Chapitre 11 : Nombres entiers et rationnels. PGCD

3ème3
2009-2010
Chapitre 11 : Nombres entiers et rationnels. PGCD
I. Ensembles de nombres
1/ Les nombres entiers
Définition
Les nombres entiers naturels sont les nombres positifs qui peuvent s'écrire sans virgule.
Exemples
12 ;
3,1×102 ; 7,00 ;
4
 121 ; 124 .
Définition
Les nombres entiers relatifs sont les nombres positifs et négatifs qui peuvent s'écrire sans
virgule.
Exemples
56
; 87 ; – 10 12 .
–
7
2/ Les nombres décimaux
Définition
Un nombre décimal est un nombre qui s'écrit avec une partie décimale finie.
Exemples
−124 sont des nombres décimaux.
5,124
=0,05124 ; 7×10
100
Attention !
1 n'est pas un nombre décimal car 1÷3=0,333333333333 ... .
3
1
2
7
De même :
;
;
.
7
11 13
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3/ Les nombres rationnels
Définition
a et b sont deux nombres entiers ; b étant différent de 0 .
Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme
a
.
b
Exemples
– 12,548=
– 12548 1
15
45
– 70
2
–
45=
– 7=
;
;
;
;
;
1 000
3
19
1
10
11 .
Remarque
Il existe des nombres dits irrationnels qui ne peuvent pas s'écrire sous la forme
a
:
b
2 ;
– 4 3 ;  …
Rappels
• Périmètre d'un cercle de rayon r : 2××r .
• Aire d'un disque de rayon r : ×r 2 .
II. Diviseurs
Diviseur (d)
Dividende (D)
Rappel
Lorsqu'on pose la division euclidienne de
deux nombres, on a : D=d qr et r d .
1 4 8
− 1 2
2 8
2 4
4
12
1 2
Quotient (q)
Reste (r)
1/ Diviseurs d'un nombre entier
Définition
a et b représentent deux nombres entiers non nuls.
b divise a si le reste de la division euclidienne de a par b est nul.
Exemples
• Est-ce que 3 divise 111 ? Oui car 3×37=111 (donc le reste de la division
euclidienne de 111 par 3 est 0 ).
• Est-ce que 17 divise 54 ? Non, car 54=3×173 (le reste est égal à 3 ).
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S'exprimer
On peut dire que :
• 3 divise 111
• 111 est divisible par 3
• 3 est un diviseur de 111 .
Rappels : critères de divisibilité
• Un nombre est divisible par 2 s'il est pair (le chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8).
• Divisible par 3 : la somme des chiffres est dans la table de 3 .
• Par 5 : évident !
• Par 9 : la somme des chiffres est dans la table de 9 .
• Par 10 : évident !
2/ Recherche des diviseurs d'un nombre
Exemple 1
Trouve tous les diviseurs de 84 , sans en oublier !
On trouve toutes les décompositions possibles de façon systématique :
84=1×84
84=2×42
84=3×28
84=4×21
84=6×14
84=7×12
Les diviseurs sont les nombres qui interviennent dans les décompositions :
1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 7 , 12 , 14 , 21 , 28 , 42 et 84
Exemple 2
Même question avec 56 .
1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 8 ; 14 ; 28 ; 56
3/ Diviseurs communs à deux nombres
Exemple 1
D'après le paragraphe précédent, les diviseurs communs à 84 et 56 sont 1 , 2 , 4 , 7 , 14
et 28 .
Le plus grand d'entre eux est 28 .
Exemple 2
Trouve les diviseurs communs à 27 et 42 .
• Diviseurs de 27 : 1 , 3 , 9 , 27 .
Diviseurs de 42 : 1 , 2 , 3 , 6 , 7 , 14 , 21 , 42
• Diviseurs communs : 1 et 3
• Plus grand diviseur commun : 3 .
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Application à la simplification de fraction
84
Simplifie
.
56
On sait que 28 est le plus grand des diviseurs communs à 84 et 56 . On se sert donc de 28
pour simplifier :
84 28×3 3
=
=
56 28×2 2
On obtient directement une fraction irréductible.
