S ÉMINAIRE N. B OURBAKI M ICHEL R AYNAUD Caractéristique d’Euler-Poincaré d’un faisceau et cohomologie des variétés abéliennes Séminaire N. Bourbaki, 1964-1966, exp. no 286, p. 129-147 <http://www.numdam.org/item?id=SB_1964-1966__9__129_0> © Association des collaborateurs de Nicolas Bourbaki, 1964-1966, tous droits réservés. L’accès aux archives du séminaire Bourbaki (http://www.bourbaki. ens.fr/) implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ Séminaire BOURBAKI année, 1964/65, 17e n° 286 Février 1965 CARACTÉRISTIQUE D’EULER-POINCARÉ D’UN FAISCEAU ET COHOMOLOGIE DES VARIÉTÉS ABÉLIENNES par Michel RAYNAUD La première partie de cet exposé est consacrée à la démonstration de résultats inédits obtenus par GROTHENDIECK, la seconde aux travaux de 0GG [5] et de SAFAREVIC [6] sur les variétés abéliennes. Nous utiliserons la troduite cohomologie étale des faisceaux en théorie des schémas, in- dans [ 1] . I. Caractéristique d’Euler-Poincaré d’un faiseeau défini sur une courbe algébrique. Soit k un corps Soit R un anneau, et soit de torsion algébriquement clos de caractéristique p, et soit C une courbe algébrique irréductible, lisse et projective sur k . Notons ~ le point générique de C,y et i : r~ ~ C le morphisme canonique. Si x est un point de C , 1 désigne un point géométrique au-dessus de x . gorie des R-modules finis est un Soit R-module A K(R) le groupe (c’est-à-dire ayant cER(M) fini, désigne son groupes abéliens de Grothendieck associé à la catéun image nombre fini dans d’éléments). Si M K(R) . (pour la topologie étale) qui est constructible, de torsion, et sur lequel R opère, ou plus brièvement un Rfaisceau constructible de torsion. Par fonctorialité, R opère alors sur les groupes de cohomologie : H1(C , A) . Nous appellerons caractéristique d’EulerPoincaré de A , sur C , relativement à R, et noterons A) , l’élément de K(R) défini par : un On posera faisceau x(C) = 2 - en 2g , est le faisceau constant ment, eu Z/nZ g avec désigne sur C le genre de (n, p) = I , on a : 129 sur C, de lequel sorte que si R opère A triviale- d’exprimer XR(C , A) , lorsque A est d’ordre premier symboles locaux que nous allons d’abord définir. Notre but est moyen de 1. Cas local : Définition Soit o un anneau quement Soit t un tible de t équivaut nombre torsion de valuation discrète G ou trivialise = Gal K/K . groupe Soit L caractère et caractère A un o . R-faisceau construc- de A G opère groupe d’inertie la G = Gal à travers M sur G, on L/K . peut associer représentation d’Artin de une définie par G aG : représentation G : algébri- = ( n désigne La k Spec o . La donnée de abélien fini : M qui est un G - R AK qui une extension galoisienne finie de Rappelons (~7~, chapitre V I), qu’au représentation vectorielle complexe : son à corps résiduel le corps des fractions de K p ~ et notons c’est-à-dire telle que A, complet premier distinct de p, et soit au-dessus du point générique 11 à la donnée d’un t, bimodule, au p ~ de caractéristique clos de à se d’Artin de réduit à aG - uG contient la G et seulement uG si, s’annule sur une L) uniformisante de de représentation d’augmentation si, les éléments de est modérément ramifié. Le G G dont l’ordre est divisible caractère d’une représentation de G rationnelle sur Q , qu’il existe un Zl (G)-module projectif: d’après [8]. Il résulte alors de SWAN unique à un isomorphisme près, de caractère aG - uG . et c’est le est Le groupe un R-module, grâce [7J est le groupe de Galois d’une extension (caractère induit de G’ que phe à G’ al, Cette remarque où G nous permet L’ à de G) à l’action de K contenant de sorte que R sur L~ PG on M. Si ° sait est isomor- de définir est le groupe de Galois d’une extension finie de K qui trivialise A . PROPOSITION 1. (a) (b) (c) de t â (A) est additif en est nul si A K’ Soit torsion est modérément ramifié. A’ séparable de K, et soit désigne l’image directe de A’ extension finie une sur A . K’ . Si A d(K’/K) désigne le degré du égal à d(K’/K) + 1 - [K’:K] . 