Corrigé

Cours de Th´ eorie des groupes Bachelor Semestre 3
Prof. E. Bayer Fluckiger 28 septembre 2015
Quiz 2
Question 1. Soient m, n ∈Znon nuls. Prouver que
(1) hm, ni=h(m, n)i,
(2) hmi∩hni=hppcm(m, n)i,
o`u ppcm(m, n) est le plus petit multiple commun de met n.
Solution.
(1) On a hm, ni={am +bn |a, b ∈Z}. En effet, H:= {am +bn |a, b ∈Z}
est un sous-groupe de Z(facile `a v´erifier) qui contient m, n et tout sous-
groupe de Zqui contient met ndoit cont´enir H, ainsi que Hest le plus
petit sous-groupe de Zcontenant met n.
(m, n)|met (m, n)|n. Donc (m, n)|am +bn pour tous a, b ∈Z. Alors on a
hm, ni ⊆ h(m, n)i.
Viceversa, par Bezout on a l’existence de a, b ∈Ztels que (m, n) = am +
bn, ainsi que pour tout c∈Z, on a c(m, n) = c(am +bn) = (ca)m+ (cb)n.
Donc h(m, n)i⊆hm, ni.
(2) L’inclusion hppcm(m, n)i ⊆ hmi∩hniest claire (en effet, tout multiple de
ppcm(m, n) est multiple de met n).
Viceversa, on a m= (m, n)m0et n= (m, n)n0pour m0, n0∈Ztels que
(m0, n0) = 1. On a clairement que ppcm(m, n) = (m, n)m0n0=mn
(m,n).
Soit zun multiple de m, i.e. z=mh = (m, n)m0hpour un certain h∈Z.
Si zest aussi un multiple de n, disons z=nk pour un certain k∈
Z,ona(m, n)n0k= (m, n)m0h. Donc n0divise m0h. Puisque (m0, n0) =
1, on a n0|h, c’est-`a-dire h=n0h0pour un certain h0∈Z. Alors z=
(m, n)m0n0h0= ppcm(m, n)h0. Donc hmi∩hni⊆hppcm(m, n)i.

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Question 2. Soit (G;·) un groupe.
(1) Soit Hun sous-ensemble non-vide de Gtel que h1·h−1
2∈H, ∀h1, h2∈H.
Prouver que Hest un sous-groupe de G.
(2) Prouver que l’intersection d’une famille de sous-groupes de Gest un sous-
groupe de G.
(3) Une r´eunion de sous-groupes de Gest-elle un sous-groupe de G?
Solution.
(1) Hnon-vide, donc il contient au moins un ´el´ement, disons e h. Donc 1G=
e
h·e h−1∈H. Ainsi Hcontient un ´el´ement neutre.
Pour tout h∈H, on a h−1= 1G·h−1∈H. Ainsi tout h∈Ha un ´el´ement
inverse dans H.
Finalement, pour tous h1, h2∈H, on a h1·h2=h1·(h−1
2)−1∈H, parce
que h−1
2∈H.
L’associativit´e de la loi de composition est claire (puisque (G;·) est un
groupe).
Alors Hest un groupe contenu dans G, c’est-`a-dire un sous-groupe de G.
(2) Supposons que Hsoit une famille de sous-groupes de G. Si h1, h2∈
TH∈H H, alors h−1
1h2∈Hpour tout H∈ H, car Hest un sous-groupe,
donc h−1
1h2∈TH∈H H. Ainsi, TH∈H Hest un sous-groupe de G.
(3) Non. Par exemple, 2Zet 3Zsont des sous-groupes de Z, mais 2,3∈
2Z∪3Z, alors que 2 + 3 = 5 6∈ 2Z∪3Z.

Cours de Th´ eorie des groupes Bachelor Semestre 3
Prof. E. Bayer Fluckiger 28 septembre 2015
S´erie 2
Exercice 1. (les r´esultats de cet exercice sont `a retenir)
Soient Gun groupe et Hun sous-groupe de G. Montrer que les trois propri´et´es
ci-dessous sont ´equivalentes :
(1) pour tout x∈G, on a xH =Hx ;
(2) pour tout x∈G, on a xHx−1=H;
(3) pour tout x∈G, et tout h∈H, on a xhx−1∈H.
Solution.
•Supposons que la propri´et´e (1) soit v´erifi´ee et montrons la propri´et´e (2).
Pour x∈Get h∈H, on a par hypoth`ese xh ∈xH =Hx, c’est-`a-dire
qu’il existe h0∈Htel que
xh =h0x.
Par suite, xhx−1=h0∈Het donc xHx−1⊂H. R´eciproquement, si
h∈H, alors
h=x(x−1hx)x−1∈xHx−1,
car x−1hx ∈Hpar la premi`ere inclusion (avec x−1`a la place de x). Par
cons´equent, H⊂xHx−1.
•Clairement, la propri´et´e (2) implique la propri´et´e (3).
•Finalement, si la propri´et´e (3) est v´erifi´ee, alors la propri´et´e (1) l’est aussi.
En effet, si x∈Get h∈H, alors
xh =xh(x−1x) = (xhx−1)x∈Hx
hx = (xx−1)hx =x(x−1hx)∈xH.
Par cons´equent, xH =Hx.

