Indépendance Probabilités Conditionnelles

Exemple.
Soit Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} l'espae assoié au tirage
d'un dé à 8 faes ave la probabilité uniforme 1
8 . Soient :
A1 = {1, 2, 3, 4}
Notons tout de suite que B onditionné par A
A2 = {1, 2, 5, 6}
A3 = {3, 4, 5, 6}
On a :
P r(A1 ∩ A2) = P r({1, 2}) =
1
=P r(A1)P r(A2)
4
Exemple.
Un dé uniforme est lané et nous savons que le point
point soit au moins 4 (événement B ) ?
1
=P r(A2)P r(A3)
4
2
Indépendane
Dénitions
• Deux événements A et B sont dit
P r(A1 ∩ A2 ∩ A3) = P r(∅) = 0 6=P r(A1)P r(A2)P r(A3 ) =
indépendants, si :
• Une famille Ai, i = 1, ..., n, d'événements est dite indépendante
son ensemble, si pour tout sous-ensemble J ⊂ {1, ..., n} :
Pr 
\
i∈J

Ai  =
Y
4
Or :
P r(A ∩ B) = P r(A)P r(B).

que A
obtenu est pair (événement A). Quelle est la probabilité pour que le
1
P r(A1 ∩ A3) = P r({3, 4}) = =P r(A1)P r(A3)
4
P r(A2 ∩ A3) = P r({5, 6}) =
n'implique pas
préède néessairement B (dans l'ordre hronologique).
1
.
8
***************************************************************
dans
Probabilités Conditionnelles
P r(Ai ).
Il arrive que la donnée d'un événement modie la probabilité initiale-
i∈J
Remarque.
Pour démontrer l'indépendane d'une famille Ai, i = 1, ..., n,
il ne sut pas de prouver que les Ai sont 2-à-2 indépendants, omme
le montre l'exemple suivant.
1
ment aetée à un autre. La notion de probabilité onditionnelle est
introduite an de formaliser le onept de la probabilité de l'ourrene d'un événement B sahant qu'un autre A s'est produit.
3
Probabilité des Causes
Nous avons alors :
P r(A ∩ B) = P r(B/A)P r(A).
Nous disons alors que l'on a
eetué un onditionnement par A.
Dans le as où P r(A) 6= 0, l'indépendane de A et B est équivalente
à P r(B/A) = P r(B) ; e qui est en aord ave sa dénition intuitive.
Soit l'événement B ausé par l'un des événements A1, A2, ..., An , tous
de probabilité non nulle. On onnaît les probabilités P r(Ai ) de es
derniers événements et aussi les probabilités onditionnelles P r(B/Ai ).
Comment trouver les probabilités des auses sahant que B s'est
produit, i.e. les probabilités P r(Ai /B) ?
Proposition. Le ouple (A, P r(./A)) est un espae probabilisé disret.
Proposition.
Soit A1, ..., An une partition de Ω. Si haun de es
ensembles est de probabilité non nulle, alors :
P r(B) =
n
X
Théorème (Formule de Bayes).
Soit A1, ..., An une partition de Ω
telle que P r(Ai ) =
6 0, ∀i = 1, ..., n. Soit B un événement de probabilité
non nulle. Nous avons :
P r(Ai )P r(B/Ai )
,
j=1 P r(Aj )P r(B/Aj )
P r(Ai /B) = Pn
P r(Ai )P r(B/Ai ), ∀B ∈ P(Ω).
i=1
i = 1, 2, ..., n
6
Il est lair que le nouvel espae (onditionné par l'événement A)
sur lequel les événements élémentaires sont à dénir est Ω′ = A, qui
ontient 3 éléments. Or, la portion de A qui est en même temps favorable à B en ontient 2. Il est don raisonnable de dénir la probabilité
1
de B onditionné par A par le ratio 2
3 (à omparer ave P r(B) = 2 ).
Dénitions.
Soit (Ω, P r) un espae probabilisé disret et soit A un
événement de probabilité non nulle. On dénit sur P(Ω), l'appliation
P r(./A) à valeurs dans [0, 1] par :
P r(B/A) =
Exemple.
On lane deux dés uniformes.
• Quelle est la probabilité d'avoir obtenu un double sahant que la
somme des points vaut 8 ?
• Quelle est la probabilité d'avoir obtenu un double sahant que la
somme des points vaut au moins 10 ?
Solution : Chaune de es probabilités onditionnelles est dénie par