4û discriminant de K’ K sur un R-faisceau K, sur on a est et En effet : (a) PG est projectif, (b) PG est nul si G est modérément ramifiée (c) Soit L une extension finie galoisienne de K contenant = Gal(L/K’) est un sous-groupe de G = Gal(L/K) . On sait [7] H On a donc (où rH d(K’/K)rH aH + un isomorphisme 2. Définition de de Z (H) est de la C, représentation régulière H). de et Kx au début. Soient le corps K local, complété le corps des fonc- de K en la place A un C(k) . Le nombre premier t étant toujours faisceau constructible de t-torsion que. Si x E C(k) , où est l’image réciproque où que eR(A) . tions rationnelles de Puis de sorte que modules :r Nous reprenons les notations énoncées x E K’ Ahx nous H~(A) nous définissons est le supposé sur C, distinct de et soit A = p, soit i*A sa fibre R- généri- posons de A par le morphisme canonique Spec(Kx) C . par la formule i-ième groupe de cohomologie étale de A, à support dans x. (1) La formule ailleurs, Coker est u ‘) met notons est un u : en évidence l’additivité de A de sorte que si A De est alors rapport par morphisme canonique. "faisceau gratte-ciel" concentré canoniquement isomorphe plus, le i*A ~ en un à Le faisceau nombre fini de A . Par Ker u (resp. points, qui à est de la forme égal i ~ (A ) , on a simplement à où Posons (A.. ) ° _ Le groupe ~) , A- est d’ordre premier à libre à un générateur (groupe premier à p) (a) Le cup établit Nous un pro-p.-groupe ;3 x est donc obtenu que, bre sur groupe de un Remarque. est aussi est extension d’un pro-groupe Gx Kx d’ordre déduit facilement que : (théorème locale). avons G on en k. produit trivialisé par le groupe fini où p ,y et de Galois de l’extension maximale de dualité canonique entre les deux groupes du premier membre une de dualité par est le groupe des racines de i’Unité de Lorsque clR HomG(ArtG si A~ G ,, on est a, décomposition Gx est d ’ ordre x . x , A~)t1 un R-faisceau de t avec G de premier torsion sur n les notations du n° au-dessus de à t, on x . peut où x dont le caractère est le caractère d’Artin de 1, montrer que Zl(Gx)-module, G . A~) li- 3. Enoncé du théorème principal. * THEOREME faisceau 1. - Soit 1 constructible, un nombre premier distinct t-torsion, défini de Avant de démontrer le théorème 1, nous R- un C . Alors : sur allons A p, et soit de en donner une traduction en coho- mologie galoisienne. S Soient On si sait [1] S~~. leurs, un ensemble fini de points C(k) , de s = card(S) , et U = C - S . H1(U , sont finis, et sont nuls pour que les groupes Nous pouvons donc définir de manière évidente XR(U , A)u) . la suite exacte de cohomologie relative à sous-espace fermé un i 2 Par ail- nous donne les relations : La formule En (2) est donc particulier, si S équivalente contient les à points de C dernier cas, si S est non vide et A mier membre de la formule (2 ter) est simplement : Or, dans où ni 4. ce est le groupe fondamental de Démonstration ou A est ramifié, de la forme on i (A ) , obtient le pre- U . du théorème 1. Etablissons d’abord deux lemmes. IEMME 1. - Soient malisée de faisceau C dans K’ une K’ , constructible°, de f .c t séparable de K ~ morphisme canonique. extension finie C’ -~ C le torsion, défini