4/ Nombres premiers entre eux
Définition
Deux nombres sont premiers si le seul diviseur commun est 1 .
Remarque
On pourrait dire aussi que ces deux nombres ne sont pas dans une même table de
multiplication.
Exemples
• 3 et 7
• 18 et 25
Interprétation
3
18
et
sont irréductibles.
7
25
III. PGCD
1/ Définition/Notation
Définition
Le PGCD de deux nombres est le Plus Grand Commun Diviseur.
Exemple/Méthode
Quel est le PGCD de 24 et 36 ?
• Diviseurs de 24 : 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 12 et 24 .
• Diviseurs de 36 : 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 9 , 12 , 18 et 36
Le PGCD est 12 .
Notation
PGCD( 24 , 36 )= 12
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2/ Méthode par soustractions successives (avec calculatrice)
a. Activité
Comparer le PGCD de deux nombres ainsi que celui du plus petit et de leur différence.
On pourra prendre 36 et 48 .
• On trouve PGCD(36,48)=12
• Plus petit des deux : 36
Différence : 48-36=12
PGCD(12,36)=12
On remarque que PGCD(36,48)=PGCD(36,48-36).
On continue sur le même principe :
• Plus petit entre 36 et 12 : 12
Différence : 36-12=24
PGCD(12,24)=12
Encore...
• Plus petit entre 12 et 24 : 12
Différence : 24-12=12
PGCD(12,12)=12
b. Méthode sur un exemple
Quel est le PGCD de 1035 et 322 ?
1035
Plus petit
des deux
322
322
322
69
69
69
69
46
23
322
Différence
des deux
713
391
69
253
184
115
46
23
23
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Puisque PGCD(1035,322)=PGCD(322,713)=...=PGCD(23,23) alors PGCD(1035,322)=23.
Par ailleurs, on a :
• 1035÷23=45 et 322÷23=14
322
322÷23 14
• 1035 = 1035÷23 = 45
Autre exemple
Même question avec 2886 et 1258
2886
Plus petit
des deux
1258
1258
370
370
370
148
148
74
74
1258
Différence
des deux
1628
370
888
518
148
222
74
74
0
Donc PGCD(2886,1258)=74
Et encore un
Calcule le PGCD de 2170 et 4433 .
2170
Plus petit
des deux
2170
2170
93
93
93
93
93
93
93
93
93
93
93
93
93
93
93
93
4433
Différence
des deux
2263
93
2077
1984
1891
1798
1705
1612
1519
1426
1333
1240
1147
1054
961
868
775
682
93
Plus petit
des deux
93
93
93
93
93
93
93
31
31
682
Différence
des deux
589
496
403
310
217
124
31
62
31
Donc PGCD(2170,4433)=31. C'est un peu long !
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3/ Méthode d'Euclide (avec calculatrice)
a. Activité
On considère 36 et 48 . Comparer le PGCD de ces deux nombres avec le PGCD du diviseur
et du reste.
• On trouve assez facilement que PGCD(36,48)=12
• Posons la division euclidienne de 48 par 36 .
Diviseur (d)
Dividende (D)
4 8
− 3 6
1 2
36
1
Quotient (q)
Reste (r)
PGCD(36,12)=12
On remarque PGCD(nombre1,nombre2)=PGCD(diviseur, reste)
b. Méthode sur un exemple
Calcule PGCD(1035,322)
Dividende
1035
322
69
46
diviseur
322
69
46
23
reste
69
46
23
0
quotient
3
4
1
2
PGCD(1035,322)=PGCD(46,23)=23. On remarque que c'est le dernier reste non nul.
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Autre exemple
Calcule le PGCD de 2170 et 4433 par la méthode d'Euclide, et retrouve plus rapidement le
résultat précédent.
Dividende
4433
2170
93
diviseur
2170
93
31
reste
93
31
0
quotient
2
23
3
Le dernier reste non nul est 31 , c'est donc le PGCD recherché.
4/ Méthode par décomposition (cas simples)
On a 210=2×3×5×7 et 84=2×2×3×7 . On trouve le PGCD en prenant les nombres en
commun dans les décompositions : PGCD 210,84=2×3×7=42 .