HYDRODYNAMIQUE

Paris 7
PH282
–
HYDRODYNAMIQUE
Examen partiel
Samedi 25 mars, 9–12 h
Calculettes autoris´ees
Les exercices simples, marqu´es d’un*, sont largement suffisants et partiellement n´ecessaires pour vous
assurer la moyenne. Vous ˆetes libres d’interpr´eter les autres exercices `a votre guise, `a l’aide de votre
culture, votre intuition, votre imagination, voire votre bon sens.
1*Plomberie
Le d´ebit moyen d’un cœur humain (ou f´eminin) mod´er´ement sollicit´e est de 6 litres par minute.
1. Le diam`etre de l’aorte, `a la sortie du cœur, est de 2,5 cm. Quelle est la vitesse moyenne du sang
dans l’aorte ?
2. Le diam`etre des vaisseaux capillaires est de 6 µm. La vitesse moyenne du sang, mesur´ee dans
un vaisseau capillaire, est de 1 mm s−1. Quel est le d´ebit de sang dans un capillaire ? En admettant
que tout le sang passe par ces vaisseaux capillaires, quelle est leur section totale ? Quel est le nombre
de vaisseaux capillaires ouverts et op´erationnels ?
2*Viscosit´e
Un mod`ele de viscosim`etre, parmi d’autres, est constitu´e de deux
cylindres coaxiaux. L’interstice entre les deux cylindres est occup´e
par un film du liquide dont on d´esire mesurer la viscosit´e. Le cylin-
dre int´erieur est suspendu `a une balance de torsion pr´ealablement
´etalonn´ee. Le cylindre ext´erieur est entraˆın´e en rotation `a vitesse an-
gulaire constante, ajustable.
1. Soit Γ(ω) le moment du couple de torsion, mesur´e `a la
vitesse ω, lorsque le cylindre int´erieur est `a l’´equilibre. Repr´esentez
sur un graphe, et justifiez, l’allure des courbes Γ(ω) auxquelles il faut
s’attendre pour divers liquides si ceux-ci sont des fluides newtoniens.
2. La hauteur des cylindres en regard est de 25 cm et leurs
diam`etres respectifs de 15 cm et 15 cm + 2 ×0,25 mm. On mesure
un moment de torsion de 1 m N `a 90 tours par minute. Quelle est la
viscosit´e du liquide test´e ?
3*´ Ecoulement de Poiseuille
1. ´ Etablissez, dans les hypoth`eses du r´egime d’´ecoulement de Poiseuille, le profil de vitesse d’un
fluide dans un tuyau rectiligne cylindrique.
2. En d´eduire l’expression du d´ebit en volume dans ce tuyau.
3. En d´eduire l’expression de la vitesse moyenne (au sens du d´ebit : Vdf =Q/S) dans le tuyau.
4. Tr`es grossi`erement, on assimile le sang `a un liquide newtonien de viscosit´e µ= 2×10−3N s m−2.
Le diam`etre d’un vaisseau capillaire ´etant de l’ordre de 6 µm, et la vitesse moyenne mesur´ee de l’ordre
de 1 mm s−1estimez la perte de pression par unit´e de longueur dans un capillaire. Sachant que les
pressions (effectives) moyennes `a la sortie du cœur et au retour au cœur sont respectivement de l’ordre
de 13 ×103Pa et 0,5×103Pa, en d´eduire la longueur typique d’un capillaire.