sur C’1 Soit la courbe A’ C’ . Alors la formule . nor- un R- (2) est A’ vraie pour En si, la suite effet, dégénère, car morphisme de spectrale elle est vraie pour si, de A’ A’ . f* i > 0 . On est nul pour a donc iso- un analogues, c~p(A-) == ~K’ :K] ailleurs, A = Leray Rq f étant fini, modules : f Pour des raisons Par et seulement et la formule de Hurwitz donne ici : ° eR(.) Le lemme résulte alors facilement de la définition de (formule (1)) et de proposition (1) (c). la LEMME 2. - Soient Galois G~ C’ , fini sur l’action de G (2) de sur une A’ par t , C R = lequel sur façon compatible avec les R-faisceau de A ~ image un point générique et R de (cf. 1) lemme (2). Notons C’ . Le faisceau Hom(G ,M’) , bimodule régulière sur on compte fait de opérer C’ . Alors la for- A’ par le morphisme nous donne un isomor- R-modules e st ~’ G Tenant C’ , sur directe de faisceau constant C’ -~ C . f : Etudions maintenant le deuxième membre de où G de de groupe de un opère. Ft (G) opérations Démonstration. - La suite spectrale de Leray phisme A’ K’ . Soit dans K finie de galoisienne et de l’action naturelle de est vraie pour le canonique extension la normalisée de et annulé R A’ sur mule C’ et K’ . A Tl sur lequel G M’ le R-module e st défini par le opère par la représentation droite par la représentation régulière gauche et son action sur Al(G-R),, M’ Soient un x stabilisateur dans Soit ArtGx C(k) , point de x’ )-module, un Zl(Gx, t tère d’Artin de (1 ter) G,, dont le caractère est et soit libre du au-dessus de GX, x ~ son 1 donne ici : dont le caractère est le sur Art(G , x) indépendant C’ de point un G . La formule point le G-module induit x’ choisi. carac- Faisons les remarques suivantes : (a) Si N N’ et sont deux libres ractère (c’est-à-dire qui deviennent isomorphes dans (b) a K(R) Si ou N R est = sur sur qui Zt ’ Q, (G) ) , ont même ca- alors : F. (G) . libre un même caractère que N. (c) D’après la définition de à caractère sur P..xt (cf. n~ 1)~ les Z.) entier, )-modules : ont même caractère. Il est clair alors que égale à x) l’expression trouvée plus ®Z ~P M’) faisceau A si, et seulement désigne opère trivialement, Or, si !t si, haut pour de sorte que la formule (2) on a sera est aussi vraie pour le l’égalité: le faisceau constant on a un x isomorphisme sur de C’ défini par R-modules : sur lequel R (3) de sorte que déduit "par tensorisation par se (3) obtenue pour Il nous suffit donc de Considérons alors les groupes de cohomologie étale . définis comme limite projective de Tate de la jacobienne de revêtement galoisien C’ -~ C de libres (a) que (4) C’ . t-adique Appliquons F~ " de la formule (3) lorsque de A’ Z.) ~ Z) : la formule ’de Weil (~ 1?~ ~ C 8~ ) au caractères Z~ : sur (3) ~ dans le ~~~ opération qui cas a un sens A’ = dé- se d’après la remar- ci-dessus. que la formule de Weil provient elle-même d’une formule de Lefschetz et,de l’interprétation GX, , comme des valeurs des caractères d’Artin des groupes d’inertie étant des ordres de multiplicité des points fixes de C’ en un nombre fini de points nulé de la forme i~ A~ , (2) sont concen- C(k) . de Nous pouvons donc supposer que G.] sous Fin de la démonstration du théorème 1. - Notons que les deux membres de additifs en A , et que (2) est trivialement vraie si A est un faisceau tré =Fp . C’: . On obtient la relation suivante entre par "réduction modulo t [Rappelons y démontrer des groupes Il suffit alors de remarquer que la formul.e duit de sur A est puis , R-faisceau constructible sur C , anque R opère fidèlement sur A- . L’anneau un nilpotent. Filtrant A- par