TES-primitives-doc-e.. - Mathématiques au lycée Bellepierre

TABLE DES MATIÈRES – page -1
Chapitre 9 – Primitives
Chapitre 9 – Primitives
Table des matières
I
Exercices
I-1
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-1
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-1
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-1
4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-1
5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-1
II Cours
II-1
1
Définition et propriété . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-1
2
Détermination de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-2
TES – Mathématiques
TDM
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I EXERCICES – page I-1
Chapitre 9 – Primitives
I
Exercices
1
Tableau de DÉRIVÉES
Le tableau ci-contre rappelle les dérivées des fonctions usuelles.
Pour chacune des fonctions f suivantes, utiliser ce tableau pour déterminer une primitive F de f .
f (x)
f ′ (x)
k constante
0
1. f (x) = 1
F(x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
1
2. f (x) = x2
F(x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x2
2x
3. f (x) = x
1
4. f (x) =
x
1
5. f (x) = 2
x
1
6. f (x) = √
x
x
7. f (x) = e
F(x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n
5
F(x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
F(x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
F(x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
F(x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
1
x
√
x
nxn−1
1
− 2
x
1
√
2 x
ln x
1
x
ex
ex
2
On rappelle que pour une fonction u dérivable sur un intervalle I, on sait que :
u′
et que (eu )′ = u′ eu
(ln u)′ =
u
Pour chacune des fonctions f suivantes, déterminer une primitive F de f .
1
1
1
1) f (x) =
2) f (x) =
3) f (x) =
(a 6= 0)
2x + 3
3x − 5
ax + b
4) f (x) = e4x−6
5) f (x) = e0,2x
6) f (x) = eax+b
(a 6= 0)
3
Pour chacune des fonctions f définies ci-dessous, déterminer une primitive F de f .
1
1
1) f (x) = 5x + 4
2) f (x) = x2 + x3
3) f (x) = − √
4) f (x) = 3x2 − 4x + 7
x
x
1
3
6) f (x) = 5 −
7) f (x) = x + 9e−0,3x
8) f (x) = 128e0,004x
5) f (x) = −
x+1
x+1
4
Vérifier chaque fois que F est une primitive de f .
1) f (x) = 3xe−x
F(x) = (−3 − 3x)e−x
2) f (x) = ln x
F(x) = −x + x ln x
5
Pour chacune des fonctions f suivantes, déterminer une primitive F de f .
5
2x
3) f (x) =
1) f (x) = 3(3x + 1)4
2) f (x) = 2
x +1
(5x − 6)2
x
5) f (x) = 9e9x−4
6) f (x) = (4x + 1)5
7) f (x) = 2
x +9
2 ln x
1
9) f (x) =
Indication : f (x) = 2 × × ln x.
x
x
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4x3
x4 + 7
1
8) f (x) =
(3x − 1)2
3 + ln x
10)f (x) =
x
4) f (x) = √
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II COURS – page II-1
Chapitre 9 – Primitives
II
1
Cours
Définition et propriété
Définition
Soit deux fonctions f et F définies sur un intervalle I.
Dire que F est une primitive de f sur I signifie que f est la dérivée de F sur I, c’est à dire F′ = f
Exemple
Soit la fonction F définie et dérivable sur IR par F(x) = x2 + 3x
et la fonction f définie sur IR par f (x) = 2x + 3.
Pour nombre x de IR, F′ (x) = f (x)
f est la dérivée de F sur IR donc F est une primitive de f sur IR.
Propriété
Soit une fonction f définie sur un intervalle I et F une primitive de f sur I.
Alors
– la fonction f admet une infinité de primitives
– toute primitive de f est de la forme x 7−→ F(x) + c, où c est un nombre réel.
Exemple
On reprend les fonctions f et F de l’exemple précédent.
Les fonctions F2 et F3 définies par
F2 (x) = x2 + 3x + 5
et
sont des primitives de f , en effet, pour tout nombre x de IR,
F′2 (x) = 2x + 3 = f (x)
et
et pour nombre x de IR, on a
TES – Mathématiques
F3 (x) = x2 + 3x − 4
F′3 (x) = 2x + 3 = f (x)
F2 (x) = F(x) + 5
et
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F3 (x) = F(x) − 4
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II COURS – page II-2
Chapitre 9 – Primitives
2
Détermination de primitives
La propriété et les deux tableaux ci-dessous sont utiles pour déterminer des primitives. On les obtient
en lisant des tableaux de dérivation « à l’envers ».
Propriété
Soient U et V des primitives respectives des fonctions u et v sur un intervalle I, et k un nombre
réel.
Alors
• U + V est une primitive de u + v sur I
• kU est une primitive de ku sur I
Tableau 1
Dans le tableau ci-dessous :
f désigne une fonction définie sur un intervalle I, F est une primitive de f , et c est une constante.
f (x)
F(x)
I
k constante
kx + c
x2
+c
2
xn+1
+c
n+1
IR
ln x + c
] − ∞ ; 0[ ou ]0 ; +∞[
x
xn
1
x
1
x2
1
√
x
1
− +c
x
√
2 x+c
ex + c
ex
IR
IR
] − ∞ ; 0[ ou ]0 ; +∞[
]0 ; +∞[
IR
1
1
b
b
(a 6= 0)
ln(ax + b) + c ] − ∞ ; − [ ou ] − ; +∞[
ax + b
a
a
a
1 ax+b
e
+c
eax+b (a 6= 0)
IR
a
Tableau 2
Dans ce tableau, u est une fonction dérivable sur un intervalle I, et n est un nombre entier.
Fonctions Primitives
un+1
u′ un
n+1
′
u
ln u
u
1
u′
−
2
u
u
′
√
u
√
2 u
u
u′ eu
eu
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