Nombres en écriture fractionnaire

Marc Bizet – collège Pablo Picasso – Harfleur – classe de 5
ème
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Nombres en écriture fractionnaire
1. Ecriture fractionnaire d’un quotient :
a. La division « tombe » juste :
dividende 13 4 diviseur
10 3,25
20
reste 0 quotient
3,25 est le quotient de 13 par 4. On écrit 13 : 4 = 3,25, ou encore
,
13
3 25
4
=
13 est le numérateur, et 4 le dénominateur.
b. La division ne « tombe » pas juste :
11 3
20 3,66... Le quotient
3
11
n’est pas décimal.
20
20
Question : les quotients suivants sont ils des fractions ?
,
,
2 7 2 71,02 1
3 1 9 4 10 000
2. Simplification de fractions
a. Egalité de quotients :
Chez la quincailler, tous les tournevis sont au même prix. Anne achète 2 tournevis, et paie 7 €. Pierre
achète lui, 4 tournevis et paie 14 €. Eric, enfin, achète 6 tournevis. Il paie 21 €.
Les quotients égaux au prix d’un tournevis sont :
,
7 14 21
3 5
2 4 6
= = =
Définition : si
a
et
b
sont deux entiers, et si b
≠
0
, alors
a
b
s’appelle une fraction.

Marc Bizet – collège Pablo Picasso – Harfleur – classe de 5
ème
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Exercice de cours : trouve 5 quotients égaux à
7
2
.
Propriété :
On ne change pas un quotient lorsqu’on multiplie ou lorsqu’on divise le numérateur et le
dénominateur par un même nombre (non nul)
x k
÷
k
a k a
b k b
×
=
×
et
k a a
k b b
×
=
×
x k
÷
k
Transformons des quotients en fractions (numérateur et dénominateur entiers) :
•
, ,
, ,
2 7 2 7 100 270
0 13 0 13 100 13
×
= =
×
• , ,
, ,
44 3 44 3 1 000 44 300
2 005 2 005 1 000 2 005
×
= =
×
Exercice de cours :
Ecrire les quotients suivants sous forme de fractions :
,
,
0 1 4,1 921 0,003 841,07
0 3 0,7 10,5 0,1 11,235
Réduisons certaines fractions (numérateur et dénominateur entiers les plus petits possibles) :
•
24 8 3 8
15 5 3 5
×
= =
×
•
25 5 5 5
35 5 7 7
×
= =
×
Exercice de cours :
Réduire au maximum chaque fraction (si possible) :
9 9 35 33 24
12 15 12 44 56
b. critères de divisibilité :
Un entier est divisible par 2 si le chiffre de ses unités est 0,2,4,6, ou 8.
Exemples :
1 234
,
156 002
sont divisibles par 2.
Contre-exemple :
222 221
n’est pas divisible par 2.
Un entier est divisible par 3 si la somme des chiffres qui le compose est divisible par 3.
Exemples : 39, 102, 450, 9 981 sont divisibles par 3.
Contre-exemples : 46, 167, 200 000 ne sont pas divisibles par 3.
Un entier est divisible par 5 si le chiffre de ses unités est 5 ou 0.
Exemples : 55, 12 560, 765 555 sont divisibles par 5.
Contre-exemples : 104, 1 001 ne sont pas divisibles par 5.

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Un entier est divisible par 9 si la somme des chiffres qui le compose est divisible par 9.
Exemples : 18, 72, 108, 954, 1 063 044 sont divisibles par 9.
Contre-exemples : 25, 33, 1 058 ne sont pas divisibles par 9.
c. diviseur commun :
On dira qu’un nombre est un diviseur commun à 10 et 6 si 10 et 6 sont divisibles tous les deux par ce
nombre.
2 est un diviseur commun à 10 et 6.
Complète:
..... ....
..... ....
10 2
6 2
×
= =
×
..... ..... ....
..... ..... ....
35
25
×
= =
×
On a simplifié
10
6
en divisant les deux termes par 2, car 2 est un diviseur commun à 10 et 6.
Par quel nombre simplifie-t-on
35
25
?
Exercice de cours :
Simplifier (penser aux diviseurs communs)
, , , , , , , ,
28 4 8 3 15 24 40 144 100
35 6 12 9 5 48 120 90 8
d. Comparer des fractions :
Comparer des fractions, c’est déterminer celui des deux qui est le plus grand, celui qui est le plus
petit, afin de les ranger dans l’ordre croissant ou décroissant.
a. Comparons
2
5
et
3
5
Deux méthodes :
• Il faut garder à l’esprit qu’une fraction est une division donc
,
2
2 5 0 4
5
= ÷ = et
,
3
3 5 0 6
5
= ÷ = .
Ainsi,
2 3
5 5
<
• On a la propriété suivante :
Propriété :
Quand deux nombres fractionnaires ont le même dénominateur, ils sont rangés dans le même ordre
que leurs numérateurs.
Comme
2 3
<
, alors
2 3
5 5
<

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b. Comparons
2
5
et
2
7
Deux méthodes :
• Une fraction est une division donc
,
2
2 5 0 4
5
= ÷ = et
,
2
2 7 0 29
7
= ÷ ≈ .
Ainsi,
2 2
5 7
>
• On a la propriété suivante :
Propriété :
Quand deux nombres fractionnaires ont le même numérateur, ils sont rangés dans l’ordre inverse de
leurs dénominateurs.
Comme
5 7
<
,
2 2
5 7
>
c. Comparons
2
5
et
7
20
Deux méthodes :
• Une fraction est une division donc
,
2
2 5 0 4
5
= ÷ = et
,
7
7 20 0 35
20
= ÷ = .
Ainsi,
2 7
5 20
>
• On peut écrire :
2 2 4 8
5 5 4 20
×
= =
×, et au lieu de comparer
2
5
et
7
20
, on compare
8
20
et
7
20
, il
suffit d’appliquer la propriété du a ., et
8 7
20 20
> donc
2 7
5 20
>
Application : ranger dans l’ordre croissant
; ; ; ; ;
5 3 1 19 11 2
6 4 2 24 12 3
Méthode 1 :
, , , , , ,
5 3 1 19 11 2
0 83 0 75 0 5 0 79 0 92 0 67
6 4 2 24 12 3
≈ = = ≈ ≈ ≈
donc
1 2 3 19 5 11
2 3 4 24 6 12
< < < < <
Méthode 2 :
5 5 4 20
6 6 4 24
3 3 6 18
4 4 6 24
1 1 12 12
2 2 12 24
19 19 1 19
24 24 1 24
11 11 2 22
12 12 2 24
2 2 8 16
3 3 8 24
×
= =
×
×
= =
×
×
= =
×
×
= =
×
×
= =
×
×
= =
×
Comme
12 16 18 19 20 22
24 24 24 24 24 24
<<<<< , alors
1 2 3 19 5 11
2 3 4 24 6 12
< < < < <

Marc Bizet – collège Pablo Picasso – Harfleur – classe de 5
ème
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Illustration :
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4
19
24
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6
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