les In A- , on se ramène au cas ou iL est un R-module simple, puis au cas ou R est simisomorphe à Z . On peut alors supposer R trivial. ple, de sorte que K(R) R est alors fini et radical I son est est Soit K’ une extension galoisienne de de groupe G ,y qui trivialise A . D’après un théorème d’Artin, les représentations de G obtenues en induisant à G les représentations rationnelles sur Q des sous-groupes cycliques de G, engendrent un sous-groupe d’indice fini de K[Q(G)] . D’après SWAN [10] y ce résultat est encore vrai dans K[F (G) ~ . Quitte à remplacer A par A®’~ (r > 0), ce qui est loisible, on peut donc se limiter au cas où A~ est un G-module de la forme: où est H Si et G . de cyclique sous-groupe est le corps des invariants de L le f un C’ .~ morphisme A C, C’ H , la normalisée de est donc de la forme A’ f C où L~ dans A’, est tri- théorème 1 pour A’ . vialisé par H . Grâce au lemme 1 ,~ il suffit de démontrer le On se ramène au cas où le groupe cyclique H opère de manière simple et fidèle mais alors, H est nécessairement d’ordre sur le F~ espace vectoriel premier ’, , à t . A Nous supposons donc que et trivialisé par le’ groupe galoisien A’ = f* A’ et où R = F~(G) ~ A est faisceau au premier à t, R ), tation de G qui n’est est A- annulé par le revêtement C’ Soient morphisme canonique C’ -~ C . A’ grâce à l’action de sur A des invariants de est somme ÂG directe de A Soient G sur (2) relative à A ; autre que la formule on (2) G . Comme l’ordre de sous et de de sorte que le foncteur des invariants tout foncteur additif. Prenons alors les invariants de la formule où à~. (cf. lemme 2). Le théorème 1 est alors vrai pour le R-faisceau d’après le lemme 2. D’autre part, le morphisme canonique A -~ A C’ identifie le A i d’ordre premier correspondant à G, f A = f A’ . Faisons opérer et sur G C de A est de la forme IA ( I sous sous G = G A G idéal d’augmen- va commuter à dans les deux membres obtient la relation : Ceci achève la démonstration du A = pour théorème 1. II. Cohomoiogie des variétés abéliennes. v Formule de 1. Remarques générales. Nous n la les notations introduites dans la conservons p , K . Si en w Ogg-Safarevic. x est un point de C(k) , K Le nombre ~ est abélien, (resp. première partie : k, C , ~ , désigne le corps local, complété de K un nombre premier distinct de place p, et l’entier parcourt les puissances positives de t . Nous notons D le groupe Si x. M est un groupe la multiplication par n M n dans M ; ) M(t) est le noyau est la (resp. composante t le conoyau) primaire de de M. Soit A variété abélienne définie une dimension une cohomologique ~ A) groupes Hi(K , et A) K K . Comme les corps sur (théorème 1 et Lang), i > 2 , d’après [9] sont nuls pour ont KX de Tsen et théorème de les 12). A) Nous allons étudier le groupe ses de fibrés principaux homogènes A) ), (resp. définis A de groupe (resp. K sur groupe des clas- K ). 2. Cas local. paragraphe, o désigne un anneau de valuation discrète hensélien corps résiduel k, algébriquement clos, de caractéristique p . Soient K corps des fractions de o , ô et K les complétés de o et K. Dans ce THEOREME (i) A ....... i ... 