3N1 Nombres entiers et rationnels CORRECTIONS ET
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3N1 Nombres entiers et rationnels CORRECTIONS ET REMEDIATIONS Chaque question est corrigée et des aides : soit sur le cahier soit sur le site internet www.mathenpoche.net sous forme de cours, exercices corrigés par animation ou d'exercices sont proposées : il te suffit de cliquer sur le lien proposé. EST-CE QUE TU TE SOUVIENS ? CORRECTION 1) Le multiple d'un nombre est le produit de ce nombre par un nombre entier non nul. Exemple : 72 = 2 × 36 donc 72 est un multiple de 36. C'est aussi un multiple de 2. Les multiples de 36 sont : 36, 72, 108,..... il y en a une infinité. Liens : Diviseurs, multiples - Aide Rechercher des multiples et diviseurs - Manuel 2) 30 et 15 sont des multiples de 15 car 30 = 15 × 2 et 15 = 15 × 1. Un multiple d'un nombre est toujours plus grand ou égal à ce nombre donc 5 et 1 ne conviennent pas. Le reste de la division de 55 par 15 est 10 donc 55 n'est pas un multiple de 15. Les multiples de 15 sont : 15, 30, 45, 60 ….. 55 ne figure pas dans la liste. Liens : Vrai ou Faux - Exercice Le juste multiple 3) Un nombre est divisible par 5 si c'est un multiple de 5 Les multiples de 5 se terminent par 0 ou 5. Donc 795 est divisible par 5. Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3 7 9 5 = 21 et 21 est un multiple de 3. Donc 795 est divisible par 3. Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9 7 9 5 = 21 et 21 n'est un multiple de 9. Donc 795 n'est pas divisible par 9 Un nombre est divisible par 2 s'il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8. 795 se termine par 5 donc 795 n'est pas divisible par 2. 795 n'est pas divisible par 2, donc il ne peut pas être non divisible par 4. Liens : Rechercher des multiples et des diviseurs - Manuel Critère de divisibilité par 2 - Exercice Critère de divisibilité par 5 - Exercice Critère de divisibilité par 3 - Exercice Critère de divisibilité par 9 – Exercice 3N1 – Nombre entiers et rationnels – page 1 4) 3 est un diviseur de 15 car 15 est un multiple de 3. Le reste de la division euclidienne de 15 par 3 est nul. 1 ; 3 et 15 sont aussi des diviseurs de 15. Liens : Diviseurs, multiples - Aide Rechercher des multiples et des diviseurs - Manuel 5) 3 et 1 sont des diviseurs de 27 car 27 = 3 × 9 = 27 × 1. Un diviseur d'un nombre est toujours plus petit que le nombre donc 54 ne convient pas (par contre 54 est un multiple de 27) 0 n'est jamais un diviseur. Liens : Vrai ou Faux - Exercice 6) 68 = 4 × 14 12 A noter : le reste 12 est forcément plus petit que le diviseur 14. Liens : Effectuer une division euclidienne - Manuel Le juste multiple Division euclidienne - Animation Division euclidienne - Animation 7) 71 = 13 × 5 6 Le reste de la division euclidienne de 71 par 5 est 1. La bonne réponse ne peut pas être 6 car le reste est toujours plus petit que le diviseur. 71 = 13 × 5 6 = 14 × 5 1 Liens : Effectuer une division euclidienne - Manuel Division euclidienne - Animation 8) Pour simplifier une fraction, on cherche un diviseur commun au numérateur et au dénominateur puis on simplifie par ce diviseur commun. 