Nombres en écriture fractionnaire

ème
Marc Bizet – collège Pablo Picasso – Harfleur – classe de 5
Nombres en écriture fractionnaire
1. Ecriture fractionnaire d’un quotient :
a. La division « tombe » juste :
dividende
13
4
10
diviseur
3,25
20
reste
0
quotient
3,25 est le quotient de 13 par 4. On écrit 13 : 4 = 3,25, ou encore
13
= 3, 25
4
13 est le numérateur, et 4 le dénominateur.
b. La division ne « tombe » pas juste :
11
3
20
3,66...
Le quotient
11
n’est pas décimal.
3
20
20
Définition : si a et b sont deux entiers, et si b ≠ 0 , alors
a
s’appelle une fraction.
b
Question : les quotients suivants sont ils des fractions ?
2, 7
3, 1
2
9
71,02
4
1
10 000
2. Simplification de fractions
a. Egalité de quotients :
Chez la quincailler, tous les tournevis sont au même prix. Anne achète 2 tournevis, et paie 7 €. Pierre
achète lui, 4 tournevis et paie 14 €. Eric, enfin, achète 6 tournevis. Il paie 21 €.
7 14 21
=
= 3, 5
Les quotients égaux au prix d’un tournevis sont : =
2 4
6
-1-
ème
Marc Bizet – collège Pablo Picasso – Harfleur – classe de 5
Exercice de cours : trouve 5 quotients égaux à
7
.
2
Propriété :
On ne change pas un quotient lorsqu’on multiplie ou lorsqu’on divise le numérateur et le
dénominateur par un même nombre (non nul)
÷ k
x k
a k×a
=
b k ×b
k×a a
=
k ×b b
et
÷ k
x k
Transformons des quotients en fractions (numérateur et dénominateur entiers) :
•
•
2, 7
2, 7 × 100 270
=
=
0, 13 0, 13 × 100 13
44, 3
44, 3 × 1 000 44 300
=
=
2, 005 2, 005 × 1 000 2 005
Exercice de cours :
Ecrire les quotients suivants sous forme de fractions :
0, 1
0, 3
4,1
0,7
921
10,5
0,003
0,1
841,07
11,235
Réduisons certaines fractions (numérateur et dénominateur entiers les plus petits possibles) :
•
•
24 8 × 3 8
=
=
15 5 × 3 5
25 5 × 5 5
=
=
35 5 × 7 7
Exercice de cours :
Réduire au maximum chaque fraction (si possible) :
9
12
9
15
35
12
33
44
24
56
b. critères de divisibilité :
Un entier est divisible par 2 si le chiffre de ses unités est 0,2,4,6, ou 8.
Exemples :
1 234 , 156 002 sont divisibles par 2.
Contre-exemple :
222 221 n’est pas divisible par 2.
Un entier est divisible par 3 si la somme des chiffres qui le compose est divisible par 3.
Exemples :
39, 102, 450, 9 981 sont divisibles par 3.
Contre-exemples :
46, 167, 200 000 ne sont pas divisibles par 3.
Un entier est divisible par 5 si le chiffre de ses unités est 5 ou 0.
Exemples :
55, 12 560, 765 555 sont divisibles par 5.
Contre-exemples :
104, 1 001 ne sont pas divisibles par 5.
-2-
ème
Marc Bizet – collège Pablo Picasso – Harfleur – classe de 5
Un entier est divisible par 9 si la somme des chiffres qui le compose est divisible par 9.
Exemples :
18, 72, 108, 954, 1 063 044 sont divisibles par 9.
Contre-exemples :
25, 33, 1 058 ne sont pas divisibles par 9.
c. diviseur commun :
On dira qu’un nombre est un diviseur commun à 10 et 6 si 10 et 6 sont divisibles tous les deux par ce
nombre.
2 est un diviseur commun à 10 et 6.
Complète:
10 2 × ..... ....
=
=
6 2 × ..... ....
35 ..... × ..... ....
=
=
25 ..... × ..... ....
10
en divisant les deux termes par 2, car 2 est un diviseur commun à 10 et 6.
6
35
Par quel nombre simplifie-t-on
?
25
Exercice de cours :
Simplifier (penser aux diviseurs communs)
On a simplifié
28 4
8
3 15 24
40
144 100
,
,
,
,
,
,
,
,
35 6 12 9
5
48 120
90
8
d. Comparer des fractions :
Comparer des fractions, c’est déterminer celui des deux qui est le plus grand, celui qui est le plus
petit, afin de les ranger dans l’ordre croissant ou décroissant.
a. Comparons
2
3
et
5
5
Deux méthodes :
•
Il faut garder à l’esprit qu’une fraction est une division donc
2
= 2 ÷ 5 = 0, 4 et
5
3
= 3 ÷ 5 = 0, 6 .
5
2 3
Ainsi, <
5 5
•
On a la propriété suivante :
Propriété :
Quand deux nombres fractionnaires ont le même dénominateur, ils sont rangés dans le même ordre
que leurs numérateurs.
Comme 2 < 3 , alors
2 3
<
5 5
-3-
ème
Marc Bizet – collège Pablo Picasso – Harfleur – classe de 5
b. Comparons
2
2
et
5
7
Deux méthodes :
•
Une fraction est une division donc
Ainsi,
•
2
2
= 2 ÷ 5 = 0, 4 et = 2 ÷ 7 ≈ 0, 29 .
5
7
2 2
>
5 7
On a la propriété suivante :
Propriété :
Quand deux nombres fractionnaires ont le même numérateur, ils sont rangés dans l’ordre inverse de
leurs dénominateurs.
Comme 5 < 7 ,
c. Comparons
2 2
>
5 7
2
7
et
5
20
Deux méthodes :
•
Une fraction est une division donc
Ainsi,
•
2
7
= 2 ÷ 5 = 0, 4 et
= 7 ÷ 20 = 0, 35 .
5
20
2 7
>
5 20
2 2× 4 8
2
7
8
7
=
=
, et au lieu de comparer
et
, on compare
et
, il
5 5 × 4 20
5
20
20
20
8
7
2 7
>
donc >
suffit d’appliquer la propriété du a ., et
20 20
5 20
On peut écrire :
Application : ranger dans l’ordre croissant
Méthode 1 :
5
3
1
≈ 0, 83
= 0, 75
= 0, 5
6
4
2
1 2 3 19 5 11
donc < < <
< <
2 3 4 24 6 12
5 3 1 19 11 2
;
;
;
;
;
6 4 2 24 12 3
19
≈ 0, 79
24
11
≈ 0, 92
12
2
≈ 0, 67
3
Méthode 2 :
5 5 × 4 20 
=
=
6 6 × 4 24 

3 3 × 6 18 
=
=
4 4 × 6 24 

1 1 × 12 12 
=
=
2 2 × 12 24  Comme 12 < 16 < 18 < 19 < 20 < 22 , alors 1 < 2 < 3 < 19 < 5 < 11

19 19 × 1 19 
24 24 24 24 24 24
2 3 4 24 6 12
=
=
24 24 × 1 24 
11 11 × 2 22 
=
= 
12 12 × 2 24 
2 2 × 8 16 
=
=

3 3 × 8 24 
-4-
ème
Marc Bizet – collège Pablo Picasso – Harfleur – classe de 5
Illustration :
1
2
2
3
3
4
19
24
5
6
11
12
-5-