CONTROLE N°5 TS2.

CONTROLE N°5
TS2.
Vendredi 22 janvier 2016.
1 heure.
I.
f est la fonction définie sur
repère.
1.
Résoudre dans
par f(x)
2 x 2sin(x) et Cf est sa courbe représentative dans un
puis dans [0 4 ] l équation cos(x)
2
2
2.
La fonction f est-elle périodique de période 2 ? Justifier.
3.
Montrer que pour tout x de , f( x)
f(x). Que peut-on en déduire pour Cf ?
4.
Construire le tableau de variation de f sur [0 ] et en déduire à l aide de la question 3, le tableau
de variation de f sur [
].
II. Le plan est rapporté à un repère orthonormal.
f est la fonction définie sur par : f(x) (2 cos(x))e 1 x .
1.
Justifier que, pour tout x de , 2 cos(x) sin(x) 0.
2.
Montrer que, pour tout x de , f (x) e 1 x ( sin(x) 2 cos(x))
3.
Déterminer le sens de variation de f sur .
4.
a.
Montrer que, pour tout x de : e 1 x f(x) e 1 x .
b.
En déduire les limites de f en + et – .
c.
Interpréter géométriquement le résultat obtenu lors du calcul de la limite de f en + .
III. Résoudre dans
l inéquation e 2x 6e x 7
0.
CORRECTION DU CONTROLE N°5
TS2.
I.
f est la fonction définie sur par f(x)
2 x 2sin(x) et Cf est sa courbe représentative dans un
repère.
5
 3

1.
Dans : S 
2k
2k ,k€ .
4
 4

 3

5 11 13 
Dans [0 4 ] : S 
.
4
4
4
4 

2.
f(0) 0 2sin(0) 0 et f(2 )
22 2 0
2 2 ≠0 donc f n est pas périodique de
période 2 .
3.
Soit x un réel.
f( x)
2 ( x) 2sin( x)
2x 2sin(x)
( 2 x 2sin(x)) f(x) car sin( x) sin(x).
La fonction f est impaire. Cf est symétrique par rapport à l origine du repère.
4.
f est dérivable sur [0 ].
f (x)
2 2cos(x).
2 0 x 3 .
Dans [0 ], f (x) 0  cos(x)
2
4
On a donc le tableau de variations :
x
3
0
4
+
f (x)
f(x)
0
2
3
2
1
 4

Par symétrie, le tableau de variations de f sur [
x
3
4
f(x)
2 3
1
 4

] est :
3
4
0
2
0
23
 4
2
1

II. f est la fonction définie sur par : f(x) (2 cos(x))e 1 x .
1.
Pour tout réel x, cos(x)
1 et sin(x)
1 donc cos(x) sin(x)
2 et
2 cos(x) sin(x) 0.
2.
f est dérivable sur .
f (x) ( sin(x))e 1 x (2 cos(x))( e 1 x ) e 1 x ( sin(x) 2 cos(x))
3.
D après la question 1, pour tout réel x, 2 cos(x) sin(x) 0.
4.
Pour tout x de , e 1 x 0 et 2 cos(x) sin(x) donc f (x) 0. La fonction f est donc
décroissante sur .
5.
a.
Soit x un réel.
1 cos(x) 1 donc 1 2 cos(x) 3
donc e 1 x f(x) 3e 1 x car e 1 x 0.
b.
et lim e X
lim 1 x
x
donc lim e 1
X
lim f(x)
x
. Alors, d après les th de comparaison,
x
.
x
D autre part, lim 1 x
x
et lim e X
X
0 donc lim e 1
x
x
0.
On a alors lim e 1
x
c.
x
lim 3e 1
x
0 donc, d après le th des gendarmes, lim f(x) 0.
x
x
L axe des abscisses est asymptote à la courbe de f en + .
III. Soit l inéquation e 2x 6e x 7 0.
On pose X e x . Alors X² ( e x ) 2 e 2x .
X
X
ex
ex

Ainsi, e 2x 6e x 7 0  
0 X² 6X 7 0
X² 6X 7
Résolution de X² 6X 7 0 : =64 donc le trinôme a deux racines qui sont
entre les racines.
Ainsi : e 2x 6e x 7 0  7 e x 1
 e x 1 car e x 0 pour tout réel x.
 ex e0
x 0
S ]
0].
7 et 1 et il est positif sauf