2Hydrodynamique, PH282 Paris 7
4*Remorque
On s’interroge sur la force qu’il faut exercer pour faire avancer un navire de surface `a vitesse constante.
Cette force, appel´ee r´esistance de remorquage R, est ´egale `a la r´esultante des forces horizontales
exerc´ees par l’eau sur la coque. Elle d´epend a priori de la vitesse Vdu navire et de sa coque qui,
`a forme donn´ee, est enti`erement caract´eris´ee par sa longueur L. On connaˆıt deux m´ecanismes de
dissipation de l’´energie : l’un du type friction mettant en jeu le cisaillement des couches liquides au
contact de la coque et donc la viscosit´e µ, l’autre du type rayonnement par ´emission de vagues de
surface qui, se propageant par conversion d’´energie cin´etique en ´energie potentielle de gravitation,
doivent faire intervenir la masse volumique ρdu liquide et l’attraction de la pesanteur g.
1. Adoptant pour ´etalons primaires ρ,Let V, en d´eduire la forme d’une relation entre grandeurs
sans dimensions.
2. Quelles sont les conditions de similitude `a satisfaire pour que la mesure de la r´esistance de
remorquage R∗sur une maquette V∗,L∗,µ∗,ρ∗,g∗, permette d’obtenir la valeur de R? Exprimez
ces mˆemes conditions en termes de la viscosit´e cin´ematique νdf =µ/ρ.
3. Modestement, on pr´evoit de faire l’essai sur maquette `a la surface de la Terre : g∗=g. Sachant
que la maquette `a une longueur L∗, quelle vitesse V∗devra-t-on lui imprimer et quelle valeur de
viscosit´e cin´ematique ν∗faudrait-il choisir pour le liquide d’essai ? Quelle serait alors l’expression
de Ren fonction de la valeur R∗mesur´ee sur la maquette ?
5*Venturi
Un tuyau horizontal, de section 200 cm2, comporte un ´etranglement, de section 50 cm2. Un manom`etre
indique une diff´erence des pressions de l’eau en amont de l’´etranglement et dans l’´etranglement de
8×104Pa. Estimez, en rappelant les hypoth`eses de validit´e de l’´equation de Bernoulli, la vitesse de
l’eau dans le tuyau et son d´ebit.
6*Vidange
Une voie d’eau d’un diam`etre de l’ordre de 2 cm se d´eclare dans la coque d’un bateau `a 1 m sous la
ligne de flottaison.
1. Estimez la vitesse de l’eau et le d´ebit. Cette derni`ere estimation p`eche-t-elle plutˆot par exc`es
ou par d´efaut ? Pourquoi ?
2. Estimez la force que vous devez exercer sur une plaque alors que vous la pr´esentez devant le
jet d’eau.
3. Estimez la force que vous devez exercer sur cette plaque lorsqu’elle obture la voie d’eau.
7*Cric hydraulique
L’appareil consiste en un r´eservoir ´etanche, plein de liquide (masse volumique voisine de celle de l’eau)
sur lequel agissent deux pistons de diam`etres respectifs 8 cm et 60 cm.
1. Quelle force faut-il exercer sur le petit piston lorsque le grand piston, `a la mˆeme altitude,
supporte une voiture de 1 tonne ?
2. Quel est le d´eplacement total `a imprimer au petit piston si l’on veut soulever la voiture de 2 m ?
Pouvez-vous imaginer une solution plus pratique ?
3. Quelle force suppl´ementaire faut-il exercer sur le petit piston lorsque le grand piston est 2 m
plus haut ?

Hydrodynamique, PH282 Paris 7 3
8´ Evaluation quantitative d’une explication fantaisiste
Une explication simple, sinon con-
vaincante, du ph´enom`ene de por-
tance d’une aile consiste `a ´enoncer
qu’en vertu d’on ne sait trop quel
imp´eratif cat´egorique, les filets d’air
s´epar´es par le bord d’attaque de
l’aile doivent se raccorder, comme si de rien n’´etait, apr`es le bord de fuite. La distance `a parcourir
le long de la face sup´erieure (l’extrados) convexe ´etant plus grande que le long de la face inf´erieure
(l’intrados), plate par exemple, la vitesse de l’air y est, elle aussi, plus grande et, en vertu de l’´equation
de Bernoulli, la pression plus faible. D’o`u une force de portance r´esultant de cette diff´erence de pres-
sion. Nonobstant les objections que l’on peut opposer `a cette “th´eorie”, estimez la portance ainsi
pr´edite dans le cas d’un mod`ele r´eduit de planeur, de masse 0,7 kg, volant `a 10 m s−1. L’aile a une
envergure de 1 m ; le profil de l’aile a une longueur (la corde) de 16 cm et une ´epaisseur maximale
de 1 cm.
9D´ebit d’un d´eversoir
Le trop plein d’un barrage profond s’´evacue par un
d´eversoir. La hauteur du niveau de la retenue au dessus
du d´eversoir, et la profondeur de l’eau dans le d´eversoir
sont faciles `a mesurer. On suppose, en premi`ere approx-
imation, que le profil de vitesse dans le d´eversoir est
uniforme. Au moyen de l’´equation de Bernoulli (le long
d’une ligne de courant `a la surface de l’eau par exem-
ple), estimez cette vitesse. En d´eduire, dans le cas d’un
d´eversoir large par rapport `a sa profondeur, une estima-
tion du d´ebit de ce d´eversoir.