =
pour k = 1,2,3,4 .
10
Calculer l’espérance mathématique et la variance de X.
Exercice 27
1 k
1) On pose p k =
C n pour k = 1;.....; n.
n
2
On obtient alors une distribution binomiale, quels sont ses paramètres ?
Si X est binomiale avec cette distribution de probabilités, donner son espérance
et sa variance.
n
2) Pour k = 0 ;.....; n on donne a k tel que 0 < a k et on pose S = ∑ a k .
k =0
a
Vérifier que p k = k pour k = 0 ;.....; n définit une distribution de probabilités.
S
On donne la variable aléatoire X de valeurs { a 0 ; a1;......; a n } telle que
P(X = a k ) = p k pour k = 0 ;.....; n .
Exprimer E(X) et V(X) en fonction de (a k )2 , (a k )3 pour k = 0 ;.....; n et S.
Exercice 28
∞
1  2 k
Vérifier que P(Y = y k ) = ×   pour k = 1, 2, .. donne ∑ P(Y = y k ) = 1.
3 3
k =1
Exercice 29
A
Donner la valeur de A afin que p k =
pour k = 0 ;1;......... définisse une
k
10
distribution de probabilités.
9
Exercice 30 On connaît les formules suivantes (voir approfondissement) :
∞
∞
∞
q
1
1+ q
k
k
1
−
Si q ≠ 1 : ∑ q =
; ∑ kq
=
; ∑ k 2q k −1 =
1− q
(1 − q ) 2 k =1
(1 − q )3
k =1
k =1
Soit : 0 < p < 1, q = 1 − p. Les valeurs de X sont : {1,.., k,..} avec : P(X = k ) = pq k −1,....
∞
Vérifier que
1
∑ P(X = k) = 1, E(X) = p ,V(X) =
k =1
q
p2
Exercice 31 Y est une variable aléatoire de Poisson de paramètre 2.
1) Quelles sont les valeurs possibles de Y ?
2) Donner l’expression en fonction de k de la probabilité pour que Y soit égale à
k, donnez P(Y = 0) et P(Y = 1) .
3) Calculer la probabilité pour que Y soit au moins égale à 1.Calculer la
probabilité pour que Y soit au plus égale à 3.Calculer la probabilité pour que Y
soit égale à moins de 3.
Exercice 32
1) Y est une variable aléatoire de Poisson d’espérance mathématique 2, donner
la variance et l’écart type de Y.
2) Quelle devrait être l’espérance mathématique d’une variable aléatoire Z de
Poisson qui vérifie P( Z = 0) = 0,2 ?
3) Quelle devrait être la variance d’une variable aléatoire T de Poisson telle que
P(T ≥ 1) = 0,75 ?
Exercice 33
∞
∞
λk
Pour k = 0,1,..... : v k =
vérifier : ∑ k (k − 1) v k = ∑ k (k − 1) v k = λ2 e λ
k!
k =0
k =2
∞
∞
3
λ
∑ k (k − 1)(k − 2)v k = λ e . ∑ k (k − 1)(k − 2)..(k − n )v k =λn +1eλ si n = 3,4,..
k =0
k =0
∞
La loi X est Pλ , vérifier ∑ k (k − 1)(k − 2)..(k − n )P(X = k ) =λn +1si : n = 1,2,3,4,..
k =0
10
∞
Exercice 34 X suit la loi Pλ , vérifier :
∑ k 3P(X = k) = λ3 + 3λ2 + λ .
k =1
Exercice 35
On suppose que le nombre X d’accidents qui peuvent se produire dans un
système donné suit une loi de Poisson dont le paramètre est le nombre moyen
d’accidents.
On note f (λ) = P(X ≤ 2) si X suit la loi Pλ .
1) Etudier la fonction f.
2) Donner une valeur approchée à une décimale du maximum du nombre moyen
d’accidents pour qu’il y ait une probabilité supérieure à 0,90 que le nombre
d’accidents qui se produiront ne dépasse pas 2.
3) Avec la valeur ainsi trouvée, donner la probabilité qu’il se produise au moins
un accident et la probabilité qu’il se produise au moins 2 accidents.
Exercice 36
X suit la loi B(100; 0,02) .
1) Calculer P(X = 1).
2) Donner le paramètre λ de la loi POISSON qui approche la loi de X.
Calculer P(Y = 1) si Y suit la loi de POISSON de paramètre λ trouvé
3) Vérifier l’approximation P(X = 1) ≈ P(Y = 1).
Exercice 37
X suit la loi B(10000; 0,02) .
1) Calculer P(X = 1).
2) Par quelle loi peut-on approcher la loi de X.
3) Donner une approximation de P(X ≤ 210).
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