3N1 Nombres entiers et rationnels CORRECTIONS ET

3N1
Nombres entiers et rationnels
CORRECTIONS ET REMEDIATIONS
Chaque question est corrigée et des aides : soit sur le cahier soit sur le site internet
www.mathenpoche.net sous forme de cours, exercices corrigés par animation ou d'exercices sont
proposées : il te suffit de cliquer sur le lien proposé.
EST-CE QUE TU TE SOUVIENS ? CORRECTION
1) Le multiple d'un nombre est le produit de ce nombre par un nombre entier non nul.
Exemple : 72 = 2 × 36 donc 72 est un multiple de 36. C'est aussi un multiple de 2.
Les multiples de 36 sont : 36, 72, 108,..... il y en a une infinité.
Liens :
Diviseurs, multiples - Aide
Rechercher des multiples et diviseurs - Manuel
2) 30 et 15 sont des multiples de 15 car 30 = 15 × 2 et 15 = 15 × 1.
Un multiple d'un nombre est toujours plus grand ou égal à ce nombre donc 5 et 1 ne conviennent pas.
Le reste de la division de 55 par 15 est 10 donc 55 n'est pas un multiple de 15.
Les multiples de 15 sont : 15, 30, 45, 60 ….. 55 ne figure pas dans la liste.
Liens :
Vrai ou Faux - Exercice
Le juste multiple
3) Un nombre est divisible par 5 si c'est un multiple de 5
Les multiples de 5 se terminent par 0 ou 5.
Donc 795 est divisible par 5.
Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3
7  9  5 = 21 et 21 est un multiple de 3.
Donc 795 est divisible par 3.
Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9
7  9  5 = 21 et 21 n'est un multiple de 9.
Donc 795 n'est pas divisible par 9
Un nombre est divisible par 2 s'il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8.
795 se termine par 5 donc 795 n'est pas divisible par 2.
795 n'est pas divisible par 2, donc il ne peut pas être non divisible par 4.
Liens :
Rechercher des multiples et des diviseurs - Manuel
Critère de divisibilité par 2 - Exercice
Critère de divisibilité par 5 - Exercice
Critère de divisibilité par 3 - Exercice
Critère de divisibilité par 9 – Exercice
3N1 – Nombre entiers et rationnels – page 1

4) 3 est un diviseur de 15 car 15 est un multiple de 3.
Le reste de la division euclidienne de 15 par 3 est nul.
1 ; 3 et 15 sont aussi des diviseurs de 15.
Liens :
Diviseurs, multiples - Aide
Rechercher des multiples et des diviseurs - Manuel
5) 3 et 1 sont des diviseurs de 27 car 27 = 3 × 9 = 27 × 1.
Un diviseur d'un nombre est toujours plus petit que le nombre donc 54 ne convient pas (par contre 54 est
un multiple de 27)
0 n'est jamais un diviseur.
Liens :
Vrai ou Faux - Exercice
6) 68 = 4 × 14  12
A noter : le reste 12 est forcément plus petit que le diviseur 14.
Liens :
Effectuer une division euclidienne - Manuel
Le juste multiple
Division euclidienne - Animation
Division euclidienne - Animation
7) 71 = 13 × 5  6
Le reste de la division euclidienne de 71 par 5 est 1.
La bonne réponse ne peut pas être 6 car le reste est toujours plus petit que le diviseur.
71 = 13 × 5  6 = 14 × 5  1
Liens :
Effectuer une division euclidienne - Manuel
Division euclidienne - Animation
8) Pour simplifier une fraction, on cherche un diviseur commun au numérateur et au dénominateur puis
on simplifie par ce diviseur commun.
Ex :
4
6=2×2 2×3=2 3
on peut aussi écrire :
4
6=4 : 2 6 : 2 =2 3
Liens :
Division euclidienne - Animation
Division euclidienne - Animation
Simplifier une fraction - Aide
9)
90
84 =2×45 2×42 =45 42 =3×15 3×14 =15 14
on peut aussi écrire :
90
84 =90 : 2 84 : 2 =45 42 =45 : 3 42 : 3 =15 14
On peut aussi simplifier directement par 6.
Liens :
Simplifier une fraction - Aide
Simplification assistée - Exercice
Simplification d'une fraction - Exercice
Simplifications - Exercice
3N1 – Nombre entiers et rationnels – page 2