2. - Soit B et soit A(K) est extension d’un groupe fini par A)(~) Le groupe où Tt(B) ou fi est le est un t-groupe nombre (iii) B, et il est entier, indépendant si, Il possède une morphisme canonique : un p . premier canoniquement isomorphe est de Tate de et seulement Le sur K , qui groupe à divisible pour tout entier t (ii) définie variété abélienne de dimension d une variété duale. Alors : sa Le groupe est t le ~ ~ , de , Hl (K , y au 2d entre groupe et 0, nul A) (~) y est un isomorphisme. NÉRON [4] que l’on peut associer ayant les propriétés suivantes : Démonstration. - Il résulte des travaux de schéma un en groupes a est lisse et (b) (c) Ceci La fibre Le Spec 0 1 quasi-projectif sur de 03B1 générique morphisme canonique : étant, soit N (morphisme surjectif, d’après (a)). groupe uniquement a(K) morphisme est un de à un groupe spécialisation : CL(o) -~ CL(k) produit d’un tore de dimension N Il résulte du lemme de Hensel que algébrique dt algébrique et d’un groupe ~ est da‘ , par unipotent un un est exten- de dimension connexe : lui-même extension d’une variété abélienne de dimension re A . isomorphisme. ~-divisible. D’autre part, le groupe sion d’un groupe fini par A à o . est K isomorphe eL(o) -~ le noyau du sur si, o . sur ~1) (~) -~ groupe isomorphe compris "bonne réduction" au d, groupe linéai- connexe. Comme le (~ )°(k) groupe est t-divisible, prenant pour A (K~ ° le sous-groupe de De plus, N étant uniquement l-divisible, donc, est à un un quotient nombre entier près, fini 0 entre compris et p(A) Le nombre isomorphe A()(l) 2d . Il a(k) (t) , isomorphe à est (D) isomorphe à est (i) du théorème en image réciproque de ( t~) ° (k) . démontrons l’assertion nous eu = en "mesure" le f3(A) résulte que degré de est dégénérescence du en particulier, modèle de Néron p(A) est nul si, et seulement si) A possède une "bonne réduction" en o , c’est-à-dire si CL est un schéma abélien. Démontrons la deuxième assertion du théorème. La suite exacte "de Kummer" : donne la suite exacte de cohomologie : que K a un groupe de Galois de dimension cohomologique 1 ]. [noter H1(K , Ceci prouve que H1(K ~ A)(~~ est isomorphe leurs, l’assertion (i) est isomorphe à A) est isomorphe à celui de .~-divisible et que à et s’identifie à K, H~(K , lim H1(K , n du théorème entraîne que H(K lim n , K donc est A)n . 0 donc est aussi fini, donc Par ail- H1(, A)(l) A). Le théorème de dualité locale (cf. lre partie, n° 2) donne un isomorphisme cano- nique : A)(l) Finalement, c’est-à-dire à B étant que le (B) (K) , Hom[Tl à K-isogène L’assertion est (iii) A , Il est donc à Hom[lim isomorphe à B (K) > D] , Notons que ~(A) . on a du théorème résulte morphisme canonique : suite, nous travaillerons plut8t qu’avec les hensélisés. dans la canoniquement isomorphe simplement ~ln ) -~ avec les de qui précède et du fait est un isomorphisme. Aussi, ce A n) complétés des anneaux locaux de C , 3. Cas global. Soit A une variété abélienne de dimension d définie sur K, et soit B la variété duale de A . Notons AF (resp. la partie fixe (appelée aussi K/k- BF ) [2]) (resp. B ), D’après une propriété fondamentale trace de A de fini type Désignons schéma en et va sur par et soit Z ; a. nous la dimension d0 de la trace noterons r son (3~, groupes, lisse sur C, BF . et A(K)/AF(k) est rang. modèle minimal global de A un AF de commune le groupe : dont la fibre ~4~ , C sur générique est a est donc K ~ isomorphe à A, fini de points de représenter i* S l’ensemble ne possède pas une bonne réduction, et notons f la composante nexe de l’origine de est un a ~ de sorte que le faisceau quotient 3 = faisceau à fibres finies, nulles en dehors de S . qui C(k) où le faisceau A . Soit A Nous pouvons tructibles de appliquer les résultats de la ~-torsion sur que sont le groupe de Galois d’une extension de K groupe d’inertie au-dessus de et à à ~ ou ~ix G, (ire partie, n° C(k) . 