4 4:2 2 4 2×2 2 = = Ex : on peut aussi écrire : = = 6 6:2 3 6 2×3 3 Liens : Division euclidienne - Animation Division euclidienne - Animation Simplifier une fraction - Aide 90 2 × 45 45 3 × 15 15 90 90 : 2 45 45 : 3 15 = = = = = = = = on peut aussi écrire : 84 2 × 42 42 3 × 14 14 84 84 : 2 42 42 : 3 14 On peut aussi simplifier directement par 6. 9) Liens : Simplifier une fraction - Aide Simplification assistée - Exercice Simplification d'une fraction - Exercice Simplifications - Exercice 3N1 – Nombre entiers et rationnels – page 2 CALCULER UN PGCD Exercice1 a. 1 est le seul diviseur de 1. Donc le seul candidat possible pour le PGCD de 184 et 1 est 1. Or 1 divise à la fois 1 et 154. Donc 1 est le PGCD de 1 et 184. b. Les diviseurs de 8 sont : 1, 2, 4, et 8. Les diviseurs de 24 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, et 24. Les diviseurs communs à 8 et 24 sont 1, 2, 4 et 8. Le plus grand dans cette liste est 8. Donc le PGCD de 8 et 24 est 8. c. 28 = 7 × 4 et 21 = 7 × 3 donc 7 est un diviseur commun à 21 et 28. C'est aussi le plus grand car 4 et 3 n'ont aucun diviseur en commun. d. 19 et 17 sont deux nombres qui ne sont divisibles que par 1 et eux-mêmes donc le PGCD(19;17) = 1 Liens : Exercice2 Liste des diviseurs de 245 : 1, 5, 7, 35, 49, 245. Liste des diviseurs de 175 : 1, 5, 7, 25, 35, 175. Liste des diviseurs communs à 175 et à 245 : 1,5,7 et 35. Le PGCD de 175 et de 245 est le diviseur commun le plus grand : 35. Liens : Définition du PGCD - Cours Déterminer le PGCD en listant les diviseurs - Exercice Exercice3 Avec la méthode des soustractions successives : a b a−b 132 54 132 − 54 = 78 78 54 78 − 54 = 24 54 24 54 − 24 = 30 30 24 30 − 24 = 6 24 6 24 − 6 = 18 18 6 18 − 6 = 12 12 6 12 − 6 = 6 6 6 6−6=0 Donc le PGCD de 2010 et 714 est 6. Liens : Méthode des soustractions successives - Aide animée Déterminer le PGCD par la méthode des soustractions successives - Exercice 3N1 – Nombre entiers et rationnels – page 3 Exercice4 Avec la méthode des divisions successives : 6273 = 5916 × 1 357 5916 = 357 × 16 204 357 = 204 × 1 153 204 = 153 × 1 51 153 = 51 × 3 0 Le PGCD de 5 916 et de 6 273 est donc 51. Liens : La méthode des divisions succesives ou algorithme d'Euclide - Aide animée Calculer le PGCD par la méthode des divisions successives - Exercice Exercice5 Avec la méthode des divisions successives : 8415 = 6783 × 1 1632 6783 = 1632 × 4 255 1632 = 255 × 6 102 255 = 102 × 2 51 102 = 51 × 2 0 Le PGCD de 8415 et de 6783 est donc 51. Liens : Calculer le PGCD de deux nombres - Exercice 3N1 – Nombre entiers et rationnels – page 4 UTILISER UN PGCD Exercice6 a. Comme 1848 se termine par le chiffre 8, alors 1 848 est divisible par 2. De même, 2 040 est divisible par 2 puisqu'il se termine par 0. Ainsi, 2 est un diviseur commun évident à 1 848 et 2 040. La fraction 1 848 peut donc être simplifiée par 2 : elle n'est pas irréductible. 