1 EXERCICES DE PROBABILITES (énoncés 1 à 37) Exercice 1

1
EXERCICES DE PROBABILITES (énoncés 1 à 37)
Exercice 1
Voici l’inventaire des valeurs possibles des 119 billets qui composent une
tombola :
Valeur du billet en Euro
Nombre de billets correspondant à la
valeur
200 1
50 3
10 15
0 100
•
X représente la valeur du billet (choisi au hasard) que vous allez acheter.
1) Calculer la probabilité pour que X soit au moins égale à 10.
2) Calculer la probabilité pour que X soit au plus égale à 50.
3) Calculer la probabilité pour que X soit égale à moins de 50.
4) Calculer la probabilité pour que X soit égale à plus que 10.
Exercice 2 On décide de supprimer tous les billets valant 0 de la tombola de
l'exercice 1. Calculer le prix de vente du billet pour cette nouvelle situation.
Exercice 3 Voici une variable aléatoire X (les caractéristiques sont réunies dans
le tableau suivant) :
i Valeur possible de X : x
i
P(X= x
i
)
1 2 0.10
2 3 0.40
4 6
1) Donner la valeur de
)
6
X
(
P
=
2) Calculer l’espérance mathématique de X.
Exercice 4
Calculer l'écart type de la variable aléatoire définie dans l'exercice 3.

2
Exercice 5
Voici l’inventaire des valeurs possibles des billets de deux tombolas dont le
prix de vente des billets est le même :
1
ère
tombola
Valeur du billet en Euro Nombr
e de billets correspondant à la
valeur
200 1
50 3
10 15
0 100
2
ème
tombola
Valeur du billet en Euro Nombre de billets associés
2000 1
50 3
10 285
0 901
Calculer la variance et l’écart type pour les variables aléatoires représentant les
prix des billets des deux tombolas précédentes. Vérifier que la 2
ème
tombola est
plus risquée.
Exercice 6
Si 0 est colorié, et si un entier est colorié alors l’entier suivant de l’entier suivant
est colorié, quelle est la propriété des entiers qui sont coloriés ?
Soit
E
N
:
f
→
une fonction de l’ensemble des entiers naturels N vers un
ensemble E telle que :
.
a
)
1
n
(
f
alors
a
)
n
(
f
si
et
a
)
0
(
f
=
+
=
=
Quelle est la fonction f ?

3
Exercice 7
Pour
n
)
n
(
f
)
1
n
(
f
par
défini
est
)
1
n
(
f
:
défini
est
)
n
(
f
si
1
n
+
=
+
+
≥
et
0
)
1
(
f
=
donc
.
1
n
entier
tout
pour
défini
est
)
n
(
f
≥
En utilisant le Principe de Récurrence,
prouver que : .
2
)1n(n
)n(f:1nentiertoutpour
−
=≥ A savoir : l’égalité est vraie
pour
.
1
n
pour
vraie
encore
est
elle
alors
1
n
pour
vraie
est
elle
si
et
1
n
+
≥
=
Exercice 8
Démontrer par récurrence que pour tout entier n tel que
:
1
n
≥
]
1n
a1)
n
a......a1)(a1([
1n
a1
n
1k
k
a1)a1(alors1asi
+
−=+++−
+
−=
=
+−≠ ∑
Refaire la démonstration pour
.
0
n
≥
Exercice 9
Vérifier que pour tout entier n
)
1
n
(
≥
l’égalité suivante est vérifiée :
6)1n2)(1n(n
nk
1k
2
k++ =
=
=
∑
Exercice 10
Définir par récurrence
a
n
×
pour tout entier naturel n.
Montrer par récurrence que pour
.
a
.....
a
a
n
:
2
n
+
+
=
×
≥
La somme
a
.....
a
+
+
étant constituée de n termes.
Exercice 11
1) Simplifier : !3!2 !5 ;
!)2n( !n
;
!)1n( !n
;
!3!5
;
!4!5 −−
2) Calculer !)kn(!k !n− si
.
6
k
et
49
n
=
=

4
Exercice 12
1) On sait .
43
49
Cdonner13983816;
6
49
C=
2) On sait .
98
100
Cdonner;4950
2
99100 =
×
3) Calculer simplement .
8
10
C
Exercice 13
Formule de Pascal
k
n
C
k1n
C
1k 1n
C=
−
+
−
−
On construit « pas à pas » le Triangle de Pascal qui donne les valeurs des :
k
n
C
=
k
0
=
k
1
=
k
2
=
k
3
=
k
4
=
k
5
=
n
0 1
=
n
1 1 1
=
n
2 1 2 1
=
n
3 1 3 3 1
=
n
4 1 4 6 4 1
=
n
5 1 5 10 10 5 1
Remplir la sixième ligne du triangle de Pascal et à l’aide de cette ligne donner la
valeur de 3
6
C et vérifier que l’on a bien .
2
6
C
4
6
C: =
Exercice 14
1) Vérifier directement à l’aide d’un calcul de fractions : .
50
100
C
50
99
C
49
99
C =+
Effectuer la démonstration directe de la Formule de Pascal donnée sous la forme
suivante .
1k
1
n
C
1k
n
C
k
n
C:
+
+
=
+
+
Exercice 15
Développer 6 )ba(,
5
)ba( ++ en donnant les valeurs des coefficients.

5
Exercice 16 Il faut prouver que si
∑
=
=
−
=+ nk
0
k
k
b
kn
a
k
n
C
n
)ba( est vrai alors
∑
+
=
=
+−
+
=
+
+1nk
0
k
k
b
1kn
a
k1n
C
1n
)ba( 1est encore vrai.
Comprendre la démonstration suivante, en particulier:
.
1nk
1
k
k
b
k1n
a
1k
n
C
nk
0
k
1k
b
kn
a
k
n
C
∑∑
+
=
=
−+−
=
=
=
+−
Preuve 
=
=
−
=+×+
∑
nk
0k
k
b
kn
a
k
n
C)ba(
n
)ba(
)
b
a
(
+
×
)1kparkdentremplaceme(
1nk
1
k
k
b
k1n
a
1k
n
C
nk
0
k
k
b
1kn
a
k
n
C
)entdéveloppem(
nk
0k
1k
b
kn
a
k
n
C
nk
0k
k
b
1kn
a
k
n
C
−
+=
=
−+−
+
=
=
+−
=
=
=
+−
+
=
=
+−
=
∑∑
∑∑
1n
b
nk
1
k
k
b
k1n
a
1k
n
C
nk
1
k
k
b
1kn
a
k
n
C
1n
a+ +
=
=
−+−
+
=
=
+−
+
+
=
∑∑
1n
b
nk
1
k
k
b
k1n
a
1k
n
C
k
b
1kn
a
k
n
C
1n
a+ +
=
=
−+−
+
+−
+
+
=
∑
)
k
b
1kn
adefacteurenmise(
1n
b
nk
1
k
k
b
1kn
a
1k
n
C
k
n
C
1n
a+−+ +
=
=
+−
−
++
+
=
∑
1n
)ba(
1nk
0
k
k
b
1kn
a
k1n
C
)PascaldeFormule(
1n
b
nk
1k
k
b
1kn
a
k1n
C
1n
a
+
+=
+=
=
+−
+
=
+
+
=
=
+−
+
+
+
=
∑
∑