HYDRODYNAMIQUE

Paris 7
PH282
–
HYDRODYNAMIQUE
Examen partiel
Samedi 25 mars, 9–12 h
Calculettes autorisées
Les exercices simples, marqués d’un*, sont largement suffisants et partiellement nécessaires pour vous
assurer la moyenne. Vous êtes libres d’interpréter les autres exercices à votre guise, à l’aide de votre
culture, votre intuition, votre imagination, voire votre bon sens.
1
*Plomberie
Le débit moyen d’un cœur humain (ou féminin) modérément sollicité est de 6 litres par minute.
1. Le diamètre de l’aorte, à la sortie du cœur, est de 2,5 cm. Quelle est la vitesse moyenne du sang
dans l’aorte ?
2. Le diamètre des vaisseaux capillaires est de 6 µm. La vitesse moyenne du sang, mesurée dans
un vaisseau capillaire, est de 1 mm s−1 . Quel est le débit de sang dans un capillaire ? En admettant
que tout le sang passe par ces vaisseaux capillaires, quelle est leur section totale ? Quel est le nombre
de vaisseaux capillaires ouverts et opérationnels ?
2
*Viscosité
Un modèle de viscosimètre, parmi d’autres, est constitué de deux
cylindres coaxiaux. L’interstice entre les deux cylindres est occupé
par un film du liquide dont on désire mesurer la viscosité. Le cylindre intérieur est suspendu à une balance de torsion préalablement
étalonnée. Le cylindre extérieur est entraı̂né en rotation à vitesse angulaire constante, ajustable.
1. Soit Γ(ω) le moment du couple de torsion, mesuré à la
vitesse ω, lorsque le cylindre intérieur est à l’équilibre. Représentez
sur un graphe, et justifiez, l’allure des courbes Γ(ω) auxquelles il faut
s’attendre pour divers liquides si ceux-ci sont des fluides newtoniens.
2. La hauteur des cylindres en regard est de 25 cm et leurs
diamètres respectifs de 15 cm et 15 cm + 2 × 0, 25 mm. On mesure
un moment de torsion de 1 m N à 90 tours par minute. Quelle est la
viscosité du liquide testé ?
3
*Écoulement de Poiseuille
1. Établissez, dans les hypothèses du régime d’écoulement de Poiseuille, le profil de vitesse d’un
fluide dans un tuyau rectiligne cylindrique.
2. En déduire l’expression du débit en volume dans ce tuyau.
df
3. En déduire l’expression de la vitesse moyenne (au sens du débit : V = Q/S) dans le tuyau.
4. Très grossièrement, on assimile le sang à un liquide newtonien de viscosité µ = 2×10−3 N s m−2 .
Le diamètre d’un vaisseau capillaire étant de l’ordre de 6 µm, et la vitesse moyenne mesurée de l’ordre
de 1 mm s−1 estimez la perte de pression par unité de longueur dans un capillaire. Sachant que les
pressions (effectives) moyennes à la sortie du cœur et au retour au cœur sont respectivement de l’ordre
de 13 × 103 Pa et 0,5 × 103Pa, en déduire la longueur typique d’un capillaire.
2
4
Hydrodynamique, PH282 Paris 7
*Remorque
On s’interroge sur la force qu’il faut exercer pour faire avancer un navire de surface à vitesse constante.
Cette force, appelée résistance de remorquage R, est égale à la résultante des forces horizontales
exercées par l’eau sur la coque. Elle dépend a priori de la vitesse V du navire et de sa coque qui,
à forme donnée, est entièrement caractérisée par sa longueur L. On connaı̂t deux mécanismes de
dissipation de l’énergie : l’un du type friction mettant en jeu le cisaillement des couches liquides au
contact de la coque et donc la viscosité µ, l’autre du type rayonnement par émission de vagues de
surface qui, se propageant par conversion d’énergie cinétique en énergie potentielle de gravitation,
doivent faire intervenir la masse volumique ρ du liquide et l’attraction de la pesanteur g.
1. Adoptant pour étalons primaires ρ, L et V , en déduire la forme d’une relation entre grandeurs
sans dimensions.