2 040 b. Appliquons la méthode des divisions successives (l'algorithme d'Euclide) : On effectue la division euclidienne de 2 040 par 1 848 : 2 040 = 1 848 × 1 192 Le PGCD de 2 040 et 1 848 est donc égal au PGCD de 1 848 et 192. On effectue la division euclidienne de 1 848 par 192 : 1 848 = 192 × 9 120 Le PGCD de 1 848 et 192 est donc égal au PGCD de 192 et 120. On effectue la division euclidienne de 192 par 120 : 192 = 120 × 1 72 Le PGCD de 192 et 120 est donc égal au PGCD de 120 et 72. On effectue la division euclidienne de 120 par 72 : 120 = 72 × 1 48 Le PGCD de 120 et 72 est donc égal au PGCD de 72 et 48. On effectue la division euclidienne de 72 par 48 : 72 = 48 × 1 24 Le PGCD de 72 et 48 est donc égal au PGCD de 48 et 24. On effectue la division euclidienne de 48 par 24 : 48 = 24 × 2 0 La division tombe juste, donc l'algorithme s'arrête. Le PGCD de 2 040 et 1 848 est donc le dernier reste non nul : c'est donc 24. Liens : Qu'est ce que deux nombres premiers entre eux - Méthode Est-ce que deux nombres sont premiers entre eux - Exercice Rendre une fraction irréductible - Exercice Exercice7 Pour pouvoir répartir les 315 enfants dans les différents groupes, il faut que le nombre de groupe divise 315. De même, pour répartir les accompagnateurs, le nombre de groupes doit être un diviseur de 35. Le nombre de groupes doit donc être un diviseur commun à 315 et 35. Les diviseurs de 35 sont : 1 - 5 - 7 - 35. Chacun de ses nombres est par ailleurs un diviseur de 315, puisque 315 = 1 × 315 = 5 × 63 = 7×45 = 35 × 9. Par conséquent, les diviseurs communs à 315 et 35 sont : 1 - 5 - 7 - 35. Il est donc possible de faire 1 groupe (ce qui n'est pas très pertinent !), ou bien 5 ou bien 7 ou bien 35 groupes. Liens : Résous des problèmes – Exercice 3N1 – Nombre entiers et rationnels – page 5 Exercice8 a. Pour utiliser tous les chocolats noirs, il faut que le nombre de ballotins soit un diviseur de 168. De même, pour qu'il ne reste aucun chocolat au lait, le nombre de ballotins doit être un diviseur de 210. Pour faire un maximum de ballotins, il faut donc que ce nombre soit le PGCD de 210 et 168. Appliquons la méthode des divisions successives : On effectue la division euclidienne de 210 par 168 : 210 = 168 × 1 42 Le PGCD de 192 et 120 est donc égal au PGCD de 168 et 42. On effectue la division euclidienne de 168 par 42 : 168 = 42 × 4 0 La division tombe juste, donc l'algorithme s'arrête. Le PGCD de 210 et 168 est donc le dernier reste non nul : c'est donc 42. Ainsi, le chocolatier peut faire 42 ballotins. b. 168 = 42 × 4 et 210 = 42 × 5 : chaque ballotin contiendra 4 chocolats noirs et 5 chocolats au lait. Liens : Résous des problèmes - Exercice Exercice9 a. Pour ne pas avoir de perte dans la longueur de la plaque, il faut que le côté d'un carré soit un diviseur de 110. De même, pour ne pas avoir de perte dans la largeur de la plaque, le côté d'un carré doit être un diviseur de 88. Pour que les carrés soient les plus grands possible, la longueur du côté du carré doit donc être le PGCD de 110 et 88. Appliquons la méthode des divisions successives : On effectue la division euclidienne de 110 par 88 : 110 = 88 × 1 22 Le PGCD de 110 et 88 est donc égal au PGCD de 88 et 22. On effectue la division euclidienne de 88 par 22 : 88 = 22 × 4 0 La division tombe juste, donc l'algorithme s'arrête. Le PGCD de 110 et 88 est donc le dernier reste non nul : c'est donc 22. La longueur du côté d'un carré sera donc de 22 cm. b. 110 = 22×5 et 88 = 22 × 4. La plaque rectangulaire sera donc divisée en 5 dans sa longueur et en 4 dans sa largeur. L'ouvrier