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Chapitre 9 – Primitives TABLE DES MATIÈRES – page -1
Chapitre 9 – Primitives
Table des matières
I Exercices I-1
1 ................................................ I-1
2 ................................................ I-1
3 ................................................ I-1
4 ................................................ I-1
5 ................................................ I-1
II Cours II-1
1 Définition et propriété . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-1
2 Détermination de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-2
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Chapitre 9 – Primitives I EXERCICES – page I-1
I Exercices
1
Le tableau ci-contre rappelle les dérivées des fonctions usuelles.
Pour chacune des fonctions fsuivantes, utiliser ce tableau pour déter-
miner une primitive F de f.
1. f(x) = 1 F(x)= ..........................................
2. f(x) = x2F(x)= ........................................
3. f(x) = x5F(x)= ........................................
4. f(x) = 1
xF(x)= .........................................
5. f(x) = 1
x2F(x)= ........................................
6. f(x) = 1
√xF(x)= .......................................
7. f(x) = exF(x)= .........................................
Tableau de DÉRIVÉES
f(x)f′(x)
kconstante 0
x1
x22x
xnnxn−1
1
x−1 x2
√x1
2√x
ln x1
x
exex
2
On rappelle que pour une fonction udérivable sur un intervalle I, on sait que :
(ln u)′=u′
uet que (eu)′=u′eu
Pour chacune des fonctions fsuivantes, déterminer une primitive F de f.
1) f(x) = 1
2x+ 3 2) f(x) = 1 3x−53) f(x) = 1 ax +b(a6= 0)
4) f(x) = e4x−65) f(x) = e0,2x6) f(x) = eax+b(a6= 0)
3
Pour chacune des fonctions fdéfinies ci-dessous, déterminer une primitive F de f.
1) f(x) = 5x+ 4 2) f(x) = x2+x33) f(x) = 1
x−1
√x4) f(x) = 3x2−4x+ 7
5) f(x) = −3
x+ 1 6) f(x) = 5 −1 x+ 1 7) f(x) = x+ 9e−0,3x8) f(x) = 128e0,004x
4
Vérifier chaque fois que F est une primitive de f.
1) f(x) = 3xe−xF(x) = (−3−3x)e−x2) f(x) = ln xF(x) = −x+xln x
5
Pour chacune des fonctions fsuivantes, déterminer une primitive F de f.
1) f(x) = 3(3x+ 1)42) f(x) = 2x
x2+ 1 3) f(x) = 5 (5x−6)24) f(x) = 4x3
√x4+ 7
5) f(x) = 9e9x−46) f(x) = (4x+ 1)57) f(x) = x
x2+ 9 8) f(x) = 1 (3x−1)2
9) f(x) = 2 ln x
xIndication : f(x) = 2 ×1 x×ln x. 10)f(x) = 3 + ln x x
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Chapitre 9 – Primitives II COURS – page II-1
II Cours
1 Définition et propriété
Définition
Soit deux fonctions fet F définies sur un intervalle I.
Dire que F est une primitive de fsur I signifie que fest la dérivée de F sur I, c’est à dire F′=f
Exemple
Soit la fonction F définie et dérivable sur IR par F(x) = x2+ 3x
et la fonction fdéfinie sur IR par f(x) = 2x+ 3.
Pour nombre xde IR, F′(x) = f(x)
fest la dérivée de F sur IR donc F est une primitive de fsur IR.
Propriété
Soit une fonction fdéfinie sur un intervalle I et F une primitive de fsur I.
Alors
– la fonction fadmet une infinité de primitives
– toute primitive de fest de la forme x7−→ F(x) + c, où cest un nombre réel.
Exemple
On reprend les fonctions fet F de l’exemple précédent.
Les fonctions F2et F3définies par F2(x) = x2+ 3x+ 5 et F3(x) = x2+ 3x−4
sont des primitives de f, en effet, pour tout nombre xde IR,
F′
2(x) = 2x+ 3 = f(x) et F′ 3(x) = 2x+ 3 = f(x)
et pour nombre xde IR, on a F2(x) = F(x) + 5 et F3(x) = F(x)−4
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Chapitre 9 – Primitives II COURS – page II-2
2 Détermination de primitives
La propriété et les deux tableaux ci-dessous sont utiles pour déterminer des primitives. On les obtient
en lisant des tableaux de dérivation « à l’envers ».
Propriété
Soient U et V des primitives respectives des fonctions uet vsur un intervalle I, et kun nombre
réel.
Alors
•U + V est une primitive de u+vsur I
•kU est une primitive de ku sur I
Tableau 1
Dans le tableau ci-dessous :
fdésigne une fonction définie sur un intervalle I, F est une primitive de f, et cest une constante.
f(x) F(x) I
kconstante kx +cIR
xx2
2+cIR
xnxn+1
n+ 1 +cIR
1
xln x+c]− ∞ ; 0[ ou ]0 ; +∞[
1
x2−1 x+c]− ∞ ; 0[ ou ]0 ; +∞[
1
√x2√x+c]0 ; +∞[
exex+cIR
1
ax +b(a6= 0) 1 aln(ax +b) + c]− ∞ ;−b a[ ou ] −b a; +∞[
eax+b(a6= 0) 1
aeax+b+cIR
Tableau 2
Dans ce tableau, uest une fonction dérivable sur un intervalle I, et nest un nombre entier.
Fonctions Primitives
u′unun+1
n+ 1
u′
uln u
u′
u2−1 u
u′
√u2√u
u′eueu
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