2. Quelles sont les conditions de similitude à satisfaire pour que la mesure de la résistance de
remorquage R∗ sur une maquette V ∗ , L∗ , µ∗ , ρ∗ , g∗ , permette d’obtenir la valeur de R ? Exprimez
df
ces mêmes conditions en termes de la viscosité cinématique ν = µ/ρ.
3. Modestement, on prévoit de faire l’essai sur maquette à la surface de la Terre : g ∗ = g. Sachant
que la maquette à une longueur L∗ , quelle vitesse V ∗ devra-t-on lui imprimer et quelle valeur de
viscosité cinématique ν ∗ faudrait-il choisir pour le liquide d’essai ? Quelle serait alors l’expression
de R en fonction de la valeur R∗ mesurée sur la maquette ?
5
*Venturi
Un tuyau horizontal, de section 200 cm2, comporte un étranglement, de section 50 cm2 . Un manomètre
indique une différence des pressions de l’eau en amont de l’étranglement et dans l’étranglement de
8 × 104 Pa. Estimez, en rappelant les hypothèses de validité de l’équation de Bernoulli, la vitesse de
l’eau dans le tuyau et son débit.
6
*Vidange
Une voie d’eau d’un diamètre de l’ordre de 2 cm se déclare dans la coque d’un bateau à 1 m sous la
ligne de flottaison.
1. Estimez la vitesse de l’eau et le débit. Cette dernière estimation pèche-t-elle plutôt par excès
ou par défaut ? Pourquoi ?
2. Estimez la force que vous devez exercer sur une plaque alors que vous la présentez devant le
jet d’eau.
3. Estimez la force que vous devez exercer sur cette plaque lorsqu’elle obture la voie d’eau.
7
*Cric hydraulique
L’appareil consiste en un réservoir étanche, plein de liquide (masse volumique voisine de celle de l’eau)
sur lequel agissent deux pistons de diamètres respectifs 8 cm et 60 cm.
1. Quelle force faut-il exercer sur le petit piston lorsque le grand piston, à la même altitude,
supporte une voiture de 1 tonne ?
2. Quel est le déplacement total à imprimer au petit piston si l’on veut soulever la voiture de 2 m ?
Pouvez-vous imaginer une solution plus pratique ?
3. Quelle force supplémentaire faut-il exercer sur le petit piston lorsque le grand piston est 2 m
plus haut ?
Hydrodynamique, PH282 Paris 7
3
8
Évaluation quantitative d’une explication fantaisiste
Une explication simple, sinon convaincante, du phénomène de portance d’une aile consiste à énoncer
qu’en vertu d’on ne sait trop quel
impératif catégorique, les filets d’air
séparés par le bord d’attaque de
l’aile doivent se raccorder, comme si de rien n’était, après le bord de fuite. La distance à parcourir
le long de la face supérieure (l’extrados) convexe étant plus grande que le long de la face inférieure
(l’intrados), plate par exemple, la vitesse de l’air y est, elle aussi, plus grande et, en vertu de l’équation
de Bernoulli, la pression plus faible. D’où une force de portance résultant de cette différence de pression. Nonobstant les objections que l’on peut opposer à cette “théorie”, estimez la portance ainsi
prédite dans le cas d’un modèle réduit de planeur, de masse 0,7 kg, volant à 10 m s−1 . L’aile a une
envergure de 1 m ; le profil de l’aile a une longueur (la corde) de 16 cm et une épaisseur maximale
de 1 cm.
9
Débit d’un déversoir
Le trop plein d’un barrage profond s’évacue par un
déversoir. La hauteur du niveau de la retenue au dessus
du déversoir, et la profondeur de l’eau dans le déversoir
sont faciles à mesurer. On suppose, en première approximation, que le profil de vitesse dans le déversoir est
uniforme. Au moyen de l’équation de Bernoulli (le long
d’une ligne de courant à la surface de l’eau par exemple), estimez cette vitesse. En déduire, dans le cas d’un
déversoir large par rapport à sa profondeur, une estimation du débit de ce déversoir.