obtiendra donc 20 carrés (5 × 4 = 20). Liens : Résous des problèmes - Exercice Exercice10 a. Appliquons la méthode des divisions successives : On effectue la division euclidienne de 640 par 520 : 640 = 520 × 1 120 Le PGCD de 640 et 520 est donc égal au PGCD de 520 et 120. On effectue la division euclidienne de 520 par 120 : 520 = 120 × 4 40 Le PGCD de 520 et 120 est donc égal au PGCD de 120 et 40. On effectue la division euclidienne de 120 par 40 : 120 = 40 × 3 0 La division tombe juste, donc l'algorithme s'arrête. Le PGCD de 110 et 88 est donc le dernier reste non nul : c'est donc 40. b. Pour ne pas avoir de découpe en longueur, il faut que le côté d'une dalle soit un diviseur de 640. Pour ne pas avoir de découpe en largeur, il faut que le côté d'une dalle soit un diviseur de 520. Il faut donc que la longueur du côté d'une dalle soit un diviseur commun à 640 et 520. Parmi les nombres proposés, seuls 20 et 40 conviennent. (30 ne divise pas 640, 35 ne divise pas 520 et 45 ne divise pas 520.) 640 = 20 × 32 et 520 = 20 × 26. En choisissant des dalles de 20 cm, il en faut 832 (32 × 26 = 832). 640 = 40 × 16 et 520 = 40 × 13. En choisissant des dalles de 20 cm, il en faut 208 (16 × 13 = 208). Liens : Résous des problèmes - Exercice 3N1 – Nombre entiers et rationnels – page 6 CALCULER AVEC LES QUOTIENTS 7 7 ÷ 8 4 7 4 B= × 8 7 4 1 B= donc B = 8 2 B= Exercice11 A= 1 1 2 3 A= 3 2 6 6 A= 5 6 Liens : additionner deux fractions - Exercice Multiplier deux fractions - Exercice diviser deux fractions - Exercice Exercice12 7 11 6 A= – ÷ 5 21 7 7 11 7 A= − × 5 21 6 7 11 A= − 5 18 126 55 A= − 90 90 101 A= 90 3 5 2 – × 8 8 3 3 10 B= − 8 24 9 10 B= − 24 24 1 B =− 24 B= 25 − 2 5 C= 24 5 23 5 C= 24 5 23 5 C= × 5 24 23 C= 24 Liens : Calculer avec les fractions - Exercice Exercice13 (d'après brevet 2009) 20 =5 4 b. L'élève obtient 33 car il a oublié les parenthèses. En effet : A = (8 3 × 4) : (1+2 × 1,5). a. A = Liens : Calculer avec les fractions - Exercice Calculer avec les fractions - Exercice Exercice14 O. (d'après brevet 2008). A B C I 0 1 1 5 , B est le point d'abscisse et C est le point d'abscisse . 4 3 12 On constate que les points sont régulièrement espacés OU A est le point d'abscisse 1 3 1 4 5 4 1 4 3 1 = = − = − = et . et donc les points sont régulièrement espacés. 4 12 3 12 12 12 12 12 12 12 3N1 – Nombre entiers et rationnels – page 7 SYNTHESE ET JEUX Exercice 1 On calcule le PGCD de 1505 et de 645 grâce à la méthode des divisions successives : 1505=2×645+215 645=3×215 donc PGCD(1505 ; 645)=215 645 3×215 3 A= = = 1505 7×215 7 11 3 11 9 11 20 A = = = l 21 7 21 21 21 21 Liens : résous des problèmes - Exercice Exercice 2 1. Le nombre de bouquets possible est un diviseur commun de 198 et de 330 car il veut utiliser toutes les fleurs de plus il souhaite faire le maximum de bouquets donc le nombre de bouquets est le PGCD(330 ; 132) 330 = 1 × 198 132 198 = 1 × 132 66 132 = 2 × 66 PGCD(330 ; 132) = 66 donc Il pourra faire 66 bouquets 2. 330 = 66 × 5 et 198 = 66 × 3. Il y aura 5 marguerites et 3 tulipes. 3. 154 = 2 × 66 22 66 n'est pas un diviseur de 154 donc il ne pourra pas répartir les brins de mimosa dans les 154 bouquets. 4. 