1). Nous qui et CL = aux PGx’ cons- Soit donc i trivialise Notons faisceaux et soit con- Gx’ G un le module de Swan relatif alors amenés à poser : sommes les notations du théorème 2. avec = x E première partie (aO)t C un " x S Soit alors un ensemble fini de points de C(k) ayant s éléments. Nous al- préciser la structure du groupe H (C - S , ~) ~ groupe des classes d’espaces principaux homogènes de groupe a., triviaux aux points de C - S . lons THEOREME 3. (i) à D Si S est . Si de non vide, plus S H (C - S , contient ~L) (~) So’ est un groupe divisible, isomorphe est donné par la formule : (ii) Le groupe A)(~) est extension d’un général cas D , (iii) où est divisible pour presque tout t groupe fini par un groupe divisible e st donné par la f ormule de Il existe des suites exactes Si S est non vide : Si S est non vide et contient , et dans le à isomorphe Ogg-0160afarevi : canoniques : S : o eu ~° désigne Etablissons la composante du modèle minimal global de S , a) i ~. ~ . Le lemme résulte de la suite sur spectrale sont des groupes de torsion pour de Leray, relative au ailleurs, la suite exacte : donne la suite exacte de morphisme H1(K , S , compte tenu du fait que les groupes A) et de torsion pour i = 1, et sont nuls pour i 2 . Ainsi pour conclut à l’aide de la suite exacte : Par B C. quelques résultats auxiliaires : IEMME 3. - Les groupes et 2, et soht nuls pour ~ ~ C - connexe cohomologie : = 1 i~ : A) i = 1 i et sont 2, on H~[C - S , (a°) ~ Comme les groupes ~1~, sont finis les quotients de Herbrand Hi(C - S , a°) , relatifs à l’entier l sont définis. Nous posons : s , a°) - ~ S , a°~ (~) . hp H’-(C - s , a~°) _ Long,, Long- des groupes D’autre part, de la suite exacte : H~(C - S ~ ~) e t du f ait que le s groupe s on à déduit que le quotient de Herbrand : S, h? Le groupe divisible OL°) , A(K) AF(k) H 1 (C - S , L’entier (a)~ CL 0 (i). ~ on égal à soit finalement : A(K)/AF(k) r : égal la relation : par le groupe Si S n’est pas vide, H-(C - S ~ (~°) ) ~ 0 . De la n déduit alors : est isomorphe à D rS(l) est donné par la relation Utilisant la formule est hn de sorte que la suite exacte de sorte que : )(l) rS(~) S ,(1) (a) donne i >~ 1 , est défini et est est extension du groupe de rang Démonstration de suite exacte s ont f ini s et même nuls pour (2 bis) de la , et il en est donc de même de (b) : première partie, on voit que le second membre Démonstration de (üi) . _ La suite spectrale de Leray relative à l’immersion : C _ s -~ C fournit les suites exactes suivantes H~(C-S ,a)=0 si isomorphisme de sorte que (*) de la suite exacte Hz(C , canonique entre étant de type fini l-divisibles. tenu du lemme 3 et de S~~): Pour déduire la suite exacte B(K)/BF(k) , (compte sur (d), A)(t) et Z, contient pas de ne il suffit d’exhiber D] . un Mais le groupe points indéfiniment Donc, l’isomorphisme cherché s’obtient par passage à la limite inductive sur n , à partir de la suite exacte (** ) . Pour établir (**), notons que l’hypothèse S 3 So entraîne que l’on a une suite exacte "de Kummer" : et par suite, S , le théorème de ailleurs, s’envoie surjectivement dualité locale donne tandis que le théorème de dualité globale Le Hz(C , ~ ) n ~ ~1~ un sur isomorphisme donne un S a)n , canonique : ° Par ar isomorphisme canonique : morphisme inclus dans la suite exacte (c), corresA ) n -~ pond alors au transposé de l’injection canonique : B (K) ~ B il rén n (Kx ). . Enfin, sulte du théorème 2 que l’on a un isomorphisme canonique : Nous résumons les remarques dessous est exact : mais alors précédentes en disant que le diagramme commutatif D~ , (u) s’identifie canoniquement à achève de prouver l’exactitude de (**). Coker (ü) . - Posons X = principaux homogènes de groupe A, définis