CALCULER UN PGCD
Exercice1
a. 1 est le seul diviseur de 1. Donc le seul candidat possible pour le PGCD de 184 et 1 est 1. Or 1 divise à
la fois 1 et 154. Donc 1 est le PGCD de 1 et 184.
b. Les diviseurs de 8 sont : 1, 2, 4, et 8. Les diviseurs de 24 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, et 24. Les diviseurs
communs à 8 et 24 sont 1, 2, 4 et 8. Le plus grand dans cette liste est 8. Donc le PGCD de 8 et 24 est 8.
c. 28 = 7 × 4 et 21 = 7 × 3 donc 7 est un diviseur commun à 21 et 28. C'est aussi le plus grand car 4 et 3
n'ont aucun diviseur en commun.
d. 19 et 17 sont deux nombres qui ne sont divisibles que par 1 et eux-mêmes donc le PGCD(19;17) = 1
Liens :
Exercice2
Liste des diviseurs de 245 : 1, 5, 7, 35, 49, 245.
Liste des diviseurs de 175 : 1, 5, 7, 25, 35, 175.
Liste des diviseurs communs à 175 et à 245 : 1,5,7 et 35.
Le PGCD de 175 et de 245 est le diviseur commun le plus grand : 35.
Liens :
Définition du PGCD - Cours
Déterminer le PGCD en listant les diviseurs - Exercice
Exercice3
Avec la méthode des soustractions successives :
a b a − b
132 54 132 − 54 = 78
78 54 78 − 54 = 24
54 24 54 − 24 = 30
30 24 30 − 24 = 6
24 6 24 − 6 = 18
18 6 18 − 6 = 12
12 6 12 − 6 = 6
6 6 6 − 6 = 0
Donc le PGCD de 2010 et 714 est 6.
Liens :
Méthode des soustractions successives - Aide animée
Déterminer le PGCD par la méthode des soustractions successives - Exercice
3N1 – Nombre entiers et rationnels – page 3

Exercice4 Avec la méthode des divisions successives :
6273 = 5916 × 1  357
5916 = 357 × 16  204
357 = 204 × 1  153
204 = 153 × 1  51
153 = 51 × 3  0
Le PGCD de 5 916 et de 6 273 est donc 51.
Liens :
La méthode des divisions succesives ou algorithme d'Euclide - Aide animée
Calculer le PGCD par la méthode des divisions successives - Exercice
Exercice5
Avec la méthode des divisions successives :
8415 = 6783 × 1  1632
6783 = 1632 × 4  255
1632 = 255 × 6  102
255 = 102 × 2  51
102 = 51 × 2  0
Le PGCD de 8415 et de 6783 est donc 51.
Liens :
Calculer le PGCD de deux nombres - Exercice
3N1 – Nombre entiers et rationnels – page 4

UTILISER UN PGCD
Exercice6
a. Comme 1848 se termine par le chiffre 8, alors 1 848 est divisible par 2. De même, 2 040 est divisible
par 2 puisqu'il se termine par 0. Ainsi, 2 est un diviseur commun évident à 1 848 et 2 040. La fraction
1 848
2 040
peut donc être simplifiée par 2 : elle n'est pas irréductible.
b. Appliquons la méthode des divisions successives (l'algorithme d'Euclide) :
On effectue la division euclidienne de 2 040 par 1 848 : 2 040 = 1 848 × 1  192
Le PGCD de 2 040 et 1 848 est donc égal au PGCD de 1 848 et 192.
On effectue la division euclidienne de 1 848 par 192 : 1 848 = 192 × 9  120
Le PGCD de 1 848 et 192 est donc égal au PGCD de 192 et 120.
On effectue la division euclidienne de 192 par 120 : 192 = 120 × 1  72
Le PGCD de 192 et 120 est donc égal au PGCD de 120 et 72.
On effectue la division euclidienne de 120 par 72 : 120 = 72 × 1  48
Le PGCD de 120 et 72 est donc égal au PGCD de 72 et 48.
On effectue la division euclidienne de 72 par 48 : 72 = 48 × 1  24
Le PGCD de 72 et 48 est donc égal au PGCD de 48 et 24.
On effectue la division euclidienne de 48 par 24 : 48 = 24 × 2  0
La division tombe juste, donc l'algorithme s'arrête.
Le PGCD de 2 040 et 1 848 est donc le dernier reste non nul : c'est donc 24.
Liens :
Qu'est ce que deux nombres premiers entre eux - Méthode
Est-ce que deux nombres sont premiers entre eux - Exercice
Rendre une fraction irréductible - Exercice
Exercice7
Pour pouvoir répartir les 315 enfants dans les différents groupes, il faut que le nombre de groupe divise
315. De même, pour répartir les accompagnateurs, le nombre de groupes doit être un diviseur de 35.
Le nombre de groupes doit donc être un diviseur commun à 315 et 35.
Les diviseurs de 35 sont : 1 - 5 - 7 - 35.
Chacun de ses nombres est par ailleurs un diviseur de 315, puisque
315 = 1 × 315 = 5 × 63 = 7×45 = 35 × 9.
Par conséquent, les diviseurs communs à 315 et 35 sont : 1 - 5 - 7 - 35.
Il est donc possible de faire 1 groupe (ce qui n'est pas très pertinent !), ou bien 5 ou bien 7 ou
bien 35 groupes.
Liens :
Résous des problèmes – Exercice
3N1 – Nombre entiers et rationnels – page 5