154 = 2 × 66 22 66 = 3 × 22 donc PGCD(154 ; 66) = 22 Il devra faire 22 bouquets contenant alors 15 marguerites, 9 tulipes et 7 brins de mimosa. Liens : résous des problèmes - Exercices Exercice 3 1. La longueur de la piscine est 1480 cm et la largeur de 480 cm. La plage a une largeur de 160 cm. Les dimensions possibles des carreaux sont les diviseurs communs de 148, 480 et de 160. 160 est un diviseur de 480 puisque 480 = 3 × 160 On recherche les diviseurs communs de 1480 et 480. On recherche d'abord le PGCD(1480 ; 480) par l'algorithme d'Euclide. 1480 = 3 × 480 40 480 = 12 × 40 donc PGCD(1480 ; 480) = 40. Les diviseurs communs de 1480 et de 480 sont les diviseurs de 40 soit : 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 8 ; 10 ; 20 et 40 Les dimensions des carreaux peuvent être 1 cm ou 2 cm ou 4 cm ou 5 cm ou 8 cm ou 10 cm ou 20 cm ou 40 cm . 2. Les plus grands carreaux pourront mesurer 40 cm de côté. 3. 1480 = 37 × 40 480 = 12 × 40 160 = 4 × 40 37 × 4 × 2 12 × 4 × 2 4 × 4 × 4 = 456 Il faudra 456 carreaux. 4. 1 m² = 10 000 cm² 10000/1600 = 6,25 1 paquet contient 7 carreaux 5. 456 ≈ 65,1 3N1 – Nombre entiers et rationnels – page 8 Il doit acheter 66 paquets 66 × 38,50 = 2541 € Les carreaux lui coûteront 2541 € LABYRINTHE 500 316 253 120 450 231 84 58 187 77 484 112 213 732 319 330 105 175 221 225 71 342 74 180 133 96 124 541 100 585 155 241 303 151 274 93 355 78 705 69 77 37 126 50 75 68 737 500 Énigme 1 180 et 315 ou 45 et 450 ou 135 et 360 ou 225 et 270 ou 90 et 405. Énigme 2 Le nombre de marche est un multiple de 3. Entre 130 et 150, les multiples de 3 sont : 132 ; 135 ; 138 ; 141 ; 144 ; 147 et 150 Si on monte les marches 4 par 4, il reste une arche donc ce nombre de marche est impair. Les possibilités sont donc : 135 ; 141 et 147. 135 = 4 × 33 3 141 = 4 × 35 1 147 = 4 × 36 3 Il y a donc 141 marches. Qui suis je ? Si on nomme x le nombre cherché. 14 × x 175. 154 est le plus grand. 3N1 – Nombre entiers et rationnels – page 9 AS-TU COMPRIS LE CHAPITRE ? CORRECTION et REMEDIATION 1)28 = 2 × 14 ; 28 = 4 × 7 donc les diviseurs de 28 sont : 1, 2, 4, 7, 14 et 28. Les diviseurs communs de 28 et 462 sont : 1, 2 et 7 donc PGCD(28, 462) = 7. Liens : Partie 1 : Calculer un pgcd Éclairage : 1 et 2 ; entraîne-toi : ex2 Qu'est ce que le PGCD? - Cours calculer un PGCD en utilisant la liste des diviseurs - Exercice 2) D'après la méthode des soustractions, le PGCD de 2401 et 1255 est égal au PGCD de 1255 et 1176. Puis on calcule 1255 − 1176. Liens : Calculer un pgcd Éclairage : 3 ; entraîne-toi : ex3 calcul d'un PGCD par la méthode des soustractions successives - Exercice corrigé calculer un PGCD par la méthode des soustractions successives - Exercice 3) Le PGCD est la dernière différence non nulle. Ici, le PGCD est égale à 4. Liens : Calculer un pgcd Éclairage : 3 ; entraîne-toi : ex2 calcul d'un PGCD par la méthode des soustractions successives - Exercice corrigé par animation calculer un PGCD par la méthode des soustractions successives – Exercice 4) Le PGCD de 5228 et de 1327 est égale au PGCD de 1327 et 1247 donc on calcule la division euclidienne de 1327 par 1247. Liens : Calculer un pgcd Éclairage : 4 ; entraîne-toi : ex3 calcul d'un PGCD par la méthode des