A) = Démonstration de En les suites exactes comparant donc card Mais T X(n) est un égal ailleurs, à (**), on voit facilement que : B(K)/BF(k) . DJ est p, il existe égal un entier tel m que tm tout ~ ~ et, X soit l-divi- X . sait que on hp hp et sont localement triviaux. divise l’ordre du sous-groupe de torsion T de groupe fini, donc X(t) est divisible pour presque pour tout l distinct de sible et d’indice fini dans Par (*) qui d’espaces groupe des classes K, qui sur ce ci- = à est h. H°(C , CL) = 2d - r. , et que hl H2(C , 03B1) 2dLa structure trouvée pour X(t2 montre que Pour obtenir la formule de Ogg-Safarevc, il suf- (b) fit alors d’utiliser la relation dans le cas où S est vide. On trouve : Remarque s. l.o OGG [5] et 0160AFAREVI [6], la formule ci-dessus dans le ne cas disposant eu A Leur démonstration utilise la structure pas de l’invariant 03B1lx , démontre ont supposé modérément ramifié sur précise du groupe fondamental modéré est C . do C - S . 20 GROTHENDIECK dent pas du nombre a montré (non premier ~ publié) que les invariants locaux distinct de p . 03B1lx ne dépen- ~’° Il résulte de travaux est compactifié dimension et la même d , on montre propriété. a qu’il existe constant non On peut supposer valeur trouvée plus haut, tant à la H~ (C ~ 0) une X courbe une défini ~~ que lisse et que, si d = 1~ C ~ abéliennes de projective C . Le schéma dual B sur décomposé est C . En sur constate que, dans le on sur k ~ possède se repor- présent, cas n’est pas le groupe unité. 3. A lication à la théorie des surfaces Soit elliptiques de Satake de la variété des modules des variétés schéma abélien un les courbes sur toujours un groupe divisible. Par contre, supposons que k soit le complexes et que d soit au moins égal à 2 . Utilisant alors la struc- corps des ture du de M. ARTIN une surface singulière, non (d’après connexe factorisation du morphisme structural de connexe, projective et k ~ sur f est et X ~ M. ARTIN). projective sur ou une Y est k . Soit : courbe lisse, morphisme génériquement lisse, à fibres point générique de Y , X la fibre gé11 un géométriquement intègres. Soient ~ le nérique de f , 1 : q - Y le morphisme canonique. Les hypothèses ~ faites entraînent les Gm = désigne propriétés le groupe suivantes : multiplicatif) . = (iii) R~ La suite = spectrale donne alors surface en un 0 de pour Leray : isomorphisme canonique X et le groupe évidence la jacobienne avec Z~ i $. 2 . = Z . Mais est d’indice fini. On i A H" (Y , Zy) en entre le groupe de Brauer P). Pour calculer de la fibre est nul et X . On a l’image de ce dernier donc une P (k(~)) déduit que le morphisme canonique : G) terme, de la mettons suite exacte : dans Z (k(q)) noyau et rationnel sur a un Par un ailleurs, (c’est conoyau fini même un isomorphisme si X possède un,point k (r~ ) ) . la suite exacte de Kummer : donne la suite exacte : Par passage à la limite G ~ (~ ~ est égal les sur à B~ - p Le corang de à i* puissances de 1 , A~l) , = p on en déduit que le corang de avec : nombre de Picard de X . donné par la formule de Ogg-0160afarevi, est donc égal 8z-p . BIBLIOGRAPHIE [1] ARTIN (M.) et GROTHENDIECK (A.). - Cohomologie étale des schémas, Séminaire de l’Institut des Hautes Etudes Scientifiques, Bures-sur-Yvette, 1963/64 et 1964/65. [2] LANG (Serge). - Abelian varieties. - New York, Interscience Publishers, 1959 (Interscience Tracts in pure and applied Mathematics, 7). [3] LANG (S.) and NÉRON (A.). - Rational points of abelian varieties over function fields, Amer. J. of Math., t. 81, 1959, p. 95-118. 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