une fration dont le numérateur est la probabilité de l'intersetion et
∀B ∈ P(Ω).
probabilité onditionnelle de
sahant A).
On appelle P r(B/A)
probabilité de B
P r(A ∩ B)
,
P r(A)
8
B
sahant
A (ou
5
le dénominateur elle de la ondition. On trouve failement :
1/36
• P r(double/S = 8) = 5/36 = 1
5.
2/36
• P r(double/S ≥ 10) = 6/36 = 1
3.
7
Loi Conjointe
Exemple
(F. Dress). Dans un jeu télévisé, un andidat doit hoi-
sir une question de repêhage en tirant au hasard parmi 3 papiers. Il
y a :
une question faile ave 3 hanes sur 4 de donner la réponse
orrete,
une question moyenne ave 2 hanes sur 5 de donner la réponse
orrete, et
une question diile ave 1 hane sur 5 de donner la réponse
Dans la suite, nous onsidérons un ouple de v.a., mais l'étude s'étend
à un nombre quelonque de v.a.
Dénitions.
Soient X et Y deux v.a. réelles sur le même espae
Ω. Le ouple (X, Y ) peut être onsidéré omme un veteur aléatoire
sur Ω. Sa loi est appelée loi onjointe de (X, Y ). La onnaissane de
ette dernière permet de retrouver la loi de X et elle de Y individuellement. En eet, pour tout ensemble A ⊂ X(Ω) et tout ensemble
B ⊂ Y (Ω) :
orrete.
Sahant que le andidat a donné la réponse orrete, quelle est la
probabilité pour qu'il s'agisse de la question faile ?
P r1(X ∈ A) = P r(X ∈ A, Y ∈ R)
et
P r2(Y ∈ B) = P r(X ∈ R, Y ∈ B).
10
12
Solution :
Désignons par F , M et D les événements tirage de la
question faile, de la question moyenne et de la question diile resEn partiulier, pour deux événements A et B de probabilité non nulle,
nous avons :
P r(A/B) =
P r(A)P r(B/A)
.
P r(B)
• P r(A) : probabilité a priori de A
• P r(A/B) : probabilité a posteriori
petivement. Soit, par ailleurs, l'événement réponse orrete noté
par C .
D'après la formule de Bayes, nous avons :
P r(F /C) =
de A
P r(F )P r(C/F )
,
P r(C/F )P r(F ) + P r(C/M )P r(M ) + P r(C/D)P r(D)
e qui vaut :
1.3
5
3 4
= .
1.3 + 1.2 + 1.1
9
3 4
3 5
3 5
9
11
A.
B.
On reprend la pièe et on la repose sur la même fae.
On la relane indépendamment du premier laner.
Solution :
Les lois onjointes sont données par :
P r({F, F }) = P r({P, P }) = 1
2 et P r({F, P }) = P r({P, F }) =0.
P r({F, F }) = P r({P, F }) = P r({F, P }) = P r({P, P }) = 1
4.
Il s'agit don de deux lois distintes
A.
B.
Soit X la v.a. assoiée au laner du dé. L'événement A
assoié à la ondition est l'ensemble {1, 2, 3}. La probabilité de la
ondition A est 1
2 . L'espérane onditionnelle reherhée vaut :
E(X/A) =
Les lois marginales dans les deux as sont données par :
P r({P }) = P r({F }) =
1 1
2
3
[ + + ] = 2.
1 6
6
6
2
1
.
2
Pour deux lois onjointes distintes, on a les mêmes lois marginales.
14
X et Y sont dites indépendantes, si pour tout ensemble A ⊂ X(Ω) et
tout ensemble B ⊂ Y (Ω) :
16
Espérane Conditionnelle
Soit X une v.a. et soit A un événement de probabilité non nulle.
espérane de X sahant A est dénie par :
L'
P r(X ∈ A, Y ∈ B) = P r1(X ∈ A)P r2 (Y ∈ B).
lois marginales
Les distributions P r1 et P r2 sont appelées
du veteur
(X, Y ). Dans la suite, nous supprimons les indies de P r lorsqu'il n'y
a pas le danger de onfusion. La onnaissane des lois marginales ne
E(X/A) = EP r(./A)X
ou :
E(X/A) =
permet pas de reonstruire la loi onjointe.
Exemple.
On lane une pièe authentique une première fois. Pour
le 2e laner, on onsidère deux possibilités :
Exemple.
X
1
X(ω)P r({ω}).
P r(A) ω∈A
Quelle est l'espérane d'un dé uniforme sahant que le
nombre sorti est inférieur ou égal à 3 ?
13
15