divisions successives - exercice corrigé calculer des PGCD par la méthode des divisions successives - exercice 5) Le PGCD est le dernier reste non nul. Ici, le PGCD est égale à 3. Liens : Calculer un pgcd Éclairage : 4 ; entraîne-toi : ex3 Exercice corrigé: calcul d'un PGCD par la méthode des divisions successives Exercice: calculer des PGCD par la méthode des divisions successives 3N1 – Nombre entiers et rationnels – page 10 6) Ce calcul est composé d'une addition et d'une multiplication sans parenthèse. On commence par effectuer la multiplication. Liens : Calculer avec les quotients Éclairage : 7 ; entraîne-toi : ex11 et 12 priorités opératoires - Exercice fractions - Exercices 7) nombre de feuilles roses par livre × nombre de livres = nombre de feuilles roses totales (28) nombre de feuilles bleues par livre × nombre de livres = nombre de feuilles bleues totales (42) donc le nombre de livre est un diviseur commun de 28 et de 42. On veut que le nombre de livre soit maximal donc le nombre de livre est le PGCD de 28 et 42. Les diviseurs de 28 sont 1, 2, 4, 7 et 28. 1, 2 et 7 sont des diviseurs de 42 mais pas 4 et 28. Donc les diviseurs communs de 28 et 42 sont 1, 2 et 7 et PGCD(28,42)=7. On peut donc faire 7 livres au maximum. Liens : Utiliser le PGCD Éclairage : 6 ; entraîne-toi : ex7 à ex10 Problèmes utilisant les fractions - Exercice 8) On veut simplifier La bonne réponse est 1 725 . 1 995 17 115 345 1 725 . et sont bien des fractions égales à mais elles ne sont pas 19 133 399 1 995 irréductibles. Pour simplifier la fraction, il y a deux méthodes possibles : Soit on recherche les diviseurs communs en utilisant les critères de divi sibilité. 1 725 et 1 995 se termine par 5 donc sont tous deux divisible par 5 et 1 725 345 × 5 345 = = . 1 995 399 × 5 399 La fraction est-elle irréductible ? 3 + 4 + 5 = 12 et 3 + 9 + 9 = 21 donc 345 et 399 sont tous deux divisibles par 3 et on obtient : 345 115×3 115 = = mais on ne sait pas si la fraction obtenue est irréductible. 399 133 × 3 133 Soit on calcule le PGCD de 1725 et 1995. 1995 = 1785 × 1 + 210 1785 = 210 × 8 + 105 et enfin 210 = 105 × 2 + 0 Le PGCD de 1 725 et 1 995 est égale à 105. On simplifie la fraction par 105 et on obtient la fraction irréductible : 1 725 105 × 17 17 115 = = . La fraction obtenue plus haut, n'était pas irréductible. 1 995 105 × 19 19 133 Liens : Utiliser le PGCD Éclairage : 5 ; entraîne-toi : ex6 Le PGCD - Aides Rendre une fraction irreductible - Exercice 3N1 – Nombre entiers et rationnels – page 11 9) 7 est un diviseur de a donc il suffit de multiplier 7 par un nombre qui n'est pas un diviseur de 42. Les diviseurs de 42 sont : 1, 2, 3, 6, 7, 21, 42. a peut être égale à 11 × 7 = 77, 7 × 23 = 161 ; 7 × 19 = 133. Liens : Calculer le PGCD Éclairage : 1 ; entraîne-toi : ex1 Le PGCD - Cours Le PGCD - Exercice 10) Si on note n le premier entier, celui qui suit se note n + 1. Or, n + 1 = n × 1 + 1 puis n = n × 1 + 0. Le dernier reste non nul est 1 : deux entiers consécutifs sont toujours premiers entre eux. Liens : Utiliser le PGCD Éclairage : 1 ; entraîne-toi : ex1 Qu'est-ce que deux nombres premiers entre eux? - Aide Est-ce que deux nombres sont premier entre eux? - Exercice 3N1 – Nombre entiers et rationnels – page 12 DEVOIR SURVEILLE : SOLUTIONS Correction détaillée et animée sur www.Mathenpoche.net – chapitre 3N1 EXERCICE 1 : /3 points Dans chaque cas, calcule le PGCD des nombres donnés en détaillant la méthode. a. 36 et 60 /1 point On liste les diviseurs de 36 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 ; 36. On liste les diviseurs de 60 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 10 ; 12 ; 15 ; 20 ; 30 ; 60. On cherche le plus grand nombre commun à ces deux listes. On en déduit que PGCD (36 ; 60) = 12. b. 321 et 112 /1 point On effectue la division euclidienne de 321 par 112 : 321 = 112 × 2 97. Donc PGCD (321 ; 112) = PGCD (112 ; 97). On effectue la division euclidienne de 112 par 97 : 112 = 97 × 1 15. Donc PGCD (112 ; 97) = PGCD (97 ; 15). On effectue la division euclidienne de 97 par 15 : 97 = 15 × 6 7. Donc PGCD (97 ; 15) = PGCD (15 ; 7). On effectue la division euclidienne de 15 par 7 : 15 = 7 × 2 1. Donc PGCD (15 ; 7) = PGCD (7 ; 1). On effectue la division euclidienne de 7 par 1 : 7 = 1 × 7 0. Donc PGCD (7 ; 1) = 1. Donc PGCD (321 ; 112) = 1. c. 1 053 et 325 /1 point On utilise la même méthode que pour le b. : 1 053 = 325 × 3 78. Donc PGCD (1 053 ; 325) = PGCD (325 ; 78). 325 = 78 × 4 13. Donc PGCD (325 ; 78) = PGCD (78 ; 13). 78 = 13 × 6 0. Donc PGCD (78 ; 13) = 13. Donc PGCD (1 053 ; 325) = 13. EXERCICE 2 : /3 points Un collège organise un tournoi sportif par équipe pour tous ses élèves. Chaque équipe doit comporter le même nombre de filles et le même nombre de garçons. Les professeurs souhaitent constituer le plus grand nombre possible d'équipes. Il y a 210 filles et 294 garçons. a. Quel est le plus grand nombre d'équipes que l'on peut constituer ? 210 filles et 294 garçons participent au tournoi et chaque équipe doit comporter le même nombre de filles et de garçons donc le nombre d'équipes est un diviseur de 210 et 294. On cherche le plus grand nombre d'équipes que l'on peut constituer donc ce nombre est le PGCD de 210 et 294. /1 point (pour justifier que le nombre cherché est le PGCD) On calcule le PGCD de 210 et 294 : On effectue la division euclidienne de 294 par 210 : 294 = 210 × 1 84. Donc PGCD (210 ; 294) = PGCD (210 ; 84). On effectue la division euclidienne de 210 par 84 : 210 = 84 × 2 42. Donc PGCD (210 ; 84) = PGCD (84 ; 42). On effectue la division euclidienne de 84 par 42 : 84 = 42 × 2 0. Donc PGCD (84 ; 42) = 42. Donc PGCD (210 ; 294) = 42. /1 point (pour calculer le PGCD) Le plus grand nombre d'équipes que l'on peut constituer est donc 42. b. Combien y-a-t-il alors de filles et de garçons dans chaque équipe ? /0,5 point /0,5 point 210 ÷ 42 = 5 et 294 ÷ 42 = 7 donc il y a cinq filles et sept garçons dans chaque équipe. EXERCICE 3 : /3 points Un ouvrier dispose de plaque de métal de 3,15 m de long et 2,80 m de large. Son patron lui a demandé de découper, dans ces plaques, des carrés tous identiques, les plus grands possibles, de façon à ne pas avoir de perte. 3N1 – Nombre entiers et rationnels – page 13 a. Quelle sera la longueur du côté d'un carré ? 