Chapitre 11 : Nombres entiers et rationnels. PGCD

3ème3 2009-2010
Chapitre 11 : Nombres entiers et rationnels. PGCD
Chapitre 11 : Nombres entiers et rationnels. PGCD
I. Ensembles de nombres
1/ Les nombres entiers
Définition
Les nombres entiers naturels sont les nombres positifs qui peuvent s'écrire sans virgule.
Exemples
12
4
;
3,1×102
;
7,00
;
121
;
124
.
Définition
Les nombres entiers relatifs sont les nombres positifs et négatifs qui peuvent s'écrire sans
virgule.
Exemples
–56
7
;
87
;
–1012
.
2/ Les nombres décimaux
Définition
Un nombre décimal est un nombre qui s'écrit avec une partie décimale finie.
Exemples
5,124
100 =0,05124
;
7×10−124
sont des nombres décimaux.
Attention !
1
3
n'est pas un nombre décimal car
1÷3=0,333333333333...
.
De même :
1
7
;
2
11
;
7
13
.

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3/ Les nombres rationnels
Définition
a
et
b
sont deux nombres entiers ;
b
étant différent de
0
.
Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme
a
b
.
Exemples
–12,548=–12548
1 000
;
1
3
;
–15
19
;
45=45
1
;
–7=–70
10
;
2
11
.
Remarque
Il existe des nombres dits irrationnels qui ne peuvent pas s'écrire sous la forme
a
b
:
2
;
–4 3
; …
Rappels
•Périmètre d'un cercle de rayon
r
:
2××r
.
•Aire d'un disque de rayon
r
:
×r2
.
II. Diviseurs
Rappel
Lorsqu'on pose la division euclidienne de
deux nombres, on a :
D=d qr
et
rd
.
1/ Diviseurs d'un nombre entier
Définition
a
et
b
représentent deux nombres entiers non nuls.
b
divise
a
si le reste de la division euclidienne de
a
par
b
est nul.
Exemples
•Est-ce que
3
divise
111
? Oui car
3×37=111
(donc le reste de la division
euclidienne de
111
par
3
est
0
).
•Est-ce que
17
divise
54
? Non, car
54=3×173
(le reste est égal à
3
).
1 4 8 12
− 1 2
2 8 1 2
2 4
4
Reste (r)
Quotient (q)
Dividende (D) Diviseur (d)

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S'exprimer
On peut dire que :
•
3
divise
111
•
111
est divisible par
3
•
3
est un diviseur de
111
.
Rappels : critères de divisibilité
•Un nombre est divisible par
2
s'il est pair (le chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8).
• Divisible par
3
: la somme des chiffres est dans la table de
3
.
•Par
5
: évident !
•Par
9
: la somme des chiffres est dans la table de
9
.
•Par
10
: évident !
2/ Recherche des diviseurs d'un nombre
Exemple 1
Trouve tous les diviseurs de
84
, sans en oublier !
On trouve toutes les décompositions possibles de façon systématique :
84=1×84
84=2×42
84=3×28
84=4×21
84=6×14
84=7×12
Les diviseurs sont les nombres qui interviennent dans les décompositions :
1
,
2
,
3
,
4
,
6
,
7
,
12
,
14
,
21
,
28
,
42
et
84
Exemple 2
Même question avec
56
.
1
;
2
;
4
;
7
;
8
;
14
;
28
;
56
3/ Diviseurs communs à deux nombres
Exemple 1
D'après le paragraphe précédent, les diviseurs communs à
84
et
56
sont
1
,
2
,
4
,
7
,
14
et
28
.
Le plus grand d'entre eux est
28
.
Exemple 2
Trouve les diviseurs communs à
27
et
42
.
•Diviseurs de
27
:
1
,
3
,
9
,
27
.
Diviseurs de
42
:
1
,
2
,
3
,
6
,
7
,
14
,
21
,
42
•Diviseurs communs :
1
et
3
•Plus grand diviseur commun :
3
.

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Application à la simplification de fraction
Simplifie
84
56
.
On sait que
28
est le plus grand des diviseurs communs à
84
et
56
. On se sert donc de
28
pour simplifier :
84
56 =28×3 28×2=3 2
On obtient directement une fraction irréductible.
4/ Nombres premiers entre eux
Définition
Deux nombres sont premiers si le seul diviseur commun est
1
.
Remarque
On pourrait dire aussi que ces deux nombres ne sont pas dans une même table de
multiplication.
Exemples
•
3
et
7
•
18
et
25
Interprétation
3
7
et
18
25
sont irréductibles.
III. PGCD
1/ Définition/Notation
Définition
Le PGCD de deux nombres est le Plus Grand Commun Diviseur.
Exemple/Méthode
Quel est le PGCD de
24
et
36
?
•Diviseurs de
24
:
1
,
2
,
3
,
4
,
6
,
8
,
12
et
24
.
•Diviseurs de
36
:
1
,
2
,
3
,
4
,
6
,
9
,
12
,
18
et
36
Le PGCD est
12
.
Notation
PGCD(
24
,
36
)=
12

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2/ Méthode par soustractions successives (avec calculatrice)
a. Activité
Comparer le PGCD de deux nombres ainsi que celui du plus petit et de leur différence.
On pourra prendre
36
et
48
.
•On trouve PGCD(36,48)=12
•Plus petit des deux : 36
Différence : 48-36=12
PGCD(12,36)=12
On remarque que PGCD(36,48)=PGCD(36,48-36).
On continue sur le même principe :
•Plus petit entre 36 et 12 : 12
Différence : 36-12=24
PGCD(12,24)=12
Encore...
•Plus petit entre 12 et 24 : 12
Différence : 24-12=12
PGCD(12,12)=12
b. Méthode sur un exemple
Quel est le PGCD de
1035
et
322
?
1035 322
322 713
322 391
322 69
69 253
69 184
69 115
69 46
46 23
23 23
Plus petit
des deux
Différence
des deux