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Exercice 2. Soit n≥1 un entier. Montrer que
H:= {(nk, nk) : k∈Z}
est un sous-groupe normal de (Z2; +), et que Z2/H est isomorphe `a (Z/nZ×Z; +).
Solution. L’ensemble Z/nZ×Z={([a]n, z)|a, z ∈Z}est un groupe avec
l’addition composante par composante. Comme (Z2,+) est ab´elien, tout sous-
groupe de Z2est normal. En particulier, Hest normal dans Z2.
Notons premi`erement que H={(x, y)∈Z2|n|xet x=y}et donc
(a, b) + H= (c, d) + Hsi et seulement si n|a−cet a−c=b−d.
On d´efinit φ:Z2/H →Z/nZ×Zpar
φ: (a, b) + H7→ ([a]n, a −b).
On a
•φbien d´efini : si (a, b) + H= (c, d) + H, alors ([a]n, a −b) = ([c]n, b −d) ;
•φhomomorphisme de groupe : φ((a, b) + H+ (c, d) + H) = φ((a+c, b +
d) + H) = ([a+c]n,(a+c)−(b+d)) = ([a]n, a −b) + ([c]n, c −d) ;
•φinjectif : φ((a, b) + H) = ([0]n,0) si et seulement si n|aet a=b, c’est-
`a-dire, si et seulement si (a, b) + H=H.
•φsurjectif : ([a]n, b) = φ((a, a −b) + H).
Donc φest un isomorphisme de groupe. 
Exercice 3.
(1) Soit (G;·) un groupe. Montrer que l’ensemble des homomorphismes de
groupes f: (Z; +) −→ (G;·) est en bijection avec G.
(2) Montrer que le groupe multiplicatif de (C∗;·) de Cn’est pas isomorphe
au groupe additif (C; +).
Solution.
(1) Un homomorphisme de groupes f: (Z; +) −→ (G;·) est compl`etement
d´etermin´e par f(1) ∈G. En effet, pour tout z∈Zon a f(z) = f(z1) =
f(1)z. Ainsi, l’application f7→ f(1) est une bijection entre l’ensemble des
homomorphismes de groupes f: (Z; +) −→ (G;·) et G.
(2) Supposons qu’il existe un isomorphisme φ: (C∗;·)→(C; +). Alors,
0 = φ(1) = φ((−1) ·(−1)) = φ(−1) + φ(−1) = 2φ(−1),
ce qui implique que φ(−1) = 0. Cel`a est une contradiction, parce que
φ(1) = φ(−1) et donc φn’est pas un isomorphisme.

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Exercice 4. Soit H:= {Id,(1,2)(3,4),(1,3)(2,4),(1,4)(2,3)}le sous-ensemble
de G:= S4(groupe sym´etrique de l’ensemble {1,2,3,4}) compos´e par l’identit´e
et tous les produits de deux 2-cycles `a supports disjoints.
(1) Est-ce que Hest un sous-groupe de G?
(2) Est-il normal dans G?
(3) Quelle est la cardinalit´e du quotient G/H ?
(4) Prouver que G/H n’est pas un groupe ab´elien.
Solution.
(1) Comme (i, j)=(j, i), on constate que pour tous σ, τ ∈H\ {Id}, on
peut trouver i, j, k, l ∈ {1,2,3,4}deux `a deux distincts tels que σ=
(i, j)(k, l), τ = (i, k)(j, l). On d´eduit alors des formules
σ◦τ= (i, l)(j, k) ((i, j)(k, l))−1= (ij)(kl)
que Hest un sous-groupe de G.
(2) Les ´el´ements de Hdiff´erents de l’identit´e de Hsont pr´ecis´ement tous les
´el´ements de Gdont la d´ecomposition en cycles disjoints (unique `a ordre
pr`es) est compos´ee de deux transpositions. Pour σ∈G, la formule de
conjugaison des cycles implique que
σ◦(a, b)(c, d)◦σ−1=σ◦(a, b)◦σ−1◦σ◦(c, d)◦σ−1= (σ(a), σ(b))(σ(c), σ(d))
pour toutes transpositions disjointes (a, b)(c, d)∈G.
L’´el´ement σ◦(a, b)(c, d)◦σ−1appartient donc `a Hpuisque σ(a),σ(b),σ(c),
et σ(d) sont distincts. Ainsi, Hest normal dans G.
(3) On a #(gH) = #Hpour tout g∈G(c’est une cons´equence directe du
fait qui gh =gh0si et seulement si h=h0). Donc G/H est un groupe de
cardinal #G/#H= 4!/4 = 6.
(4) On a
(1,2)H◦(1,3)H= ((1,2)(1,3))H= (1,3,2)H
et
(1,3)H◦(1,2)H= ((1,3)(1,2))H= (1,2,3)H
mais (1,3,2)H6= (1,2,3)Hpuisque
(1,3,2)−1(1,2,3) = (1,2,3)2= (1,3,2),
qui n’appartient pas `a H.