3,15 m = 315 cm et 2,80 m = 280 cm. Le patron a demandé à l'ouvrier de découper dans les plaques des carrés tous identiques de sorte à ne pas voir de perte donc la longueur du côté d'un carré, en centimètres, est un diviseur de 315 et 280. Les carrés doivent être les plus grands possibles donc la longueur du côté d'un carré, en centimètres, est le PGCD de 315 et 280. /0,5 point (pour justifier que le nombre cherché est le PGCD) On calcule le PGCD de 315 et 280. On effectue la division euclidienne de 315 par 280 : 315 = 280 × 1 35. Donc PGCD (315 ; 280) = PGCD (280 ; 35). On effectue la division euclidienne de 280 par 35 : 280 = 35 × 8 0. Donc PGCD (280 ; 35) = 35. Donc PGCD (315 ; 280) = 35. /1 point (pour calculer le PGCD) Le côté d'un carré mesure donc 35 cm. /0,5 point /1 point b. Combien découpera-t-il de carrés par plaque ? 315 ÷ 35 = 9 donc l'ouvrier peut découper neuf carrés dans la longueur d'une plaque. 280 ÷ 35 = 8 donc l'ouvrier peut découper huit carrés dans la largeur d'une plaque. 9 × 8 = 72 donc l'ouvrier peut découper 72 carrés par plaque. EXERCICE 4 : /2 points Les nombres suivants sont-ils premiers entre eux ? Justifie ta réponse. a. 357 et 561 /1 point 3 5 7 = 15 15 est divisible par 3 donc 357 est divisible par 3. 5 6 1 = 12 12 est divisible par 3 donc 561 est divisible par 3. 3 est donc un diviseur commun à 357 et 561. 357 et 561 ont un diviseur commun autre que 1 donc leur PGCD n'est pas égal à 1. Donc 357 et 561 ne sont pas premiers entre eux. EXERCICE 5 : b. 133 et 185 /1 point 133 et 185 n'ont pas de diviseur commun évident. On va donc calculer le PGCD de 133 et 185 (en utilisant par exemple la méthode de l'exercice 1 b.) : 185 = 133 × 1 52 133 = 52 × 2 29 52 = 29 × 1 23 29 = 23 × 1 6 23 = 6 × 3 5 6=5×11 5=1×50 donc PGCD (5 ; 1) = 1 et PGCD (133 ; 185) = 1. Donc 133 et 185 sont premiers entre eux. /3 points Rends les fractions suivantes irréductibles, détaille la démarche. a. 240 105 /1 point On calcule PGCD (240 ; 105) : 240 = 105 × 2 30 105 = 30 × 3 15 30 = 15 × 2 0 Donc PGCD (30 ; 15) = 15. Donc PGCD (240 ; 105) = 15. 16 240 240 ÷ 15 = = 105 105 ÷ 15 7 • EXERCICE 6 : b. 972 648 c. /1 point On calcule PGCD (972 ; 648) : 972 = 648 × 1 324 648 = 324 × 2 0 Donc PGCD (648 ; 324) = 324. Donc PGCD (972 ; 648) = 324. 972 972 ÷ 324 3 = = 648 648 ÷ 324 2 119 187 /1 point On calcule PGCD (187 ; 119) : 187 = 119 × 1 68 119 = 68 × 1 51 68 = 51 × 1 17 51 = 17 × 3 0 Donc PGCD (51 ; 17) = 17. Donc PGCD (119 ; 187) = 117. 119 119 ÷ 17 7 = = 187 187 ÷ 17 11 /6 points 3N1 – Nombre entiers et rationnels – page 14 Calcule et donne le résultat sous la forme d'une fraction irréductible ou d'un entier relatif. A= A= A= A= A= A = B= B= B= B= B= B = 5 2 1 − × 7 7 6 5 2 ×1 − 7 7× 2×3 5×3 1 − 7 × 3 21 15 1 − 21 21 14 ÷ 7 21 ÷ 7 2 /1 point 3 3 1 5 − × 5 2 2 3× 2 1× 5 5 − × 5× 2 2× 5 2 6 5 5 − × 10 10 2 1 5 × 10 2 1× 5 5×2 ×2 1 /1 point 4 2 1 −3 ÷ 3 9 2 9 1 C= − ÷ 3 3 9 −7 9 C= × 3 1 −7× 3× 3 C= 3 ×1 C = − 21 C= C = ─ 21 D= D= D= D= D= 1 3 1 3 1 3 3 9 8 9 /1 point 5 3 ÷ 6 2 5 2 × 6 3 5×2 2× 3× 3 5 9 /1 point 1 1 37 − × 7 4 5 9 5 4 63 37 E= − × 20 20 9 9 1 100 E= × 20 9 5 × 20 E= 20 × 9 5 E= /1 point 9 E= 35 4 × 15 9 7× 5 F= × 3× 5 7 16 F= × 3 36 7 37 F= × 3 36 259 F = 108 F= 7 12 4 ×4 7× 3 9 × 4 12 × 3 21 36 /1 point 3N1 – Nombre entiers et rationnels – page 15
